几何图形中的最值问题
几何中的最值问题
几何中的最值问题在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
变式1：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使P A－PB最大。
ALB例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。
A'例3、已知：如图⊙O1与⊙O2相交于C、D,A是⊙O1上一点，直线AD交⊙O2于点B。
⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O2于点B’，连结A’C、B’C。
证明：△A’B’C ∽△ABC。
(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S△A’B’C最大，说明理由。
（3）当O1 O2＝11，CD＝9时，求S△A’B’C的最大值。
BB图1 图2例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝y mm ，宽MN＝x mm（1）求证：y=120- x(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？。
几何图形中的极值问题课件
用于正方形
【例2】 正方形ABCD的边长是8，P是CD上的一点，且PD的长为2
，M是其对角线AC上的一个动点，则DM＋MP的最小值是_1_0__．
【评析】本题考查了轴对称－最短路线问题和正方形的性质，根据两 点之间线段最短，确定点M的位置是解题关键．
[对应训练] 2．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点， E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是_3___5____.
[对应训练] 3．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，AB＝6，AD＝8
，则PA＋PC的最小值为__1__0．
用于菱形
【例4】 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB 的中点，F为AC上的一个动点，则EF＋BF的最小值是_3__3_．
【评析】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方 是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF＋BF成为最小值 ．
[对应训练] 4．△ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动．若 AB＝AC＝5，BC＝6，AP
＋BP＋CP 的最小值为__9__._8_．
用于特殊三角形
【例5】 在△ABC中，∠BAC＝30°，在AC，AB边上各取一点M，N ，AB＝2，则BM＋MN的最小值是__3__．
点拨：过点B作关于AC的对称点B1 , 过点B1作B1N⊥AB于点N交AC于点M, 连接AB1，BM，
∴AO＝OB1＝2，∴在 Rt△AOB1 中，由勾股定理有，AB1＝2 2，
即 PA＋PB 的最小值为 2 2
【评析】本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根 据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
Байду номын сангаас
中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
几何最值问题解题技巧
几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。
2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。
3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。
4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。
5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。
6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。
7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。
8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。
以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。
在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。
例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。
连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
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几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题：1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5.3.几何图形：①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题B镇*A镇♦' -------------------------- '燃气管例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。
解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM•/ CD=BC=8,DM=2, /• MC=6,在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10，••• DN+MN勺最小值是10。
例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。
连OB oA,•••/ AMN=30B是弧AN的中点,•••/ BOA=30°,根据对称性可知:丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, DDMBNAMOA在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1,••• A B =、2 即 PA+PB= 2作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到DE 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ••• E(-1,-4),• M(-4,-1),过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1),在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, • MD= 5? 2 = .. 29。
•••最小值是.29 。
练习1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cmII \41订一干4 />is【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,AP+ PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP由已知和矩形的性质，得DC=9 BD=12在Rt△ BCD中，由勾股定理得BC DC2 BD2. 92 122 15。
••• AP+ PC=BPF PC=BC=15即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4,/ DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ勺最小值是解：过点D作DF丄AC垂足为F,则DF即为PQ+DQ勺最小值.•••正方形ABCD的边长是4,• AD=4 / DAC=45 ,在直角△ ADF 中，/ AFD=90 , / DAF=45 , AD=4,••• DF=AD?sin45 =4 二22故答案为23. （2009?陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 , / BAC=45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM + MN的最小值是 ____ .解：过B作关于AD的对称点B,则B在AC上,且AB=A B=4.,MB=M B,B/M N最短，即为B Z H最短。
在Rt△ AHB中，/ BAH= 45°, AB=4- ,• B H=4,• BM+ MN的最小值是 4.4. 如图，菱形ABCD中, AB=2, / A=120°，点P, Q K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，贝U PK+QK勺最小值为 _____解：•••四边形ABCD是菱形，• AD// BC•••/ A=120 ,•••/ B=180 -Z A=180 - 120° =60°,作点P 关于直线BD 的对称点 P ,连接 PQ PC 则P /Q 的长即为PK+Q 啲最小值，由图可知， 当点Q 与点C 重合，CP 丄AB 时PK+QK 勺值最小, 在 Rt △ BCP /中，T BC=AB=2 Z B=60° , ••CP /=BC?si nB=2X25. (2012 兰州)如图，四边形 ABCD 中,Z BAD= 120°,Z B =Z D = 90°，在 BC CD 上 分别找一点 M 汕使厶AMN 周长最小时，则Z AMI ^Z ANM 的度数为【 】A. 130° B . 120° C . 110°D . 100°解：作A 关于BC 和 ED 的对称点A', A 〃，连接A A 〃，交 BC 于M,交CD 于N,则A A 〃即为△ AMN 的周长最小值.作 DA 延长线AHT Z EAB= 120°,• Z HAA = 60°,• Z AA M+Z A "=Z HAA = 60°, •/Z MA A =Z MAA ,Z NAD =Z A ",故选：B .6. （2011?贵港）如图所示，在边长为 2的正△ ABC 中，E 、F 、G 分别为AB AC BC的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接 BP 、GP 则厶BPG 的周 长的最小值是 ______解：要使厶PBG 的周长最小，而 BG=1一定，且Z MA A +Z MAA =ZAMN ZNADF Z(A 〃=Z IANM • Z AMN-Z ANI =Z MA A +Z MAA +Z I NA +Z /_A=2( Z AA M +Z A " ) = 2X 60°= 120°,Rt △ OAB 勺顶点 A的坐标是（9,0） ,tan/ BOA —3 ,3点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则 解：作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于 P,连接AP,过D 作DN L OA 于N,则此时PA+PQ 的值最小， ••• Rt △ OABI 的顶点 A 的坐标为（9, 0）,.・. OA=9 •/ tan / BOA 念 /• AB=3^3，/ B=60°,3•••/ AOB=30 ,••• OB=2AB=^31 1 由三角形面积公式得： &OA E =- X OA< AB=- X OB< AM22即9X3后=6后AM ,9 9 • AM=— , • AD=2X — =9,22•••/ AMB=90，/ B=60°,A Z BAM=30 , •••/ BAO=90，•/ OAM=6°0 ,PA+PC 的最小值为 “ 677.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中,1 •/ DN± OA NDA=30 , • AN=-2^67AD=9，由勾股定理得:2DN=.、AD 2 AN 2 9 =9/32 "V5 2 --9 22令在Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC=、.DN 2 CN 2即PA+PC 的最小值是.67 , 解：作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于P ,连接AP, vl■r \ /£ —过D 作DNL OA 于N,则此时PA+PC 勺值最小，• DP=PA 「・ PA+PC=PD+PC=CD 0CA工8. （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， J3），点C 的坐标为（ -，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则△ PAC2 周长的最小值为（ ） • B (3 ,「)， ••• AB={% OA=3 / B=60°，由勾股定理得:OB=2 '；,由三角形面积公式得： 一X OAK AB 」X OBK AM 2 23 3 • AM 丄，• AD=2X =3, ::, :'， •••/ AMB=90，/ B=60°,A ZBAM=30 , •••/ BAO=90，•/ OAM=6°O , •/ DNL OA NDA=30 , • AN-Ag ，由勾股定理得：DN 「：；, 0), • CN =3_~2 在Rt △ DNC 中，由勾股定理得:即厶PAC周长的最小值为5+丄2 29. ( 2013?徐州模拟.仿真一)在平面直角坐标系中，矩形ABCD勺顶点A,B,C的坐标分别是(0, 0),( 20, 0)( 20 , 10)。
在线段AC AB上各有一动点M N,则当BM+M为最小值时，点M的坐标是( )解：如图，作点B关于AC的对称点B',过点B'作B' N丄OB于N, B'N交AC于M贝UB' N=B M+MN=BM+MN N 的长就是BM+MN勺最小值•连接OB ,交DC于P.•••四边形ABCD是矩形，••• DC/ AB, •••/ BAC=/ PCA•••点B关于AC的对称点是B', •••/ PAC=/ BAC•••/ PAC玄PCA •- PA=PC令PA=x,贝U PC=x PD=20-x.在Rt△ ADP中，T PA=PD+A[5,2 2 2二x = (20-x ) +10 ,• x=.•/ cos / B' ON=co3 OPD •- ON OB =DP OP• ON 20=:, • ON=12J yD cO s X O (A) N B得厶 B' GB^A ABCB /G ABB /B ACB' G=16 故 BM+M 的最小值是 16cm. 故答案为：16cm.11.如图，已知正方形 ABCD 勺边长为10,点P 是对角线BD 上的一个动点，M N 分别是BC CD 边上的中点，贝U PM+PN 勺最小值是 解：作点N 关于BD 的对称点N',交AD 与N ，连接N M 贝U N M =AB 最短。