广东省2023届高三高考模拟数学试题(原卷版)
2023年广东省广州市高考数学模拟试卷及答案解析
2023年广东省广州市高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∪B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数z满足zi＝3+4i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知点A（0，1），B（2，3），向量＝（﹣3，1），则向量＝（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）4．（5分）广州市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）A．3.3万人B．3.4万人C．3.8万人D．3.9万人5．（5分）已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（）A．2B．C．3D．6．（5分）若x＝是函数f（x）＝cosωx（ω≠0）图象的对称轴，则f（x）的最小正周期的最大值是（）A．πB．2πC．D．7．（5分）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（）A．b＜0B．0＜b＜a3C．b＞a3D．b（b﹣a3）＝0 8．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．与p值有关二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（）A．F为AA1的中点B．F为BB1的中点C．F为CC1的中点D．F为A1D1的中点（多选）10．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，1），f（x）＝P（X≤x），若x＞0，则（）A．f（﹣x）＝1﹣f（x）B．f（2x）＝2f（x）C．f（x）在（0，+∞）上是增函数D．P（|X|≤x）＝2f（x）﹣1（多选）11．（5分）已知（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则（）A．a0＝28B．a1+a2+…+a8＝1C．|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝38D．a1+2a2+3a3+…+8a8＝﹣8（多选）12．（5分）P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，A，B为切点，则（）A．弦长|AB|的最小值为B．存在点P，使得∠APB＝90°C．直线AB经过一个定点D．线段AB的中点在一个定圆上三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考第二次模拟考试卷数学(广东A卷)(全解全析)
内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知 a,b, c
分别是 VABC
三个内角
A, B,C
的对边，且 b2
(a
c)2
6
，
cos A 2 cos B
sin
C
6
，若点
P
为
VABC
的费马点，
则 PA PB PB PC PA PC （ ）
2ac
2
SV ABC
1 2
PA
PB
sin 2 3
1 2
PB
PC
sin
2 3
1 2
PA
PC
sin
2 3
1 ac sin B 2
1 6 sin
2
3
33 2
,
PA PB PB PC PA PC 6 .
由 PA PB PB PC PA PC 6 等号左右两边同时乘以 cos 2 可得： 3
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因为1 i 是关于 x 的方程 x2 px q 0 p, q R 的一个根，
所以方程的另外一个根为1 i ，
则1 i 1 i p,1 i1 i q ，
所以 p 2, q 2 ， 所以 p qi 2 2i 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.
PA PB cos 2 PB PC cos 2 PA PC cos 2 6 cos 2 ，
3
3
3
3
uur PA
uur PB
uur PB
uuur PC
uur PA
uuur PC
2023年广东省广州市高考数学模拟试卷(一)+答案解析(附后)
2023年广东省广州市高考数学模拟试卷（一）1. 若复数，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，则集合A的子集个数为( )A. 3B. 4C. 8D. 163. 函数在上的图像大致为( )A. B. C. D.4. 已知为第一象限角，，则( )A. B. C. D.5. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有( )A. 100个B. 125个C. 225个D. 250个6. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x铀上，过点的直线交C于P，Q 两点，且，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( )A. B. C. D. 17. 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知a，b，c均为正实数，e为自然对数的底数，若，，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据单位：全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )A. 频率分布直方图中a的值为B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为10. 已知函数的图像关于直线对称，则( )A. 函数的图像关于点对称B. 函数在有且仅有2个极值点C. 若，则的最小值为D. 若，则11. 已知函数，，点P，Q分别在函数的的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确的是( )A. 若关于x的方程在上无解，则B. 存在P，Q关于直线对称C. 若存在P，Q关于y轴对称，则D. 若存在P，Q满足，则12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则下列结论正确的是( )A. 点P的横坐标的取值范围是B. 的取值范围是C. 面积的最大值为D. 的取值范围是13. 已知向量与共线，则______ .14. 已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则______ .15. 已知函数的定义域为，其导函数为，若，则关于x的不等式的解集为______ .16. 在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P 是侧面上的动点.且平面AEF，则点P的轨迹长为______ .点P到直线AF的距离的最小值为______ .17.已知数列的前n项和为，且求，并证明数列是等差数列；若，求正整数k的所有取值.18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知证明：；若，求的面积.19. 如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，求证：；求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值.20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.求甲前3次答题得分之和为40分的概率；记甲第i次答题所得分数的数学期望为①写出与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明：②若，求i的最小值.21. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.求C的方程；直线l：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为为坐标原点，的面积为的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.22. 已知，函数若，证明：当时，；若函数存在极小值点，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，则，，故故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：集合，集合A的子集个数为故选：求出集合，由此能求出集合A的子集个数．本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，在上，，有且，函数既不是奇函数也不是偶函数，排除CD，，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，再分析的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象，涉及函数值的符号，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为，①两边平方，可得，可得，又为第一象限角，所以，②由①②可得，，可得，则故选：将已知等式两边平方，可得，结合为第一象限角，可求，联立可求，的值，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切公式可求的值．本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分2种类型，分3步进行分析：第一类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶数，有4种取法，则5位回文数有个，第二类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，则5位回文数有个，共有225个故选：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分3步进行分析：先分析百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，再分析十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数或偶数，最后分析万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶读或奇数，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合综合应用，关键是理解回文数的概念，注意5位回文数中条件的应用，是中档题．6.【答案】A【解析】解：已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x铀上，过点的直线交C于P，Q 两点，且，则抛物线C的焦点F在x轴正半轴上，设抛物线方程为，，设PQ所在的直线方程为，联立，消x可得，设，，则，，又，则，即，即，则，又，则，则，当直线MF的斜率取最大值时，显然，又当时，，当且仅当，即时取等号，直线MF的斜率的最大值为，故选：先设抛物线的方程为，，联立直线与抛物线的方程求出F、M点的坐标，然后结合直线的斜率公式及基本不等式求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．7.【答案】A【解析】解：在三棱锥中，如图，，则，而，AB，平面ABC，因此平面ABC，在等腰三角形ABC中，，，则，，令的外接圆圆心为，则平面ABC，，有，取PA中点D，连接OD，则有，又平面ABC，，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球O的表面积故选：根据给定条件，证明平面ABC，再确定球心O位置，求出球的半径即可．本题考查空间几何体的表面积，考查运算求解能力，属中档题．8.【答案】D【解析】解：已知a，b，c均为正实数，，，当，时，，满足成立，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，由已知，则，由，则，，即，得，，即，下面证明设，，在区间上单调递增，，，故D正确．故选：利用特殊值法，当，时，，排除ABC，再证明选项D成立．本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】AC【解析】解：对A选项，根据频率分布直方图可得，解得，选项正确；对B选项，根据A选项分析可得：这100名学生中体重低于60kg的频率为，这100名学生中体重低于60kg的人数为，选项错误；对C选项，设该校学生体重的第78百分位数为t，则，解得，可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62，选项正确；对D选项，平均数为：，可以估计该校学生体重的平均数约为，选项错误．故选：根据频率分布直方图的相关知识，中位数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解．本题考查频率分布直方图的相关知识，中位数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，属中档题．10.【答案】ABD【解析】解：函数的图像关于直线对称，，，，令，求得，可得函数的图像关于点对称，故A正确；当，，有且仅有2个极值点：或，即或，故B正确；若，则的最小值为半个周期，即，故C错误；若，则，而，，故D正确，故选：由题意，利用正弦函数的图象和性质，两角和差的余弦公式，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，两角和差的余弦公式，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：函数，，对于A，方程，则有在上有解，显然函数在上单调递增，则有，解得，则关于x的方程在上无解，得或，A错误；对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，，，即函数在上单调递增，，而函数，在上都单调递增，它们的取值集合分别为，，因此函数的值域为，又，于是在有解，所以存在P，Q关于直线对称，B正确；对于C，设点，，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，即，则，令，，，即函数在上单调递减，，又恒有，因此，C正确；对于D，令，，由，得，显然，且，，令，，，当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，即有，，而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确；故选：根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点P，Q的坐标，由方程有解判断B；设出点P，Q的坐标，建立函数关系，求出函数的值域，判断CD作答．本题考查函数的性质，导数的综合应用，属于难题．12.【答案】BC【解析】解：设P的坐标，由题意可得，可得，所以，即可得，即，即，解得，即，所以P的横坐标的范围为，所以A不正确；B中，，因为，所以，可得，即，即，所以B正确；C中，，当且仅当时，面积取到最大值，此时P点在以MN为直径的圆上，联立，解得，可得，，即存在，这时或；所以C正确；D中，由A可得，当时，，所以D不正确；故选：设P的坐标，由题意直接求出P的轨迹方程，整理可得，可得P的横坐标的范围，判断A的真假；可得的表达式，再由P的横坐标的范围，可得的范围，判断B的真假；由三角形的面积公式可得当，可得面积的最大值，并求出此时的P的坐标，判断C的真假；当P在x轴上时，的值不在所给的范围内，判断D的真假．本题考查点的轨迹方程的求法，命题真假的判断方法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，，与共线，，，，，则，故答案为：利用向量的坐标运算，向量的求模公式求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设，即，又2n为偶数，则m为偶数，即，则，则，故答案为：由题意可得，则，然后累加求和即可．本题考查了裂项求和，属基础题．15.【答案】【解析】解：根据题意，设，则，又由则，函数在上递减，又由，则，，必有，解可得，即不等式的解集为；故答案为：根据题意，设，求出其导数，分析可得在上递减，由的值可得，由此可得，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数导数与单调性的关系，注意构造新函数并分析其单调性，属于中档题．16.【答案】【解析】解：在正方体中，连接，，，如图，对角面为矩形，因为点E、F分别是棱BC，的中点，则，而，即平面AEF截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面分别于，MN，因此，连，平面，平面与平面分别交于，AF，因此，而，即四边形为平行四边形，于是，即点M为的中点，同理N为中点，，因为动点P始终满足平面AEF，于是平面，又P在侧面上，所以点P的轨迹是线段MN，轨迹长为；以点D为原点建立空间直角坐标系，则，则，令，则，于是点P到直线AF的距离，当且仅当时取等号，所以点P到直线AF的距离的最小值为故答案为：根据给定条件，作出平面AEF截正方体所得截面，再确定点P的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答．本题考查了立体几何中的轨迹问题，属于中档题．17.【答案】解：证明：①，当时，，解得，当时，②，由①-②得，即，，又，数列是首项为，公差为的等差数列；由得，即，③，④，由③-④得，，则，，，，即，令，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又，，，，要使，即，故正整数k的所有取值为1，2，【解析】利用与的关系，变形得，即，结合等差数列的定义，即可证明结论；由得，即，利用错位相减法求出，不等式转化为，构造函数，利用函数的单调性，即可得出答案．本题考查等差数列定义和由数列的递推式求数列的通项，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：，，，由正弦定理可得，，，，，，；，，，①，，，，即，，即，②，联立①②解得，，，，，【解析】根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及正弦定理，即可求解；根据已知条件，结合正弦定理，推出，再结合向量的数量积公式，以及余弦定理，解得，再结合三角函数的同角公式，三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OB，因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以，在直角梯形ABCD中，因为，，所以四边形BCDO为平行四边形，又，所以，因为，OP、平面POB，所以平面POB，因为平面POB，所以解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，由知，平面POB，因为平面ABCD，所以平面平面POB，又，，所以，所以，所以，，设平面PAB的法向量为，则，即，令，则，，所以，易知，平面ABCD的一个法向量为，设平面PAB与平面ABCD的夹角为，则，，所以，故平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值为【解析】取AD的中点O，连接OP，OB，易证，，从而知平面POB，再由线面垂直的性质定理，得证；以D为坐标原点建立空间直角坐标系，先利用平面几何知识，求得点P的坐标，再分别求得平面PAB和平面ABCD的法向量与，然后由空间向量数量积的坐标运算，得解．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，则，显然，，，甲第次答题所得分数的数学期望为，因此第i次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，所以与满足的等量关系式是：；②由①知，，当，时，，而，因此数列以为首项，为公比的等比数列，，于是，由得：，显然数列是递增数列，而，则有正整数，所以i的最小值是【解析】甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答．①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．21.【答案】解：由椭圆的离心率为，得，即有，由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，，的方程为；为定值，且，，则，因此，而，有，于是可得PQ平分，直线AP，BP的斜率互为相反数，即，设，，，由，消去y得：，，而，，即，，化简得又在椭圆上，，，，，又不在直线l：，则有，即，为定值，且【解析】利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于a，b的方程组，解方程即可；由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线AP，BP的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断即可．本题考查定值问题，考查椭圆的性质，考查斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题．22.【答案】解：证明：若，则，设，，，设，，，则在上单调递增，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以当时，证明：函数，，定义域为，，，由知在上单调递增，，当时，，当时，，则由，解得或，其中且，即且，否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，若，即，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，在上单调递减，所以是的极小值点，，若，即，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，，又，，第21页，共21页所以，综上所述，函数存在极小值点， 【解析】若，则，设，，求导分析单调性，只需证明，即可得出答案．函数，，定义域为，，求导分析单调性，极值点，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
广东省2023届高三高考模拟数学试题(原卷版)
数学
本试卷共4页满分150分考试用时120分钟.
第I卷选择题
一、单项选择题：本题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 则 （）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足 则z在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
17．（10分）请在这三个条件：① ；② ；③ 中任选一个条件补充在下面的橫线上并加以解答.如图锐角 中 ______ 在边 上且 点 在边 上且 交 于点 .
（1）求 的长；
（2）求 及 的长.
18.设等差数列 的前n项和为 已知 且 是 与 的等比中项数列 的前n项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
C.y与x的线性相关系数
D.七月的借阅量一定不少于6. 12万册
10.已知 下列选项正确的是（）
A. 的值域为
B. 的对称中心为
C. 的单调递增区间为 和
D. 图像向右平移 个单位与 的图像重合
11.如图点M是棱长为l的正方体 中的侧面 上的一个动点（包 平面
（2）若 对任意 总有 恒成立求实数 的最小值．
19.甲乙两人进行围棋比赛约定先连胜两局者直接赢得比赛若赛完5局仍末出现连胜则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立.
（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
（2）记 为比赛决出胜负时的总局数求 的分布列和期望.
3.已知向量 满足 则 在 方向上的投影向量的模为（）
A. B.3C. D.
4.如图l在高为h的直三棱柱容器 中 现往该容器内灌进一些水水深为 然后固定容器底面的一边AB于地面上再将容器倾斜当倾斜到某一位置时水面恰好为 （如图2）则 =（）
广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题
一、单选题二、多选题1. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）A．B．C．D．2.函数的图象可由函数的图象（ ）A．向右平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B．向右平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C．向左平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到D．向左平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到3. 某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A ．64B ．65C ．66D ．674. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2020B ．1010C ．1012D ．20225. 将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（ ）A．B．C．D．6. 已知在锐角中，角的对边分别为,且.则的值为（ ）A．B．C．D．7.班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（ ）A．问题B．问题C ．问题和都可以D．问题8. 已知函数与在交点处有公共的切线，则（ ）A．B．C．D．9.设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，.当变化时，函数的所有零点从小到大记为，则的值可以为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．910. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A ．曲线在处的切线方程为广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题三、填空题四、解答题B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解11.已知点，和在椭圆：上，则（ ）A．的焦点为B ．的离心率为C ．直线的斜率小于1D ．的面积最大值为312. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为A ，点P 在C 的右支上，若点Q满足为坐标原点，且为等边三角形，则下列说法正确的是（ ）A ．C的渐近线方程为B ．C的离心率为C ．若点，则的面积为D ．C 上存在点P，使得13.若函数在时取得极值，则_____.14. 已知△ABC 为等边三角形，点O 为△ABC 的中心，若以A 、O 为双曲线E 的两顶点，且双曲线E 过点B ，则双曲线E 的离心率为_____________.15. 已知直线，圆，则圆关于直线对称的圆的方程为__________.16. 为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A ､B ､C 三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.(1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；(2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.17. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．(1)求a 的值；(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少人．18.已知是有界函数，即存在使得恒成立．（1）若是有界函数，则是否是有界函数？说明理由；（2）判断是否是有界函数？（3）有界函数满足是否是周期函数，请说明理由．19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求角；(2)若，，求的面积．20. 如图，四棱锥，其中为正方形，底面，，，分别为，的中点，，在棱，上，且满足，.(1)求证：直线与直线相交；(2)求平面与平面夹角的余弦值.21. 已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：（，）.。
广东省广州市黄埔区2023年高三模拟考试数学试卷
广东省广州市黄埔区2023年高三模拟考试数学试卷1．设复数z满足z(1+i)=1−i（i是虚数单位），则|z|=（）A．1B．√2C．2D．√52．设集合A={x|x2−3x≤0，x∈N∗}，B={x|log3x≥1}，则A∩∁R B=（）A．[0，3]B．[1，3]C．{1，2}D．{1，2，3}3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（）A．2B．√5C．4D．2√54．函数f(x)=1(x−1)ln|x|的大致图象是（）．A．B．C．D．5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若{a n+1−a n}是公差不为零的等差数列，则称数列{a n}为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，⋯，则第40层放小球的个数为（）A．1640B．1560C．820D．7806．若双曲线x2−y23=1的两条渐近线与椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为（）A ．√2−1B ．√3−1C ．√22D ．√327．已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x ∈R ，都有f(x)>f ′(x)+1，且f(x)−2024为奇函数，则不等式f(x)−2023e x <1的解集为（ ） A ．(−∞，0)B ．(−∞，e)C ．(e ，+∞)D ．(0，+∞)8．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即12V 球=πR 2⋅R −13πR 2⋅R =23πR 3．现将椭圆x 216+y 236=1绕y 轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）A ．128πB ．64πC ．32πD ．16π9．已知向量a ⃗ =(1，2)，b⃗ =(−2，1)，则（ ） A ．(a −b ⃗ )⊥(a +b ⃗ ) B ．(a −b ⃗ )//(a +b ⃗ ) C ．|a −b ⃗ |=|a +b⃗ | D ．b ⃗ −a ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量是a ⃗ 10．下列说法正确的是（ ）A．若X∼B(6，1)，则随机变量X的方差D(X)=23B．若X∼N(μ，σ2)，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，则P(μ≤X≤μ+σ)≈0.3414C．若随机事件A，B满足P(A)=0.7，P(B|A)=0.6，P(B|A)=0.1，则P(B)=0.45D．数据5，7，8，11，13，15，17的第80百分位数为15，则下列说法正确的是（）11．已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12A．f(x)=sin(2x−π)6B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ+π(k∈Z)12D．函数f(x)的图象可由y=cos2x的图象向左平移π12个单位长度得到12．已知函数f(x)=a x+b x−c x，且a，b，c∈(0，+∞)，f(2)=0，则下列结论正确的是（）A．f(1)>0B．f(3)<02C．f(x)在R上单调递减D．f(1)f(−1)最小值为5−3√213．(1+2x)5的展开式中x4的系数是（用数字作答）．14．写出经过点(1，0)且被圆x2+y2−2x−2y+1=0截得的弦长为√2的一条直线的方程．15．算盘是中国传统的“珠算”工具．下图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位、⋯，上面一粒珠（简称上珠）代表数字5，下面一粒珠（简称下珠）代表数字1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，则算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是.16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosB +2bcosA =0，则tanA tanB= ，tanC 的最大值是 ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5，b =8，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ． （1）当θ=π3时，求c 及△ABC 的面积；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数f(θ)=2cos 2(π4+θ)−√3cos2θ的最大值与最小值．条件①：0≤cosθ≤sinθ；条件②：0≤CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20√2． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：（1）根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为12，女生进球的概率为13，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数ξ的分布列和均值． 附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1=2，S n =nn+2a n+1，b n =S n n(n ∈N ∗)．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设c n=b n(b n−1)(b n+1−1)，数列{c n}的前n项和T n，求证：23≤T n<1．20．如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且AB=BC=BF= 1，AD=CD=√3，EF=2．（1）求证：BC⊥平面CDE；（2）求二面角E−AC−D的平面角的余弦值．21．直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2=2px (p>0)交于A，B两点．（1）若A(1，2)，求抛物线C的方程；（2）若直线l与坐标轴不垂直，M(m，0)，证明：∠TMA=∠TMB的充要条件是m+t=0．22．已知函数f(x)=e x−1+e−x+1，g(x)=a(x2−2x)(a<0)．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）讨论函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的零点个数．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题意得z=1−i1+i=(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i2=−i则|z|=√02+(−1)2=1故选：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解，可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】由题意，集合A={x|x2−3x≤0，x∈N∗}={x|0≤x≤3，x∈N∗}={1，2，3}，由log3x≥1得log3x≥1=log33，即x≥3故B={x|x≥3}，可得∁R B={x|x<3}即A∩∁R B={1，2}故选：C【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质化简集合A、B，再结合补集、交集运算，即可求解出答案.3．【答案】D【解析】【解答】设圆台的母线长为l，根据题意，由圆台侧面积公式可得πl(1+2)=3πl=3√5π解得l=√5因为由圆锥截得的圆台上、下底面半径分别为1和2，所以原圆锥的母线长为2l，即原圆锥的母线长为2√5故选： D.【分析】根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及平行线段的性质，即可求解出答案.4．【答案】B【解析】【解答】由题意可得{x−1≠0|x|>0ln|x|≠0，解得x≠0且x≠±1，可得f(x)的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}由f (−x )=1(−x−1)ln |−x |=−1(x+1)ln |x |，得函数f (x )为非奇非偶函数，排除A ；当x>1时，x-1>0，ln|x| >0，可得f(x)>0，故排除C ；由f (12)=1−12ln 12=2ln2，f (−12)=1−32ln 12=23ln2，可得f (12)>f (−12)，排除D.故选：B【分析】先求出函数f (x )的定义，再判定函数的奇偶性可排除A ；根据当x>1时，f(x)>0可排除C ；再比较f (12)，f (−12)的大小可排除D ，即可得答案. 5．【答案】C【解析】【解答】设第n 层放小球的个数为a n ，由题意得a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，可得数列 {a n+1−a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 即a n −a n−1=2+(n −2)·1=2+(n −2)=n (n ≥2，n ∈N ∗) 故a n −a 1=2+3+4+···+n =(n−1)(2+n )2即a n =n (1+n )2故a 40=40(1+40)2=820故选：C.【分析】 首先由二阶等差数列的定义，得到数列 {a n+1−a n }是首项为2，公差为1的等差数列，再求和得到数列 {a n }的通项公式，进而求出a 40，可得答案.6．【答案】B【解析】【解答】 由题意可得双曲线的一条渐近线是y =√3x ，由双曲线x 2−y 23=1的两条渐近线与椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标F 2(c ， 0)，F 1(-c ， 0)，正六边形的一个顶点坐标为(c 2，√3c2)，|AF 1|=√3c ，|AF 2|=c 由椭圆的定义|AF 1|+|AF 2|= 2a ，得出c +√3c =2a ，即c a =21+3所以椭圆M 的离心率为e =ca =21+3=√3−1故选：B【分析】 利用已知条件求出椭圆的焦点坐标和正六边形的顶点坐标，再利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解出答案.7．【答案】D【解析】【解答】构造函数ℎ(x )=f (x )−1e x，由题意得ℎ′(x )=f ′(x )e x −[f (x )−1]e x(e x )2=f ′(x )−[f (x )−1]e x由 f(x)>f ′(x)+1 得f ′(x)−f (x )+1<0 即ℎ′(x )=f ′(x )−[f (x )−1]e x <0故函数h(x)在R 上单调递减.由 f(x)−2024为奇函数得f(0)-2024=0，得f(0) =2024，所以h(0)= f(0)-1 =2023，由 f(x)−2023e x <1 得f (x )−1ex <2023即ℎ(x )<ℎ(0)又因为函数h(x)在R 上单调递减， 所以x>0，因此不等式f(x)−2023e x <1的解集为 (0， +∞). 故选： D.【分析】 根据f(x)>f ′(x)+1构造函数ℎ(x )=f (x )−1ex ，利用导数判断其单调性，将不等式f(x)−2023e x <1化为ℎ(x )<ℎ(0)，利用h(x)在R 上单调性求解可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】构造一个底面半径为4，高为6的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体.当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为h(0≤h≤6)时，小圆锥底面半径为r ，则ℎ6=r 4，即r =23ℎ则新几何体的截面面积为π·42−πr 2=16π−π·(23h)2=16π−49πh 2如图3所示y =ℎ，代入 x 216+y 236=1 可得x 216+ℎ236=1，即x 2=16(1−ℎ236)=16−49ℎ2可得半椭球的截面面积为πx 2=16π−49πℎ2，由x 216+y 236=1可得a=6，b=4 由祖眶原理，可得椭球的体积为V= 2(V 圆柱-V 圆锥)=2(πb 2×a −13×πb 2×a )=故选： A.【分析】构造一个底面半径为4，高为6的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖眶原理可得橄榄球形几何体的体积的等于圆柱的体积减去圆锥的体积的2倍，再利用圆柱、圆锥的体积公式可求出答案.9．【答案】A,C【解析】【解答】 由向量a ⃗ =(1，2)，b ⃗ =(−2，1)，可得a →−b →=(3，1)， a →+b →=(−1，3) 则 (a →−b →)·(a →+b →)=3×(−1)+1×3=0即 (a −b ⃗ )⊥(a +b ⃗ ) ，可判断A 正确； 由3×3−1×(−1)=10≠0，可判断B 错误； |a →−b →|=√32+12=√10， |a →+b →|=√(−1)2+32=√10，可判断C 正确；b →−a →=(−3，−1)，由b →−a →在a →上的投影向量是(b →−a →)·a →|a →|×a→|a →|=−55a→5=−a →，可判断D 错误.故选： AC.【分析】 根据(a →−b →)·(a →+b →)为0可判断A ；根据向量平行的坐标表示可判断B ；根据模长公式可判断C ；求出b →−a →在a →上的投影向量可判断D.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A ，若 X ∼B(6，13) ， 则随机变量X 的方差D(X)=np (1−p )=6×13×(1−13)=43，故A 错误；对于B ， 若X ∼N(μ，σ2)，则P(μ≤X ≤μ+σ)= 12P(μ−σ≤X ≤μ+σ)≈0.68272≈0.3414，故B 正确；对于C ，由全概率公式得P(B)= P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)=0.7x0.6+0.3x0.1=0.45，故C 正确； 对于D ，选项中的数据共有7个数，7 x 80%=5.6，则这组数据的第80百分位数为15，故D 正确. 故选： BCD.【分析】 由二项分布的方差公式、正态分布的对称性、全概率公式及百分位数，逐项进行判断，即可得答案.11．【答案】A,B【解析】【解答】 f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12=√32sin2x −1+cos2x 2+12= √32sin2x −12cos2x =sin2xcos π6−cos2xsin π6=sin (2x −π6)，故A 正确；函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π，故 B 正确； 由2x −π6=π2+kπ(k ∈Z )得 x =π3+kπ2(k ∈Z) ，故C 错误；由y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度得y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)=cos [π2−(π3−2x)]=sin (π3−2x)=sin [π−(2π3+2x)]=sin (2x +2π3)，故D 错误. 故选：AB.【分析】 利用二倍角公式及辅助角公式化简函数f (x)，再结合正弦函数的性质、三角函数的平移规律逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】由 f(2)=0 得a 2 +b 2=c 2，又 a ，b ，c ∈(0，+∞)，则0<a c <1，0<b c <1由 f(x)=a x+b x−c x=c x[(a c )x +(b c)x−1]令g (x )=(a c )x+(b c)x −1，则g (x )在R 上单调递减 ，且g(2)=0，则g (12)>g (2)=0，g (3)<g (2)=0 即 f(12)=c 12g (12)>0， f(3)=c 3g (3)<0，故A 、 B 正确；取a=3，b=4，c=5，则f (1)=2>f (12)，故C 错误；令a =ccosθ，b =csinθ，θ∈(0，π2)，则f (1)f (−1)=(sinθ+cosθ−1)·(1sinθ+1cosθ−1)=(sinθ+cosθ−1)·(sinθ+cosθsinθcosθ−1)令sinθ+cosθ=t ，t ∈(1，√2]，(sinθ+cosθ)2=t 2即1+2sinθcosθ=t 2，得sinθcosθ=t 2−12则f (1)f (−1)=(t −1)·(tt 2−12−1)=−t 2+2t+1t+1=4−(t +1+2t+1)又t +1∈(2，√2+1]，得 f(1)f(−1)∈[5−3√2，1） ，故D 正确. 故选： ABD.【分析】整理可得f (x )=c x[(a c )x +(b c )x −1]，构建函数g (x )=(a c )x +(b c)x −1根据题意结合函数单调性分析判断A 、B ；取特值，代入检验判断C ；令a =ccosθ，b =csinθ，θ∈(0，π2)整理可得 f(1)f(−1)= (sinθ+cosθ−1)·(sinθ+cosθsinθcosθ−1)，再令sinθ+cosθ=t ，整理得f (1)f (−1)=4−(t +1+2t+1)，结合三角函数以及对勾函数分析运算. 13．【答案】80【解析】【解答】 (1+2x)5 的通项为T r+1=C 5r ·15−r ·(2x )r =2r C 5r ·x r令r=4，得 (1+2x)5的展开式中x 4的系数是24C 54=16×5=80. 故答案为： 80.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，即可求得x 4的系数.14．【答案】y =x −1【解析】【解答】圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1，圆心为(2，1)，半径r=1，由弦长为 √2可得圆心到直线的距离d =√r 2−(√22)2=√22当经过点(1，0) 的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，此时圆心在直线上，弦长为2r=2，不满足题意，所以经过点(1，0) 的直线斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为y=k(x- 1)，即kx-y-k= 0， 此时圆心(1，1)到直线kx-y-k= 0的距离d =√k +1=1√k +1=√22，解得k =±1.故直线的方程为y=x-1或y=-x +1. 故答案为：y=x-1(y=-x+1，答案不唯一)【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径，根据弦长，得出圆心到直线的距离d =√22，先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离d =1√k +1=√22，求解出k 的值，得出直线的方程.15．【答案】13【解析】【解答】 从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠 ，由题意可知，算盘所表示的数可能有： 7、16、25、52、61、70，共6个， 其中是质数有： 7，61，共2个， 故算盘表示的数为质数的概率为P =26=13故答案为：13【分析】 利用列举法求出算盘表示的数有6个，其中质数有2个，代入古代概型概率公式直接计算即可得答案.16．【答案】-2；√24【解析】【解答】由 acosB +2bcosA =0结合正弦定理可得sinAcosB+2sinBcosA=0，得tanA tanB =sinAcosB sinBcosA =−2， 即tanA =−2tanB则 tanC =−tan (A +B )=tanA+tanB tanAtanB−1= −2tanB+tanB−2tanB·tanB−1=−tanB −2tan 2B−1=tanB1+2tan 2B可得tanC 与tanB 同号，又tanA 与tanB 异号，即B 为锐角，tanC =tanB 1+2tan 2B =12tanB +1tanB ≤2√2tanB ×1tanB=22=√24 当且仅当2tanB =1tanB ，即tanB =√22时取等号.故答案为： - 2，√24.【分析】由已知结合正弦定理可得sinAcosB+2sinBcosA=0，再利用弦化切的方法可求出 tanA tanB 的值；利用两角和的正切公式结合基本不等式可求出 tanC 的最大值 .17．【答案】（1）解：由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosθ=52+82−2×5×8×cos π3=49，所以c =7，△ABC 的面积S =12absinθ=12×5×8×sin π3=10√3．（2）解：f(θ)=1+cos2(π4+θ)−√3cos2θ=1+cos(π2+2θ)−√3cos2θ =1−sin2θ−√3cos2θ =1−2(12sin2θ+√32cos2θ)=1−2sin(2θ+π3)．选择条件①：因为0≤cosθ≤sinθ，所以π4≤θ≤π2，所以5π6≤2θ+π3≤4π3，−√32≤sin(2θ+π3)≤12，即0≤f(θ)≤1+√3.故f(θ)max =1+√3，f(θ)min =0． 选择条件②：因为0≤CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20√2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =bacosθ=40cosθ， 所以0≤cosθ≤√22，故π4≤θ≤π2．所以5π6≤2θ+π3≤4π3，−√32≤sin(2θ+π3)≤12，即0≤f(θ)≤1+√3.故f(θ)max =1+√3，f(θ)min =0．【解析】【分析】 (1)利用余弦定理可直接求c ，再利用面积公式求解出 △ABC 的面积；(2)先化简 f (θ)=1−2sin(2θ+π3)，选择条件①时，根据0≤cosθ≤sinθ得出θ的范围即可求解出函数的范围，即可得函数的最大值与最小值 ；选择条件②时，根据0≤CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20√2得出θ的范围即可求解出函数的范围，即可得函数的最大值与最小值.18．【答案】（1）解：零假设为H 0：该校学生喜欢足球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110≈18.182>10.828，根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，推断H 0不成立， 所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关． （2）解：3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ=0)=12×12×23=16；P(ξ=1)=C21×12×12×23+12×12×13=512；P(ξ=2)=C22×12×12×23+C21×12×12×13=13；P(ξ=3)=12×12×13=112；所以ξ的分布列如下：所以E(ξ)=0×16+1×512+2×13+3×112=43．【解析】【分析】(1)先零假设，再计算出χ2，对照临界值表可得结论；(2)写出ξ的所有可能取值，求出ξ取每个值的概率可得分布列，根据均值公式可得均值.19．【答案】（1）解：利用裂项相消法求得T n=1−12n+1−1，即可得出结论.【详解】（1）因为S n=nn+2a n+1，所以(n+2)S n=na n+1，因为a n+1=S n+1−S n，所以(n+2)S n=n(S n+1−S n)，即nS n+1=2(n+1)S n，所以S n+1n+1=2⋅S nn(n∈N∗)．即b n+1=2b n，又b1=S1=2，所以数列{b n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以b n=2n.（2）解：c n=b n(b n−1)(b n+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，故数列{c n}的前n项和T n=(1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1，因为n∈N∗，所以0<12n+1−1≤13，所以23≤T n<1．【解析】【分析】(1)利用S n=nn+2a n+1得出S n+1n+1=2⋅S nn(n∈N∗)，即b n+1=2b n，得出数列{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，可得数列{b n}的通项公式；(2)c n=b n(b n−1)(b n+1−1)=12n−1−12n+1−1，利用裂项相消法求得T n=1−12n+1−1，即可证得结论.20．【答案】（1）证明：在矩形BDEF 中，DE ⊥BD ，又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面BDEF =BD ，DE ⊂平面BDEF ， 所以DE ⊥平面ABCD ， 又BC ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥BC ，在矩形BDEF 中，BD =EF =2，又BC =1，CD =√3，所以BD 2=4=BC 2+CD 2， 所以BC ⊥CD .又DE ∩CD =D ，DE ，CD ⊂平面CDE ， 所以BC ⊥平面CDE ；（2）解：在△ABD 与△CBD 中，AB =CB ，AD =CD ，BD =BD ， 所以△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD =∠CBD ， 由等腰三角形性质，得AC ⊥BD ． 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面BDEF =BD ，AC ⊂平面ABCD 所以AC ⊥平面BDEF ．记AC ∩BD =H ，以H 为坐标原点，HB ，HC ，DE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系.在Rt △BCD 中，CH =BC⋅CD BD =√32．所以HD =√CD 2−CH 2=32，所以点C 的坐标为(0，√32，0)，点E 的坐标为(−32，0，1)，所以HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√32，0)，HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，1)．设平面EAC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n1⃗⃗⃗⃗ ⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{√32y =0−32x +z =0，令z =3，解得x =2，y =0，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(2，0，3)为平面EAC 的一个法向量． 又平面ABCD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)，所以cos⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=313=3√1313， 又二面角E −AC −D 的平面角为锐角，即二面角E −AC −D 的平面角的余弦值为3√1313．【解析】【分析】 (1)由面面垂直性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，再证明DE ⊥BC ， BC ⊥CD ，利用线面垂直判定定理，即可证明出 BC ⊥平面CDE ；(2) 先证明AC ⊥BD ，由面面垂直性质定理证明AC ⊥平面BDEF ， 记AC ∩BD =H ，以H 为坐标原点，HB ，HC ，DE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系，求出平面EAC 的一个法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量法可求出二面角E −AC −D 的平面角的余弦值．21．【答案】（1）解：因为抛物线C ：y 2=2px (p >0)经过点A(1，2)，可得22=2p ，解得p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）证明：设直线l 的方程为y =k(x −t) (k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组 {y =k(x −t)y 2=2px，整理得k 2x 2−2(k 2t +p)x +k 2t 2=0，则x 1+x 2=2(k 2t+p)k2，x 1x 2=t 2． 当m +t =0时，直线AM ，BM 的斜率之和为k AM +k BM =y 1x 1−m +y 2x 2−m =y 1(x 2−m)+y 2(x 1−m)(x 1−m)(x 2−m)，因为y 1(x 2−m)+y 2(x 1−m)=k(x 1−t)(x 2−m)+k(x 2−t)(x 1−m) =k[2x 1x 2−(m +t)(x 1+x 2)+2mt]=k[2t 2−2t 2]=0，所以k AM +k BM =0，即MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠TMA =∠TMB ． 反之，当∠TMA =∠TMB 时，直线AM ，BM 的斜率之和为0，即k AM +k BM =y 1x 1−m+y 2x 2−m =y 1(x 2−m)+y 2(x 1−m)(x 1−m)(x 2−m)=0， 所以y 1(x 2−m)+y 2(x 1−m)=k(x 1−t)(x 2−m)+k(x 2−t)(x 1−m)=0， 即k[2x 1x 2−(m +t)(x 1+x 2)+2mt]=0，因为k ≠0，所以2x 1x 2−(m +t)(x 1+x 2)+2mt =0， 即2t 2−2(k 2t+p)(m+t)k2+2mt =0，所以2k 2t 2−2(m +t)(k 2t +p)+2mtk 2=0，可得m +t =0， 综上所述，∠OMA =∠OMB 的充要条件是m +t =0．【解析】【分析】(1)由抛物线C 经过点A(1，2)，代入求得p=2，即可得抛物线方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x −t) (k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)与抛物线方程联立结合韦达定理可得x 1+x 2=2(k 2t+p)k 2，x 1x 2=t 2，当m+t=0时，求得k AM + k BM = 0得到充分性成立，反之由∠TMA=∠TMB 时，根据k AM + k BM =0，求得2k 2t 2−2(m +t)(k 2t +p)+2mtk 2=0，可得m +t =0，得出必要性成立，即可得证 ∠TMA =∠TMB 的充要条件是m +t =0．22．【答案】（1）解：由f(x)=e x−1+e−x+1，可得f′(x)=e x−1−e−x+1=e 2(x−1)−1 e x−1，令f′(x)=0，解得x=1，当x<1时，则x−1<0，可得f′(x)<0，f(x)在(−∞，1)单调递减；当x>1时，则x−1>0，可得f′(x)>0，f(x)在(1，∞)单调递增；故函数f(x)的单调递减区间是(−∞，1)，单调递增区间是(1，∞)．（2）解：由ℎ(x)=0，得f(x)=g(x)，因此函数ℎ(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数，因为g(x)=a(x2−2x)(a<0)，所以g(x)的递增区间是(−∞，1)，递减区间是(1，∞)，所以当x=1时，g(x)取最大值g(1)=−a，由（1）可知，当x=1时，f(x)取最小值f(1)=2，当−a<2，即−2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数ℎ(x)没有零点；当−a=2，即a=−2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数ℎ(x)有一个零点；当−a>2，即a<−2时，函数ℎ(x)有两个零点，理由如下：因为ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x−1+e−x+1−a(x2−2x)，所以ℎ(1)=2+a<0，ℎ(2)=e+e−1>0，由函数零点存在定理，知ℎ(x)在(1，2)内有零点.又f(x)在(1，∞)上单调递增，g(x)在(1，∞)上单调递减，所以ℎ(x)=f(x)−g(x)在(1，∞)上单调递增，所以ℎ(x)=f(x)−g(x)在(1，∞)上只有一个零点.又因为f(2−x)=e(2−x)−1+e−(2−x)+1=e1−x+e x−1=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，因为g(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)与g(x)的图象都关于直线x=1对称，所以ℎ(x)=f(x)−g(x)在(−∞，1)上只有一个零点.所以，当a<−2时，ℎ(x)=f(x)−g(x)有两个零点.【解析】【分析】(1)求得f′(x)=e 2(x−1)−1e x−1，令f′(x)=0，解得x=1，结合导数的符号，即可求解出函数f(x)的单调区间；(2)根据题意转化为函数f (x)与g (x)的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到g (x)的单调性和最值，由(1)知f (x)取最小值f(1)=2，分别分-2<a<0，a= - 2和a<- 2三种情况求解函数的零点个数，即可求解出函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的零点个数．。
广东省汕头市2023届高三二模数学试题含答案
2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A.{}1- B.{2} C.{1,2}- D.{1,1,2}-2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A.3256 B.27C.3255 D.63.已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 等于（）A.ππ2cos isin 44⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.332cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.2cos isi 44πn π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3π3π2cos isin 44⎛⎫- ⎪⎝⎭4.在ABC 中，已知C =45°，2b =，2c =，则角B 为（）A.30︒B.60︒C.30︒或150︒D.60︒或120︒5.已知函数e (21)()1x x f x x -=-，则()f x 的大致图象为（）A. B.C.D.6.已知2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则有（）A.a b c>> B.a b c<< C.b c a>> D.b a c>>7.已知α，β，γ是三个平面，a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，且a b O ⋂=，则下列结论正确的是（）A.直线b 与直线c 可能是异面直线B.直线a 与直线c 可能平行C.直线a ，b ，c 必然交于一点（即三线共点）D.直线c 与平面α可能平行8.给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()y f x '=的导函数.若方程()0f x ''=有实数解0x x =，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经研究发现所有的三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.若函数32()3f x x x =-，则1234044404520232023202320232023f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A.8088- B.8090- C.8092- D.8096-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线22:cos 1C x y α+=，[0,π]α∈，则下列结论正确的是（）A.曲线C 可能是圆，也可能是直线B.曲线C 可能是焦点在y 轴上的椭圆C.当曲线C 表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D.当曲线C10.在ABC 中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，下列结论正确的是（）A.2AM =B.2BN =C.MPN ∠的余弦值为2121D.0PA PB PC ++=uu r uu r uu u rr11.已知数列为{}n a 为等差数列，11a =，31a =+，前n 项和为n S .数列{}n b 满足nn S b n=，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 的通项公式为1n a =-B.数列{}n b 是递减数列C.数列{}n b 是等差数列D.数列{}n a 中任意三项不能构成等比数列12.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A .当1r =时，V =B.V 存在最大值C.当r 在区间(0,2)内变化时，V 逐渐减小D.当r 在区间(0,2)内变化时，V 先增大后减小第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:0l x y +=对称的圆的标准方程是______.14.已知()220212202301220231(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则122023a a a +++= ______.15.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（50.950.7738≈，60.950.735≈，70.950.6983≈）.16.阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆()222210x y a b a b +=>>上任意一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=．若已知△ABC 内接于椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，且坐标原点O 为△ABC的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则DEFABCS S =V V ______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15轮胎凹槽深度/mm 10.028.377.396.485.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.（1）根据散点图，可认为散点集中在直线y bx a =+附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；xy91iii x y=∑99222211i i i i x nx y ny ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑2.57 6.20115.1029.46附：相关系数1222211iii n n i i i i x ynx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）通过散点图，也可认为散点集中在曲线12ln(1)y c c x =++附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程ˆ10.11 3.75ln(1)yx =-+及该模型的决定系数20.998R =.已知（1）中的线性回归模型为ˆ9.158 1.149yx =-，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即22R r =.18.已知函数)22tan tan 2()sin cos tan 2tan x xf x x x x x⋅=+--.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若πππ0,,442x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()f x 的单调区间.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线l ⊂平面1111D C B A ，11l AC E ⋂=，113A E EC =.（1）设11l B C P = ，11l C D Q ⋂=，试在所给图中作出直线l ，使得l CE ⊥，并说明理由；（2）设点A 与（1）中所作直线l 确定平面α.①求平面α与平面ABCD 的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面，并写出作法.20.已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，且()2211210,n n n n n a a a a a n N*++---=∈（1）设1n n nb a a =-，求数列{}n b 的通项公式（2）设2221222212111,n n n nS a a a T a a a =+++=+++ ，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使得n n S T +为整数．21.如图，1(,0)F c -、2(,0)F c 为双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线2C 的顶点为坐标原点，焦点为2F ，设1C 与2C 在第一象限的交点为(,)P m n ，且17PF =，25PF =，21PF F ∠为钝角.（1）求双曲线1C 与抛物线2C 的方程；（2）过2F 作不垂直于x 轴的直线l ，依次交1C 的右支、2C 于A 、B 、C 、D 四点，设M 为AD 中点，N 为BC 中点，试探究22AD NF BC MF ⋅⋅是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()ln f x x =-，31()4g x x ax =-+，R a ∈.（1）若函数()g x 存在极值点0x ，且()()10g x g x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（2）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，记函数()min{()h x f x =，()}(0)g x x >，若函数()h x 有且仅有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】2215(1)24x y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭【14题答案】【答案】2【15题答案】【答案】0.4262【16题答案】【答案】4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）0.96r =-，相关性较强（2）答案见解析【18题答案】【答案】（1）π,Z 4k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭（2）()f x 的单调递增区间为ππ5π0,,,4412⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为5ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【19题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）①31717；②答案见解析.【20题答案】【答案】（1）223n n b +=；（2）()6441227n n -+；9．【21题答案】【答案】（1）22212:1;:83y C x C y x-==（2）是定值12【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）3544a <<2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A.{}1- B.{2} C.{1,2}- D.{1,1,2}-2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A.3256 B.27C.3255 D.63.已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 等于（）A.ππcos isin 44⎫+⎪⎭ B.33cos isin 44ππ⎫+⎪⎭C.cos isi 44πn π⎫-⎪⎭ D.3π3πcos isin 44⎫-⎪⎭4.在ABC 中，已知C =45°，b =，2c =，则角B 为（）A .30︒B.60︒C.30︒或150︒D.60︒或120︒5.已知函数e (21)()1x x f x x -=-，则()f x 的大致图象为（）A. B.C. D.6.已知2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则有（）A.a b c>> B.a b c<< C.b c a>> D.b a c>>7.已知α，β，γ是三个平面，a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，且a b O ⋂=，则下列结论正确的是（）A.直线b 与直线c 可能是异面直线B.直线a 与直线c 可能平行C.直线a ，b ，c 必然交于一点（即三线共点）D.直线c 与平面α可能平行8.给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()y f x '=的导函数.若方程()0f x ''=有实数解0x x =，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经研究发现所有的三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.若函数32()3f x x x =-，则1234044404520232023202320232023f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A.8088- B.8090- C.8092- D.8096-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线22:cos 1C x y α+=，[0,π]α∈，则下列结论正确的是（）A.曲线C 可能是圆，也可能是直线B.曲线C 可能是焦点在y 轴上的椭圆C.当曲线C 表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D.当曲线C10.在ABC 中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，下列结论正确的是（）A.2AM =B.2BN =C.MPN ∠的余弦值为2121D.0PA PB PC ++=uu r uu r uu u rr11.已知数列为{}n a 为等差数列，11a =，31a =+，前n 项和为n S .数列{}n b 满足nn S b n=，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 的通项公式为1n a =-B.数列{}n b 是递减数列C.数列{}n b 是等差数列D.数列{}n a 中任意三项不能构成等比数列12.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A.当1r =时，V =B.V 存在最大值C.当r 在区间(0,2)内变化时，V 逐渐减小D.当r 在区间(0,2)内变化时，V 先增大后减小第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:0l x y +=对称的圆的标准方程是______.14.已知()220212202301220231(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则122023a a a +++= ______.15.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（50.950.7738≈，60.950.735≈，70.950.6983≈）.16.阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆()222210x y a b a b +=>>上任意一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=．若已知△ABC 内接于椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且坐标原点O 为△ABC的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则DEFABCS S =V V ______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km0.000.641.291.932.573.22 3.864.515.15轮胎凹槽深度/mm 10.028.377.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.（1）根据散点图，可认为散点集中在直线y bx a =+附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；xy91iii x y=∑99222211i i i i x nx y ny ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑2.57 6.20115.1029.46附：相关系数1222211iii n n i i i i x ynx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）通过散点图，也可认为散点集中在曲线12ln(1)y c c x =++附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程ˆ10.11 3.75ln(1)yx =-+及该模型的决定系数20.998R =.已知（1）中的线性回归模型为ˆ9.158 1.149yx =-，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即22R r =.18.已知函数)22tan tan 2()sin cos tan 2tan x xf x x x x x⋅=+--.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若πππ0,,442x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()f x 的单调区间.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线l ⊂平面1111D C B A ，11l AC E ⋂=，113A E EC =.（1）设11l B C P = ，11l C D Q ⋂=，试在所给图中作出直线l ，使得l CE ⊥，并说明理由；（2）设点A 与（1）中所作直线l 确定平面α.①求平面α与平面ABCD 的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面，并写出作法.20.已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，且()2211210,n n n n n a a a a a n N*++---=∈（1）设1n n nb a a =-，求数列{}n b 的通项公式（2）设2221222212111,n n n nS a a a T a a a =+++=+++ ，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使得n n S T +为整数．21.如图，1(,0)F c -、2(,0)F c 为双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线2C 的顶点为坐标原点，焦点为2F ，设1C 与2C 在第一象限的交点为(,)P m n ，且17PF =，25PF =，21PF F ∠为钝角.（1）求双曲线1C 与抛物线2C 的方程；（2）过2F 作不垂直于x 轴的直线l ，依次交1C 的右支、2C 于A 、B 、C 、D 四点，设M 为AD 中点，N 为BC 中点，试探究22AD NF BC MF ⋅⋅是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()ln f x x =-，31()4g x x ax =-+，R a ∈.（1）若函数()g x 存在极值点0x ，且()()10g x g x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（2）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，记函数()min{()h x f x =，()}(0)g x x >，若函数()h x 有且仅有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A.{}1-B.{2} C.{1,2}- D.{1,1,2}-【答案】B 【解析】【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：23a +=或22a a +=若23a +=，此时211a a =⇒=，集合A 的元素有重复，不符合题意；若22a a +=，解得2a =或1a =-，显然2a =时符合题意，而211a a =-⇒=同上，集合A 的元素有重复，不符合题意；故2a =.故选：B2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A.3256B.27C.3255 D.6【答案】A 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理易得答案.【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256=256⨯⨯种颜色.故选：A.3.已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 等于（）A.ππcos isin 44⎫+⎪⎭ B.33cos isin 44ππ⎫+⎪⎭C.cos isi 44πn π⎫-⎪⎭ D.3π3πcos isin 44⎫-⎪⎭【答案】C 【解析】【分析】先利用复数运算求得复数z 进而求得z 的三角形式.【详解】由(1i)2i z +=，可得()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2z -+====+++-则1i z =-，则n πcos is πi 44z ⎫=-⎪⎭故选：C4.在ABC 中，已知C =45°，b =，2c =，则角B 为（）A.30︒B.60︒C.30︒或150︒D.60︒或120︒【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理，求得1sin 2B =，结合c b >，即可求解.【详解】在ABC 中，由正弦定理可得sin 451sin 22b CB c=== ，又因为c b >，可得C B >，即(0,45)B ∈ ，所以30B = .故选：A.5.已知函数e (21)()1x x f x x -=-，则()f x 的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.【详解】()()22e (21)e (23)(),11x x x x x f x f x x x --'=∴=-- ，令()()()0,03,f x x '>⇒∈-∞+∞ ，所以()f x 在(),0∞-和()3,+∞上单调递增，故选：C6.已知2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则有（）A.a b c >> B.a b c<< C.b c a>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算化简a ，可比较与c 的大小；分别计算,a b 与32的大小关系，可比较,a b ，利用选项排除可得答案．【详解】24log 3g 9=lo a = ，4log 5a c ∴>=，排除B ，C 选项3343lo log 8,4l g 2g o a b b a ==<∴=<<，排除D 故选：A【点睛】本题考查比较对数大小，考查对数的运算性质，属于中档题．7.已知α，β，γ是三个平面，a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，且a b O ⋂=，则下列结论正确的是（）A.直线b 与直线c 可能是异面直线B.直线a 与直线c 可能平行C.直线a ，b ，c 必然交于一点（即三线共点）D.直线c 与平面α可能平行【答案】C 【解析】【分析】先由点，线，面的位置关系得到直线a ，b ，c 必然交于一点，AB 错误，C 正确；再利用假设法推出D 错误.【详解】ABC 选项，因为a αβ⋂=，b αγ= ，a b O ⋂=，所以,,O O O αβγ∈∈∈，因为c βγ= ，所以O c ∈，所以直线a ，b ，c 必然交于一点（即三线共点），AB 错误，C 正确；D 选项，假设直线c 与平面α平行，假设直线c 与平面α平行，由O c ∈，可知O α∉，这与O α∈矛盾，故假设不成立，D 错误.故选：C8.给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()y f x '=的导函数.若方程()0f x ''=有实数解0x x =，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经研究发现所有的三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.若函数32()3f x x x =-，则1234044404520232023202320232023f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A.8088-B.8090- C.8092- D.8096-【答案】B 【解析】【分析】通过二次求导可得()66f x x ⅱ=-，求出()y f x =的图像的对称中心为(1,2)-，得到(1)(1)4f x f x -++=-，据此规律求和即可.【详解】由()236f x x x '=-，可得()66f x x ⅱ=-，令()0f x ''=，可得1x =，又(1)132f =-=-，所以()y f x =的图像的对称中心为(1,2)-，即(1)(1)4f x f x -++=-，所以1234044404520232023202320232023f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 14045240442022202420232023202320232023202320232023f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦4045480902=-⨯=-，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线22:cos 1C x y α+=，[0,π]α∈，则下列结论正确的是（）A.曲线C 可能是圆，也可能是直线B.曲线C 可能是焦点在y 轴上的椭圆C.当曲线C 表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D.当曲线C【答案】ABD 【解析】【分析】设[]cos 1,1m a =∈-，由m 的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设[]cos 1,1m a =∈-，故曲线C 的方程可表示为22(1)11x my m +=-≤≤，对A ，当0m =时，曲线C 的方程为21x =，可得1x =±，此时曲线C 为两条直线；当1m =时，曲线C 的方程为221x y +=，此时曲线C 是一个圆；故A 正确；对B ，当01m <<时，11m>，曲线C 的方程为2211y x m+=，此时曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，故B 正确；对C ，当曲线C表示椭圆时，离心率为e ==，则α越大，椭圆越扁，故C 错误；对D ，当10m -≤<时，11m-≥，曲线C 的方程为2211y x m-=-，此时曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，此时离心率为e =10m -≤<，可得e =≥即它的离心率有最小值，且最小值为，故D 正确.故选：ABD .10.在ABC 中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，下列结论正确的是（）A.392AM =B.212BN =C.MPN ∠的余弦值为2121D.0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r 【答案】ABD 【解析】【分析】求得AM 的长度判断选项A ；求得BN 的长度判断选项B ；求得MPN ∠的余弦值判断选项C ；求得PA PB PC ++的化简结果判断选项D.【详解】连接PC ，并延长交AB 于Q ，ABC 中，2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，则()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r，12BN AC AB =- ,()1136PM AM AB AC ==+ ，()2133PA AM AB AC=-=-+111363PN BN AC AB ==- ，212333PB BN AC AB=-=-+ 221333PC QC AC AB ==- ，选项A:AM AM ===2==.判断正确；选项B:BN BN ==2==.判断正确；选项C:cos cos ,PN PMMPN PN PM PN PM⋅∠==⋅()221111116633618361133AC AB AC AB AC AB AC ABPN PM BN AM ⎛⎫+⋅---⋅ ⎪⎝⎭==⋅⋅ 2211115225136183623⨯-⨯-⨯⨯⨯==.判断错误；选项D:()11221033333PA PB PC AB AC AC AB AC AB ++=-+-++-=.判断正确.故选：ABD11.已知数列为{}n a 为等差数列，11a =，31a =+，前n 项和为n S .数列{}n b 满足nn S b n=，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a的通项公式为1n a =-B.数列{}n b 是递减数列C.数列{}n b 是等差数列D.数列{}n a 中任意三项不能构成等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】求得数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得数列{}n b 单调性判断选项B ；利用等差数列定义判断选项C ；利用反证法证明选项D 正确.【详解】数列为{}n a 为等差数列，11a =，31a =+，则其公差d =则11)1n a n =+-=-，则选项A 判断正确；则数列{}n a 前n项和(1)2n S n n n =+-，则2221(1)1222n n S b n n ==+-=-，由()122222*********n n b b n n +⎛⎫-=+-+--+=> ⎪ ⎪⎝⎭，可得数列{}n b 是等差数列且是递增数列.则选项B 判断错误；选项C 判断正确；假设,,(,,)r s t a a a r s s t r t ≠≠≠为等差数列{}n a 中三项，且,,r s t a a a 构成等比数列，则2s r t a a a =，即))2111=-++，整理得()(()2222s rt s r t -=---，由202=0s rt s r t ⎧-=⎨--⎩，可得=r t s =，这与r t s ≠≠矛盾.则202=0s rt s r t ⎧-=⎨--⎩不成立；又由()22,2s rt s r t ---为整数，2可得()(()2222s rt s r t -=---不成立.则假设不成立.即数列{}n a 中任意三项不能构成等比数列.判断正确.故选：ACD12.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A.当1r =时，V =B.V 存在最大值C.当r 在区间(0,2)内变化时，V 逐渐减小D.当r 在区间(0,2)内变化时，V 先增大后减小【答案】BD【解析】【分析】通过题意得到圆台体积V 关于外接球半径r 的函数，容易判断A ；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.【详解】设圆台的上底面的圆心为1O ，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h ，球的半径为R ，如图所示，则()222114h OO R O A r ==-=-()(222114π4πππ433V S SS S h r r r =+=+⋅-''(22π2442)3r r r r =++-<<，对选项(π73A :1,1243π,A 33r V ==++=不正确；322π34V r=-'，设()323448f r r r r =--++，则()2984f r r r '=--+，令()0f r '=可得29840r r +-=，解得1841318r --=，2841318r -+=知()20,2r ∈，且当()()20,,0r r f r ∈'>；(2,r r ∈2)，()()0,f r f r '<在()20,r 单调递增，在()2,2r 单调递减，由()()()08,15,224f f f ===-，()01,2r ∃∈，使得()00f r =，当()()00,,0r r f r ∈>，即0;V '>当()()0,2,0r r f r ∈<，即0V '<，所以V 在()00,r 单调递增，在()0,2r 单调递减，则B ，D 正确，C 错误，故选：BD.【点睛】本题考察圆台的体积与外接球半径的函数关系.关键在于建立函数模型，然后利用导数研究其单调性与及最值，用到了隐零点及二次求导，属于较难题.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:0l x y +=对称的圆的标准方程是______.【答案】2215(1)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.【详解】圆22:20C x y x y +-+=的圆心1,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点1,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线:0l x y +=对称的点坐标为11,2C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭则所求圆的标准方程为2215(1)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭故答案为：2215(1)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭14.已知()220212************(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则122023a a a +++= ______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法计算即可.【详解】由()220212************(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，令1x =，则()22021011(212)a +-==-，令2x =，则()22021012202321(22)0a a a a =+++++-= ，∴12202302a a a a +++=-= .故答案为：2.15.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（50.950.7738≈，60.950.735≈，70.950.6983≈）.【答案】0.4262【解析】【分析】设每个人需要的化验次数为X ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E X ，从而确定正确答案.【详解】设每个人需要的化验次数为X ，若混合血样呈阴性，则15X =；若混合血样呈阳性，则65X =；因此，X 的分布列为510.955P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5610.955P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()551()0.95610.950.42625E X ⎡⎤=+⨯-≈⎣⎦，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.故答案为：0.4262.16.阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=．若已知△ABC 内接于椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，且坐标原点O 为△ABC 的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则DEF ABCS S =V V ______．【答案】4【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，由重心的性质有312123y y y x x x +=+、231231y y y x x x +=+、132132y y y x x x +=+，写出过,,A B C 切线方程并求交点,,D E F 坐标，进而判断△DEF 重心也为O ，再由,,A B C 在椭圆上可得,,D O C 、,,E O B 、,,F O A 共线，即,,C B A 分别是,,EF DF DE 的中点，即可确定面积比.【详解】若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则,,AB BC AC 的中点1212(,)22x x y y G ++、2323(,)22x x y y H ++、1313(,)22x x y y I ++，由O 为△ABC 的重心，则OG OC k k =、OH OA k k =、OI OB k k =，所以312123y y y x x x +=+、231231y y y x x x +=+、132132y y y x x x +=+，可得133132232112x y x y x y x y x y x y -=-=-，由题设，过,,A B C 切线分别为11221x x y y a b +=、22221x x y y a b+=、33221x x y y a b +=，所以22122121122112()()(,)a y y b x x D x y x y x y x y ----，22311313311331()()(,)a y y b x x E x y x y x y x y ----，22233232233223()()(,)a y y b x x F x y x y x y x y ----，所以222312312211213313223()()()0a y y a y y a y y x y x y x y x y x y x y ---++=---，同理222133221211213313223()()()0b x x b x x b x x x y x y x y x y x y x y ---++=---，即△DEF 重心也为O ，又2211221x y a b +=、2222221x y a b +=、2233221x y a b +=，可得22321212221213()()b x y y b x x x x a y y a y -+=-=--+、22313122231312()()y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+、22323212232321()()y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，所以22233212222133()()()()OD OC a y y b x x b k k a y y a b x x -=-=-⨯-==-，同理可得OE OB k k =、OF OA k k =，所以,,D O C 、,,E O B 、,,F O A 共线，综上，,,C B A 分别是,,EF DF DE 的中点，则4DEF ABC S S =V V 【点睛】关键点点睛：设点坐标及过,,A B C 切线方程，并求出,,D E F 坐标，利用重心的性质确定△DEF 重心为O ，并求证,,C B A 分别是,,EF DF DE 的中点即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km 0.000.64 1.29 1.93 2.57 3.223.86 4.51 5.15轮胎凹槽深度/mm 10.028.377.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.（1）根据散点图，可认为散点集中在直线y bx a =+附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；x y 91i i i x y=∑99222211i i i i x nx y ny ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑2.57 6.20115.1029.46附：相关系数1222211i i i n n i i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）通过散点图，也可认为散点集中在曲线12ln(1)y c c x =++附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程ˆ10.11 3.75ln(1)yx =-+及该模型的决定系数20.998R =.已知（1）中的线性回归模型为ˆ9.158 1.149yx =-，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即22R r =.【答案】（1）0.96r =-，相关性较强（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得0.96r =-，从而可判断相关性较强；（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数2220.922R r =≈，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.由题意，115.109 2.57 6.2028.3060.9629.4629.46n i i x y nxyr --⨯⨯-===-∑，∵0.960r =-<，∴||0.960.75r =>，∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.【小问2详解】由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.由题（1）得线性回归模型ˆ9.158 1.149yx =-的相关系数0.96r =-，决定系数2222(0.96)0.922R r ==≈，由题意，对数回归模型10.11 3.75ln(1)y x =-+的决定系数20.998R =，∵0.9980.922>，∴对数回归模型的拟合度更高.18.已知函数)22tan tan 2()sin cos tan 2tan x x f x x x x x ⋅=+--.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若πππ0,,442x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）π,Z 4k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭（2）()f x 的单调递增区间为ππ5π0,,,4412⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为5ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先列出关于x 的不等式组，解之即可求得函数()f x 的定义域；（2）先化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数()f x 的单调区间.【小问1详解】tan 2tan 0x x -≠，即22tan tan 01tan x x x-≠-，则tan 0x ≠，即πZ ,x k k ≠∈，又tan 2,tan x x 有意义，则ππ2π2π2x k x k ⎧≠+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，Z k ∈，综上可得，π4k x ≠，Z k ∈，则函数()f x 的定义域为π,Z 4k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭)22tan tan2()sin costan2tanx xf x x xx x⋅=+--)22sin sin2cos cos2cos sinsin2sincos2cosx xx x x xx xx x⋅=---sin sin22cos sin2sin cos2x x xx x x x=--sin2sin cos2cos2sin cos sin cos2x x x xx x x x x⋅⋅=⋅⋅-2sin cos2cos2cos cos2x x xx x x⋅=-⋅-2sin222cos cos2x xx x=--sin22x x=12sin2cos222x x⎛⎫=⋅-⎪⎪⎝⎭ππ2sin2,Z34kx x k⎛⎫⎛⎫=-≠∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵πππ0,,442x⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππππ2π2,,33663x⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由πππππ2,,33662x⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5π0,,4412x⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ2π2,323x⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，解得5ππ,122x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()f x的单调递增区间为ππ5π0,,,4412⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭19.如图，正方体1111ABCD A B C D-中，直线l⊂平面1111DCBA，11l AC E⋂=，113A E EC=.（1）设11l B C P=，11l C D Q⋂=，试在所给图中作出直线l，使得l CE⊥，并说明理由；（2）设点A与（1）中所作直线l确定平面α.①求平面α与平面ABCD的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面，并写出作法.【答案】（1）答案见解析；（2）①17；②答案见解析.【解析】【分析】（1）取11B C 和11C D 中点分别为P 、Q ，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得PQ ⊥平面11A C CA ，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线PQ 交1111,A B A D 于,G H ，连接,AG AH 分别交11,BB DD 于,M N ，进而可得截面.【小问1详解】由题意，P 、Q 分别为11B C 和11C D 的中点吋，有l CE ⊥，证明过程如下：连接11B D ，取11B C 和11C D 中点分别为P 、Q ，连接PQ ，∵113A E EC =，∴PQ 一定过经过点E ,∴PQ 即为所求作的l .∵P 、Q 分别为11B C 和11C D 的中点，∴P 、Q 为11B C D 的中位线，∴11PQ B D ∥，且PQ 过经过点E ，∵正方体的1111ABCD A B C D -的上底面1111D C B A 为正方形.∴111B D AC ⊥，∵11//PQ BD ，∴11PQ A C ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -的侧棱1CC 垂直底面1111D C B A ，1111PQ AB C D ⊂，∴1PQ CC ⊥，又∵11A C ，1CC ⊂平面11A C CA ，1111AC CC C = .∴PQ ⊥平面11A C CA ，∵CE ⊂平面11A C CA ，∴PQ CE ⊥，即l CE ⊥；【小问2详解】①连接AP ，AQ ，∵正方体111ABCD A B C D -中，有AD ，DC ，DD 两两垂直，以D 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，。
广东省2023届高三学业水平考试模拟卷三数学试题(含答案解析)
广东省2023届高三学业水平考试模拟卷三数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,0,A a =，集合{}21B a =，，{0,1,2,4,16}A B = ，则A B = （）.A ．{}0B ．{}4C ．∅D ．{}24，2．设复数z 满足2i z z -=，2z =，复数z 所对应的点位于第一象限，则1=z（）A ．12B ．i 4C ．12-+D ．i 43．若2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则((2))f f -等于()A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等比数列{}n a 的公比为负数，且2395·2a a a =，已知21a =，则1a =()A ．12B ．2C ．2D ．25．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，4b =，3C π=，则c =（）AB C D6．已知sin 3cos 0αα-=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．457．下列说法不正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若“1x >”是“1x >”的充分不必要条件D ．若命题p ：“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”，则:p ⌝“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”8．如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE9．已知一组数据按从小到大的顺序排列为–8，–1，4，x ，10，13，且这组数的中位数是7，那么这组数据的众数是A ．7B ．6C ．4D ．1010．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点；③黑色阴影部分中一点()x y ，,则x y +的最大值为2．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②11．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于30分钟的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．1612．若实数x ，y 满足x 10x y 10x y 10-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的最大值是()13．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且2BF FD =，则椭圆C 的离心率为（）AB C ．13D ．314．设0.45a =,0.3log 0.4b =,4log 0.2c =，则a ,b ,c 的大小关系是A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>15．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于（）A ．-B ．C ．4D ．4二、填空题16．设函数()f x ={}(),A x y f x B ==={}()y y f x =，则如图中阴影部分表示的集合为__________．17．在ABC 中，AB =AC =45BAC ∠= ，P 是ABC 所在平面内任意一点，则PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值是________.18．过点(0,0)O作直线与圆22((8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.19．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．三、解答题20．已知π04α<<，πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求cos α的值；(2)若π02β-<<，()3cos 5αβ-=，求cos β的值.21．已知公差不为0的等差数列{an }满足11a =，且a 2，a 5，a 14成等比数列.(1)求数列{an }的通项公式；(2)若3n n ab =，求数列{}n n a b +的前n 项和Sn ..参考答案：1．C【分析】根据{0,1,2,4,16}A B = ，求得实数a ，即可求得集合A 、B ，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：因为{0,1,2,4,16}A B = ，所以2416a a =⎧⎨=⎩，解得4a =，或2164a a =⎧⎨=⎩，无解，所以{}{}2,0,4,1,16A B ==，所以A B ⋂=∅.故选：C.2．B【分析】设()i R,R z a b a b =+∈∈，由题可得222240,0b a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，即求.【详解】设()i R,R z a b a b =+∈∈，则i z a b =-，由复数z 满足2i z z -=，2z =，复数z 所对应的点位于第一象限，则222240,0b a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，解得1a b ==，∴1i 4z ==.故选：B.3．D【分析】由分段函数的解析式先求()2f -，再求()()2f f -即可.【详解】由()2,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，可得()()222f -=--=.所以()()()22224f f f -===.故选D.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.4．B【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q <，226395·2a a a a ==，即222552a q a =，则22q =，解得q =21a =，所以212a a q ==-.故选：B 5．B【分析】直接运用余弦定理即可.【详解】依题意，由余弦定理：222222cos 34234cos133c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，c ∴=；故选：B.6．B【解析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】sin 3cos 0tan 3ααα-=⇒=，所以有：cos 22sin 22sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-=-222sin cos sin cos αααα=-+22tan 1tan αα=-+63195=-=-+.故选：B 7．B【分析】由逆否命题定义知A 正确；由且命题真假性的判定知B 错误；由推出关系可知C 正确；由特称命题的否定知D 正确.【详解】对于A ，由逆否命题定义知原命题的逆否命题为：若1x ≠，则2320x x -+≠，知A 正确；对于B ，若p q ∧为假命题，则,p q 一真一假或均为假命题，B 错误；对于C ，11x x >⇒>，充分性成立；11x x >⇒>或11x x <->¿，必要性不成立，∴“1x >”是“1x >”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，由特称命题的否定知p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥，D 正确.故选：B.8．C【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.【详解】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选：C 9．D【分析】直接利用中位数的定义列方程求出10x =，再根据众数的定义求解即可.【详解】因为8,1,4,,10,13x --的中位数是7，所以()147,102x x +=∴=，∴这组数据有两10个，其他数据都是1个，所以这组数据的众数是10，故选D ．【点睛】本题主要考查中位数与众数的定义，属于基础题.众数是一组数据中出现次数最多的数据，要求一组数据的众数只需看哪个数据最多即可.10．D【解析】黑色阴影部分和白色部分面积相等，①中概率易求，由直线4(2)3y x =--与半圆22(1)1y x +-=的位置关系可确定②是否正确，点(,)x y 在半圆22(1)1y x +-=上时，x y +才能取最大值，求出这个最大值可判断③．【详解】由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等，因此在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，①正确；黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，其方程为22(1)1y x +-=（0x ≥），直线4(2)3y x =--的一般式方程为：4380x y +-=，1d =，说明直线4(2)3y x =--与半圆22(1)1y x +-=相切，②正确；点(,)x y 在半圆22(1)1y x +-=（0x ≥）上，设cos ,1sin ,[,22x y ππθθθ==+∈-，cos sin 1)14x y πθθθ+=++=++，由[,22ππθ∈-得3[,]444πππθ+∈-，∴42ππθ+=时，x y +111+=，③错．正确的有①②故选：D ．【点睛】本题考查寓数学知识于数学文化之中，考查几何概型，考查直线与圆的位置关系，考查最值问题．本题属于中档题．11．A【分析】由题意知这是一个几何概型，利用对应时间长度的比，即可求出结果．【详解】由题意知这是一个几何概型，因为电台整点报时，所以事件总数包含的时间长度是60，又满足他等待时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是30，故所求的概率值为301602P ==．故选：A ．12．B【分析】画出约束条件的可行域，即可判断y 的最大值的位置，求解即可．【详解】实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：可行域是三角形的区域，A 的纵坐标取得最大值，由{110x x y =-+=，可得1x =，2y =．故选B ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．13．A【分析】由题意设椭圆的焦点在x 轴上，(c,0)F ，(0,)B b ，设(,)D x y ，由2BF FD =解得点D 坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.【详解】设椭圆的焦点在x 轴上，方程为22221(0)x ya b a b+=>>，(c,0)F ，(0,)B b ，设(,)D x y ，由2BF FD =，且(,),(,)BF c b FD x c y =-=-uu u r uu u r ，故31,22c x y b ==-，31,22c D b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点D 在椭圆上，故222231221c b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得2213c a =，故离心率3c e a ==，故选：A.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．14．C【分析】通过指数函数的单调性可得1a >，通过对数函数的单调性可得10b >>，0c <，进而可得结果.【详解】∵0.40551a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31b =<=，0.30.3log 0.4log 10b =>=，即01b <<，44log 0.2log 10c =<=，∴a b c >>，故选C.【点睛】本题考查了指数的运算法则、对数的运算法则与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．A【分析】由已知α角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求tan α【详解】由1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知：sin 3α=-∴sin tan cos ααα==-故选：A【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值16．[5,0)(3,4]-⋃【分析】集合A 表示函数的定义域，集合B 表示函数的值域，先求出两集合，而阴影部分表示的是从A B ⋃中去掉A B ⋂的部分即可.【详解】因为2{|2150}[5,3]A x x x =--+≥=-，{|[0,4]B y y ===，所以[0,3],[5,4]A B A B ⋂=⋃=-，因为阴影部分表示的是从A B ⋃中去掉A B ⋂的部分所构成的集合，所以阴影部分表示的集合为[)(]5,03,4-⋃，故答案为：[)(]5,03,4-⋃17．4-【分析】利用余弦定理和勾股定理可知90ABC ∠= ，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，设(),P x y ，利用平面向量的坐标运算可将所求式子化为224+--，由此可确定最小值.【详解】由余弦定理得：2222cos 61262BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯=，222AB BC AC ∴+=，即90ABC ∠= .以B 为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：则(A ，()0,0B ，)0C，设(),P x y ，()PA x y →∴=-，(),PB x y →=--，),PC x y →=-，))))22PA PB PB PC PC PA x y y x y x y→→→→→→∴⋅+⋅+⋅=----+----2222334x y =-+-=-+--，20-≥ ，20≥，4PA PB PB PC PC PA →→→→→→∴⋅+⋅+⋅≥-，即PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值为4-.故答案为：4-.【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的求解问题，解决此类问题通常可以采用建立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解.18．932【分析】根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过14的直线条数，根据古典概型求得结果.【详解】由题意可知，最长弦为圆的直径：221326r =⨯=()0,0O 在圆内部且圆心到O 12=∴最短弦长为：210=∴弦长为整数的直线的条数有：()22510232⨯-+=条其中长度不超过14的条数有：()2141019⨯-+=条∴所求概率：932p =本题正确结果：932【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.19．π【解析】圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故答案为：π20．(1)46(2)2830【分析】（1）先确定π4α+的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用ππ44αα=+-求解；（2）先确定αβ-的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用()βααβ=--并结合第（1）问的数据求解.【详解】（1）π04α<<，∴πππ442α<+<，故πcos 04α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 444444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）因为π04α<<，π02β-<<，则3π04αβ<-<，又()3cos 5αβ-=，∴π02αβ<-<，∴()sin 0αβ->，()4sin 5αβ-==，结合（1）中数据知，ππππππsin sin sin cos cos cos 444444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13⎫==⎪⎪⎝⎭所以()()()28cos cos cos cos sin sin 30βααβααβααβ=--=-+-=⎡⎤⎣⎦.21．(1)21n a n =-；(2)()23918n n S n -=+.【分析】（1）利用等比中项的概念可求出数列{}n a 的公差，然后利用等差数列的通项公式可求出答案；（2）根据分组求和的方法即可求出答案.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d ，因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以22514a a a =，即()()()2141113d d d +=++，因为0d ≠，所以解得2d =，所以21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，所以2133n n n a b -==，所以()21213n n n a b n -+=-+，所以()()()132********n n S n -⎡⎤=+++++-+⎣⎦…()()()()13213191211321333219n n n n n --+-=+++-++++=+⎡⎤⎣⎦-……()23918n n -=+.。
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A．0B．32C．16D．
6．对于命题“若 则 ”要使得该命题是真命题 可以是（）
A． 是空间中三个不同的平面
B． 是空间中三条不同的直线
C． 是空间中两条不同的直线 是空间的平面
D． 是空间中两条不同的直线 是空间的平面
7．在 中内角 所对应的边分别为 且 则 的最大值是（）
16.已知四边形ABCD为平行四边形 现将 沿直线BD翻折得到三棱锥 若 则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为_________.
四、解答题：本大题共6小题共70分．第17题为10分其他为12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列 的前n项和为 且 .
（1）求 的通项公式；
（2）已知 求数列 的前n项和 .
18.在锐角 中角ABC所对应的边分别为abc已知 .
（1）求角A 值；
（2）若 求 的取值范围．
19.安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育学校组织了一次学生安全知识竞赛学校设置项目A“地震逃生知识问答”和项目B“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组每组参加一个项目进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜比赛结束）假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为 在项目B中甲班每一局获胜的概率为 且每一局之间没有影响．
11．已知点 在圆 ： 上点 则（）
A．点 到直线 的距离的最小值是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D．当 为直角三角形时其面积为3
12．佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为 且 ．则（）
2023届高三年级校模
数学
本试卷共4页满分150分考试用时120分钟.
第I卷选择题
一、单项选择题：本题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、设集合 .若 则 ()
A. B. C.1D.3
2、已知复数 i为虚数单位,则复数z在复平面内所对应的点位于()
A.第一象限B.Βιβλιοθήκη 二象限C.第三象限D.第四象限22.已知函数 其中 且 .
（1）证明：当 时 恒成立；
（2）证明：当 时曲线 与曲线 有且只有两条公切线．
A． B． C． D．
8．若 则（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题每小题5分共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分．
9．已知角 的终边与单位圆交于点 ,则 ( )
A. B. C. D.
10．若函数 且 则（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 满足 则 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
4．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体中国国家表演艺术的最高殿堂中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆 其长轴长度约为 短轴长度约为 ．若直线 平行于长轴且 的中心到 的距离是 则 被 截得的线段长度约为（）
A． B． C． D．
（1）求乙班在项目A中获胜的概率；
（2）设乙班获胜 项目个数为X．求X的分布列及数学期望．
20.如图在三棱台 中面
（1）证明： ；
（2）若棱台的体积为 求二面角 的余弦值．
21.在平面直角坐标系xOy中点P到点 的距离比到y轴的距离大l记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为 的直线l交椭圆 于AB两点交曲线C于M、N两点若 为定值则实数 应满足什么关系？
A． B．数列 是等比数列
C． D．白银比为
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题：本题共4小题每小题5分共20分．
13.二项式 的二项式系数之和为64则展开式中的 的系数是_________．（填数字）
14.已知 为锐角 则 ______
15.已知点P是椭圆 上一点椭圆C在点P处的切线l与圆 交于AB两点当三角形AOB的面积取最大值时切线l的斜率等于_______