湘教版高中数学必修四知识点归纳总结

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++=== 4、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外

接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C ===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②化边为角：sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===A +B +A B ．

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =

A ==

B ． 8、余弦定理：在

C ?AB 中，有2

2cos a b c bc =+-A ，2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=．

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若2

a b c +=，则90C =

；②若2

a b c +>，则90C <

； ③若2

a b c +<，则90C >

．

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=

( )

A ．23-

B ．32-

C ．32

D ．2

3 【答案】D

4(2005年全国高考江苏卷)ABC ?中，3

A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（）

A ．33sin 34+???

πB B ．36sin 34+??? ?

+πB C ．33sin 6+???

πB D ．36sin 6+??? ?

+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷)在ΔABC 中，已知6

cos ,364=

B AB ，A

C 边上的中线B

D =5，求sin A 的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3

221=

AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22

?-+=，

x x 6

36223852??++=，解得1=x ，37-=x （舍去）

故BC =2，从而328cos 22

22=

?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又6

30sin =B ，故221

23sin 30

A =，1470

sin =A 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

答案：000

018030B A A A ><<=∴，且，∴

题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是

（）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，

即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．

解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝222

2a c b ac

+-．

∴ 2222a c b ac

+-＝2c a ，即a 2＝b 2

，得a ＝b ，故选(B)．

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一

化为边，再判断(如解法2)．

2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形答案：C

解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

3.在△ABC 中，若a b

B 22=tan tan ，试判断△AB

C 的形状。

答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ?中，若120A ∠=

，5AB =，7BC =，

则ABC ?的面积S ＝_________

2．在?ABC 中，sin cos A A +=2

，AC =2，AB =3，求A tan 的值和?ABC 的面积。

答案：S AC AB A ABC ?=?=???+=+12122326434

26sin ()

3. （07浙江理18）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为

sin 6

C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积

sin sin 26

BC AC C C = ，得13BC AC = ，

由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=

22()21

AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C =

．

题型之四：三角形中求值问题

1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，

设c b a 、、满足条件2

22a bc c b =-+和32

1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．

分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

解：由余弦定理2

2cos 222=-+=

bc a c b A ，因此，?=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.

由已知条件，应用正弦定理

B B

C b c sin )

120sin(sin sin 321-?===+ ,2

cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=?-?=

B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B

2．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2

B C

A ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2－A 2，所以有cos B+C 2 =sin A

。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 3

2；

当sin A 2 = 12，即A=π3时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

2。

3．在锐角ABC △中，角A

B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22

sin 3

A =，（1）求2

2tan sin 22

B C A

++的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值。解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，22

sin 3

A =，所以cosA ＝13，

则

2222B C

sin B C A A 2tan sin sin B C 222

cos 2

1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33

＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－

（2）ABC ABC 1

122

S 2S bcsin A bc 223

? 因为＝，又＝＝，则bc ＝3。将a ＝2，cosA ＝

13，c ＝3b

代入余弦定理：222

a b c 2bccos A ＝＋－中，得4

b 6b 90－＋＝解得b ＝3。

点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。

4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=．（Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关

知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

4a b ab +-=，又因为ABC △的面积等于3，所以

sin 32

ab C =，得4ab =． ························ 4分联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分当cos 0A =时，2A π=

，6B π=，433a =，23

b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得233a =，43

3b =．

所以ABC △的面积123

sin 23

S ab C =

． ················· 12分题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等

方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题 1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选

定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得

∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得

sin sin AC AB

CBA ACB

=∠∠，∴AC=AB=120m ，又

∵11

sin 22

ABC S AB AC CAB AB CD =?∠=? ，解得CD=60m 。

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

（二.）遇险问题

2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得

BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。

图1

A B C D 西北南东 A B C 30° 15°

图2

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。

数列复习基本知识点及经典结论总结

1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做

这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。

递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1

-（前n

项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

数列的前n 项和：a a a a s n n ++++=...321.

已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式a n

=?????≥=--)

2(,)1(,11

n n s s s n n

注意：

一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情

况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。

2.等差数列的有关概念：

1、等差数列的定义：如果数列{}

a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即

)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).

（1）等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。 ②中项法：a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。③通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）?{}a n 为等差数列。④前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.

（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

n n n S na d -=+

。公式变形为：Bn n A s n +=2

，其中A=2d

，B=2

d a -.注意：已知n,d, a 1,a n ,

s n 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

如（1）数列{}n a 中，*11

(2,)2