统计信号检测

P H0 , x P x P H0 x P H1 , x P x P H1 x
其中 P H i x 称为后验概率，是条件概率。
P H 0 x 表示在得到 x 样本的条件下 H 0 为真的概率。
P H 1 x 表示在收到 x 样本的条件下 H1 为真的概率。所以最佳准则可在观测数
(2-26)
式中条件概率 P x H i 称为 H i 的似然函数， l x 称为Hi的似然比，l0称为门限。
（以假设 H i 为条件的概率容易计算）
由上式可知，判决过程变为在不同假设条件下求似然函数的似然比，然后与 门限值相比，如果大于或等于门限值，则判决 H1 假设为真；否则，判决 H 0 假设 为真。 即 l x l0 时选择 H1 ，反之 l x l0 选 H 0 其检测系统结构形式：
据 x 存在的条件下比较 H 0 和 H1 的后验概率的大小，从而断定是否有信号存在。 因此由(2-21)得到： {即P H1，x P H0，x , 选H1 P H1，x P H0，x , 选H0}
P H0 x P H0 x P H1 x
P H1 x
1, 判断H1成立，即为有信号。
(2-23)
1, 判断H 0成立，即为无信号。
P H1 x 可简化为： 1 P H0 x
H0 H1
(2-24)
再利用概率乘积公式
P Hi x
P x Hi P Hi P( x )
(2-25)
Pe P H 0 P x H 0 dx P H1 [1 P x H1 dx ]
xT xT
P H1 P H 0 P x H 0 P H1 P x H1 dx
xT

由此可见，要使 Pe 最小，就应使积分满足最小条件。由于该项的积分区间
2.2 统计信号检测
信号检测的前提是确定信号的有或无
统计信号检测理论是用于判决和信息提取的电子信号处理系统设计的理论 基础，这些信号处理系统的应用领域包括：雷达、通讯、语音、声纳、图像处 理、生物医学、控制、地震学等。这些系统都有一个相同的目标，就是首先要 能够确定感兴趣的事件是否存在，然后进一步确定该事件更多的信息。后者是 信息的估计问题。而前者，是在几种可能发生的情况中做出判断的问题是本章 的主题，称为检测理论。例如在雷达系统中要观测雷达回波，根据观测到的被 噪声淹没的随机信号波形，做出目标存在或只有噪声的判决。 信号检测理论就是在噪声和干扰环境下，根据有限的观测数据和统计学的 假设检验原理，判断信号有无或识别信号类别的理论。
似然比计算 ＋ 判决 0，H1 x t － P x H1 0, H 0 l0 P x H0
检测系统的基本环节：似然比计算装置和门限装置。
例 2-1：在二元检测中，观测值 x 是信号 S=A（常数）和噪声 n 的叠加，n 为
零均值的高斯噪声， 其方差为 2 。 信号 s 的概率为 0.4。 问： 对观测值 x1 0.4 A ， 此时是发了信号，还是未发信号？ 解： H 0 假设：不存在信号 s,即 x=n,此时观测值 x 的条件概率就是噪声的，由高 斯噪声。所以
x1
(2-27)
PD 1 PM P( x H 1 )dx
xT

此时总错误概率 Pe
Pe P H 0 P x H 0 dx+P H1 P x H1 dx
xT xT
(2-28)
最小 Pe 准则：选择合适的判决 xT 使得 Pe 最小。
xT
P x H1
PM x0
0
PF xT
x
则对给定的似然函数 P x H i ，判决的漏报 PM 和虚报 PF 概率为：
PM P x H1 dx P x H1 dx ,PF P x H 0 dx= P x H 0 dx
x0 x1 xT xT
显然，一个合理的判决准则是： 观察结果 x 与哪一个假设同时存在的概率大， 就判断哪个假设是所需要的解答。
即 P H1，x P H 0，x , 选H1 P H1，x P H 0，x , 选H 0
(2-21)
因此判决的基本原则是：联合概率大的哪个假设为真。 其中 P Hi，x 是样本 x 和信号参量 H i 的联合概率 一般而言，信号检测中作出判断可能正确或错误。
Leabharlann BaiduP x H1
P H1 0.4, 则P H 0 0.6 P x H1
P H0 1.5 P H1
P H0 1.5 此时属于不发信号的情形。 P x H 0 P H1
2.2.3 最小错误概率准则
现在以信号检测错误的总概率 Pe 最小来推导其判决准则，由式（2-22）
2.2 统计信号检测
信号检测的基本任务是从包含噪声的观测值中判断某种信号是否存在。这种判决需要 服从某种规定的判决准则。工具是数理统计的假设检测方法
我们将讨论的假设信号检测要研究的问题为： (1) 由假设数目：二元检测和多元检测 (2) 由观察数目：信号检测问题分为单次观察和多次观察。 (3) 从参数看：简单假设检验和复合假设检验 （4）被检测信号 ：确定信号和随机信号
注意：

P x H dx P x H dx 1 P x H dx 1 P x H dx
1 1 1 1 xT xT xT

xT

Pe P H 0 P x H 0 dx+P H1
xT


P x H dx
xT
所以只要将被积函数 <0 的情况划归判为 就是将观察值 x 判为 H1 的区域。
H1 ，就可以使 Pe 达到最小。这就是最小错误概率准则
即当： P H 0 P x H 0 P H1 P x H1 0 判 H1 为真，反之为 H 0 。
x2 1 P x H0 exp 2 2 2
H1 假设：观测值 x 中存在信号 s 即 x=A+n,此时观察值 x 仍为同样方差的高斯随
机变量，只是均值从 0 变为 A，因此
2 x A 1 P x H1 exp 。 2 2 2
二元检测有四种判决：
(1) H0为真，判断H0成立。 (2) H1为真，判断H1成立。 (3) H0为真，判断H1成立。(4) H1为真，判断H 0为真。
显然(1),(2)为正确判断，(3),(4)为错误判断。 (3)为第一类错误：将假判断为真（无判为有）这类错误：称为虚报以 PF 表 示其虚报概率。 (4)为第二类错误：将真判为假（有判为无）这类错误：称为漏报以 PM 表示 其漏报概率。因此检测概率 PD=1-PM 则信号检测错误的总概率 Pe 为：
2.2.1.1 假设问题 我们从最简单的而且非常有用的双选一的情况讲起， 雷达和二元通信系统中 的信号检测问题便是这类双选一问题。 在双选一问题中，认为接收机得到的观测信号 x(t ) 只有两种状态，即：
x t n t 观测方程 x t s t n t
1
Pe P H 0 P x H 0 dx P H1 [1 P x H1 dx ]
xT xT
P H1 P H 0 P x H 0 P H1 P x H1 dx
xT

由此可见，要使 Pe 最小，就应使积分满足最小条件。
转化成以假设 H i 为条件的条件概率的形式
则(2-24)
P H0 x
P H1 x
H1
1 变为：
P x H0
H0
P H0 x
P x H1
P H1 x

P x H0 P H0
P x H1 P H1
x0 判为H 0
l0
x1
判为H1
P x H0
P x H1
于是(2-24)
P H0 x
P H1 x
H1
1 等效为：
H0 H1
x0 判为H 0
l0
x1
判为H1
l ( x)
P x H 0 P H1
H0
P x H1 P H 0
l0
P H0 1 P H0
则存在两种情况 (1) H 0 假设：观察值 x 中不存在信号，即 x=n 的情况 (2) H1 假设：观察值 x 中存在信号，即 x=s+n 的情况 需要指出的是， H 0 假设也可以扩展为另一种信号状态。对于多元假设问题则是 把信号的对应状态作相应的假设，如 H i 方法类似。
2.2.1.2 基本判决准则 现在的问题是由一次观测的结果 x t 来选择其中的一个假设 H0或H1 即决 定 x t 中有无信号。要做这样的判决，就必须有一个判决准则。 在已知掌握了干扰的完备的统计知识下，再假定信号存在与否的概率也是已 知的，表示为：
2.2.1 假设检验
噪声和干扰总是随机的，就是说它的取值带有偶然性。因此，当得到一个观测信号后， 就不能肯定地说它是包含信号，也不能肯定地说包含的是哪一种信号，更不好说它包含有什 么参量的信号。统计学中的假设检验理论，就是把要检测的对象的可能状态或情况做出相应 的假设，然后在给定的观测时间内，对观测信号进行分析处理，再根据确定的优化准则确定 假设中的哪一个是所要的解答。当然，由于噪声和干扰的存在，这种的解答不会是绝对正确 的，但它却是一个明确的解答，而且假设检验理论还能给出解答的可信程度。
P H 0 ——信号不存在的概率 P H1 ——信号存在的概率
称 P Hi 为先验概率，因为它们是在 x t 进行统计检验之前已知了，所以称“先 验” 。由于我们所研究的问题只有两个假设，或为 H 0或为H1 ，二者必居其一，且 互不相容，它们组成一个完备的事件群，故：
P H0 P H1 1
Pe PF P H0 PM P H1
(2-22)
2.2.2 最大后验概率准则
为了获得实际应用中易于实现的判决结构形式，在判决基本原则基础之上， 应用贝叶斯定理可得到直观上合理的判决准则。 由(2-21). 根据贝叶斯定理
P H1，x P H 0，x , 选H1 P H1，x P H 0，x , 选H 0
这里隐含着本来是判 H1 的区间通常它的联合概率要大于判 H 0 的 即：
P H1，x P H 0，x
Pe PF P H0 PM P H1
为了使信号检测总错误概率 Pe 最小，根据判决的本质属性作如下处理
P x H0
P x H1
x0 判为H 0
xT
x1
判为H1
如上图判决中可选判决阈值 xT 。将观测值 x xT 的情况判为 H1 ，反为 H 0 。
P x H0
x A2 exp 2 2 P x H1 2 x A A 似然比： l x exp 2 2 2 P x H 0 x exp 2 2
0.1A2 此时的观测值 x1 0.4 A 代入上式则有 exp 2 1 。 P x H0