本科“统计学”——第十一章 统计决策

2、决策树
1. 决策树以图形显示了决策制定过程的连续性，比
较适用于求解复杂的多阶段决策问题；
2. 决策树每一个末端的数字表示与一个特定结果相
关的收益（支付）
方框表示决策节点； 圆圈表示机会节点；
由决策点延伸同的分枝对应的是决策方案；
由机会节点延伸出来的分枝对应的是自然状态； 收益（支付）标在自然状态分枝的末端。
大收益值，然后再从中选择最大者，并以其 相对应的方案作为所要选择的方案。
2. 最大的最大收益值准则一般只有在客观情况
确实很乐观，或者即使决策失误，也完全可 以承受损失的场合才采用。
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（二）最大的最小收益值准则
1. 在决策时，先选出各种状态下每个方案的最
小收益值，然后再从中选择最大者，并以其 相对应的方案作为所要选择的方案。
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（五）等可能性准则
1.
该准则假定各种状态可能出现的概率相同, 在此基础上求各方案收益的期望值，并以期 望收益值最大的方案作为所要选择的方案。
2.
等可能性准是以各种方案的收益的期望值作 为选择方案的标准。
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各种准则的特点和适用场合
1. 最大的最大收益值准则一般只有在客观情况确实很乐观，或
者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才采用。
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例题：利用决策树进行风险型决策
1. 某汽车配件厂拟安排明年某零件的生产。该厂有两种
方案可供选择：
继续利用现有设备生产，零件的单位成本是0.6万元； 对现有设备进行更新改造，以提高设备效率。改造需要投资 100万元（假定全部摊入明年成本），成功的概率是0.7：
如果成功，零件不含上述投资费用的单位成本可降至0.5万元； 如果不成功，则仍用现有设备生产。
1. 2.
利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。 然后，将各种方案在不同状态下的收益值与目标值
相比较，并以收益值不低于目标值的累积概率为最
大的方案作为所要选择的方案。
3.
利用该准则的决策结果，与满意水平的高低有很大
关系。
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三、利用决策树进行风险型决策
利用决策树对方案进行比较和选择，一般 采用逆向分析法，即从树形结构的末端的条 件结果开始，从则
1. 在期望值达到一定数额的前提下，以变异系数
较低的方案作为所要选择的方案。
2. 方差 Var( ai ) 和变异系数 V 的计算公式如下：
Var(ai) = E(Q(ai))＝
q
j 1
n
i, j
E(Q(ai)) p j (i =1,2,…,m)
2
Vi ＝
第二节 完全不确定型决策
一、完全不确定型决策的准则
二、各种准则的特点和适用场合
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一、完全不确定型决策的准则
（一）最大的最大收益值准则 （二）最大的最小收益值准则 （三）最小的最大后悔值准则 （四）折衷准则 （五）等可能性准则
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（一）最大的最大收益值准则
1. 在决策时，先选出各种状态下每个方案的最
（四）折衷准则
1.
该准则主张根据经验和判断确定一个乐观系 数α（0≤α≤1），以α和1－α分别作为最大 收益值和最小收益值的权数，计算各方案的 期望收益值E(Q(ai)) E(Q(ai)) =αmaxi { qij } +(1－α) mini {qij }
2.
然后，以期望收益值最大的方案作为所要选 择的方案。
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风险型决策的准则
（一）期望值准则 （二）变异系数准则 （三）最大可能准则
（四）满意准则
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（一）期望值准则
1. 以各方案收益的期望值的大小为依据，来选
择合适的方案。 E(Q(ai))＝

q
j 1
n
i, j
Pj
(i =1,2,---,m)
式中，E(Q (ai ))是 i 方案的收益的期望值，qij 是 i 方案在出现 j 状态时的收益值；Pj 是 j 状 态出现的概率。
2. 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非
常没有把握且比较悲观，或者难以承受决策 失误损失的场合。
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（三）最小的最大后悔值准则
1. 后悔值是由于决策失误而造成的最大可能的收益值
与实际收益值之差。
2. 方案ai在状态θj下的后悔值，可按下式计算：
rij ＝ max Q (ai ,θj ) －qij
2. 根据预测，明年该厂某零件的市场销售价格为 1万元，
其市场需求有两种可能：一是2000件，二是3000件， 其概率分别是 0.45和 0.55。
3. 试问：（1）该厂该采用何种方法组织生产？
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（2）应选择何种批量组织生产？
决策树示例图
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决策问题——
决策制定者如何利用收益矩阵表中 的信息或决策树选择最佳方案？
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期望值准则=》离散系数准则
1.
应当指出，单纯以期望值作为决策准则往往是不够 充分的。
因为期望值仅反映了平均趋势，决策时还需考虑其离 散程度；

离散程度大，意味着方案的风险性也非常大。
2.
因此，当出现两个方案收益的期望值相差不大的情 况时，应进一步观察各方案的方差，选择其中方差 较小的方案。 即，在期望值达到一定数额的前提下，以变异系数 作为选择方案的标准，选择变异系数较低者。
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例题：利用决策树进行风险型决策
1. 某汽车配件厂拟安排明年某零件的生产。该厂有两种
方案可供选择：
继续利用现有设备生产，零件的单位成本是0.6万元； 对现有设备进行更新改造，以提高设备效率。改造需要投资 100万元（假定全部摊入明年成本），成功的概率是0.7：
如果成功，零件不含上述投资费用的单位成本可降至0.5万元； 如果不成功，则仍用现有设备生产。
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Var (ai ) E(Q(ai))
(i =1,2,…,m)
（三）最大可能准则
1. 在最可能状态下，可实现最大收益值的方案
为最佳方案。
2. 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，
简化为确定条件下的决策问题。
3. 只有当最可能状态的发生概率明显大于其他
状态时，应用该准则才能取得较好的效果。
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（四）满意准则
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二、统计决策的基本分析工具
例：请根据下述条件进行决策
某产品的市场需求有大、中、小三种可能，其出现的 概率分别为 0.5, 0.3, 0.2。 某企业的生产线投资有三种方案：
• 方案一在市场需求大时，可得净现值400万元；市场需求中等 时，可得净现值100万元；市场需求小时，可得净现值 -140
式中，max Q (ai ,θj )是在第j 种状态下，正确决策有可能 得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。显而易见， rij≥0 。
3. 最小的最大后悔值准则主张：应在求出后悔矩阵的
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基础上，先选出各种状态下每个方案的最大后悔值， 然后再从中选择最小者，并以其相对应的方案作为 所要选择的方案。
2. 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非常没有把握，或
者难以承受决策失误损失的场合。
3. 最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获利机会，同
时又对可能出现的损失有一定承受力的场合。
4. 折衷准则和等可能性准则都是以各种方案的收益的期望值作
为选择方案的标准。
折衷准则事实上是假定未来可能发生的状态只有两种：即最理想状 态和最不理想状态。前者发生的概率是α，后者发生的概率是（1－ α）。当α＝1时，该准则等价于乐观准则，而当α＝0时，该准则等 价于悲观准则。
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第三节 一般风险型决策
一、自然状态概率分布的估计 二、风险型决策的准则 三、利用决策树进行风险型决策
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自然状态概率分布的估计
1. 客观概率是一般意义上的概率，通常是由自
然状态的历史资料推算或按照随机实验的结 果计算出来的。
2. 主观概率是决策者基于自身的学识和经验作
出的对某一事件发生可能性的主观判断。
2. 根据预测，明年该厂某零件的市场销售价格为 1万元，
其市场需求有两种可能：一是2000件，二是3000件， 其概率分别是 0.45和 0.55。
3. 试问：（1）该厂该采用何种方法组织生产？
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（2）应选择何种批量组织生产？
决策树示例图
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第十一章 统计决策
第一节 第二节 第三节 第四节 统计决策的基本概念 完全不确定型决策 一般风险型决策 贝叶斯决策
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学习目标
1. 统计决策的基本概念、基本工具和基本步骤；
2. 完全不确定决策的基本准则及其使用场合；
3. 风险型决策的基本准则及其应用。
2
第一节 统计决策的基本概念
一、什么是统计决策
二、统计决策的基本工具
1. 收益矩阵表
2. 决策树
3
一、什么是统计决策
狭义的统计决策方法是一种研究非对抗型和
非确定型决策问题的科学的定量分析方法。
对抗型决策是由多个不同的决策主体在相互竞 争与对抗中进行决策，因此必须考虑对手可能 采取的策略——博弈论的研究对象；
非对抗决策只有一个决策主体，进行决策时， 不须考虑对手的反应——统计决策的研究对象
一个由所有决策方案和自然状态组合的支付构成的 表称为一个收益矩阵表（或支付表payoff table)。
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构造收益矩阵表
状态
概率 a1 方 案 a2 … am
θ1
P1 q11 q21 … qm1
θ2
P2 q12 q22 … qm2
…
… … … … …
θn
Pn q1n q2n … qmn
核心要素：行动空间——状态空间——状态空间的概率分布 ——收益（支付）——收益矩阵（支付表） 7