战争中的微分方程模型研究-开题报告-2
第5章 微分方程建模(动态模型)
第5章 微分方程建模(动态模型)5.3 正规战与游击战F. W. Lanchester 预测战争结局的数学模型，只考虑1. 战争双方的兵力多少，2. 战斗力的强弱，3. 兵力的战斗减员和非战斗减员，4. 后备力量的增援.战斗力即杀伤敌方的能力，与射击率、射击命中率、战争的类型(正规战或游击战)有关，此模型不考虑政治、经济、社会、宗教等因素.战争模型 用x(t)和y(t)表示甲、乙交战双方在时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数. 假设1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用f(x, y)表示甲方的战斗减员率，g(x, y)表示乙方的战斗减员率.2. 每一方的非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)与本方的兵力成正比.3. 每一方的增援率是给定的函数，分别用u(t)和v(t)表示.由此及彼可建立关于x(t)和y(t)的微分方程：⎩⎨⎧>β+β--=>α+α--=0),t (v y )y ,x (g )t (y0),t (u x )y ,x (f )t (x (1) 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f,、g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素.正规战争模型 甲乙双方都用正规部队作战. 先分析甲方的战斗减员率f(x, y).由于甲方士兵的活动是公开的，当一个甲方士兵被杀伤，乙方的火力立即集中到其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，简单地假设f 与y 成正比：f = ay ，a 表示一方每个士兵对甲方士兵的杀伤率(单位时间的杀伤数)，称乙方的战斗有效系数. a 可进一步分解为a = r y p y ，其中r y 是乙方的射击率(每个士兵单位时间内的射击次数)，p y 是每次射击的命中率.类似地有g = bx, b = r x p x . 于是(1)化简为⎩⎨⎧>β+β--=>α+α--=0),t (v y bx )t (y0),t (u x ay )t (x (2) 再假设非战斗减员相对于战斗减员很小，可忽略不计，并假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别为x 0和y 0，则(2)又可简化为⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=.y )0(y ,x )0(x ,bx )t (y ,ay )t (x 00 (3) 由(3)两式相除得dy/dx = bx/(ay), (4)其解为ay 2 - bx 2 = k. (5)由初始条件有k = ay 02 - bx 02. (6)由(5)式确定的相轨线是双曲线，如图. 由(3)式知x, y 都是t 的减函数，随着t 的增加，x, y 的变化趋势是沿轨线向左下方移动，如图中箭头所示. 如果k >0，则轨线在y > 0处与y 轴相交，即在某时刻t 使x(t) = 0时，y(t) = (k/a)1/2 > 0，表明当甲方兵力为零时，乙方尚有兵力存在，即乙方获胜. 同理可知，k < 0时甲方获胜，k = 0时双方同归于尽，战成平局. 分析某一方，譬如乙方，取胜的条件. 由(6)式知乙方获胜的条件是 (y 0/x 0)2 > b/a = r x p x /(r y p y ), (7) 这说明双方初始兵力之比以平方关系影响战争结局. 例如，当甲方兵力不变，乙方的兵力增加到原来的2倍，则乙方影响战争结局的能力增加到原来的4倍. 或者说，若甲方的战斗力譬如射击率r x 增加到原来的4倍(p x , r y , p y )均不变，则为了与此抗衡，乙方须将初始兵力增加到原来的2倍. 所以正规战争模型称为平方律模型.游击战争模型 双方都用游击部队作战.甲方士兵在乙方士兵看不到的面积为s x 的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况. 这时甲方战斗减员率不但与乙方兵力有关，而且随甲方兵力的增加而增加. 这样可假设f = cxy ，且乙方战斗有效系数c 可表为c = r y s ry /s x ，其中r y 仍为射击率，而命中率p y 等于乙方一次射击的有效面积s ry 与甲方活动面积s x 之比.类似地有g = dxy, d = r x p x = r x s rx /s y .于是方程(1)在此化为⎩⎨⎧>β+β--=>α+α--=0),t (v y dxy )t (y 0),t (u x cxy )t (x (8) 忽略αx 和βy 项并设u = v = 0，在初始条件下(8)式为⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=.y )0(y ,x )0(x ,dxy )t (y ,cxy )t (x 00 (9) 两式相除可得dx/dy = c/d cy - dx = m, (10) m=cy 0 - dx 0. (11) 由(10)式知相轨线为直线族，当m > 0时乙方胜，m < 0时甲方胜，m = 0时战平. 乙方获胜的条件是y 0/x 0 > d/c = r x s rx s x /(r y s ry s y ). (12) 初始兵力之比y 0/x 0以线性关系影响战争结局，射击率，有效射击面积和活动面积也起同样作用. 此模型也称线性律模型.混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队.根据前面对正规战争和游击战争模型的分析和假设，有f = cxy, g = bx ，在同游击战争模型的相轨线正规战争的相轨线样的忽略和假设下，方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=.y )0(y ,x )0(x ,bx )t (y ,cxy )t (x 00 (13) 两式相除可得其相轨线方程为抛物线：cy 2 - 2bx = n, (14)n = cy 02 - 2bx 0 (15)且n > 0时乙方胜，n < 0时甲方胜，n = 0时双方战平. 乙方(正规部队)取胜的条件为(y 0/x 0)2 > 2b/(cx 0), (16) 代入b = r x p x , c = r y s ry /s x 得(y 0/x 0)2 > 2r x p x s x /( r y s ry x 0). (17)利用上式可估计乙方为取胜需投入多大的初始兵力. 为确定起见，设x 0 = 100, p x = 0.1, r x = 0.5r y , s x = 0.1(km)2, s ry = 1m 2，则由(17)式乙方取胜的条件为(y 0/x 0)2 > 2⋅0.5⋅0.1⋅0.1⋅106/(1⋅100) = 100, (18)即y 0/x 0 > 10，乙方必须10倍于甲方的兵力.此模型曾用于分析越南战争，乙方为美国. 根据类似于以上的计算及上一世纪四五十年代发生在马来亚、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要取胜至少要投入8倍于游击部队的兵力，而美国最多只能派出6倍于越南的兵力，越南战争最后以美国失败告终.硫黄岛战役 J. H. Engel 用二次大战末期美日硫黄岛战役中美军的战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合很好.设美军人数为A(t)，日军人数为J(t)，日方无援军，数学模型为：dA/dt = -aJ(t) + u(t),dJ/dt = -bA(t), (19)A(0) = 0, J(0) = 21500,美军的战地记录给出增援率u(t)为u(t) = 54000, 0 ≤ t < 1,u(t) = 6000, 2 ≤ t < 3, (20)u(t) = 13000, 5 ≤ t < 6,u(t) = 0, 其它.用A(k+1) - A(k)来代替dA/dt ，有A(k+1) = A(k) - aJ(k) + u(k)，可得A(t) = A(0) - a[J(0) +…+ J(t - 1)] + [u(0) +…+ u(t -1)], (21)类似有J(t) = J(0) - b[A(0) +…+ A(t -1)]. (22)战役进行了36天，t = 36. J(36) = 0，各A(k)可由战地记录得到，这样由(22)式可得参数b ，再利用求出的b 代入(22)可得各J(k)，最后可由(21)得出a. 把求出的a 代回(21)可得各A(t)的理论值，由p131图5-9可见理论值与实际值是吻合的.作业: 根据p131求出的a, b ，以及p130给出的u(t)的数据，利用p130(21), (22) 式求出硫黄岛战役中每天美军和日军的人数A (t), J(t), t = 0, 1, …, 36.αλθρμφψ β ≈ π ≤ ≥ ⨯ ⋅混合战争模型的相轨线。
二阶微分方程的解法及应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
常微分方程数值解法及其应用的开题报告
常微分方程数值解法及其应用的开题报告开题报告题目：常微分方程数值解法及其应用一、研究背景及意义常微分方程（ODE）在各种自然科学和工程学科中都有着广泛应用，例如力学、物理学、化学、经济学、生物学等。
由于许多ODE无法精确求解，因此需要求解数值解。
数值解法的研究是计算数学的一个重要方向，它是许多实际问题求解的基础。
在实际应用中，我们经常遇到大型ODE系统的数值求解。
因此，如何设计高效的数值方法来求解ODE是非常重要的研究方向。
另外，ODE数值解法和应用也成为了计算数学、计算机科学、物理学等领域交叉、融合的重要部分。
二、研究现状及问题随着计算机技术的飞速发展，ODE数值解法也在不断更新和发展。
常用的ODE数值解法主要有欧拉法、龙格-库塔法、多步法等。
这些方法具有一定的理论基础和实用价值，但仍存在不足之处。
一些ODE模型的求解仍然是一项具有挑战性的任务，例如具有强非线性和奇点特性的方程。
此外，针对大型ODE系统求解的算法和并行计算方法也需要进一步研究和优化。
三、研究内容和方法本文将从ODE数值解法和应用的角度来进行研究，主要包括以下内容：1. ODE数值解法：对欧拉法、龙格-库塔法、多步法等常见数值方法进行深入研究和比较，并探讨其稳定性、精度和复杂度等方面的特点。
2. 非线性ODE求解：对具有非线性特点的ODE进行求解，探讨如何利用牛顿法、拟牛顿法等优化算法加速求解过程；3. 大型ODE系统求解：探讨如何利用稀疏矩阵技术和并行计算技术加速大型ODE系统的求解；4. 应用实例：在物理、生物领域等应用实例中，探讨ODE数值解法的应用和实现过程。
本文所采用的研究方法包括理论分析、数值实验和仿真模拟等。
四、预期成果和贡献1. 系统阐述ODE数值解法，为不同应用领域提供可供选择的计算方法和应用实例。
2. 针对具有强非线性和奇点特性的方程，提出了利用数值优化算法求解ODE的方法，实现更高效稳定的求解。
3. 探讨稀疏矩阵技术和并行计算技术在大型ODE系统求解中的应用，实现更快速、高效的求解。
随机微分方程的稳定性分析与应用的开题报告
随机微分方程的稳定性分析与应用的开题报告一、研究背景随机微分方程已经成为了非线性科学研究的一种重要工具，在金融学、生物科学、物理学、化学等领域得到了广泛的应用。
随机微分方程的随机性使得它的研究比起普通的微分方程更为复杂，因此稳定性的研究相比其它方面更加困难，但却是求解这种方程的重要基础。
二、研究内容随机微分方程的稳定性研究包括两个方面：一是对其平稳解的研究，另一个是对其稳定性的研究。
在平稳解方面，我们将主要研究古典几何分析、拉普拉斯变换方法等传统的数学分析工具；在稳定性分析方面，则需要使用到随机演化方程、稳定性理论等比较前沿的研究手段。
我们的研究将主要针对随机微分方程中相关参数对稳定性的影响、解析解与数值解的比较、数值求解稳定性等方面进行研究。
另外，我们也将尝试将稳定性理论应用到金融领域等实际问题中，验证其实用性和灵活性。
三、研究意义稳定性是非线性动力学的重要研究领域，随机微分方程的稳定性分析可以为许多科学领域提供理论依据和实际应用。
特别是在金融领域中，很多问题都可以通过随机微分方程来建模，而稳定性则是其实用性的基础。
同时，稳定性还是对于非线性动力学本身的研究具有重要的理论意义。
四、研究方法稳定性分析是一种较为综合的研究方法，涉及到数学分析、实验研究等多个方面。
在本研究中，我们将主要采用理论分析和计算机模拟相结合的方法进行研究。
具体来说，我们将利用 MATLAB、Python 等计算机软件对随机微分方程进行求解和稳定性分析，同时还将使用数学分析和图像展示的方式对结果进行验证和分析。
五、预期目标本研究的主要目标是通过对随机微分方程的稳定性分析，了解随机动力系统的行为、规律，并应用到实际问题中。
具体地，我们将通过计算机模拟，验证理论分析的结果；通过应用到金融领域等实际问题中，验证其实用性和应用价值。
我们的预期目标是，提供一种稳定性分析的方法，为随机微分方程的应用提供更加全面的理论和实践支持，同时也有望为非线性动力学的研究提供新的启示和思路。
第三章-微分方程模型
微分方程模型1.1微分方程模型简介对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1•、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；2•、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；3•、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例例1:发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答这个问题：（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。
根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为GMmF—(1)r其中G为引力常数。
为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R再代入（1）式，得根据假设（i ）,若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为 因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有（R ^ mv 2mg — I =——r由此便推得卫星距地面为 （r 一 R ）km ，必须的最低速度的数学模型为 （3）取 R= 6400km ，r -R= 600km ，代入上式，得v 7.6km/s即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。
随机微分方程及其数值方法的研究的开题报告
随机微分方程及其数值方法的研究的开题报告
一、研究背景：
随机微分方程是一类涉及随机过程的微分方程，它们在自然科学、金融、工程、物理和生命科学等领域中具有广泛的应用。
虽然在研究随机微分方程时可以利用概率论的方法进行分析，但是很少有精确的解析解。
因此，数值方法成为了处理这类微分方程的重要工具。
本研究将探索随机微分方程的数值方法和相应的误差分析，以及将这些方法应用于实际问题中的可行性和有效性。
二、研究目的：
1.深入理解随机微分方程及其应用领域中的问题。
2.研究随机微分方程的数值方法及其误差分析。
3.探究数值方法在随机微分方程中的应用，并评估其可行性和有效性。
三、研究内容：
1.随机微分方程的定义及其数学模型。
2.随机微分方程的数值方法：欧拉方法、随机中点法、Milstein方法等。
3.误差分析：局部误差、全局误差、收敛性等。
4.应用实例：金融模型中的随机微分方程、生物模型中的随机微分方程等。
四、研究方法：
1.文献综述和理论研究：了解现有随机微分方程研究的最新进展和研究现状，掌握相关的理论知识。
2.数值实验：通过编写程序验证所提出的数值方法的正确性和有效性，并对收敛性进行分析。
3.实际应用：将所研究的数值方法应用于实际问题中，例如金融领域中的资产价格模拟、工程领域中的随机震动系统的建模等，评估其实际应用的可行性和效果。
五、预期成果：
1.针对随机微分方程的数值方法及其误差分析的深入研究。
2.应用数值方法解决特定随机微分方程问题的实践经验和技巧。
3.相关领域的学术论文、期刊文章和会议报告。
学生建模报告：战斗模型2
信息与计算科学周丹20031090045 惠洁20031090046 秦剑20031090099战斗模型摘要本文以二战时期的阿登高原战役为背景，运用兰彻斯特关于战争的数学模型对其进行分析。
文中从兰彻斯特的三种战斗模型中寻找方法，它们分别是常规战模型，游击战模型以及混合战模型，对阿登高原战役的战场数据进行分析，提出问题。
问题可以归纳为以下几点：第一，常规战中双方的伤亡有何规律；第二，游击战中双方的伤亡有何规律；第三，混合战中双方的伤亡有何规律。
关键词：兰彻斯特模型常规战模型游击战模型混合战模型一. 问题的重述在第二次世界大战期间，德国国防军进行的最后一场大规模的进攻是阿登高原战斗。
德军于1944年12月~1945年1月在阿登地区对盟军发动了战略性反攻战役.这次战役德军的目的是为了夺回其在西线战场的主动权.1944年12月16日拂晓,德军发起进攻.20日抵达昂布莱沃河谷,17日围歼美军2个团,19日进抵巴斯托涅,但未能占领交通枢纽圣维特和巴斯托涅.在战役的初期德军的攻势一度非常迅猛,.之后盟军判明德军的企图后,采取了一定有针对性的局部战斗,并逐渐扭转了战役的局势.1月3日德军再次进攻巴斯托涅失利后,希特勒下令撤退.美军立即转入反攻,但由于天气恶劣,美军的进展缓慢,12日苏军营盟国要求参战,这场战役直到28日德军撤回本国境内宣告结束.此役是德军在西线最后一次进攻战役.德军损失10万人,美军损失8.1万人,英军损失1400人.德军虽使盟军遭受较大损失,推迟了其进攻齐格菲防线的时间,但未能扭转西线局势,反而严重降低了自己的防御力量和东线的机动兵力,从而加快了其在西线的溃败.战争是一个很复杂的问题,涉及的因素很多,如兵员的多少,武器的先进与落后,两军所处地理位置的有利与不利,士气的高低,指挥员的指挥艺术,,后勤供应状况,气候条件等诸多原因.因此,如果把战争涉及到的因素都要考虑进去,这样的模型是难以建立的,但对于通常情况下的局部战争,在合理的假设下建立一个作战数学模型,得出的结论是具有普遍意义的.二.模型的假设甲乙两支部队互相交战,设x(t) 和y(t) 分别代表两支队伍在t 时刻的力量,其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间.我们所作模型仅从以下方面进行考虑:1.双方兵力的多少和战斗力的强弱,同时考虑兵力因战斗减员和非战斗减员,又由后备力量的增援而增加;2.战斗力即杀伤对方的能力与射击率,即单位时间内的射击次数,射击命中率;3.战争类型:包括常规战,游击战以及二者混用的战争类型——混合战;4.交战双方的政治,经济,社会等因素均不予以考虑.为此,我们作如下假定:(1)假设两军人数关于时间的函数是连续变化的,并且充分光滑.(2)每一方的减员率取决于敌军的兵力.(3)每一方的非战斗伤亡数字为固定值.(4)每一方的增援率是给定的函数.符号说明:x(t),y(t) ：第t 天甲乙两军人数；f(t),g(t) ：第t 天甲乙两军减员率；u(t),v(t) ：第t 天甲乙两军增援率；rx ,ry ：x 军y 军的射击率(每个士兵单位时间射击次数)；sx ,sy ：x军y 军的活动面积；srx,sry ：x军y 军的每次射击有效面积；px ：x 军每次射击的命中率；三，模型的分析与求解下面分别就不同的战争类型进行讨论：1、常规战模型显然甲军人数越多，乙军伤亡越大，反之亦然，所以有假设：（1）甲军人数的减员率与乙军人数成正比；（2）乙军人数的减员率与甲军人数成正比。
两类分数阶微分方程边值问题解的存在性研究的开题报告
两类分数阶微分方程边值问题解的存在性研究的开题报告1. 研究背景和意义分数阶微积分学是近年来新兴的研究领域，由于其具有描述复杂动态系统和非平稳过程的优越性，得到了广泛的关注和研究。
而分数阶微分方程在很多领域中都有着广泛的应用，例如物理学、化学、工程学、生物学等等。
对分数阶微分方程边值问题解的存在性进行研究，可以进一步探讨分数阶微分方程的性质和应用。
2. 研究目的和方法本文旨在研究两类分数阶微分方程边值问题解的存在性。
具体而言，我们将研究如下两类分数阶微分方程：(1) Dαu + f(t,u) = 0，u(0) = u(T) = 0(2) Dαu + f(t,u,Dβu) = 0，u(0) = u(T) = 0其中，Dαu和Dβu分别表示分数阶导数，f(t,u)和f(t,u,Dβu)为已知函数。
这两类方程在物理学、化学和力学等领域中都有着广泛的应用。
我们将采用变分原理、不动点定理等数学工具，建立相应的数学模型，研究这两类分数阶微分方程边值问题解的存在性。
3. 预期研究结果和创新点我们预期能够建立两类分数阶微分方程边值问题解的存在性数学模型，进而得到相应的解的存在性结果。
具体而言，我们将得到以下研究结果：(1) 对于第一类方程，我们将得到存在唯一解的结论，并且可以给出其解的一些性质。
(2) 对于第二类方程，我们将得到相应方程解存在条件的判别式，并且可以给出其解的一些性质。
本研究的创新点在于：(1) 我们将研究两类分数阶微分方程的边值问题，这类问题在现有研究中较少被讨论。
(2) 我们将运用变分原理和不动点定理等数学工具，建立相应的数学模型，这将为分数阶微分方程边值问题的研究提供了一个新的思路和方法。
4. 参考文献[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional DifferentialEquations[M]. Elsevier, 2006.[2] Li C, Huang J. Multiple solutions for an integral boundary value problem of fractional differential equation[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 409(1): 287-296.[3] Zhou M, Jiao F. Fractional differential equations and their applications[M]. Springer Science & Business Media, 2010.。
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北方民族大学毕业论文（设计）
开 题 报 告 书
题目 战争中的微分方程模型研究
姓 名 甄 美 丽
学 号 20050257
专 业 数学与应用数学
指导教师 马 少 娟
北方民族大学教务处制
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北方民族大学毕业论文（设计）
开 题 报 告 书
2009 年 03月17 日
姓 名 甄美丽 院（部）
信计学院 课题性质 理论研究
学 号 20050257 专 业
数学与应用数学 课题来源 导师拟题
题 目 战争中的微分方程模型研究
一、 选题的目的、意义（含国内外相同领域、同类课题的研究现状分析）：
随着世界新军事变革的深入发展，现代科学技术的发展同经济和社会的发展是密切联系
在一起的。为使它们协调发展，必须大力促进自然科学和社会科学的相互渗透，促进交叉学
科的健康发展。由于社会科学比较复杂，目前多是作定性研究，但是只有作定量化的研究，
才能使人们对社会科学认识更加深刻。战争一般呈现出高立体、高透明、非线性、远程精确
打击等特点。在信息化时代，军事战场环境将更加复杂多变、残酷激烈。战争现象与世界万
物一样，本质中都表现为一定的，没有量也没有质，数学则是军事指挥员逻辑推理的工具。
只有对战争现象的变化过程进行有效的定量分析，才能对其本质有更深刻的认识，掌握由量
变到质变的规律，达到趋利避害的目的。
正是基于此，本课题研究的目的就是通过对战争中的微分方程模型的研究，在对军队作
战形势以及规律的深刻把握和认识的基础上，运用分析比较的方法，深入研究战争中军事问
题。引起两国之间爆发战争的原因是多种多样的，如军备竞争、作战双方态势、生存条件、
战斗力即杀伤对方的能力等，这些模型中有些当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等
因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我认为用这些模型判断整个战
争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。更重要的是，各种军事战
斗经过和军事活动规律，都可以借助数学模型和电子计算机，进行各种军事行动的研究、模
拟试验。
建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借
鉴的示例。从而使实践问题转化为数学问题，用数学工具、数学方法解答现实问题。
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二、本题的基本内容：
课题任务、重点研究内容、实现途径、方法及进度计划
1、任务
（1）战争中的微分方程模型的提出与研究进展；
（2）分别介绍不同模型的研究方法；
（3）最后分析实际的案例。
2、重点研究内容
本论文主要介绍战争中的几类微分方程模型，包括军备竞争模型、作战双方态势模型、
生存可能性模型和战斗力模型等。
3、实现途径、方法
研究任何问题都需要一定的方法，方法正确合理是把握事物客观规律、揭示事物本质的
前提。针对战争中的微分方程模型研究的具体特点和要求，为了增强研究的针对性和有效性，
在本课题的研究过程中，主要采用以下三种方法：
（1）理论分析与调查研究相结合的方法。通过对中外战争相关理论的大量研读和分析，
可以对不同战争形态下建模特点、规律及发展趋势有深刻的理性认识，为课题的研究奠定坚
实的理论基础。
（2）比较研究的方法。不同的模型建立，都有特定的军事战争理论。通过各种模型的比
较，可以区分个性，找出共性，认识特点，把握规律，吸取为我所用的东西。
（3）系统分析的方法。从实战要求出发，整体分析，系统建模，建立一个贴近实战情况
的模型。
（4）案例分析法。本文将结合具体案例，进行模型建立、研究。
4、进度计划
2008年12月—2009年2月，阅读微分方程、数学建模方面的相关教程，阅读有关战争
军事方面的文章，与导师商议，拟定论文题目，并开始针对所研究的问题搜集资料。
2009年3月—2009年4月，继续资料的搜集工作，同时认真研读有关资料。开始开题报
告的写作，并完成开题报告，在此基础上构思论文初稿。
2009年3月—2009年5月，正式开始撰写论文，在导师的指导下，修改论文初稿，并最
终定稿。
2009年6月，最终定稿，校正论文格式，完成论文，装订，提交并准备论文答辩。
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三、推荐使用的主要参考文献：
[1]姜启源，谢金星等．数学模型（第三版）．高等教育出版社，2003．
[2]王树禾．微分方程模型与混沌．中国科学技术出版社，1999．
[3]彭祖赠．数学模型与建模方法．大连海事大学出版社，1997．
[4]叶其笑等．大学生数学建模竞赛辅导教材（2）．湖南教育出版社，1997．
[5]王保存．世界新军事革命新论．北京：解放军出版社，2003．
[6]彭光谦，郑艳平．战争胜负：不只是军事上论输赢．中国国防报，2004.03.18.
[7]王家福，徐萍．战争背面的战争：世界多极化的前瞻、案例与对策．吉林大学出版社，2002.
[8]吴鹏超．中法战争时期的海防战场军事布局研究．河北师范大学，2008.
[9]姚有志．战争战略论．解放军出版社，2005.08.
[10]田野．战争实录．中国人民大学出版社，2004.
四、 指导教师意见：
签章：
年 月 日
五、院（部）审查意见：
签章：
年 月 日