湘教版高中数学必修四知识点归纳总结

解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC 4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR； ③::sin:sin:sinabcC； ④sinsinsinsinsinsinabcabcCC． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．

8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac， 2222coscababC．

9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；

③若222abc，则90C． 题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1. 在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC ( )

A．23 B．32 C．32 D．23 【答案】D 4(2005年全国高考江苏卷)ABC中，3A，BC＝3，则ABC的周长为（ ）

A．33sin34B B．36sin34B C．33sin6B D．36sin6B 分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线

BD=5，求sinA的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．

解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且36221ABDE，设BE＝x

在ΔBDE中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222， xx6636223852，解得1x，37x（舍去）

故BC=2，从而328cos2222BBCABBCABAC，即3212AC又630sinB，

故22123sin306A，1470sinA 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。 答案：000018030BAAA∴，且，∴ 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

1. (2005年北京春季高考题)在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由CBAsincossin2＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．

解法2：由题意，得cosB＝sin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB＝2222acbac．

∴ 2222acbac＝2ca，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

3.在△ABC中，若abAB22tantan，试判断△ABC的形状。 答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC中，coscosAb，判断△ABC的形状。 答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。 题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC中，若120A，5AB，7BC， 则ABC的面积S＝_________

2．在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。 答案：SACABAABC1212232643426sin() 3. （07浙江理18）已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC． （I）求边AB的长； （II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB， 两式相减，得1AB． （II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，

由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC， 所以60C． 题型之四：三角形中求值问题

1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，

设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321

,21cot23sinsin120coscos120sinBB

BB解得,2cotB从而.21tanB

2．ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得B+C2=π2－A2，所以有cosB+C2 =sinA2。

cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1－2sin2A2 + 2sinA2=－2(sinA2 － 12)2+ 32； 当sinA2 = 12，即A=π3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。 3．在锐角ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA

的值；（2）若2a，2ABCS△，求b的值。

解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，22sin3A，所以cosA＝13， 则 22222

BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cosBC11cosA171cosA1cosBC21cosA33＋＋＋＝＋＋

－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝

＋（＋）－

（2）ABCABC1122S2SbcsinAbc223因为＝，又＝＝，则bc＝3。 将a＝2，cosA＝13，c＝3b代入余弦定理：222abc2bccosA＝＋－中， 得42b6b90－＋＝解得b＝3。 点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。

4．在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C． （Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，； （Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积． 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224abab，

又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab． ························ 4分

联立方程组2244ababab，，解得2a，2b． ·············································· 6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，