2017年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)
精选题库北京市海淀区高考数学二模试卷及参考答案(理科)
本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（?U A）∩B＝（）A．{1}B．{3，5}C．{1，6}D．{1，3，5，6} 2．（5分）已知复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则（）A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数3．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．B．C．cosx＞cosy D．ln（x+1）＞ln（y+1）4．（5分）若直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）关于函数f（x）＝sinx﹣xcosx，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．0不是f（x）的极值点C．f（x）在，上有且仅有3个零点D．f（x）的值域是R7．（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3＝M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37B．39C．48D．57二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）极坐标系中，点到直线ρcosθ＝1的距离为．10．（5分）在的二项展开式中，x3的系数是（用数字作答）．11．（5分）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则＝，＝．12．（5分）在△ABC中，a：b：c＝4：5：6，则tanA＝．13．（5分）能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为．14．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）＝1，求cos2α的值．16．（13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AB1＝2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D，E分别是AC，B1C1的中点（Ⅰ）证明：AC⊥B1C1；（Ⅱ）证明：DE∥平面AA1B1B；（Ⅲ）求DE与平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T 在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．19．（13分）已知函数f（x）＝e ax﹣ax﹣3（a≠0）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞0时，设，求证：曲线y＝g（x）存在两条斜率为﹣1且不重合的切线．20．（13分）如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k＝a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；（Ⅲ）若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（?U A）∩B＝（）A．{1}B．{3，5}C．{1，6}D．{1，3，5，6}【解答】解：?U A＝{3，5，6}；∴（?U A）∩B＝{3，5}．故选：B．2．（5分）已知复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则（）A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数【解答】解：复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则z＝1﹣i，∴z+1＝2﹣i，z+i＝1．因此只有C正确．故选：C．3．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．B．C．cosx＞cosy D．ln（x+1）＞ln（y+1）【解答】解：x＞y＞0，∴＜，＜，cosx与cos y的大小关系不确定，ln（x+1）＞ln（y+1）．故选：D．4．（5分）若直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：圆x2+y2﹣2y＝0化为x2+（y﹣1）2＝1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，∴0+1+a＝0，即a＝﹣1．故选：B．5．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）关于函数f（x）＝sinx﹣xcosx，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．0不是f（x）的极值点C．f（x）在，上有且仅有3个零点D．f（x）的值域是R【解答】解：对于A：由f（﹣x）＝sin（﹣x）+xcos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，A对；对于B，f（x）＝sinx﹣xcos x，f′（x）＝cosx﹣cosx﹣xsinx＝﹣xsinx，当x＝0时，f（x）＝0，f′（x）＝0，0不是f（x）的极值点．B对．对于C：f（x）＝sinx﹣xcosx，f′（x）＝cos x﹣cosx﹣xsinx＝﹣xsinx，可得在（，0）上单调递增．（0，）上单调递减．f（0）可得最大值，f（0）＝0，所以，f（x）在，上不是3个零点．C不对；对于D：当x无限大或无线小时，可得f（x）的值域为R，D对．故选：C．7．（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选：C．8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3＝M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37B．39C．48D．57【解答】解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3＝8+18+13＝39，故排除B选项；当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+16+16＝48，故排除C选项；当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+19+22＝57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为37．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）极坐标系中，点到直线ρcosθ＝1的距离为1．【解答】解：把点（2，）转换为直角坐标为：（0，2），直线ρcosθ＝1转换为直角坐标方程为：x＝1，则：点（0，2）到直线x＝1的距离为：d＝1．如图所示：故答案为：110．（5分）在的二项展开式中，x3的系数是10（用数字作答）．【解答】解：因为其通项为：T r+1＝c5r x5﹣r?＝2r?c5r?x5﹣2r．令5﹣2r＝3得r＝1，所以：x3的系数为21×c51＝10．故答案为：10．11．（5分）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则＝1，＝2．【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝2，||＝1，∴?＝||?||?cos＝2×1×＝1，∴|+2|2＝||2+4||2+4?＝4+4+4＝12，∴|+2|＝2，故答案为：1，212．（5分）在△ABC中，a：b：c＝4：5：6，则tanA＝．【解答】解：△ABC中，a：b：c＝4：5：6，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，则cosA＝＝＝，∴sinA＝＝＝；∴tan A＝＝．故答案为：．13．（5分）能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为a＜﹣2或a＞2的任意实数．【解答】解：曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形，可设P（m，n），（m＞0，n＞0），由对称性可得Q（﹣m，n），R（﹣m，﹣n），S（m，﹣n），则|PQ|＝|QR|，即2m＝2n，即m＝n，由曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1有解，即有m2＝＞4，可得＞0，解得a＞2或a＜﹣2，故答案为：a＞2或a＜﹣2的任意实数．14．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为．【解答】解：以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则M（0，0，1），C（2，2，0），D1（0，2，2），设P（a，0，b），则＝（a，﹣2，b﹣2），＝（﹣2，﹣2，1），∵D1P⊥CM，∴＝﹣2a+4+b﹣2＝0，即b＝2a﹣2．取AB的中点N，连结B1N，则P点轨迹为线段B1N，过B作BQ⊥B1N，则BQ＝＝．又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，∴S△PBC的最小值为S△QBC＝＝．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）＝1，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）＝，即x＝为图象的一条对称轴，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2，再结合五点法作图可得2×+φ＝0，求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵f（α）＝1，∴．∵，∴，∴，∴，∴．16．（13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：＝0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………．（4分）（Ⅱ）设事件A：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．所以，．（9分）（Ⅲ），．（13分）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AB1＝2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D，E分别是AC，B1C1的中点（Ⅰ）证明：AC⊥B1C1；（Ⅱ）证明：DE∥平面AA1B1B；（Ⅲ）求DE与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AB1⊥AC．因为AC1⊥AC，AB1∩AC1＝A，AB1，AC1?平面AB1C1，所以AC⊥平面AB1C1．因为B1C1?平面AB1C1，所以AC⊥B1C1．（4分）（Ⅱ）取A1B1的中点M，连接MA、ME．因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点，所以ME∥A1C1，且ME＝．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD∥A1C1，且，所以ME∥AD，且ME＝AD，所以四边形ADEM是平行四边形，所以DE∥AM．又AM?平面AA1B1B，DE?平面AA1B1B，所以DE∥平面AA1BB．（9分）解：（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，因为AC⊥B1C1，所以AC⊥BC．在平面ACB1内，过点C作Cz∥AB1，因为，AB1⊥平面ABC，所以，Cz⊥平面ABC．建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图．则C（0，0，0），B（2，0，0），B1（0，2，2），C1（﹣2，2，2），D（0，1，0），E（﹣1，2，2）．，，．设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z），则，即，得x＝0，令y＝1，得z＝﹣1，故＝（0，1，﹣1）．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为．（14分）18．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T 在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆C：中，a＝2，b＝1，所以，故椭圆C的焦距为，离心率．（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，故．所以，所以，．又O（0，0），，故．因此＝．由，得，即x0?y0≤1，所以，当且仅当，即，时等号成立．19．（13分）已知函数f（x）＝e ax﹣ax﹣3（a≠0）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞0时，设，求证：曲线y＝g（x）存在两条斜率为﹣1且不重合的切线．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝a?e ax﹣a＝a?（e ax﹣1）（a≠0，x∈R），令f'（x）＝0，得x＝0．①当a＞0时，f'（x）与e ax﹣1符号相同，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗②当a＜0时，f'（x）与e ax﹣1符号相反，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗综上，f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．（7分）（Ⅱ）g'（x）＝e ax﹣ax﹣3＝f（x）（a＞0，x∈R），故g'（x）＝﹣1?f（x）＝﹣1．注意到f（0）＝﹣2＜﹣1，，，所以，，，使得f（x1）＝f（x2）＝﹣1．因此，曲线y＝g（x）在点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））处的切线斜率均为﹣1．下面，只需证明曲线y＝g（x）在点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））处的切线不重合．曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线方程为y﹣g（x i）＝﹣（x﹣x i），即y＝﹣x+g（x i）+x i．假设曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线重合，则g（x2）+x2＝g（x1）+x1．令G（x）＝g（x）+x，则G（x1）＝G（x2），且G'（x）＝g'（x）+1＝f（x）+1．由（Ⅰ）知，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜﹣1，故G'（x）＜0．所以，G（x）在区间[x1，x2]上单调递减，于是有G（x1）＞G（x2），矛盾！因此，曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线不重合．（13分）20．（13分）如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k＝a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；（Ⅲ）若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n＝3n﹣1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k＝a1a2，则有3k﹣1＝2×5＝10，解得，得出矛盾，所以对任意的k∈N*，a k≠a1a2．（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1＜0，d≤0，则对任意的n∈N*，a n＝a1+（n﹣1）?d＜0．设a k＝a1×a2，则a k＞0，矛盾！②假设a1＜0，d＞0，则存在正整数t，使得a1＜a2＜a3＜…＜a t≤0＜a t+1＜a t+2＜…设，，，…，，，i＝1，2，…，t+1，则：，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾！③假设a1≥0，d＜0，则存在正整数t，使得a1＞a2＞a3＞…＞a t≥0＞a t+1＞a t+2＞…设，，，…，，，i＝1，2，…，t+1，则：，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾！综上，a1≥0，d≥0．（Ⅲ）设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018．若d＝0，则{a n}为常数数列，此时a n＝2018恒成立，故对任意的正整数k，，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0．设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设，则，因为d≠0，所以x＝k2﹣k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018?（2018+d）是数列中的项，设a m＝2018?（2018+d），则a m﹣a k＝2018?（2018+d）﹣2018＝2018×2017+2018d ＝（m﹣k）?d，即（m﹣k﹣2018）?d＝2018×2017．因为m﹣k﹣2018∈Z，d∈N*，故d是2018×2017的约数．所以，d＝1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017．当d＝1时，a1＝2018﹣（k﹣1）≥0，得k＝1，2，…，2018，2019，故a1＝2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d＝2时，a1＝2018﹣2（k﹣1）≥0，得k＝1，2，…，1008，1009，1010，故a1＝2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d＝1009时，a1＝2018﹣1009×（k﹣1）≥0，得k＝1，2，3，故a1＝2018，1009，0，共3种可能；当d＝2017时，a1＝2018﹣2017（k﹣1）≥0，得k＝1，2，故a1＝2018，1，共2种可能；当d＝2×1009时，a1＝2018﹣2018×（k﹣1）≥0，得k＝1，2，故a1＝2018，0，共2种可能；当d＝2×2017时，a1＝2018﹣2×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能；当d＝1009×2017时，a1＝2018﹣1009×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能；当d＝2×1009×2017时，a1＝2018﹣2×1009×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1＝3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu第21页（共21页）。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(全Word版,含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
2017年5月高三理科数学二模练习参考答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）3π3π3π()sin 2coscos 2sin sin(2)555f x x x x =-=-- 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 因为sin y x =的对称轴方程为ππ,2x k k =+∈Z ， 令3ππ2π,52x k k -=+∈Z ， 得11π1π,202x k k =+∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为11π1π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -=+和3ππ22π,52x k k -=-+∈Z ， 即11ππ20x k =+和ππ,20x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2[0,π]x ∈， 所以3π3π2π2[,]555x -∈- 所以，当3ππ252x -=-即π20x =时， ()f x 在区间π[0,]2上的最小值为1-.16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ) (ⅰ) 依题意，随机变量X 可取0，1，2.4062483(0)14C C p X C ===；3162484(1)7C C p X C ===；2262483(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4)X -=6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=6000+500E (X )=6000+500(34301214714⨯+⨯+⨯) =6500.(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为所以随机变量Y E (Y )=34360006500700014714⨯+⨯+⨯ =6500.17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =， 所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，(0,0,1)P ，C .平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，设(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则 由0,0BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得0,0,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x z ==PAB的一个法向量=m ，所以cos ,||||7⋅<>===m n m n m n ， 所以二面角P AB C --的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =，1)PC =-，因为1)(1,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =.（Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220nNA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--= 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k-+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=， 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以切线l 的斜率为2， 所以'(0)2f =， 所以3a =.（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a+∞上递增所以11(ln )f a a=1(1ln )a a +是()f x 的极小值.由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =，由1a ≠可得11ln 0a a≠， 所以11(ln )(0)1f f a a<=，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增. 所以11(ln )f a a =1ln a a+是()f x 的极小值.设1ln ()xg x +=，则2ln '()(0)x g x x -=>,令'()0g x =，得1x =所以当1x ≠时()(1)1g x g <=， 所以11(ln )1f a a<，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{0,1}T =是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项， 所以数列{}n a 中最多有m 个不同的项，所以T 最多有2m C 个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，所以数列{}n a 中一定存在一项M a ，使得2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，显然p q ≠，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，2,5M p k M k M q k M k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-= (1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以k ∀∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则k ∀∈N ，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N k N a a k +=+所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.。
2017年北京海淀区高考数学二模试卷(理科) 含解析
2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A=｛﹣2,0，1}，B=｛x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2｝B．｛1｝C．{﹣2，1｝D．｛﹣2，0，1｝2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x43．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．24．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=｜x｜﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．05．已知｛a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1)+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( ）A．①B．①②C．②③D．①②③8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2,y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3,4)次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1,T2,T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分,共30分．9．在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为．10．已知复数,则|z｜= ．11．在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB= ．12．已知函数f(x)=，则f（1)（填“＞”或“＜"）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n= ．13．在四边形ABCD中，AB=2．若，则= ．14．已知椭圆G:的两个焦点分别为F1和F2,短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1｜+｜PB2｜=|PF1|+|PF2｜．当b变化时,给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③｜OP｜的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x）=sin2xcos．（Ⅰ)求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ)求f（x)在区间上的最小值．16．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A,B，C，D，E为人文类课程,课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1％的学生作为研究样本组(以下简称“组M”）．(Ⅰ)在“组M"中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M"所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往,其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动,费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数,求随机变量X的分布列;(ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．17．如图,三棱锥P﹣ABC,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D,有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．18．已知动点M到点N(1,0)和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ)已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A,且与直线l 的交点为P,以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论．19．已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直,求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．20．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T,使得只要a m﹣a k=t（m,k∈N*且m＞k）,必有a m+1﹣a k+1=t"，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ)若数列{a n}满足判断数列｛a n}是否具有性质P(2）?是否具有性质P（4）？(Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n｝具有性质P（0)”的必要不充分条件;（Ⅲ）已知{a n｝是各项为正整数的数列,且｛a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k,…是等差数列．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A=｛﹣2,0，1｝，B=｛x｜x＜﹣1或x＞0｝,则A∩B=（）A．｛﹣2｝B．{1} C．{﹣2，1｝D．{﹣2，0，1｝【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A=｛﹣2，0，1｝，B=｛x｜x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【考点】DB:二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（)A．11 B．3 C．4 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出可行域,设z=2x+y，利用目标函数的几何意义其最小值．【解答】解：由已知得到平面区域如图:设z=2x+y，则y=﹣2x+z,由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3)时，z 最小，所以最小值为3；故选：B．4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x｜﹣1的公共点个数为( )A．4 B．3 C．2 D．0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1,圆心为（0，1），半径为1,圆心(0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1,圆心（0,1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x｜﹣1的公共点个数为0，故选D．5．已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n｝的前n项和,则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】在A中，当a1＜0时，a3＜a2；在B中，当a1＜0时,a1+a2＜0;在C中,是递增数列；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值．【解答】解:由{a n}为无穷等比数列,且公比q＞1，记S n为｛a n｝的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中,当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误;在C中,=，∴是递增数列，故C正确；在D中,当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2)=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解:∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0,则x1=﹣x2,则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1)+f（x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0，满足f(x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2)=0，此时满足f（x1）+f（x2)=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2)=0”的充分不必要条件，故选:A．7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（)A．①B．①②C．②③D．①②③【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC,∴侧面VAC⊥底面ABC,满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2，y3,y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1,2，3,4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0,y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1,T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1,T2，T3,T4中至多有一个为负数【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由(x1+x2+x3+x4）(y1+y2+y3+y4）═T1+T2+T3+T4＞0即可得到T1,T2，T3，T4中至少有一个为正数．【解答】解:由题意可知：（x1+x2+x3+x4)（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4 y2+x4y3+x4y4,=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为 1 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=1的距离．【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1,极点的直角坐标为(0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，故答案为1．10．已知复数，则|z|= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1,则|z|==．故答案为：．11．在△ABC中，A=2B，2a=3b,则cosB= ．【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】利用正弦定理化简2a=3b，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinB不为0，确定出cosB的值即可．【解答】解:由正弦定理化简2a=3b得:2sinA=3sinB，把A=2B代入得:2sin2B=3sinB,即4sinBcosB=3sinB，∵sinB≠0，∴4cosB=3，即cosB=，故答案为：12．已知函数f（x)=，则＞f（1）（填“＞”或“＜");f （x）在区间上存在零点，则正整数n= 2 ．【考点】55：二分法的定义．【分析】根据函数的单调性即可判断，再根据函数的零点存在定理即可求出【解答】解：易知函数f(x）=为减函数，则f（)＞f（1)，∵f(1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，∴f(1)f(）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），∵f（x)在区间上存在零点,∴=,解得n=2，故答案为：＞，213．在四边形ABCD中,AB=2．若，则= 2 ．【考点】9R:平面向量数量积的运算．【分析】根据条件画出图形，并取AB中点E，连接CE,从而得出四边形ADCE为平行四边形，进而得出,进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则:；∴;∴四边形ADCE是平行四边形；∴，且AB=2;∴．故答案为：2．14．已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2,短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1｜+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题:①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2,其中，所有正确命题的序号是①③．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆+=1上,分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP｜的值取得最小，即可判断③．【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为F1（,0）和F2(﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2(0，b)，设P（x，y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1｜+|PB2｜=｜PF1|+|PF2｜，由椭圆定义可得，|PB1｜+｜PB2｜=2a=2＞2b，即有P在椭圆+=1上．对于①,将x换为﹣x方程不变,则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确;对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有｜OP｜的最小值为2，故③正确．故答案为:①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程;（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（I)根据差角公式化简f（x），利用正弦函数的性质求出对称轴和周期；(II）根据x的范围得出2x﹣的范围，再利用正弦函数的性质得出f （x）的最小值．【解答】解:（Ⅰ）．所以f（x）的最小正周期，令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z．（Ⅱ）因为,所以2x∈［0,π］，所以所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣1．16．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C,D,E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1％的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．(Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M"所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ)根据频率分布直方图的性质即可得出．(Ⅱ）（ⅰ）依题意,随机变量X可取0，1，2．利用“超几何分布列的计算公式与性质”即可得出．（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X），可得随机变量Y的数学期望为E(Y）=6000+500E（X)．（ⅱ）法2:依题意，随机变量Y可取6000,6500，7000．求出随机变量Y的分布列，进而得出数学期望．【解答】解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为×1％=12（人）；选择自然科学类课程的人数为×1％=8（人）．(Ⅱ）（ⅰ)依题意，随机变量X可取0，1，2。
海淀区2017-2018学年高三第一学期期末数学(理科)试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数A. B. C. D.（2）在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A.4B.5C.6D.7（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的的是对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为 .（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .（13）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .（14）对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
(完整版)2017年高考北京理科数学试题及答案(解析版),推荐文档
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2017 年北京，理 1，5 分】若集合 A {x | –2 x 1} ， B {x | x –1或x 3}，则 A B =（ ）（A） {x | –2 x 1}（B） {x | –2 x 3}（C） {x | –1 x 1}（D） {x |1 x 3}【答案】A【解析】 A B x 2 x 1，故选 A．（） 【2017 年北京，理 2，5 分】若复数 1 ia i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（）（A） ,1（B） , 1（C）1, （D）1, 【答案】B【解析】z1iaia11ai，因为对应的点在第二象限，所以a1 0，解得： a 1 ，故选1 a 0B．（） 【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）（A）23 （B）2（C） 5 3（D）8 5【答案】C【解析】k 0 时，0 3 成立，第一次进入循环11k 1, s 2 ，1 3 成立，第二次进入循环，1k2, s2 13，23成立，第三次进入循环k3,s3 21 5，33否，输出22332s5，3故选 C．x 3，（） 【2017 年北京，理 4，5 分】若 x y 满足 x y 2，则 x 2 y 的最大值为（ ），y x，（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， z x 2 y 表示斜率为 1 的一组平行线，当过点 C 3, 3时，2目标函数取得最大值zmax323 f(9x)，故3x选 (1D．（） 【2017 年北京，理 5，5 分】已知函 数)x ，则 f (x) （ ） 3 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】A1【解析】 f x 3x 1x 1 x 3x f x，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数， 1x 是减函数，根 3 3 3 据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A．（） 【2017 年北京，理 6，5 分】设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n”是“ m n < 0 ”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 0 ，使m n，即两向量反向，夹角是1800，那么m n m n cos1800 m n0，反过来， 若 m n0，那么两向量的夹角为900,1800，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得m n，所以是充分不必要条件，故选 A．（） 【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （）（A） 3 2（B） 2 3（C） 2 2（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， l 22 22 22 2 3 ，故选 B．（） 【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 ， 而可M观 （测参宇考宙数中据普：通lg物3质 0的.4原8 子）总数 N 约为1080 ．则下列各数中与 N 最接近的是（ ）（A） 1033【答案】D【解析】设 M x 3361N1080（B） 1053（C） 1073（D） 109333613618093.28，两边取对数，lgxlg 1080lg 3 lg10 361 lg 3 80 93.28 ，所以 x 10，即 M 最接近1093 ，故选 D． N第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
北京市海淀区2016-2017学年高三第二次联合考试
海淀区2017年高三第二次联合考试数学一、选择题1.已知复数，则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，，则( )A.B.C.D.3.下列选项中说法正确的是( )A. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件.B. 若向量，满足，则与的夹角为锐角.C. 若，则.D. “”的否定是“”.4.若等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于( )A. 7B. 6C. 5D. 45.过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，且，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是( )A.B.C.D.6.已知若e1，e2是夹角为90°的两个单位向量，则，的夹角为( )A.B.C.D.7.，则展开式中，项的系数为( )A.B.C.D.8.右图是求样本x 1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A. S=S+B. S=S+C. S=S+ nD. S=S+9.设为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0++=，则FA FB FC ++的值为( )FA FB FCA. 3B. 6C. 9D. 1210.函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是( )A.B.C.D.11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即。
与此类似，我们可以得到：(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(2)正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；那么( )A.B.C.D.12.记为最接近的整数，如：，，，，，……，若，则正整数m的值为( )A.B.C.D.二、填空题13.函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为____.14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件, “摸得的两球同色”为事件,则概率为____.15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为____.16.已知动点满足：，则的最小值为____.三、解答题17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=3sin B.（1）求角A的大小；（2）若0<A<，a=6，且△ABC的面积，求△ABC的周长.18.某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数X，求X的分布列及数学期望.19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.(1)证明：PB∥平面ACM；(2)设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.20.设椭圆（a>0）的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的离心率，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P.问当a变化时，F1P与F1Q的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.21.设函数f(x)=x2-a x（a>0，且a≠1），g(x)=，（其中为f(x)的导函数）.(1)当a=e时，求g(x)的极大值点；(2)讨论f(x)的零点个数.22.设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.23.选修4—5：不等式选讲.已知函数的最大值为10.(1)求的值；(2)求的最小值，并求出此时的值.答案一、选择题1. C2. D3. A4. B5. D6. C7. A 8. D 9. B 10. B 11. A 12. C二、填空题13.14.15.16. 0解析一、选择题1.，∴复数对应的点的坐标是，∴在复平面内对应的点在第三象限，故选C.2.由题意得，，∴，故选D.3.对于A，∵命题“为真”则p和q均为真命题，∴命题“为真”可以推出命题“为真，反之命题“为真不能推出命题“为真，故命题“为真”是命题“为真”的必要条件，A正确；对于B，若与的夹角为0°，则可得，此时与的夹角不是锐角，故B错；对于C，若且当时可能存在，故C错；对于D，“”的否定是“”，故D错.综上所述，正确答案为A，故选A.4.由是与的等比中项可得：，由等差数列的公差为2得：，解得，，由可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6，故选C.5.由，则双曲线的左焦点为F，当AB所在直线斜率不存在时，则其方程为，代入可得，此时；由焦点弦公式及性质知过左焦点的直线交双曲线的左支于A，B两点的弦长，即过左焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长最短，则要满足的直线可以作2条，则设坐标分别为，则，又，∴，故选D.6.∵，是夹角为90°的两个单位向量，∴，，∴，故，的夹角为45°，故选C.7.则二项式的展开式的通项公式为，令解得r=3，∴展开式中项的系数为：，故选A.8.由题意可知：该程序的作用是求样本x 1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值再求平均数，故应为：，故选D.9.抛物线的焦点坐标，准线方程为，设，，，∵，∴点F是△ABC的重心，∴，再由抛物线的定义可得：，，，∴，故选B.10.设，∵是其定义域上的减函数，∴即，∴，由此可知，在自变量增大的过程中函数值增加的量越来越小，故有，故选B.11.设正四面体的棱长为a，则正四面体的底面高为，故底面积为，正四面体的底面半径为，∴正四面体的高，所以正四面体的体积，∴；设正方体的棱长为a，则正方体的体积，∴；设正八面体的棱长为a，则正八面体的一半即四棱锥的高，底面积，∴该四棱锥的体积，故正八面体的体积，∴，故，故选A.12.根据已知可得：，，有2个1；，，，有4个2；，，，，，，有6个3；，……，有8个4……；∴又，其中总共的项数为：，又，∴，故选C.二、填空题13.∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，∴，∴，则的最小值为，故答案为.14.由，，由条件概率计算公式得，故答案为.15.由三视图知该几何体是如下图所示的三棱锥A—BCD，将该三棱锥放在棱长为4的正方体中，E是棱的中点，所以三棱锥A—BCD和三棱柱DEF —ABC的外接球相同，设外接球的球心为O，半径为R，△ABC外接圆的圆心为M，则OM=2，在△ABC中，，由余弦定理得：，∴，由正弦定理得：，则，∴，则外接球的表面积，故答案为：.16.∵，则，∴要使只要，∴；∴动点P满足，该不等式表示的平面区域如下图：设，∴，∴表示以为圆心的圆的半径，由图形可知该圆经过原点O时半径最小为3，∴，则z的最小值为0，故答案为0.三、解答题17. （1）由正弦定理得2sin A sin B=∵0<A<π，∴或（2）∵，∴，由余弦定理得，，故△ABC的周长l=a+b+c=1418.（1）由图知，P(25≤xx=100×0.05=5；P(30≤xy=100×0.2=20，其补全频率分布直方图，如下图：(2)∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人.X可取0，1，2，，故X的分布列为：故.19.(1)连结OM，BD，∵O为BD中点，M为PD中点，∴OM为△PBD的中位线，故OM ∥PB，OM平面ACM，PB平面ACM，故PB∥平面ACM；(2)取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，故∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角.∵在Rt△ADO中，，在Rt△AMN中，∴，取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M—AC—B 的补角，即为π-β.∵∴，∴20.(1)由题知，由得：a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为.(2).设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8，联立得8x2 -4x+a4=0，即，故，，直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为，故，故故与的夹角为定值.21.(1)g(x)=2x-e x ，=2-e x=0，当x<ln2时，>0；当x>ln2时，<0，故的极大值点为ln2(2)22.联立直线方程与C的方程可解得：，P2(0，1)，P1 P2线段中点，，故P1 P2线段中垂线的方程为，即3x-9y-4=0，即极坐标方程为23.(1)当且仅当时等号成立，又的最大值为又已知的最大值为10，所以(2)由（1）知，由柯西不等式得：，即，当且仅当即时等号成立.。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学理试题(全Word版,含答案)模板
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2017.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =- B．12y x =C．2y x =- D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．AOBCD1图ODCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴=. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b == 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则A110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z =，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1x =，则1y z ==，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>=⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==， 所以椭圆G的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+ ， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。
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2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}2．（5分）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x43．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．24．（5分）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值6．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③8．（5分）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为．10．（5分）已知复数，则|z|=．11．（5分）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n=．13．（5分）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=．14．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．16．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．18．（14分）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．19．（13分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*且m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{a n}满足判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2017•海淀区二模）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．（5分）（2017•海淀区二模）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．（5分）（2017•海淀区二模）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z 最小，所以最小值为3；故选：B．4．（5分）（2017•海淀区二模）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选D．5．（5分）（2017•海淀区二模）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n 为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．（5分）（2017•海淀区二模）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）（2017•海淀区二模）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．（5分）（2017•海淀区二模）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2017•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为1．【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，故答案为1．10．（5分）（2017•海淀区二模）已知复数，则|z|=．【解答】解：复数==﹣i﹣1，则|z|==．故答案为：．11．（5分）（2017•海淀区二模）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB，把A=2B代入得：2sin2B=3sinB，即4sinBcosB=3sinB，∵sinB≠0，∴4cosB=3，即cosB=，故答案为：12．（5分）（2017•海淀区二模）已知函数f（x）=，则＞f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n=2．【解答】解：易知函数f（x）=为减函数，则f（）＞f（1），∵f（1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，∴f（1）f（）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），∵f（x）在区间上存在零点，∴=，解得n=2，故答案为：＞，213．（5分）（2017•海淀区二模）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=2．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则：；∴；∴四边形ADCE是平行四边形；∴，且AB=2；∴．故答案为：2．14．（5分）（2017•海淀区二模）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是①③．【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为F1（，0）和F2（﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，即有P在椭圆+=1上．对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2017•海淀区二模）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）．所以f（x）的最小正周期，令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．（Ⅱ）因为，所以2x∈[0，π]，所以所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣1．16．（13分）（2017•海淀区二模）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．【解答】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.；；（Ⅱ）．故随机变量X的分布列为X012p（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，所以随机变量Y的数学期望为E（Y）=6000+500E（X）=6000+500（）=6500．（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．所以随机变量Y的分布列为Y600065007000p所以随机变量Y的数学期望为E（Y）==6500．17．（14分）（2017•海淀区二模）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以，所以∠DBA=60°．因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，所以AC∥平面PDB．解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB．如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B（1，0，0），，P（0，0，1），．平面ABC的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则由，得，令y=1，则，所以平面PAB的一个法向量=（），所以cos＜＞==，由图象知二面角P﹣AB﹣C是钝二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，因为，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．18．（14分）（2017•海淀区二模）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=﹣1得，因为n=﹣m2，所以所以NA⊥NP，所以点N在以PA为直径的圆C上．19．（13分）（2017•海淀区二模）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=ae ax﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上递减；时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则，令g'（x）=0，得x=1．x（0，1）1（1，+∞）g'（x）+0﹣g（x）↗极大值↘∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）（2017•海淀区二模）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*且m＞k），必有a m+1 =t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．﹣a k+1（Ⅰ）若数列{a n}满足判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…+1所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集．（Ⅲ）因为数列{a n}具有性质P（2），数列{a n}具有性质P（5），﹣a M'=2，a N'+q﹣a N'=5，其中p，q分别是满足上述关所以存在M′、N′，使得a M'+p系式的最小的正整数，﹣a M'+k=2，a N'+q+k﹣a N'+k=5，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M'+p+k若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得a N'﹣a N'=2；+p若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得a M'﹣a M'=5．+q记M=max{M'，N'}，则对于a M，有a M+p﹣a M=2，a M+q﹣a M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M﹣a M+k=2，a N+q+k﹣a N+k=5，+p+k﹣a M=（a M+qp﹣a M+（q﹣1）p）+（a M+（q﹣1）p﹣a M+（q﹣2）p）+…+（a M+p﹣a M）所以a M+qp=2qa M+qp﹣a M=（a M+pq﹣a M+（p﹣1）q）+（a M+（p﹣1）q﹣a M+（p﹣2）q）+…+（a M+q﹣a M）=5p =a M+2q=a M+5p．所以a M+qp所以2q=5p，﹣a M=2，a M+q﹣a M=5的最小的正整数，又p，q是满足a M+p﹣a M=2，a M+5﹣a M=5，所以q=5，p=2，a M+2所以，a M﹣a M+k=2，a M+5+k﹣a M+k=5，+2+k=a M+2（k﹣1）+2=…=a M+2k，a M+5k=a M+5（k﹣1）+5=…=a M+5k，所以，a M+2k取N=M+5，则，=a N+k；所以，若k是偶数，则a N+k=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+k，若k是奇数，则a N+k=a N+k所以，a N+k所以a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是公差为1的等差数列．参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；qiss；lcb001；刘老师；742048；铭灏2016；sllwyn；whgcn；wkl197822；双曲线；zhczcb；sxs123；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月4日。