数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题

和 x0 ，将体重 70kg 的某人在快速喝下 2 瓶啤酒之后一段时间内他血液中酒精含量的
测量值进行处理后，得到附录 1 所示的 y0 0 时的一组数据，并采用非线性最小二乘法 拟合算法对系数进行求解，得出参数如下。 x0 5193
=2.00796
=0.1855
同时可以看到，每瓶啤酒含酒精量为 2596.5mg。 所以，得出的血液中酒精含量关于时间的函数如下。
0.1855 t e 2.00756t ) 2860.78604(e y (t ) 0.1855( t 6) 2860.8028e 2.00756(t 6) 3800.7595e
0t 6 6 t 12
利用 matlab 对以上模型进行求解。 图 3 大李血液中酒精含量随时间变化图像
y (t ) ( y0 +5721.57208)e 0.1855t 5721.57208e 2.00796t
拟合效果如图。 图 1 函数的拟合效果
图 2 残差分析图
残差分析图
600 500 400 300 200 100 0 10 11 12 13 14 15 0.5 1.5 2.5 3.5 0.25 ‐100 ‐200 ‐300 ‐400 残差 0.75 4.5 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时刻为 t 时胃肠道中的酒精含量。
y (t ) 时刻为 t 时血液中的酒精含量。


胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量的比值。 血液中的酒精的排除率与血液中酒精量的比值。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 根据题目叙述，大李的实际情况符合快速饮酒的模型。为了确定函数中的系数 ，
x0 7789.5 y0 0
得到如下模型 y (t ) 8582.35814(e 0.1855t e 2.00756t ) 对以上模型进行求解，得出以下结果。 图 4 快速饮酒情况喝下 3 瓶啤酒后血液中酒精浓度关于时间变化曲线
由图大致估计， y (t ) 1000 的点在 t 10,15 内，通过编程求解，得到 t 11.59 时， y (t ) 1000 ，所以得出结论，在快速饮酒 3 瓶后 11 小时 35 分钟内驾车会被判定 为饮酒驾驶。
dx x dt x(0) x0
观察可得该微分方程为可分离变量型，求解得
x(t ) x0 e t
对于血液中的酒精含量，同时进行胃肠道向血液的转移与血液中的酒精代谢两种 过程， y (t ) 的吸收过程的增长速度是 x (t ) ，代谢过程的减少速度与 y (t ) 本身的大小成 正比，所以 y (t ) 满足微分方程
由图可知，当大李第一次喝酒 6 小时后，血液中酒精含量为 939.95mg，即 18.8 毫 克/百毫升，低于饮酒驾驶标准（20 毫克/百毫升） ，而大李第二次饮酒 6 小时后，血液 中酒精含量为 1248.8mg，即 24.98 毫克/百毫升，超出饮酒驾驶标准，所以被判定为饮 酒驾车。 5.2 问题二 5.2.1 快速饮酒情况 对于很短的时间喝下 3 瓶啤酒的情况，与问题一中的情况类似，于是修改快速饮酒 模型，令其中参数
t
y (t )
t
y (t )
t
y (t )
8.2 利用非线性最小二乘法对函数中未知数拟合的程序 #include <stdio.h> #include <math.h> double t[23]={0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}; double y[23]={1500,3400,3750,4100,4100,3850,3400,3400,2900,2550,2500,2050,1900,1750,1400,1 250,900,750,600,500,350,350,200}; double e=2.718282; double f(double a,double b,double c,double x) { double y,t; t=a*b/(c-b); y=pow(e,-b*x)-pow(e,-c*x); return (y*t); } double r(double a,double b,double c) { double s=0.0; int i; for(i=0;i<23;i++) s+=(f(a,b,c,t[i])-y[i])*(f(a,b,c,t[i])-y[i])/23; return s; } int main() { double a,b,c,i,j,k,min=9999999999; for(a=5190;a<5210;a=a+1) { for(b=2.0;b<2.01;b=b+0.00001) for(c=0.185;c<0.187;c=c+0.00001) { if(r(a,b,c)<min) { min=r(a,b,c); i=a; j=b; k=c; } } printf("%.0lf\n",a); } printf("a=%.0lf\nb=%lf\nc=%lf\n",i,j,k); return 0; }
经过观察，发现函数曲线与数据拟合得很好，残差均匀地分布在 x 轴两侧，因此 可以认为拟合所得的函数曲线是符合实际的。
下面对问题 1 进行求解，因为大李是在起始时刻（ t 0 ）时摄入 1 瓶啤酒 （ x0 2596.5 ） ，6 小时后（ t 6 ）再次摄入 1 瓶酒（ x0 x(6) 2596.5 ， y0 y (6) ） ， 得到大李血液中酒精含量的函数，建立以下模型。
饮酒驾车
摘要
一、 问题重述
据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾车造成的 占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况， 国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了 新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾 驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车 （原标准是小于 100 毫克/百毫升） ，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉 酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克/百毫升） 。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在 吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又一次遭遇检查 时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不 一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模 型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以 下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车 提出忠告。
二、问题假设
1．快速饮酒时，所有的酒精瞬间进入胃肠道。 2．慢速饮酒时，酒精在饮酒时间内均匀进入胃肠道。 3．胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量成正比，血液中的酒精的 排除率与血液中酒精量成正比。 4．酒精在血液中均匀分布，即酒精从小肠处血液立即向全身扩散均匀。 5．体重为 70kg 的成年人的血液总量为 5000mL。
dy x y dt y (0) y0
该方程为一阶线性非齐次微分方程，求解得 y (t ) ( y0 于是便得到了快速饮酒模型。 3.2 慢速饮酒模型
x0 t x0 t )e e
四、变量说明
x(t )
三、问题分析
3.1 快速饮酒模型 为了判断血液中酒精含量是否达到饮酒驾驶的阈值， 首先需要寻求胃肠道中的酒精 量与血液中的酒精量随时间变化的规律，而这些量又同时受到饮酒、酒精的吸收与酒精 的代谢这些过程的影响。根据假设与分析，对胃肠道中的酒精含量 x(t ) 与血液中的酒精 含量 y (t ) 建立如下微分方程模型： 快速饮酒时，对于胃肠道中的酒精含量，因为随着时间的推移，酒精从胃肠道中向 血液的转移， x(t ) 的下降的速度与 x(t ) 本身的大小成正比，所以 x(t ) 满足微分方程
8.3 求解快速饮酒 3 瓶后醉酒驾驶时间的程序 #include <stdio.h> #include <math.h> double e=2.718282; double f(double a,double b,double c,double x) { double y,t; t=a*b/(c-b); y=pow(e,-b*x)-pow(e,-c*x); return (y*t); } int main() { double a=778ห้องสมุดไป่ตู้.5,b=2.00796,c=0.1855,x; for(x=10.0;f(a,b,c,x)>=1000;x=x+0.01); printf("%lf\n",x); return 0; }
六、模型评价 七、参考文献 八、附录
8.1 某人在喝下 2 瓶啤酒后，一段时间内血液中酒精含量值 t 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2
y (t )
1500 2.5 3400 6 1900 12 600 3400 3 3400 7 1750 13 500 3750 3.5 2900 8 1400 14 350 4100 4 2550 9 1250 15 350 4100 4.5 2500 10 900 16 200 3850 5 2050 11 750