2019-2020学年高中数学 第三章 概率测评B 新人教A版必修3
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 章末综合测评及答案
会，估计运动会期间不．下．雨．的概率． 【解】 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率
估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 2360＝1153. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3
日等)．这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中 后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 78.
(2)该班成绩在[60，100]内的概率是 P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)
＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
19．(本小题满分 12 分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均 匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为 x；小李后掷一 枚骰子，向上的点数记为 y.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在
题中横线上)．
13．一个袋子中有 5 个红球，3 个白球，4 个绿球，8 个黑球，如
果随机地摸出一个球，记 A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出
绿球}，D＝{摸出红球}，则 P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)
A，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A
＝________．
【解析】 由古典概型的算法可得 P(A)＝280＝25，P(B)＝230，P(C∪D)
＝P(C)＋P(D)＝240＋250＝290.
【答案】
2 5
3 20
9 20
14．在区间(0，1)内任取一个数 a，能使方程 x2＋2ax＋12＝0 有两
第三章测试卷A-人教A版数学必修3参考答案
数和为 5 的基本事件数为 4 个，点数和为 6 的基本事件数为 5 个，点数和为 7 的基本事件数的和为 6 个，点数和为
8 的基本事件数为 5 个，点数和为 9 的基本事件数为 4 个，点数和为 10 的基本事件数为 3 个，点数和为 11 的基本
事件数为 2 个，点数和为 12 的基本事件数为 1 个．
例 4 答图
点数和
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计所需
点数和出现的次数
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 礼券额
63 63 63 63 63 63 63 63 63 6 3 6 3
方案 1 礼券额
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
方案 1 各点数和所需礼券额 20 60 120 200 300 420 400 360 300 220 120
①m=2，n 只能取 1，计 1 种情形；
②m=3，n 可取 1 或 2，计 2 种情形；
③m=4，n 可取 1 或 2、3、4，计 4 种情形；
④m=5 或 6，n 均可取 1 至 6 的值，共计 2×6=12 种情形．
故满足条件的情形共有
1+2+4+12=19（种），答案为
19 36
．
y 60
15
根据古典概型的概率计算公式易得下表：
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 概率 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
由概率可知，当点数和位于中间（指在 7 的附近）时，概率最大，作为追求最 大效益与利润的老总，当然不能选择方案 2，也不宜选择方案 1，最好选择方案 3．
2019-2020学年高中数学人教B版必修3：阶段质量检测(三) 概 率 Word版含解析
阶段质量检测（三） 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝ 错误!.因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评19 Word版含答案
(整数值)随机数(random numbers)的产生一、选择题1．袋子中有四个小球分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字有放回地从中任取一个小球取到“快”就停止用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数且用1234表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字以每两个随机数为一组代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计直到第二次就停止的概率为( )A 15B ．14C 13D ．12【解析】 由随机模拟产生的随机数可知直到第二次停止的有1343231313共5个基本事件故所求的概率为P ＝520＝14【答案】 B2．某班准备到郊外野营为此向商店订了帐蓬如果下雨与不下雨是等可能的能否准时收到帐篷也是等可能的只要帐篷如期运到他们就不会淋雨则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨机会为34C ．淋雨机会为12D ．淋雨机会为14【解析】 用A 、B 分别表示下雨和不下雨用a 、b 表示帐篷运到和运不到则所有可能情形为(Aa )(Ab )(Ba )(Bb )则当(Ab )发生时就会被雨淋到∴淋雨的概率为P ＝14【答案】 D3．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数指定1234表示命中567890表示没有命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )【28750061】A ．035B ．025C ．020D ．015【解析】 恰有两次命中的有191271932812393共有5组则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为520＝025【答案】 B二、填空题6．抛掷两枚相同的骰子用随机模拟方法估计向上面的点数和是6的倍数的概率时用123456分别表示向上的面的点数用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个每组第i 个数组成一组共组成60组数其中有一组是16这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：________．(填“是”或“否”)【解析】 16表示第一枚骰子向上的点数是1第二枚骰子向上的点数是6则向上的面的点数和是1＋6＝7不表示和是6的倍数．【答案】 否7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事但他不知道客车的车况也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车他采取如下策略：先放过一辆如果第二辆比第一辆好则上第二辆否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．【解析】 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)所以他乘坐上等车的概率为36＝12【答案】 128．甲、乙两支篮球队进行一局比赛甲获胜的概率为06若采用三局两胜制举行一次比赛现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数用012345表示甲获胜；6789表示乙获胜这样能体现甲获胜的概率为06因为采用三局两胜制所以每3个随机数作为一组．例如产生30组随机数．034743738636964736614698637162332 616804560111410959774246762428114572 042533237322707360751据此估计乙获胜的概率为________．【解析】就相当于做了30次试验．如果6789中恰有2个或3个数出现就表示乙获胜它们分别是738636964736698637616959774762707共11个．所以采用三局两胜制乙获胜的概率约为1130≈0367【答案】0367三、解答题9．一个袋中有7个大小、形状相同的小球6个白球1个红球．现任取1个若为红球就停止若为白球就放回搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．【解】用123456表示白球7表示红球利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数因为要求恰好第三次摸到红球的概率所以每三个随机数作为一组．例如产生20组随机数．666743671464571561156567732375716116614445117573552274114622就相当于做了20次试验在这组数中前两个数字不是7第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸的是白球第三次恰好是红球它们分别是567和117共两组因此恰好第三次摸到红球的概率约为220＝01 10．一个学生在一次竞赛中要回答8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15化学题的编号为16～35生物题的编号为36～47【解】利用计算器的随机函数RANDI(115)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(1635)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(3647)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复则重新产生一个)这样就得到8道题的序号．[能力提升]1．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是08现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至多击中1次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数指定01表示没有击中目标23456789表示击中目标；因为射击4次故以每4个随机数为一组代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5 7270 2937 1409 8570 3474 373 8 636 9 647 1 417 4 6980 371 6 233 2 616 8 045 6 0113 661 9 597 7 424 6 710 4 281据此估计该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为( )A ．095B ．01 C015 D ．005【解析】 该射击运动员射击4次至多击中1次故看这20组数据中含有0和1的个数多少含有3个或3个以上的有：6011故所求概率为120＝005【答案】 D2．在一个袋子中装有分别标注数字12345的五个小球这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A 310B ．15C 110D ．112 【解析】 随机取出两个小球有(12)(13)(14)(15)(23)(24)(25)(34)(35)(45)共10种情况和为3只有1种情况(12)和为6可以是(15)(24)共2种情况．所以P ＝310【答案】 A3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是________．【解析】[ab]中共有b－a＋1个整数每个整数出现的可能性相等所以每个整数出现的可能性是1b－a＋1【答案】1b－a＋14．一份测试题包括6道选择题每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．【解】我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确123表示猜的选项错误这样可以体现猜对的概率是25%因为共猜6道题所以每6个随机数作为一组．例如产生25组随机数：330130302220133020022011313121222330231022001003213322030032100211022210231330321202031210232111210010212020230331112000102330200313303321012033321230就相当于做了25次试验在每组数中如果恰有3个或3个以上的数是0则表示至少答对3道题它们分别是001003030032210010112000即共有4组数我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为425＝016。
人教版2020年高中数学第三章概率章末检测新人教A版必修3
第三章概率章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人在打靶中连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”．答案：C2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7，则基本事件共有( )A．5个B．6个C．7个D．8个解析：所得点数之和为7的基本事件为(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6个．答案：B3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．既不互斥又不对立事件解析：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．答案：C4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3解析：事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案：C5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23D.45解析：设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12－x ) cm ，那么矩形的面积为x (12－x ) cm 2， 由x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10.又0＜x ＜12，所以该矩形面积大于20 cm 2的概率为23.答案：C6．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02D ．0.068解析：由图知，质量x 在[4.8,4.85]的概率P (4.8≤x ≤4.85)＝P (x ＜ 4.85)－P (x ＜4.8)＝0.32－0.3＝0.02，故选C. 答案：C7．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.56解析：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任取2种有6种取法，分别为红与黄，红与白，红与紫，黄与白，黄与紫，白与紫，共6种，其中红色与紫色不在同一花坛有4种情况，故红色与紫色不在同一花坛的概率P ＝46＝23.答案：C8．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )等于( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应．而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆面x 2＋y 2<1的点一一对应，∴P (A )＝π4.答案：A9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( ) A.13 B.12 C.1936D.25解析：将一枚骰子抛掷两次共有6×6＝36种结果．方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b2－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P ＝1936.故选C.答案：C10．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒以内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78解析：设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2，如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4所表示的图形面积为16，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P＝1216＝34.答案：C11．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8D ．1解析：首先对5件产品编号为1,2,3,4,5.其中1,2两件为次品，3,4,5为正品，从5件产品中任取2件产品，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．其中恰有一件为次品的事件为：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6个． ∴恰有一件次品的概率P ＝610＝35＝0.6，选B. 答案：B12．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) A.34 B.710C.45D.35解析：设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．地面上有三个同心圆(如图)，其半径分别为3、2、1.若向图中最大的圆内投点且投到图中阴影区域的概率为715，则两直线所夹锐角的弧度数为________．解析：设两直线所夹锐角弧度为α，则有：715＝S 阴S＝απ×π＋1－απ×3π＋απ×5π9π，解得：α＝2π5.故答案为2π5.答案：2π514．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.答案：1315．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析：∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案：131616．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C 互斥，故射手中靶概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P(C )＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.80＝0.20. 答案：0.20三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或飞机去的概率； (2)求他不乘飞机去的概率．解析：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，P (D )＝0.4. (1)P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. (2)设“不乘飞机”为事件E ， 则P (E )＝1－P (D )＝1－0.4＝0.6.18．(12分)甲、乙两人做出猜拳游戏(锤子，剪刀，布)． 求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．解析：设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C .容易得到如图所示的图形．平局含3个基本事件(图中的△)，P (A )＝39＝13.(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P (B )＝39＝13.(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P (C )＝39＝13.19．(12分)袋中有红、黄、白三种颜色的球各3只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．解析：从袋中有放回地抽取3次，全部的基本事件用树状图表示为：(1)记“3只球全是红球”为 事件A ，则P (A )＝127.(2)记“3只球颜色相同”为事件B ，则P (B )＝127＋127＋127＝19.(3)记“3只球颜色不全相同”为事件C ，则有24种情况，故P (C )＝2427＝89.(4)要使3只球颜色全不相同，只可能是红、黄、白球各出现一次，记“3只颜色全不相同”为事件D ，则P (D )＝627＝29.20．(12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解析：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}, {A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}， {B ，b 2}． (2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确．21．(13分)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.22．(13分)某校高三共有900名学生，高三模拟考试之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频率分布表.(1)确定表中a ，b ，c (2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率； (3)估计该校本次考试的数学平均分． 解析：(1)因为频率和为1，所以b ＝0.18， 因为频率＝频数/样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用A ，B ，C ，D 表示，第七组抽出的样本用E ，F 表示．从这6名学生中随机抽取2个的方法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.。
2019-2020人教A版数学必修3章末综合测评3 概 率
章末综合测评(三)概率(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰．A．1B．2C．3 D．4C[①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．]2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”A[由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．]3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()A．16B．13C．12D．23B[给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝26＝13.]4．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．15B [所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.]5．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N)＝12 B ．P (M )＝12，P (N)＝12 C ．P (M )＝13，P (N)＝34D ．P (M )＝12，P (N)＝34D [掷一枚硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种情况，事件M 包含2种情况，事件N 包含3种情况，故P (M )＝12，P (N)＝34.]6．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为( )A ．100 mB ．80 mC ．50 mD ．40 mA [设河宽为x m ，则1－x 500＝45，∴x ＝100.] 7．考察下列命题：(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种等可能的结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [(1)中，出现“两个正面”“两个反面”的概率都是14，出现“一正一反”的概率是12，因此不是等可能的；(2)中，每种颜色的球的个数不同，因此被摸到的可能性不同；(3)中，小于0的数有4个，不小于0的数有3个，显然取到的数小于0的可能性更大；(4)中，每个男同学当选为代表的机会是13，每个女同学当选为代表的机会是14，显然可能性不同；(5)中，抽签无论先抽还是后抽，中奖的机会相等．综上，选A.]8．在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( ) A ．12 B ．13C ．25D ．35 D [不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－（－1）4－（－1）＝35.]9．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的正整数倍数的概率为( )A ．9100B ．350C．3100D．29A[任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0，1，2，…，9)；(1，i)(i＝0，1，2，…，9)；(2，i)(i＝0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的正整数倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种．故所求概率为9 100.]10．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n 的概率为()A．710B．310C．35D．25A[建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为P＝S梯形ABCDS矩形ABCE＝710.]11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件D[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故各事件的关系可由图表示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．]12．阅读图所示的程序框图，如果函数的定义域为(－3，4)，则输出函数的值在⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32内的概率为( )A ．17B ．37C ．27D ．47A [由程序框图得，f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，－1≤x ≤1，2－x ＋1，x <－1或x >1.若－1≤x ≤1，令54<2x ＋1<32，即14<2x <12，∴－2<x <－1(舍去)；若x <－1或x >1，令54<2－x ＋1<32，即14<2－x <12，∴1<x <2.问题转化为长度的几何概型，总长度为4－(－3)＝7，所求事件表示的长度为2－1＝1，则所求的概率为17.故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)13．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．110 [由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110.]14．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．1 613[从1，2，3，4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1，3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1，3；2，4两种取法，所以所求的概率为2 6＝13.]15．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠∅的概率为1，则a的取值范围是________．[－2，2][依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点，故|a|12＋12≤1，解得－2≤a≤ 2.]16．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥12”的概率，p2为事件“|x－y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则p1、p2、p3的大小关系为________．p2<p3<p1[x，y∈[0，1]，事件“x＋y≥12”表示的区域如图①中阴影部分S1，事件“|x－y|≤12”表示的区域如图②中阴影部分S2，事件“xy≤12”表示的区域如图③中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S2<S3<S1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p2<p3<p1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．18．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，共5种情况，∴P(A)＝525＝15.(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13，即(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．19．(本小题满分12分)四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张．(1)列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少．[解](1)如图．则所有可能情况为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种．(2)积为奇数的情况为(1，3)，(3，1)，共2种，因此有P(积为奇数)＝1 6.20．(本小题满分12分)在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率．(1)在底边BC上任取一点P，使BP<AB；(2)在∠BAC的内部任作射线AP交BC于P，使BP＜AB.[解](1)因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为试验的全部结果所构成的区域，以B为圆心，BA为半径的弧交BC于M，记“在底边BC上任取一点P，使BP<AB”为事件A，则P(A)＝BABC＝BA2BAcos 30°＝13＝33.(2)所作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取一点M，使∠AMP ＝75°，则BM＝BA.记“在∠BAC的内部作射线AP交线段BC于P，使BP<AB”为事件B，则P(B)＝∠BAM∠BAC＝75°120°＝58.21. (本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．[解](1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝3 20＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1. 所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．设事件A 表示“从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A 所包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4个．故所求的概率P (A )＝410＝0.4.22．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A ，B 两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米的概率．[解] 设A 与C 之间的距离为x 米，B 与D 之间的距离为y 米，(x ，y )可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，(x ，y )的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0<x ＋y <120，x >0，y >0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米”(记为事件M )的所有可能结果构成的区域为M ＝{(x ，y )|x ≥40，y ≥40，x ∈Ω且y ∈Ω}，即图中的阴影部分．由几何概型的概率计算公式得P (M )＝12×40×4012×120×120＝19.故A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米的概率为19.。
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评15 Word版含答案
随机事件的概率一、选择题1．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )A ．男女、男男、女女B ．男女、女男C ．男男、男女、女男、女女D ．男男、女女【解析】 用列举法知C 正确． 【答案】 C2．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 101188610189119则取到号码为奇数的频率是( ) A ．053 B ．05 C ．047D ．037【解析】 取到号码为奇数的频率是10＋8＋6＋18＋11100＝053 【答案】 A3．给出下列三种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为01，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是n m ＝37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由频率与概率之间的联系与区别知①②③均不正确． 【答案】 A 二、填空题6．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A ，则事件A 出现的频数为________，事件A 出现的频率为________ 【28750049】【解析】 100次试验中有48次正面朝上，则52次反面朝上，则频率＝频数试验次数＝52100＝052【答案】 52 0527．已知随机事件A 发生的频率是002，事件A 出现了10次，那么共进行了________次试验．【解析】 设进行了n 次试验，则有10n ＝002，得n ＝500，故进行了500次试验．【答案】 5008．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．【解析】从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品，一个次品”，“一个正品，两个次品”．【答案】⑥④①②③⑤三、解答题9．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参加一项活动，可能的选法有哪些？(2)试写出从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素构成集合．【解】(1)可能的选法为：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)．(2)可能的集合为{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．10．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴出生的频率；(保留4位小数)(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？【解】(1)男婴出生的频率依次是：0520 0，0517 3，0517 3，0517 3(2)各个频率均稳定在常数0517 3上．[能力提升]1．掷一枚硬币，反面向上的概率是12，若连续抛掷同一枚硬币10次，则有( )A ．一定有5次反面向上B ．一定有6次反面向上C ．一定有4次反面向上D ．可能有5次反面向上【解析】 掷一枚硬币，“正面向上”和“反面向上”的概率为12，连掷10次，并不一定有5次反面向上，可能有5次反面向上．【答案】 D2．总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，对于下列说法正确的是( )A ．买1张一定不中奖B ．买1 000张一定中奖C ．买2 000张不一定中奖D ．买20 000张不中奖【解析】 由题意，彩票中奖属于随机事件， ∴买一张也可能中奖，买2 000张也不一定中奖． 【答案】 C3．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k 次或第k 次之前能首次摸出红球，则k 的最小值为________．【解析】 至少需摸完黑球和白球共15个． 【答案】 164．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：发达地区：(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别？【解】(1)贫困地区依次填：0533，0540，0520，0．520，0512，0503发达地区依次填：0567，0580，0560，0555，0552，0550(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于05和055，故概率分别为05和055(3)经济上的贫困导致贫困地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．。
人教A版高中数学必修三试卷第三章 概率阶段测试.docx
第三章 概率阶段测试一．选择题1．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 152．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是不合格的，现从盒中随机地抽取4个，那么恰有两只不合格的概率是（ ）A ．130B ．310C ． 13 D ．123．取一根长度为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率为（ ） A.31 B.41 C.52 D.534．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( ) A.29200 B.725 C.29144 D.7185．甲乙两人一起去游“2010上海世博会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.166．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放在这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行每列的水果种类各不相同的概率（ ）A. 215B. 29C. 15D. 137．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P(m ，n)在直线x ＋y ＝4上的概率是( ) A. 13 B. 14 C. 16 D. 1128．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 481π B . 81481π- C.127 D. 8279．向等腰直角三角形()ABC AC BC =其中内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为( ) A ．22 B ．212- C ． 8π D ．4π 10．某农科院在3×3的9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为（ ）A ．156 B ．114 C ．17 D ．314二．填空题11．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是_________．12．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_________.13．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率_________.14．某旅游公司有甲、乙、丙三种特色产品，其数量分别为,,a b c （单位：件），且,,a b c成等差数列。
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2019-2020学年高中数学第三章概率测评B 新人教A版必修3 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B.C. D.解析:所求概率为,故选B.答案:B2.(2014陕西高考)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B.C. D.解析:设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=,故选B.答案:B3.(2013陕西高考)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45解析:由频率分布直方图知识可知:在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5+[1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5]=0.45.答案:D4.(2014湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )A. B.C. D.解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=,故选B.答案:B5.(2014湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.答案:C6.(2013江西高考)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B.C. D.解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为.故选C.答案:C7.(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=( )A. B.C. D.解析:如图,设AB=2x,AD=2y.由于AB为最大边的概率是,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=x,即AB=EB或AB=FA.∴2x=,即4x2=4y2+x2,即x2=4y2,∴.∴.又∵,故选D.答案:D8.(2013安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A. B.C. D.解析:五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.其中含甲或乙的情况有9种,故选D.答案:D9.(2013课标全国Ⅰ高考)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B.C. D.解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.答案:B10.(2014湖北高考)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )A. B.C. D.解析:如图,由题意知平面区域Ω1的面积=S△AOM=×2×2=2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S阴=-S△ABC=2-×1×.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2014课标全国Ⅰ高考)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.解析:记两本数学书分别为a1,a2,语文书为b,则3本书一共有6种不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为.答案:12.(2013年福建高考)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为.解析:由3a-1<0,得a<.∵0≤a≤1,∴0≤a<.根据几何概型知所求概率为.答案:13.(2014广东高考)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.答案:14.(2014浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.解析:甲、乙两人各抽取1张,一共有3×2=6种等可能的结果,两人都中奖的结果有2×1=2种,由古典概型计算公式可得所求概率为P=.答案:15.(2014江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分6分)(2014天津高考)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{ Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=.17.(本小题满分6分)(2014陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元) 0100200300400车辆数(辆) 50130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.18.(本小题满分6分)(2014福建高考)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A 25% 8 000B 30% 4 000C 15% 6 000D 10% 3 000E 20% 10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=.19.(本小题满分7分)(2014山东高考)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C数量51510(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×=1,150×=3,100×=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{ B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.。