正弦、余弦的诱导公式
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式
诱导公式是三角函数的一种重要概念，它可以帮助我们更好地理解三角函数。
三角函数是指以角度来表示的函数，它们可以用于测量角度和计算角度之间的转换。
三角函数有三个主要函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数是指角度和正弦值之间的函数；余弦函数是指角度和余弦值之间的函数；正切函数是指角度和正切值之间的函数。
诱导公式是三角函数的重要概念，它是指由正弦、余弦和正切函数的一些基本公式推导出的其他三角函数公式。
例如，基本三角函数公式可以用来推导出余弦函数的诱导公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
诱导公式的使用能够大大减少计算三角函数的时间，因为它们可以节省大量的计算步骤。
另外，使用诱导公式也可以帮助我们更好地理解三角函数，因为它们可以清楚地表明三角函数之间的关系。
总而言之，诱导公式为我们理解三角函数提供了重要的参考，它可以大大减少计算三角函数的时间，也可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。
因此，学习和使用诱导公式是非常重要的，能够帮助我们更好地理解三角函数的本质。
三角函数的诱导公式和和差公式
三角函数的诱导公式和和差公式三角函数是数学中常用的一类函数，其中最为基础和重要的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数运算和计算问题时，经常会用到诱导公式和和差公式，它们是将一个角的三角函数表达式化简为另外一个角的三角函数表达式的重要工具。
本文将介绍三角函数的诱导公式和和差公式的定义和使用方法，并通过实例加以说明。
一、诱导公式1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式对于任意角θ，根据单位圆的定义可知，在单位圆上有一点P(x,y)对应着角θ的弧度值，其中x和y分别为点P的横坐标和纵坐标。
根据正弦函数sinθ的定义可得sinθ = y同样，根据余弦函数cosθ的定义可得cosθ = x考虑到单位圆上的对称性，对于角θ而言，将角θ绕原点旋转π/2（即90°）可以得到一个新角θ + π/2。
根据单位圆的性质，新角对应的点Q(x',y')的坐标为（-y,x）。
由此可以得到，对于角θ而言，正弦函数sin(θ + π/2)和余弦函数cos(θ + π/2)有如下关系：si n(θ + π/2) = y' = -xcos(θ + π/2) = x' = y这就是正弦函数和余弦函数的诱导公式。
2. 正切函数的诱导公式正切函数tanθ的定义为tanθ = sinθ / cosθ根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以得到：tan(θ + π/2) = sin(θ + π/2) / cos(θ + π/2)= -x / y由此可以推导出正切函数的诱导公式。
二、和差公式1. 正弦函数的和差公式对于两个角α和β，正弦函数sin(α ± β)的和差公式可以表示为：sin(α ± β) = sinα × cosβ ± cosα × sinβ2. 余弦函数的和差公式对于两个角α和β，余弦函数cos(α ± β)的和差公式可以表示为：cos(α ± β) = cosα × cosβ ∓ sinα × sinβ3. 正切函数的和差公式对于两个角α和β，正切函数tan(α ± β)的和差公式可以表示为：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα × tanβ)三、实例应用下面通过具体的实例应用来说明诱导公式和和差公式的使用。
诱导公式二
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
sin(
cos( ) sin 2
1.3 正弦、余弦的诱导公式（2）
诱导公式
公式一：
sin(α+2kπ) = sinα 公式三：
cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四：
其中 k∈Z
公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
cos( ) sin 2
!!!记忆规律：
2 2 等于的余弦(正弦)函数值，
,
的正弦(余弦)函数值，
前面加一个把看成锐角时原函数值的 符号
3 3 例1. 证明：(1)sin( ) cos ; (2)cos( ) sin . 2 2 3 证明：(1)sin( ) sin[ ( )] 2 2 sin( ) cos ; 2 3 (2)cos( ) cos[ ( )] 2 2 cos( ) sin . 2 由(1) (2)还可以得到： 3 3 sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos ; 2 2 3 3 cos( ) cos[ ( )] sin( ) sin . 2 2
(完整版)诱导公式总结大全(最新整理)
同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin((α＋β)/2) ·cos((α－β)/2) sinα－sinβ＝2cos((α＋β)/2) ·sin((α－β)/2) cosα＋cosβ＝2cos((α＋β)/2)·cos((α－β)/2) cosα－cosβ＝－2sin((α＋β)/2)·sin((α－β)/2)
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(ab)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(ab)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和 差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(xy)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1、 如图,设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称,角-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称,因此点P 2的坐标是(y,x),于是,我们有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x. 从而得到诱导公式五:2、诱导公式六用语言概括一下公式五、六：±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“:函数名改变,符号看象限.”作用：利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.学了六组诱导公式后,能否进一步用语言归纳概括诱导公式的特点？（奇变偶不变,符号看象限.）2π2π2π2π2π例1将下列三角函数转化为锐角三角函数。
（1）sin (2)cos100º21′ (3)sin(4)tan324º32′例2、证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.变式练习例3化简π53π363123π23π的值。
求)4(cos )4(cos 22α+π+α-π.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ变式练习化简 1、（1）（2）2、已知sinα是方程5x 2-7x-6=0的根,且α为第三象限角, 求的值.)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα-∙-∙+-)sin()360tan()(cos 02ααα-+--)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +∙--∙-∙-∙+ππππππ。
正弦、余弦的诱导公式2
例：求 cos 225 的值
0
诱导公式（ 诱导公式（三）：
sin( −α ) = − sin α
cos(−α ) = cos α tan(−α ) = − tan α
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例：求 sin(-
π
6
)的值
(− sin)(− cos α ) 解 : 原式= (− cos α ) sin(π − α )[− sin(π + α )]
sin α cos α = (− cos α ) sin α [−(− sin α )]
1 =− sin α
下面我们利用公式2和公式3，推出1800 -α 与α的三角函 数之间的关系。
因为
sin(180 − α ) = sin[180 + (−α )] = − sin(−α ) = −(− sin α ) = sin α
0
0
cos(180 − α ) = cos[180 + (−α )]
0
0
于是又得到一组公式 (公式四)：
0 0
= cos(1800 − 210 )
= − cos 210 = −0.9336
17 π π (2) sin(− π ) = sin( − 3 × 2π ) = sin 3 3 3
3 = 2
例6 化简 sin(2π − α ) cos(π + α ) cos(π − α ) sin ( 3π − α ) sin(−α − π )
课前复习
诱 ⋅ 360o + α ) = sin α cos( k ⋅ 360 + α ) = cos α
三角形中的诱导公式
三角形中的诱导公式
三角形中的诱导公式是一组用于计算三角形边长和角度的公式。
它们被广泛应
用于解决各种几何问题和三角函数的计算中。
三角形中的诱导公式包括正弦定理、余弦定理和正切定理。
这些公式基于三角
形的边长和角度之间的关系，可以帮助我们解决不知道所有边长和角度的三角形。
正弦定理是三角形中最常用的公式之一。
它表达了三角形的任意两边和其对应
角的正弦之间的关系。
具体地说，对于一个三角形的任意边长a、b和它们相对应
的角C，正弦定理可以表示为：sin C = (a / b) = (b / c)。
余弦定理是另一个非常有用的公式，它可以帮助我们计算三角形的边长。
对于
一个三角形的任意边长a、b和夹角C，余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 -
2ab * cos C。
这个公式可以用于计算缺失的边长或角度。
正切定理是计算三角形中角度的另一个重要工具。
对于一个三角形的某个角度A，正切定理可以表示为：tan A = (a / b)。
这个公式可以帮助我们计算缺失的角度。
三角形中的诱导公式在解决各种几何问题时非常有用。
无论是计算三角形的面积、判断三角形的形状，还是求解三角形的边长和角度，这些公式都能提供准确的结果。
通过灵活运用这些公式，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。