2018高考数学第8讲指数与指数函数(苏教版)
指数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
.
小组互助
例2 比较下列各题中两个值的大小：
2.5
3
(1) 1.7 , 1.7 ;
2
(2) 0.8
3
, 0.8
;
0.3
3.1
(3) 1.7 , 0.9 .
小组互助
变式训练2 比较下列各题中两个值的大小：
(1) 6 2 , 7 2 ;
(2) 0.33.5 , 0.3-2.3 ;
(3) 1.20.5 , 0.51.2 ;
D.f(x)=
B
)
学习目标
1.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；
2.能应用指数函数的图象和性质解决指数式比较大小、解不等
式等问题.
自学指导
阅读课本116--117页，完成以下问题：
问题：指数函数的图象与性质。
思考1：完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像，观察图象
小组互助
【例 4】 求下列函数的定义域与值域:
-
(1)f(x)= ;
(3)f(x)=
+;
(2)f(x)=
+
(4)f(x)=4x -2x+2.
-;
小组互助
【变式 4】 求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=9x +3x+1.
小组互助
【例 5】 判断下列函数的奇偶性:
(4)0.80.9 0.90.8 （5）(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
教师点拨
比较幂值大小的常用方法
注意：当底数不确定时，要对 a 1或0 a 1 分类讨论.
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文
答案：－1967
第十页，共45页。
39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
第十五页，共45页。
2.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键 点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
第二十九页，共45页。
[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利 用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图 象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行 比较．
2018-2019版高中数学苏教版必修一课件：3.1.2 指数函数(一)
已知函数 f(x) ＝ 4 ＋ ax ＋ 1 的图象经过定点 P ，则点 P 的坐标是
(－1,5) ________.
解析 方法一 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)
＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5). 方法二 y＝ax过定点(0,1)，它向左平移1个单位，再向上平移4个单位可 得y＝ax＋1＋4的图象. ∴f(x)的图象过定点P(－1,5).
第3章
3.1 指数函数
3.1.2 指数函数 (一)
学习目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.掌握指数函数图象的性质.
3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练问题导学知识点一
指数函数
思考
细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个， 第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞， 那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝ x2有什么不同？ 答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为实数，在指数位置，而y
即a3＝π，解得a＝ 3，于是f(x)＝ 3 .
解答
反思与感悟
(1) 根据指数函数的定义， a 是一个常数， ax 的系数为 1 ，且 a>0 ， a≠1.
指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数.
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，
解答
当堂训练
④ 1.下列各函数中，为指数函数的是________.( 填序号)
①y＝(－3)x；
②y＝－3x；
③y＝3x－1；
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理
发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入
的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考
数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018 年
B.2019 年
C.2020 年
D.2021 年
[答案] B
[解析] 设 x 年后该公司全年投入的研发 资金开始超过 200 万元,由题可 知,130(1+12%)x≥200,解得 x≥log1.12210300=lglg2-1lg.112.3≈3.80,因为 x 为整数, 所以 x 取 4,故开始超过 200 万元的年份是 2019 年.
3x-
1 3
������
=-f(x),所以 f(x)为奇函数.又因为 y=3x
为增函数,y= 1 ������为减函数,所以 f(x)=3x- 1 ������
3
3
为增函数.故选 A.
教学参考
2.[2016·四川卷] 某公司为激励创新,计划逐年
加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入
研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研
第8讲 PART 2
指数与指数 函数
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. 会画底数为 2,3,10, 的指数函数的图像. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.指数函数 y=ax+b(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像以 x 轴为渐近线.
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理2017041501166
第一页，共31页。
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背 景．
2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算．
3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
零的 n 次方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 ___两__个___，这两个数互为__相__反___数_
n ± a(a>0)
负数没有偶次方根
第四页，共31页。
(2)两个重要公式
a
①n
an＝|a|＝
n为奇数
a －a
a≥0， a<0
n为偶数
②(n a)n＝____a____(注意：a 必须使n a有意义)．
第五页，共31页。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：an
＝___n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
1
1
m
②负分数指数幂：a－n
＝___a_mn____＝___n_a_m___(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于____0____，0 的负分数指数无幂意___义___(y__ìy．ì)
∴m21
－m－2
1
＝m2
－m－2
1
m＋1 m－1＋1＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
m2 －m－2
m2 －m－2
第十八页，共31页。
•二 指数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
江苏2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数教师用书文苏教版
2.5 指数与指数函数1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s ＋t，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t，其中s ，t ∈Q ，a >0，b >0.2.指数函数的图象与性质【知识拓展】1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2,3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞ 即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a . 4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42－________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式： (1) 122.553[(0.064)]-－3338－π0；211113322---.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝111133221566a b a ba b--⋅1111153262361.aba---+-=⋅= 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简1213321()4(0.1)()a b ---⋅⋅________.答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当2x 0＋1－1＝1－2x 0，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，2x －12x ，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73；②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2；④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3,1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为_______________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝|2|2x m －在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________. (2)(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________. 答案 (1)[－3,0) (2)1解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－－8,1]，即－8≤－12a＜－1，即－3≤a＜0，所以实数a的取值范围是[－3,0).(2)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2,2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0].①若a >1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，22x xb a ++∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t∈[1，1a]，则22x xb a++∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27 解析 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.函数y ＝16－4x 的值域是__________.答案 [0,4)解析 因为4x >0，所以16－4x <16.又因为16－4x ≥0，所以0≤16－4x <16，即0≤16－4x <4，即y ∈[0,4).5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0,1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0,1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b ，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .7.(2016·盐城模拟)不等式222x x -+>(12)x ＋4的解集为________. 答案 (－1,4)解析 原不等式等价为222x x -+>2－x －4， 又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]. 故函数的值域为[－14，14]. 10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1,3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1,3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2,32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值. 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 13.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]. 故f (t )＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]， 故值域为[－98，0]. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解.记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立.当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0， 过点(0，－1)，不成立.当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0， 过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a >0.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x＋1＋m ，m 是实常数. (1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ， 3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0,2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1,3)，即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1,3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2， 所以m ＝－1.下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1,1)，所以－a <1，即a >－1.。
苏教版2018年高考数学一轮复习 专题2.8 指数式与对数式(讲)
专题2.8 指数式与对数式【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 计算213×4－23＝________．【解析】213×4－23＝213×(22)－23＝213－43＝2－1＝12.2．[教材改编] 给出下列函数：(1)y ＝5·3x ；(2)y ＝4x －1；(3)y ＝x 3；(4)y ＝2x＋1；(5)y＝42x，其中是指数函数的有________个．据指数函数的定义，只有满足形如y ＝a x (a >0，a ≠1)的函数才是指数函数．因为y ＝42x＝16x，所以y ＝42x是指数函数．3．[教材改编] 若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图像经过点(－1，3)，则f (2)＝________．4．[教材改编] 函数y ＝1－3x的定义域为 ________. 【解析】要使函数有意义，需1－3x≥0，得x ≤0. 5．[教材改编] 函数y ＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________．【解析】令x －1＝0，得x ＝1，又y ＝a 0＋2＝3，所以图像恒过定点(1，3)． 题组二 常错题6．当x ∈[－2，2]时，a x<2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．【解析】当x ∈[－2，2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x是一个增函数，则有a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；当0<a <1时，y ＝a x 是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22或a <－22(舍)，故有22<a <1.综上可得，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)满足f (1－x )＝f (1＋x )，则f (2x )与f (3x)的大小关系是____________．题组三 常考题8． 设a ＝2－1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，c ＝4－2，则a ，b ，c 的大小关系为________________．【解析】a ＝2－1，b ＝2－23，c ＝2－4，因为y ＝2x是R 上的增函数，所以b >a >c .9．设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【解析】当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln 2，得x ≤1＋ln 2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上x ≤4.10． 若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【解析】由题意存在正数x 使得a >x －12x 成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .由于y ＝x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a >－1.【知识清单】1 根式与指数幂的运算1．(*)((0)((0)n a n N a n a a a n a a ⎧=∈⎪⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪⎪-<⎩⎩⎩为奇数）为偶数）2. 有理数指数幂的运算性质: ①rsr sa a a+=(0,,)a r s Q >∈;②()r s rs a a =(0,,)a r s Q >∈; ③()r r r ab a b =(0,0,)a b r Q >>∈. 2对数式与对数式的运算1.①log a 1＝0；②log a a ＝1；③log a NaN =；④log N a a N =.2. ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a M N＝log a M －log a N ， ③log a M n＝n log a M (n ∈R )【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 根式与指数幂的运算 【1-1】给出下列命题:①n 都等于a (n ∈N *);②222abab⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指数函数；④若m na a <（01a a >≠且），则m n <．其中正确的是 . 【答案】③【1-2】化简：160.2502164()8( 2.015)49----【答案】98 【解析】原式＝1111663233244723422123721984⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．【1-3】331122221122m m m m4.m m----+=-，求【答案】15．【思想方法】 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点2 对数式与对数式的运算【2-1】若4log 3x =，则2(22)xx --= . 【答案】43. 【解析】由4log 3x =，得43x=，即2x=2x-=，所以2(22)x x --=243=．【2-2】设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝【解析】由题意a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入1a ＋1b＝2得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10.【2-3】已知log 147＝a ，14b＝5，则log 3528等于________．(用a ，b 表示) 【答案】2aa b-+． 【解析】因为14b＝5，所以b ＝log 145，所以a ＋b ＝log 147＋log 145＝log 1435，1－a ＝1－log 147＝log 142.由换底公式得，log 3528＝log 1428log 1435＝1＋log 142log 1435＝2－aa ＋b ．【思想方法】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化． 2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．【温馨提醒】要时刻谨记对数本身的式子有意义，否则容易导致多解．【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则a = ．【分析】函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即14m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为1m a =，最大值为24a =，解得2a =，12m =，与14m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为14a-=，解得14a =，116m =．所以14a =． 【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 【答案】(3，＋∞)。
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第8讲 指数与指数函数考试要求 1.有理指数幂的含义及运算，B 级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A 级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B 级要求．知 识 梳 理1．根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y ＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()2．(必修1P61例2改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．3．已知函数f(x)＝a x(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<0，则f(x)>1；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为________．4．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．考点一指数幂的运算【例1】化简：(1)(a>0，b>0)；(2)＋－10(5－2)－1＋(2－3)0.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【训练1】 化简求值：(1)10220.5312+22(0.01)54--⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)12112133265a b a ba b---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是________(填序号)．(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 规律方法 (1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】 (1)(2017·福建五校联考改编)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象如图：其中正确的是________(填序号)． (2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式： ①1.72.5>1.73；②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2；④1.70.3<0.93.1.其中比较大小正确的是________(填序号)． (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．【训练3】(1)(2015·天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________．(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________．[思想方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论．[易错防范]1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．2．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.1201334437282263-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．3．(2017·衡水中学模拟改编)若2232,,log 3xa b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是________(从小到大)．4.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，给出下列结论：①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)． 5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c 的大小关系是________．6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________.7．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论： ①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.其中一定成立的是________(填序号)．13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。