全国中考数学试题分类汇编.docx

2015 年全国中考数学试题分类汇编————压轴题

1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 1

x2 +1，点 C 的坐标为 (–4， 0)，平行4

四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t ，0)在 x 轴上 .

(1)写出点 M 的坐标；

(2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 .

①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；

②当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1： 2 时，求t 的值 .

11 x210

1 4

(1)M(0,2)(2)1AC:y= 2

x+1.PQ // MC.x t=

2

2.如图，已知在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3， P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点

A、 D ），连结 PC，过点 P 作 PE⊥ PC 交 AB 于 E

（1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥ QE？若存在，求线段 AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（ 2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．

A P

D

E

B C

（3 ）存在，理由如下：

如图 2 ，假设存在这样的点Q，使得 QC ⊥ QE.

由（ 1）得：△ PAE ∽ △ CDP ，

∴ ，

∴ ，

∵QC ⊥ QE ，∠ D＝ 90°，

∴∠ AQE ＋∠ DQC ＝ 90 °,∠ DQC ＋∠ DCQ ＝ 90 °，

∴∠ AQE= ∠DCQ.

又∵∠ A=∠ D=90°，

∴△ QAE ∽ △ CDQ ，

∴ ，

∴

∴ ，

即，

∴ ，

∴ ，

∴.

∵AP≠ AQ，∴ AP ＋ AQ ＝ 3.又∵AP≠ AQ，∴AP≠，即 P 不能是 AD 的中点，∴当P是 AD 的中点时，满足条件的Q点不存在，

综上所述，的取值范围7

≤＜ 2；8

3.如图，已知抛物线y＝－1

x2＋ x＋ 4 交x 轴的正半轴于点 A ，交y 轴于点 B ．2

（ 1）求 A 、B 两点的坐标，并求直线（ 2）设 P（ x，y）（ x＞ 0）是直线为对角线作正方形 PEQF，若正方形（ 3）在（ 2）的条件下，记正方形

AB 的解析式；

y＝ x 上的一点， Q 是 OP 的中点（ O 是原点），以PQ PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；

PEQF 与△ OAB 公共部分的面积为S，求 S 关于 x 的函

数解析式，并探究S 的最大值．

(1) 令 x=0, 得 y=4

即点 B 的坐标为 (0,4)

令y=0, 得(-1/2)x2+x+4=0

则x2-2x-8=0

∴x=-2 或 x=4

∴点 A 的坐标为 (4,0)

直线 AB 的解析式为

(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4)

∴y=-x+4

(2) 由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4

由y=-x+4 与 y=x 联立 , 解得其

交点坐标为 (2,2)

①当点 P 的坐标为 (2,2)时,依题意可知点Q的坐标为(1,1)

正方形 PEQF 恰好在△ OAB 里面 , 此时正方形 PEQF

与直线 AB 刚好有一公共点 (2,2)

②又当点 Q 的坐标值越来越大时 , 正方形 PEQF 与直线 AB 恒有两个交点

③而当点 Q 的坐标为 (2,2),即点P的坐标为(4,4)时,正方形PEQF

恰好在△ OAB 的外面 , 此时正方形 PEQF 刚好与直线 AB 有一公共点 (2,2)

④当点 Q 的坐标值大于 2 时 , 正方形 PEQF 与直线 AB 恒不相交 , 没有公共点综上所述 , 点 P 的横坐标 x 的取值范围为 [2,4]

(3) ∵ Xq+|QE|=Xp=x

又Xq=x/2

∴|QE|=x/2

即正方形 PEQF 的边长为 x/2

①当点 E、F 在直线 AB 上时 , 正方形 PEQF 刚好被直线 AB 平分 ,EF 为正方形PEQF 的对角线

则Xq+|QE|/2=2

∴x/2+(1/2)*(x/2)=2

∴x=8/3

即正方形 PEQF 的边长为 4/3

∴ S=(1/2)*|QE|2=(1/2)× (4/3)2=8/9

②当 2 ≤x

花小姐丶 xpH 2014-09-29

4.如图， P 为正方形ABCD的对称中心， A（ 0，3），B（ 1，0），直线 OP交 AB于 N，DC于 M，

点 H 从原点 O 出发沿 x 轴的正半轴方向以 1 个单位每秒速度运动，同时，点R 从 O出发沿

OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t 。求：y

D （ 1）C 的坐标为；A M

R （ 2）当 t 为何值时，△ ANO与△ DMR相似？P

（ 3）△ HCR面积 S 与 t 的函数关系式；N C

O x 并求以 A、B、 C、 R为顶点的四边形是梯形B H

时 t 的值及 S 的最大值。

5．（ 2010 年浙江金华）如图，把含有30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中， A， B

两点坐标分别为（ 3， 0）和 (0， 3 3 ） .动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在

AO，OB，BA 上运动的速度分别为1， 3 ，2 (长度单位 /秒) ﹒一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位

置开始以

3

(长度单位 /秒 )的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥ x 轴），且分别与3

OB，AB 交于 E， F 两点﹒设动点P 与动直线 l 同时出发，运动时间为t 秒，当点 P 沿折线

AO- OB- BA 运动一周时，直线l 和动点 P 同时停止运动．请解答下列问题：

（1）过 A， B 两点的直线解析式是；

（2）当 t﹦ 4 时，点 P 的坐标为；当t﹦，点P与点E重合；

（3）①作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，

则t 的值是多少？

②当 t﹦2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在 , 求出点 Q 的坐标；若不存

在，请说明理由．

y

B

E F l

O P A

x

6．如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ ABCD 的顶点 A 的坐标为（－2，0），

点 D 的坐标为（ 0，2 3

），点B在

x

轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直

线l

与

x

轴交于点 F，与射线 DC交于点 G。

（1）求DCB的度数 ;

（2）连结 OE，以 OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF

，记直线EF与

射线 DC的交点为 H。

①如图 2，当点 G在点 H的左侧时，求证：△ DEG∽△ DHE;

②若△ EHG的面积为33

，请直接写出点F的坐标。

y y y

D G C D G

H C D C

E E F

E

FA O B x F A O B x A O B x （图 1）（图2）（图3）

7.△ ABC 中，∠ A=∠ B=30 °，AB= 2 3．把△ ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位

于坐标原点O(如图 )，△ ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．

6y

(1) 当点 B 在第一象限，纵坐标是时，求点 B 的横坐标；

2C

B 1

(2) 如果抛物线 y ax2bx c (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

① 当a 5

， b1， c

3 5

时， A， B 两点是否都

425

- 1

O 1x

- 1

A

在这条抛物线上？并说明理由；

②设 b=- 2am，是否存在这样的 m 的值，使 A， B 两点不可能同时在这条抛物线上？

若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

8．如图 , 设抛物线 C : y a x 122与 C的交点为 A, B, 点 A

5, C : ya x 1 5 , C

1212

的坐标是 ( 2,4) ,点B的横坐标是－2.

（1）求a的值及点 B 的坐标；

（2）点 D 在线段 AB上 , 过 D作 x轴的垂线 , 垂足为点 H,

在DH 的右侧作正三角形 DHG . 记过 C2顶点Ｍ的

直线为 l ,且 l 与x轴交于点N.

①若 l 过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2) ，求点 N 的横坐标；

②若 l 与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

9．如图， Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， BC=6， AC=8．点 P ，Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从

B 向 A 运动（不与点

B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动， BP=AQ ．点

以 Q ，P 为对称中心的对称点，

HQ ⊥ AB 于 Q ，交 AC 于点 H ．当点

D ，

E 分别是点 A ， B E 到达顶点 A 时，P ，

Q 同时停止运动．设

BP 的长为 x ，△ HDE 的面积为

y ．

（ 1）求证：△ DHQ ∽△ ABC ；

（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式并求

y 的最大值；

（ 3）当 x 为何值时，△ HDE 为等腰三角形？

B

P

E

D

Q

C

H

A

10．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=3， BC=4，过点 B 作射线 BB l ∥AC ．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动， 同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方

向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB 1 于 F ，G 是 EF 中点，连结 DG ．设点 D 运动的时间为 t 秒．

(1) 当 t 为何值时， AD=AB ，并求出此时 DE 的长度； (2) 当△ DEG 与△ ACB 相似时，求 t 的值；

(3) 以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A ′ C ′．

①当 t> 3

时，连结 C ′ C ，设四边形 ACC ′ A ′的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系

5

式；

②当线段 A ′ C ′与射线

BB l ，有公共点时，求

t 的取值范围 ( 写出答案即可 ) ．

11．如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、 A（2，0）、 B（6，3）．（ 1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（ 2）将图 1 中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O、A 、C、B ，得到如图 2 的梯形OA B C．设梯形OA BC的面积

111111111111

为， 1、

B 1 的坐标分别为(

x

1

，1)、(

x

2，2)．用含

S

的代数式表示

x2－ x1，并

S A y y

求出当 =36 时点A的坐标；

1

（ 3）在图 1 中，设点D坐标为 (1 ，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度

沿着线段 BC运动，动点 Q从点 D出发，以与点 P 相同的速度沿着线段DM运动． P、

两点同时出发，当点Q到达点时，、两点同时停止运动．设P、Q两点的运

Q M P Q

动时间为 t ，是否存在某一时刻t ，使得直线 PQ、直线 AB、x轴围成的三角形与直

线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若

PQ AB．．．

不存在，请说明理由．y

C D B

1

1

O1A1x

O M

12．如图，在菱形ABCD中， AB=2cm，∠ BAD=60°， E 为 CD边中点，点P 从点 A 开始沿 AC

方向以每秒 23cm的速度运动，同时，点Q从

点D 出发沿DB方向以每

秒

1cm 的速度运动，

当点P 到达点 C 时， P， Q同时停止运动，设运动的时间为x 秒

（ 1）当点P 在线段AO上运动

时

.

①请用含x 的代数式表示OP的长度；

②若记四边形PBEQ的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值

范围）；

（ 2）显然，当x=0 时，四边形PBEQ即梯形 ABED，请问，当P 在线段 AC的其他位置时，

以 P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，

请说明理由 .

D

Q

E

A P O C

B

13．如图，已知△ABC ∽△A1B1C1，相似比为k （ k 1 ），且△ABC的三边长分别为 a 、

b 、c（ a b

c ），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。

⑴若 c a1，求证：a kc ；

⑵若 c a1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1

进都是正整数，并加以说明；

⑶若 b a1， c b1，是否存在△ABC和△ A1B1C1使得k2？请说明理由。

14．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（ 0，1）、 B（－ 3 3，1）、

43 C（－ 3 3， 0）、 O（ 0， 0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、 F（－3，0）的直线EF 向右下方翻折， B、 C 的对应点分别为 B′、 C′．

（1）求折痕所在直线 EF 的解析式；

（2）一抛物线经过 B、 E、 B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P，使得△ PBC 周长最小？如能，求出点

说明理由．

解：

P 的坐标；若不能，

15．问题：已知△ABC 中，BAC=2 ACB ，点 D 是△ ABC 内的一点，且 AD=CD ，BD=BA。

探究DBC 与ABC 度数的比值。

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1)当 BAC=90 时，依问题中的条件补全右图。

(2)观察图形， AB 与 AC 的数量关系为；

当推出DAC =15 时，可进一步推出DBC 的度数为

可得到DBC 与ABC 度数的比值为；

当BAC 90 时，请你画出图形，研究DBC 与ABC

；

度数的比值是否与 (1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

16. 如图所示，已知抛物线y 1 x 2

x k 的图象与y 轴相交于点4

B ( 0 ,1 )，点

C (m, n)在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M恰

好经过顶点 A .

（1）求k的值 ;

（2）求点C的坐标；

（ 3）若点P的纵坐标为t ，且点 P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探

索：

①当 S1S S2时，求t的取值范围（其中：S 为△PAB的面积， S1为△OAB的面积， S2为四边

形 OACB的面积）；

②当 t 取何值时，点P 在⊙ M 上.（写出 t 的值即可）

17.如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在

5

x 轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点 D 在边 OC 上且OD.

4

（1）求直线 AC 的解析式；

（2）在 y 轴上是否存在点 P，直线 PD 与矩形对角线 AC 交于点 M，使得△DMC为

等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .

．．．．

（3）抛物线y x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点 D 和点 E（点 E 在

y 轴正半轴上），且

△ODE 沿 DE 折叠后点 O 落在边 AB 上处？

O′

18. 如图 1，已知抛物线经过坐标原点O 和 x 轴上另一点 E ，顶点 M 的坐标为 (2,4) ；矩形

ABCD 的顶点 A 与点 O 重合， AD 、 AB 分别在 x 轴、 y 轴上，且 AD=2， AB=3. （ 1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平

行移动， 同时一动点 P 也以相同的速度 从点 A 出发向 B 匀速移动， 设它们运动的时

．．．．．

间为 t 秒（ 0≤ t ≤ 3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N （如图 2 所示） .

① 当 t= 5

时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；

2

② 设以 P 、 N 、 C 、 D 为顶点的多边形面积为 S ，试问 S 是否存在最大值？若存在，

求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

y

y

M

M

N

C

B

C

B

·P

D

O ( A)

E

x

D O A

E x

图 1

图 2

．如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线

y 2x 上，过点

B 作 x 轴的垂线，垂足为

19

A ， OA=5 。若抛物线 y

1 x

2 bx c 过点 O 、 A 两点。

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若 A 点关于直线 y

2x 的对称点为 C ，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图 2，在（ 2）的条件下，⊙ O 1 是以 BC 为直径的圆。过原点 O 作 O 1 的切线 OP ， P

为切点（ P 与点 C 不重合），抛物线上是否存在点

Q ，使得以 PQ 为直径的圆与

O 1 相切？

若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。

20．如图，在等边ABC

中，线段

AM

为

BC

边上的中线 . 动点

D．．

AM

上时，以

CD

在直线

为一边且在 CD 的下方作等边CDE ，连结 BE .

(1)填空：ACB______ 度；

(2)当点 D 在线段上 (点D不运动到点A )时，试求出AD

的值；

．．

AM BE

(3)若AB8 ，以点 C 为圆心，以5为半径作⊙ C 与直线 BE 相交于点 P 、Q两点，

在点 D 运动的过程中(点 D 与点 A 重合除外)，试求PQ的长.

A

D

A A

C

B M B

C B C E

备用图 (1)备用图(2) 20．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点 C 逆时针旋转角（090 ），得到Rt△A' B 'C，A' C与AB交于点D，过点D作DE∥A' B '交CB '于点E，连结 BE.易知，在旋转过程中，△ BDE为直角三角形.设 BC=1， AD=x，△ BDE的面积为 S.

（ 1）当30 时，求x的值.

（ 2）求S与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

1

（ 3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当 S=S ABC时，判断⊙E与A 'C的位置关系，并求相应的tan值.

21．如图，在梯形ABCD中， AD∥ BC，∠B＝90°，BC＝6， AD＝3，∠DCB＝ 30°. 点E、F同时从 B 点出发，沿射线BC向右匀速移动. 已知 F 点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以EF 为一边在CB的上方作等边

△

EFG．设 E 点移动距离为x（x＞0）.

⑴△ EFG的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x＝ 2 时，点G的位置

在

_______；

⑵若△EFG与梯

形ABCD重叠部分面积

是

y，求

①当 0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当 2＜x≤6时，y与 x 之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

A D

G

B E→F→C