与函数相联系的图形旋转问题举例
初中数学旋转题型
初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。
掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。
下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。
1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。
解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。
2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。
解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。
5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。
解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。
以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的表达式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x、y为变量。
在二次函数的图像中，a决定了抛物线开口的方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
在解决二次函数平移旋转的问题时，我们可以根据抛物线的特性来进行总结和归纳。
下面我们将介绍二次函数的平移、旋转以及一些典型习题。
一、平移：1. 抛物线y = ax^2 + bx + c向左平移h个单位的公式为：y =a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
同样地，向右平移h个单位的公式为：y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向左平移2个单位，则平移后的二次函数为y = (x - 2)^2 + 2(x - 2) + 1。
2. 抛物线y = ax^2 + bx + c向上平移k个单位的公式为：y =a(x^2 + bx + c + k)。
同样地，向下平移k个单位的公式为：y = a(x^2 + bx + c - k)。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向上平移3个单位，则平移后的二次函数为y = (x^2 + 2x + 1) + 3。
二、旋转：对于二次函数的旋转，我们需要使用变量替换的方法。
假设原二次函数y = ax^2 + bx + c按照逆时针旋转α角，则旋转后的二次函数可表示为：x = x'cosα - y'sinαy = x'sinα + y'cosα其中，(x', y')是旋转前的坐标，(x, y)是旋转后的坐标。
三、典型习题：1. 设二次函数y = ax^2 + bx + c的图像通过点(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，求a、b、c的值。
解：将三个点分别代入二次函数中，我们可以得到3个方程： a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)9a + 3b + c = 4 (3)解方程组(1)(2)(3)，得到a = 1/2，b = -3/2，c = 2。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
高中数学旋转解题技巧
高中数学旋转解题技巧在高中数学中，旋转是一个常见的解题技巧，它可以帮助我们简化问题，找到更直观的解题方法。
本文将介绍几种常见的旋转解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地掌握这些技巧。
一、旋转解题的基本原理旋转解题是将原问题通过旋转变换转化为一个更简单的问题，从而利用几何性质进行求解。
在旋转解题中，我们通常会用到以下几个基本原理：1. 旋转不改变长度和角度：旋转只改变了原图形的位置和方向，但不改变图形的长度和角度关系。
因此，在旋转解题中，我们可以利用旋转后的图形与原图形的对应关系来求解问题。
2. 旋转对称性：旋转对称性是指图形在某个旋转变换下保持不变。
利用旋转对称性，我们可以将原问题转化为一个与之等价的旋转对称问题，从而简化求解过程。
3. 旋转变换的性质：旋转变换具有保角性和保持直线平行性的性质。
利用这些性质，我们可以推导出旋转后的图形与原图形的一些几何关系，进而解决问题。
二、旋转解题的实际应用下面我们通过几个具体的题目来说明旋转解题的应用方法和技巧。
题目一：已知一个平面图形，将其逆时针旋转90度，再将旋转后的图形绕原点顺时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。
求原图形的类型。
解析：根据题目描述，我们可以得知旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。
根据旋转变换的性质，逆时针旋转90度相当于顺时针旋转270度，再绕原点顺时针旋转60度相当于逆时针旋转300度。
因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转270度再逆时针旋转300度，即逆时针旋转570度。
根据旋转对称性，逆时针旋转570度等于顺时针旋转360度加上逆时针旋转210度。
所以，原图形的类型是正五边形。
题目二：已知一个圆的半径为r，以圆心为中心，将圆逆时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。
求r的值。
解析：根据题目描述，旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。
根据旋转变换的性质，逆时针旋转60度相当于顺时针旋转300度。
因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转300度。
函数图象的平移,旋转,翻折问题
函数图象中的旋转，平移，翻折问题1 （2017荆州）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A （-1,2 ）关于y轴的对称点落在平移后的直线上, 则占的值为__________2（2017广安）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P',且P在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_____________________3 （2016湖州）已知点P在一次函数y=kx+b （k, b为常数，且k v 0, b > 0）的图象上，将点再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上，k的值是 ____________________ ;4 （2017孝感）如图，将直线y x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点 A 2, 4 ,且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA PB的值最小，则点P的坐标为5 （2017随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移k长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y 的图象于点B ,x（1）求反比例函数的解析式；（2）若P（X1,yJ、Q（x2,y2）是该反比例函数图象上的两点，且洛x2时,指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由.6 （2016聊城）如图，在直角坐标系中，直线y= -与反比例函数对称的A, B两点，已知A点的纵坐标是3.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y= - -「-x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点求平移后的直线的函数表达式.7 （2017连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2,0）的直线交y轴正半轴于点B ,将直线AB绕着点O 顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C.（1）若OB =4，求直线AB 的函数关系式；⑵连接BD ，若△ ABD 的面积是5，求点B 的运动路径长22x4 1先向左平移4个单位长度，再向上平移 2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（10 （2016滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择 180°得到抛物线 y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式是（） A / £、2】1 f/£、2】A . y=-（ X -二）B . y=-（ x+H C. y= -（ x -刁--D. y= -（x ^）11 （2016眉山）若抛物线y=x - 2x+3不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向 向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）2 2 2 2 A. y= （x - 2） +3 B . y= （x - 2） +5 C . y=x - 1 D . y=x +41 212 （2017盐城）如图，将函数 y= （x-2 ） +1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其 2中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点 A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）13 （2017天津）已知抛物线 y x 2 4x 3与x 轴相交于点 AB （点A 在点B 左侧），顶点为M •平移该抛物线，使点M 平移后的对应点 M'落在x 轴上，点B 平移后的对应点 B'落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（）Q Q Q Q A . y x 2x 1 B . y x 2x 1 C. y x 2x 1 D . y x 2x 114 （2017丽水）将函数y x 的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1, 4）的方法是（ ）A .向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C .向上平移3个单位 D.向下平移1个单位 15已知二次函数y x 2 bx 1（ 1 b 1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动 B. 先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动8( 2017 襄阳) 将抛物线 2 A . y 2xB . c2 c y 2x3 c. y 2 x D. y 2x8 9 (2017 常德) 将抛物线2 2x 向右平移3个单位，再向下平移 5个单位, 得到的抛物线的表达式为 A. y 2(x 3)2 52 B. y 2(x 3) 5 C . y 2(x 3)2 5 D. y 2(x 3)2216已知抛物线C: y x 3x 10，将抛物线C平移得到抛物线C .若两条抛物线C、C关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）A.将抛物线C 向右平移5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位2C. 将抛物线C 向右平移5个单位D. 将抛物线C 向右平移6个单位17已知二次函数的图像过点（0, 3）,图像向左平移 2个单位后的对称轴是 y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有 一个交点，则此二次函数的解析式为 _____________________________ 。
例举与函数相关的几例几何图形问题
例举与函数相关的几例几何图形问题函数与几何图形问题呈现了完美的结合，函数与几何密不可分，其中复杂的问题可以通过分析函数与几何之间的联系来解决。
下面介绍几个常见的函数与几何图形问题。
一、抛物线：抛物线是一种二元二次函数，它的定义式为：y = ax² + bx + c，它有一个最典型的图形，类似于一个“U”字型，许多科学问题都可以使用该图来描述和解决，抛物线是应用非常广泛的几何图形。
二、双曲线：双曲线是一种三元一次函数，它的定义式为：y² = ax² + bx + c，双曲线通常由两个半双曲线组成，是几何图形当中比较复杂的一种，其在科学研究中发挥重要的作用。
三、圆形：圆形是一种二元一次函数，它的定义式为：(x-a)²+(y-b)²=r²,即圆心（a,b）与半径（r）的函数形式，圆形的函数表达式非常简单，其曲线在理论上可用无穷条线段来逼近，也是几何图形中最重要的图形之一。
四、椭圆：椭圆是一种三元二次函数，它的定义式为：(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1,椭圆是一种比较复杂的几何图形，它和圆形相差较大，它的定义比较复杂，其在科学研究中发挥重要的作用。
五、曲面：曲面是一种三维函数，它的定义式为：z = f(x, y)，它是一种比较复杂的几何图形，其表面结构可以有多种样式，例如凸曲面、凹曲面等，曲面是应用非常广泛的几何图形之一。
总之，函数与几何图形问题是一个十分重要的课题，它们俩结合可以解决许多复杂的科学问题，上述就是常见的几种函数与几何图形问题，它们在科学研究中是扮演着重要的角色。
初三旋转中的最值问题
初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。
在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。
本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。
一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。
最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。
初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。
以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。
我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。
然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。
比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。
对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。
函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。
初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。
二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。
圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。
求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。
以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。
我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。
05函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法
函数中的图形平移、旋转、折叠问题一、函数中的图形平移问题[例1]已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。
求以直线CD为图象的函数解析式。
[例2]已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求t an∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45需将抛物线向上平移几个单位？[例3]在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：y=12x在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为11）求直线l的函数解析式2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与x轴，y轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积。
[例4]如图3，边长为2的等边三角形OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B 点位于第一象限。
将三角形OAB 绕点O 顺时针旋转30度后，点A 恰好落在双曲线y=xk (x>0)上。
1） 求双曲线y=xk (x>0)的解析式；2） 等边三角形OAB 继续按顺时针旋转多少度后，A 点再次落在双曲线上？[例5]如图4，圆O 的半径为1，圆心在坐标轴原点，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，b ）（b>0）。
1）当b 为何值时，直线AB 与圆O 相离？相切？相交？ 2）当直线AB 与圆O 相切时，求直线AB 的解析式。
[例6]已知抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴相交于A （x 1,0）、B （x 2,0）（x 2>x 1）。
1） 若点P （-1，2）在抛物线y=x 2-2x+m 上，求m 值。
2） 若抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=x 2-2x+m 关于y 轴对称，点Q 1（-2，q 1）、Q 2（-3，q 2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，比较q 1与q 2的大小。
[例7]如图6，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 本别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC 边上的一个点，如把矩形AOBC 沿AE 翻折后，C 点恰好落在x 轴上点F 处。
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与函数相联系的图形旋转问题举例作者：刘春杨|来源：东北育才学校初中部浏览次数：1026次东北育才网校| 2008-12-22 11:01:57图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。
其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。
一、与一次函数相联系的图形旋转问题A．三角形作旋转例1（06沈阳）．如图1-①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。
(1)求点C的坐标；(2)如图1-②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)(3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。
分析：（1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形；（3）问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”，所以“当△COE的面积为时”要注意多解。
解：（1）在中，，．点的坐标为．（2），，．（3）如图1-③，过点作于点．，．∵在中，，，．∵点的坐标为．直线的．同理，如图1-④所示，点的坐标为．设直线．例2（08金华）如图2，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P 是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.图2-①图2-②分析：（1）要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可，点A坐标已知，由已知△AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标；（2）因为△ABD是由△AOP旋转而得到的，易证△ADP是等边三角形，所以DP 的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点D作DH⊥x 轴于点H，但此题不易直接求得线段OH、DH的长，因而可过点B 作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.（3）由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为（t，0），所以分当t＞0、＜t≤0、t≤时三种情况讨论。
解：（1）如图2-③，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.由已知得BF=OE=2, OF= =∴点B的坐标是(，2)设直线AB的解析式是y=kx+b，则有解得∴直线AB的解析式是y=x+4(2) 如图2-④，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP=.……（2分）如图，点B作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.在Rt△BDG中，∠BGD=90°, ∠DBG=60°.∴BG=BD·cos60°=×=. DG=BD·sin60°=×=.∴OH=KG=, DH=∴点D的坐标为(, )(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:①t＞0时，如图2-⑤，BD=OP=t, DG=t,∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于，∴，解得, ( 舍去) . ∴点P1的坐标为 (,0 )②当＜t≤0时，如图2-⑥，BD=OP=－t, BG=－t,∴DH=GF=2－（－t）=2+t. ∵△OPD的面积等于，∴，解得, .∴点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).③当t≤时，如图，BD=OP=－t, DG=－t,∴DH=－t－2.∵△OPD的面积等于，∴，解得(舍去),∴点P4的坐标为(, 0)综上所述,点P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 (, 0)、P3 (, 0) 、P4 (, 0)B．角作旋转例3（06南通）如图3-①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD ＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．（1）求直线CB的解析式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC交直线CB于点F，设DE＝m，BF＝n .求m与n的函数关系式．图3-①分析：（1）要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可；求点C坐标只需过点C作CG⊥x轴于点G。
（2）求点M的坐标只需求出线段OM的长度，由△ODM∽△BMC 即可求得。
（3）由于∠DMC绕点M顺时针旋转，点M有两种情况，因而需分情况讨论。
解：（1）BC解析式：y=（2）略证△ODM∽△BMC设OM=x，2×2＝x（5－x），x＝1或4M（1，0）或（4，0）（3）当M （1，0）时，△DME∽△CMF，CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m ，即m＝1＋当M(4，0) 时∴m＝2（2－n），即m＝4－2n图3-②图3--③二、与反比例函数相联系的图形旋转问题A．矩形旋转例4（06吉林．如图4-①，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为(4，0)，顶点G坐标为(0，2)．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；（2）求过点的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．分析：（1）由∠OGA=∠OMN=90度，∠AOG=∠AOG易知；（2）求过点的反比例函数解析式只需求出点A坐标，因为矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP，所以OM=OE=4，OG=EF=MN=2，又，所以求AG的长即可；（3）由点B横坐标为4，根据（2）中结论易求点B坐标，即可求出直线AB的解析式；（4）看矩形OEFG 的对称中心（4，1）是否满足（2）中所求解析式即可。
解：（1）．（2）由（1）得．（3）．（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为(2,1)．把代入，得．反比例函数的图象经过矩形的对称中心．B．三角形旋转例5（06天门））如图5-①，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。
将△OAB绕点O 顺时针旋转30°后，恰好点A落在双曲线上。
（1）求双曲线的解析式；（2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？图5-①分析：（1）根据题意，只需求出△OAB绕点O顺时针旋转30°后点A1坐标即可（过A1作A1C⊥X轴于C，由直角△OA1C中∠A1OC=30度，OA1=OA=2求出OC、CA1）；（2）可设A点次落在双曲线的A2处坐标为(a,)，然后过A2作A2D⊥y轴于D，在直角△OA1D中利用勾股定理求出a的值，再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。
解：（1）设旋转30°后，A点到A1，过A1作A1⊥X于C，在直角△O A1C中，得OC=，A A1=1，所以A1（，-1），所以反比例函数的解析式为y=（2）设A点次落在双曲线的A2处，设A2(a,)，过A2作A2⊥y于D，在直角△OA1D中,则a2+,解得a1=1a2=(舍),所以∠A2OD=,∠A2OD=30°所以∠A1OA2=30°继续按顺时针旋转30°后，A点再次落在双曲线上。
例6．（08义乌）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6-①，点A的坐标为（），点B的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，请直接写出A、B的对称点的坐标；（2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；（3）若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值．②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.分析：（1）关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点的坐标；（2）三角形沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变，由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标，即可求出a的值；（3）当=时，易求点B坐标即可求k的值。
解：（1）（2）∵∴∴∴（3）①∵∴相应B点的坐标是∴②能当时，相应,点的坐标分别是，经检验：它们都在的图像上∴C．直线旋转例7 (06 北京)在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例函数的解析式．分析：由直线绕点顺时针旋转得到直线，易知直线的解析式为，由图象的意义易求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式。
解：依题意得，直线的解析式为．因为在直线上，则．即．又因为在的图象上，又因为在的图象上可求得．所以反比例函数的解析式为y=例8．(07福州)如图8-①，已知直线L：与双曲线交于两点，且点的横坐标为4．（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）直线绕点O旋转与交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．分析:（1）由图象意义根据直线L、点的横坐标为易求点A坐标，继而求出的值；（2）由点的纵坐标为8，可求点坐标，求的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差：可过点C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F，所以的面积=△OEC的面积+梯形AFEC-△AOF的面积；（3）可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。
因为不与点A重合因而分0＜＜4和＞4讨论，由于为顶点组成的四边形是平行四边形，因而由所给面积可求点P坐标。
解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当= 4时， = 2 . ∴点A的坐标为（ 4，2 ）. ∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点 , ∴k = 4 ×2 = 8 .(2)解：如图8-②，过点C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线上，当= 8时， = 1 .∴点C的坐标为 ( 1, 8 ).图8-②∵点C、A都在双曲线上 ,∴ S△COE = S△AOF = 4。