2017级高等数学(下)考卷及答案
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
确答案：A【解析】根据函数的连续性立即得出结果【点评】这是计算极限最常见的题型。
在教学中一直被高度重视。
正确答案：【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
正确答案：C【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
【答案】D【解析】本题考查一阶求导简单题，根据前两个求导公式选D正确答案：D【解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。
正确答案：A【解析】基本积分公式【点评】这是每年都有的题目。
【点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。
应当也一直是教学的重点正确答案：C【解析】变上限定积分求导【点评】这类问题一直是考试的热点。
正确答案：D【解析】把x看成常数，对y求偏导【点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。
二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。
【解析】直接代公式即可。
【点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。
【答案】0【解析】考查极限将1代入即可，【点评】极限的简单计算。
【点评】这道题有点难度，以往试题也少见。
【解析】求二阶导数并令等于零。
解方程。
题目已经说明是拐点，就无需再判断【点评】本题是一般的常见题型，难度不大。
【解析】先求一阶导数，再求二阶【点评】基本题目。
正确答案：2【解析】求出函数在x=0处的导数即可【点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。
【点评】这题有些难度。
很多人不一定能看出头一步。
2017数学二真题
2017数学二真题一、选择题（每小题4分，共32分） （1）若函数21cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ）。
A. 12ab =B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab =【答案】A【解析】由连续的定义可知：-00lim ()lim ()(0),x x f x f x f +→→==其中-0(0)lim ()x f f x b →==，2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a+++→→→===，从而12b a =，也即12ab =，故选A.【试题点评】本题考查函数的连续性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-，且''()0f x >，则（ ）。
【答案】D【解析】limsin )sin nn x x x a a→∞+=+（，而要使sin 0a a +=，只有a=0，故D 正确。
【试题点评】本题考查级数收敛性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
（4）微分方程()'''2481cos2xy y y e x -+=+的特解可设为ky=（ ）。
A. ()22cos2sin2xx Aee B x C x ++ B. ()22cos2sin 2xx Axe e B x C x ++ C. ()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++ D. ()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++【答案】C【解析】齐次方程的特征根为22r i =±，原方程可分解为两个非齐次方程：2''4'8xy y y e -+=和2''4'8cos2x y y y e x-+=，可知第一个方程的特解为2xAe ，第二个方程的特解为2(cos2sin 2)xxeB xC x +，故选C.【试题点评】本题考查微分方程的解。
2017年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．点x=0是函数f(x)=的A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．无穷间断点正确答案：D2．设函数f(x)=x3一3x2，则A．点x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点B．点x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点C．点x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x))的拐点D．点x=0不是f(x)的极值点，且点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B3．过点(2，1，3)且平行于平面3x+y一2z+6=0的平面方程是A．2x+y+3z一14=0B．2x+y+3z+14=0C．3x+y—2z一1=0D．3x+y一2z+1=0正确答案：C4．微分方程=e2x-3y的通解是A．B．C．D．正确答案：A5．下列级数中条件收敛的是A．B．C．D．正确答案：B填空题6．求极限=______.正确答案：7．已知函数f(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f’(0)=5，则极限=______.正确答案：58．设函数y=y(x)由参数方程所确定，则______.正确答案：一29．已知连续函数f(x)满足f(x)=x+∫02f(x)dx，则f(x)=______.正确答案：x-210．设L为线段y=1一x(0≤x≤1)，则对弧长的曲线积分∫L(x+y+2)ds=______.正确答案：解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限正确答案：原式12．求由方程xy+lny=1所确定的隐函数在x=0处的导数．正确答案：方程两边对x求导，得解得当x=0时，y=e，所以=—e213．求不定积分正确答案：原式== ln｜1+lnx｜+C14．计算定积分I=∫03dx．正确答案：令，则x=t2一1，dx=2tdt，I=∫12dt=2∫12dt=2[t-ln(1+t)]｜12=．15．设函数u=f(x，xy)，其中f具有二阶偏导数，求和．正确答案：=f1’+yf2’．=xf12’’+f2’+xyf22’’16．求函数f(x，y，z)=xy+yz+zx在点P0(1，1，一2)沿方向l=(2，1，2)的方向导数．正确答案：gradf(1，1，一2)=一(一1，一1，2)l0=，17．计算二重积分I=ex2+y2dxdy，其中D是由曲线和x 轴所围成的闭区域．正确答案：在极坐标系中，闭区域D可表示为：0≤r≤1，0≤θ≤π，I=∫0πdθ∫01rerdr=π(rer｜01—∫01erdr)=π.18．计算曲线积分I=(sinx+y-3)dx+(cosy+6x一7)dy，其中L是顶点分别为(0，0)，(2，0)，(2，1)和(0，1)的四边形区域D的正向边界．正确答案：令P=sinx+y一3，Q=cosy+6x一7，由格林公式得：19．求幂级数的收敛域及和函数．正确答案：由，得又当x=-1时，级数收敛，当x=1时，级数发散，所以，幂级数的收敛域为[一1，1)．令则所以S(x)=∫0xS’(x)dx+S(0)=∫0x=-ln(1-x) x∈[一1，1)．20．求微分方程y’’一3y’+2y=8的通解．正确答案：对应齐次方程的特征方程为r2一3r+2=0特征根为r1=1，r2=2，对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x，设原方程特解形式为y*=a，代入原方程得a=4，得原方程的一个特解为y*=4，所以原方程的通解为Y=C1ex+C2e2x+4．证明题21．证明：当x＞1时，正确答案：令因为所以f(x)在区间(1，+∞)内单调增加，又f(1)=0，且f(x)在区间[1，+∞)上连续，所以当x＞1时，f(x)＞0，即当x＞1时，．22．求由曲线，直线y=x和x=2所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V．正确答案：V=∫12[πx2-]dx=。
2017浙江专升本高等数学真题答案
3
1 0
f ( x 2)dx f (t )dt f (t )dt f (t )dt f ( x)dx f ( x)dx
1 1 0 1 0 1 0
1
0
1
0
1
(1 x 2 )dx e x dx
1
(x
1 3 x ) 3
0 1
18、解：原式 x arcsin x x
1 1 x2
dx
x arcsin x
1 1 d (1 x 2 ) 2 1 x2
x arcsin x 1 x 2 C
19、解：令 t x 2, 则 x t 2 当 x 1 时， t 1 ，当 x 3 时， t 1 则
2 a 2 ................................................ ○ 1 ○ 2 可知： a 2, b 1 则联立○ 21、解： lim n
an 1 n 1 lim Fra bibliotek n an n
收敛半径 R 1 ，收敛区间 (1,1)
0,
1 ，无极小值. 2
则 f ( x ) 的单调增区间 ,0 ，单调减区间 0, ，极大值 f (0)
1 2 又 f ' ' ( x) ○ 2
x x e 2 xe 2 ( x)
2 2
1 2 e (1 x 2 ) 2
即微分方程： xy ' y x 即 y '
1 y 1 x
y e
1 dx x
( 1 e
2017年浙江省专升本高等数学真题参考答案
17.解
18.解
19.解：
20.解：f(x)在x=1处连续
21.解：
22.由题意可知，直线的方向向量分别为
i
j
k
1
-2
-3
0
1
1
所求平面的法向量为
=
由点法式可知，过点（1,2,1）且以n为法向量的平面方程为
23.定义域为
x
-1
(-1,1)
1
+
0
_
0
+
y
凹
拐点
凸
拐点
凹
四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
所以f(x)在R上单调递增，所以方程 仅有1个正根.
11.
12.0解析：
13.
14. 且图形是凹的，
所以， 且
,即
并由定积分几何意义画图可知，梯形面积大于曲边梯形的面积，即
15.4解析： 发散，所以
在
三、计算题：本题共有8小题，其中16‐19小题每小题7分，20‐23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
题号
1
2
3
4
5
答案
D
A
C
D
D
1.D解析：
2.A解析：由积分中值定理： 若
,可见选项A正确.
3.C解析：
，可见选项C正确.
4.D解析：
5.D解析：特征方程为
可见选项D 正确.
非选择题部分
二、填空题：本大题共10小题，每小பைடு நூலகம்4分，共40分。
6.
7.ln2解析：有重要极限可知，
所以k=ln2.
2017年高考数学真题(含答案)
2017年高考数学真题（含答案）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学〔下册〕试卷〔一〕一、填空题〔每题3分，共计24分〕1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 那么弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的局部的外侧，那么=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题〔每题2分，共计16分〕1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是〔 〕 〔A 〕),(y x f 在),(00y x 处连续；〔B 〕),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域存在；〔C 〕y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；〔D 〕0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，那么2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于〔 〕〔A 〕y x +；〔B 〕x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 那么三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于〔 〕〔A 〕4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；〔B 〕⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；〔C 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；〔D 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
四川大学高等数学2017期末试卷参考答案
Ω
Ω
用截面法计算三重积分
˚
ˆ
z2dxdydz =
1¨ dz
ˆ z2dxdy =
1
z2 · π(1 − z2) =
2 π,
0
0
15
Ω
Dz
或者用球面坐标计算三重积分
˚
ˆ 2π ˆ
z2dxdydz = dθ
π/2 ˆ dϕ
1
r2 cos2 ϕ · r2 sin ϕdr =
2 π,
0
0
0
15
Ω
˜
˝
因此， x2dydz + y2dzdx + 5z3dxdy = 15 z2dxdydz = 2πＮ
解方程组可得：x
=
1 ，y 2
=
1，z
=
10，于是Vmax
=
20Ｎ
五、证明题：（Ｗ分）
˜
设区域D为x2 + y2 1，I = sin(x2 + y2)5/2dxdy，求证：（Ｑ）I =
2π
´证01 明t si：n t（5dＱt）；I（=Ｒ）´02Iπ<dθ72´π01；ρ s（inＳDρ）5dIρ
> =
L与l之间的区域记为D，l围成的区域记为D ，那么由格林公式，
˛
˛
˛
ydx − xdy
ydx − xdy ydx − xdy
x2 + y2 =
x2 + y2 +
x2 + y2
L
L¨−l
˛l
1
= 0dxdy + ydx − xdy
2
D¨
l
1
= 2 − 2dxdy = −2π.
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南昌大学2017～2018 学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3 分，共15 分)1.函数 f x, y 4y x2的定义域是ln 2 x2 y22.点2,1,1 到平面3x 4y 5z 0的距离 d ______ .3.设 F x, y,z 0满足隐函数存在定理的条件,则x . y . z_____ .yzxrr r4.设向量 a 2,1,2 ,b 3,4,5 ,则 b r .a15.1展开成x 1 的幂级数是______ .4x二、单项选择题( 每小题3 分, 共15 分)1.平面Ax By Cz D 0,若 A D 0,则该平面( ) 。
(A) 平行于y轴；(B) 垂直于1设函数 f , g 可微，且z f xy, y gy轴；(C) 垂直于z轴；(D) 通过 x 轴。
2.微分方程y'' 2y ay 0的所有通解y x 满足lim y x 0,则常数a满足( ) 。
x(A) a 0 ；(B) a 0；(C) a 0；(D) a 03.设函数z f x, y 可微，且对任意的x , y都有：f x, y 0， f x, y 0，则使不等式：f x 1 , y 1 f x 2 , y 2 成立的一个充分条件是( )( 共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分 )1、求 微分方程 y'' 2y 3y x 的通解 2222、 设方程组x y z3x确定 y 与 z 是 x的函数，2x 3y 5z 4求 : dy 和 dzdx dx(A) x 1 x 2 , y 1 y 2；(C) x 1 x 2 , y 1 y 2；4. 设函数 f x 为连续函数， 则 F 2 ()。
(A 2f 2 )； (B) f2 ；5. 设有两个数列 a n ， (A) 当 b n 收敛时，n1(B) 当 b n 发散时，发散n1(C) 当 b n 收敛时，n1(D) 当 b n 发散时，(B) x 1 x 2 , y 1 y 2； (D) x 1 x 2, y 1 y 2 ttF t dy f x dx,1y(C) f 2 ； (D) 00， 则 ( )b n ，若 lima n xa nb n 收敛 ; n1a nb n ;n1a n 1 2b n 2收敛 ; n1a n 2b n 2发散n1( 共 2 小题，每小题8 分，共16分)计算x z y z 的值。
x y2、求曲面z arctan y在点 M0 1,1, 处的x 04切平面方程和法线方程。
五、计算题（共 2 小题，每小题8 分，共16 分）1、计算e x sin y my dx e x cosy m dy,L其中有向曲线L 是从点 A a,0 沿上半圆周x2 y2 ax到点O 0,0 , m 为常数。
2、设为半球面x2 y2 z2 4 z 0 的外侧，计算曲面积分I yzdzdx 2dxdy六、计算题（共 2 小题，每小题8 分，共16 分）1、在椭圆x2 4y2 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。
2、设Q x, y 在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx Q x, y dy与路径无关。
并且对任意t恒有Lt,1 1,t2xydx Q x,y dy 2xydx Q x, y dy，0,0 0,0求Q x,y 。
七、证明题（6 分）设函数 f x 在x 0的邻域内具有二阶连续导数，（ 每小题 3 分 , 共 15分 ）1. 平面 Ax By Cz D 0,若 A D 0,D ）。
（A ）平行于 y 轴； （B ）垂fx lim x0 x 0, f x0, 证明级数n11fn11 1南昌大学 2017～ 2018 学年第二学期期末考试试卷及答案（每空 3 分，共 15 分 ）1. 函数 f x, y4yln 2 xx2的定x,y 0 x 2 y 2 2,x 2 y 2 1,4y x 23. 设 F x, y,z0 满足隐函数存在定理的条件 1.4. 设向量 a 2,1,2 ,b 3,4,5 ,则 20 35.1展开成4xx 1 的幂级数是 则该平面（ 1x直于y轴；(C) 垂直于 z轴；(D) 通过 x轴。
2.微分方程y'' 2y ay 0的所有通解y x 满足lim y x 0,则常数a满足( A ) 。
x(A) a 0 ；(B) a 0；(C) a 0；(D) a 03.设函数z f x, y 可微，且对任意的x , y都有：f x, y 0， f x, y 0，则使不等式：xyf x1, y1 f x2, y2成立的一个充分条件是( D )(A) x1x2 , y 1y2；(B) x1x2 , y 1；y2(C) x1x2 , y 1y2；(D) x1x2, y 1 y2tt4.设函数 f x 为连续函数， F t dy f x dx ,1y则 F 2 ( B ) 。
(A 2 f 2 )；(B) f 2 ；(C) f 2 ；(D) 05.设有两个数列a n，b n，若lim a n0，则( C )x(A)当b n收敛时，a n b n收敛;n1 n1(B)当b n发散时，发散a n b n ;n1 n1(C)当b n收敛时，a n2b n2收敛;n1 n1(D)当b n发散时，a n2b n2发散n1 n1( 共 2 小题，每小题8 分，共16分)1、求 微分方程 y'' 2y 3y x 的通解解 : 与所给方程对应的齐次方程为 : y'' 2y 3y 0它的特征方程为： r 22r 3 0特征根为： r 1 1, r 2 3 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为：Y C 1e xC 2e 3x由于 0 不是特征方程的根， 可设特解为： y ax b12 把它代入方程，得 : a , b39*12所以原方程的特解为： y* x39从而，所求方程的通解为：求 : dy 和 dzdx dx解 : 方程组两边对 x 求导得 :yYyC 1e xC 2e 3x2、 设方程组 2x 22y z 3x3y 5z 4 确定 y 与 z 是 x 的函数，2x 2yy 2zz2 3y 5z3 即： 2yy 2zz 03y 5z3 2x 2（ 共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分 ）1、设函数 f , g 可微，且 z fxy, yg xxy计算 x zy z 的值。
x yzy1解 : 令 u xy ,v y , 则 :yf u2 f vg ,xx xy1x xf u xf vy2g , 代入，得：z z x x yyy11x yf u 2f vg y xf u f v xyx2xyf u解之得 : y'3 2x 2z25 2y 2z 3510x 4z 15 2 5y 3z2y 3 2x32 2y 2z354y 6x 9 2 5y 3z2、求曲面z arctan y在点 M0 1,1,处的x 04切平面方程和法线方程。
五、计算题 （ 共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分 ）1、 计算e x sin y my dx e xcosy mdy ,L其中有向曲线 L 是从点 A a,0 沿上半圆周 x 2y 2ax 到点 O 0,0 , m 为常数。
解 : 添加 x 轴上的路径 OuuAur ，使得 L OuuAur 成为闭路，设闭路所围的区域为 D ， 设 P e xsiny my , Q e xcosy m解 : 令 F x,y,za rctan 在点 M 0 1,1,4 F x F yy1x 2 y 2 2,x122 , xy2F z 1 rn 1, 1,2故： 切平面方程 : x 1y1 2z 04法线方程 :x1 1y1z 4 12QPm xy计算曲面积分 I yzdzdx 2dxdy解 : 令 1 : z 0 x 2y 24 ，取下侧。
设 为 与 1围成的空间闭区域。
由高斯公式得：ò yzdzdx 2dxdyzdxdydz1223d 02 d 0 r sin cos dr 4yzdzdx 2dxdy 2dxdy211xy故 : I ò yzdzdx 2dxdy yzdzdx 2dxdy11e xsiny my dx uuurdxdy Dxy又： e xsin y my dx原式 ? e xsin y my uu ur x e siny m uuur OA12 1 ma 088 e xcosy m dymdxdy 1ma 28e xcosy m dy 0 故 :dx e x cosy m dydx e xcosy m dya 2 y 2 z 2 4 z 0 的外侧，2dxd y4 8 12六、计算题（共 2 小题，每小题8 分，共16 分）1、在椭圆x2 4y2 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。
解: 椭圆上点x, y 到直线2x 3y 6 0的距离为：作拉格朗日函数：L x,y, 2x 3y 6 2 x2 4y2 42、设Q x, y 在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx Q x, y dy与路径无关。
并且对任意t 恒有Lt,1 1,t2xydx Q x,y dy 2xydx Q x, y dy，0,0 0,0求Q x,y 。
QP解: 令P x, y 2xy，则 Q P 2x， xy故: Q x, y x2 f y ，因为:t,112 2 12x 3y 649 d22x 3y134 2x 3y 6 2 x 0 得: 6 2x 3y 6 8 y 0x24y2 4 0解之得：x 8, y 355 从而: d min132xydx Q x, y dy 0 t 2 f y dy t 2f ydy0,02xydx Q x, y dy 0t1 f y dy0,0故 : t 21 f y dy 0t1 f y dy上式两边对求导得 : 2t 1 f t , f t 2t 1故 : f y 2y 1从而 : Q x, y x 22y 1七、证明题 （6 分 ）fx lim 0, f x 0, x0 x证明 : 因为： lim f xx0 xfx 所以 :（其中 lim 0 ）xx0f x x lim f x lim x 0 f 0x0x0fx fx f0所以 : lim limf 0 0x0 x x0 x 0 又因为 f x 0，故 f x 单调递增，1,t 设函数 f x 在 x 0 的邻域内具有二阶连续导数，证明级数n11n1f收敛。
从而当x 0时， f x f 0 0即： f x 0，故f x 单调递增，且l im f x 0。
x0从而u n 0 单调递减且趋于，1n1f 1 n1nxy 32. 点 2,1,1 到平面 3x 4y 5z 0的距离 d 3 2 .2 收敛。