【金版学案】人教版高中数学选修2-3练习：1.3.1二项式定理(含答案解析)
数学人教A版选修2-3课后训练：1.3.1 二项式定理 含解析 精品
1.3.1 二项式定理练习一、选择题1．0C n ·2n ＋1C n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k ＋…＋C n n 等于( )．A ．2nB ．2n －1C ．3nD ．1 2．(2012山东济南一中期末，理2)(1－i )10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )． A ．－210 B ．210 C ．－120i D ．－210i3.5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为10，则a 的值等于( )．A ．－1B ．12C ．1D ．24．(2012安徽高考，理7)(x 2＋2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )．A ．－3B ．－2C ．2D ．35．若1C n x ＋2C n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )．A ．x ＝5，n ＝5B ．x ＝5，n ＝4C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3 二、填空题 6．(x 3＋2x )7的展开式中第4项的二项式系数是__________，第4项的系数是__________． 7．(2012浙江高考，理14)若将函数f (x )＝x 5表示为f(x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.8．设二项式6x ⎛- ⎝(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ．若B ＝4A ，则a 的值是________．三、解答题9．设m ，n 是正整数，整式f(x )＝(1－2x )m ＋(1－5x )n 中含x 的一次项的系数为－16，求含x 2项的系数．10．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．参考答案1答案：C 解析：原式＝(2＋1)n ＝3n .2答案：A 解析：由通项公式得T 7＝610C ·(－i)6＝610C -＝－210.3答案：D 解析：展开式的通项公式T r ＋1＝5C r·x 5－r ·ra x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a r 5C r ·x 5－2r， 令5－2r ＝3，∴r ＝1.∵x 3的系数为10，∴a 15C ＝10.∴a ＝2.4答案：D 解析：5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为T r ＋1＝5521C rr x -⎛⎫ ⎪⎝⎭(－1)r ＝(－1)r 51021C rrx -.要使(x 2＋2) 5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是(－1)4×45C ＋2×(－1)5×55C ＝3.5答案：B 解析：122C C n n x x +＋…＋C n n n x ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．6答案：35 280 解析：因为(x 3＋2x )7的展开式的第4项是T 4＝37C (x 3)4(2x )3，故该项的二项式系数是37C ＝35，该项的系数是2337C ＝280.7答案：10 解析：由x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5可得，555554444444553333333334455C ,0C C ,0C C C ,x a x x a x a x x a x a x a x ⎧=⋅⎪⋅=+⎨⎪⋅=++⎩可解得5431,5,10.a a a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩8答案：2 解析：T r ＋1＝66C rr rx -⎛ ⎝＝(－a )r 3626C r rx -，所以6－32r ＝3时，r ＝2， 所以A ＝15a 2,6－32r ＝0时，r ＝4，所以B ＝15a 4，所以15a 4＝4×15a 2，所以a 2＝4，又a ＞0，得a ＝2.9解：由题意得1C m ·(－2)＋1C n ·(－5)＝－16.∴2m ＋5n ＝16.又∵m ，n 是正整数，∴m ＝3，n ＝2.∴展开式中含x 2项的系数是23C ·(－2)2＋22C ·(－5)2＝12＋25＝37. 10解：T r ＋1＝12331CC 2rrn rn r rr nn x--⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝. 由前三项系数的绝对值成等差数列，得202111C C 2C 22n nn ⎛⎫+-=⨯ ⎪⎝⎭，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第4项为：T 4＝323381C 2x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.(2)当8233r -＝0，即r ＝4时，常数项为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.。
高二数学选修2-3：1.3.1二项式定理学案
1.3.1二项式定理学习目标：
1.初步掌握二项式定理.
2.提高学生对代数式的运算、变形能力.
3.深化对组合数的认识.
4.进一步培养学生观察、归纳的能力.
学习重点：二项式定理.
学习难点：二项式定理的应用
学习方法：尝试、变式、互动
一、课前预习
定理内容：
二项式系数
项的系数
二. 二项式定理的简单应用
例1求的二项展开式.
例2 求的二项展开式的第6项
例3 求的展开式的第4项的二项式系数和系数
例4.求(x-12y-2z)8 的展开式中x 6
yz 的系数
三 练习
1.写出
7
（p+q)的展开式
2．求
6
23)a b +（展开式的第3项
3．写出
展开式的通项
4．求 展开式中含9a 项的系数
5．求 展开式中的常数项
6.在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 2的系数为__________
n 2151)a a
+（81)x x
-（。
【课堂新坐标】高中数学人教版选修2-3练习：1.3.1二项式定理
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3 【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.【答案】 C2．已知⎝⎛⎭⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17B ．－17C ．7D ．－7【解析】 T 4＝C 37x 4⎝⎛⎭⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6.【答案】 B4．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 【解析】 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】 D二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________． 【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56. 【答案】 567．设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C. 【答案】 C3．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n ，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】 【解】 法一：由二项式定理得⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝⎛⎭⎫122·2；C 35·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝⎛⎭⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 5102532＝6322.。
高中数学选修2-3单元配套练习试题1.3二项式定理及参考答案解析
1.3二项式定理(包括1.3.1二项式定理,1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质)姓名:___________班级:______________________一、选择题1.二项式()52x -展开式中x 的系数为( )A.5B.16C.80D.80-2.在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中,含7x 的项的系数是( )A.60B.160C.180D.2403.n展开式的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是( )A.C.44 4.设5250125(2)x a a x a x a x -=++++,那么02413a a a a a +++的值为( )A.122121-B.6160-C.244241- D.1- 5.5)1)(11(x x+-的展开式中含3x 项的系数为( )A.5B.7C.8D.106.()62x y -的展开式中,42x y 的系数为( )A.15B.15- C.60 D.60-7.4)11(++xx 的展开式中常数项为( ) A.18 B.19 C.20 D.218.3nx ⎫+⎪⎭的展开式中,各项系数之和为A ,各项的二项式系数之和为B ,且72A B +=,则展开式中常数项为( )A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314,则展开式中常数项是_______.10.,4x 项的系数为_________.(结果用数值表示)11.,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式中有理项有________项.三、解答题12.已知在n的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;(2)求含2x 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 13.已知二项式()23nx x+.(1)若它的二项式系数之和为128.①求展开式中二项式系数最大的项; ②求展开式中系数最大的项;(2)若3,2016x n ==,求二项式的值被7除的余数.14.已知在2)nx的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是14∶1. (1)求展开式中6x 的系数;(2)求展开式中系数绝对值最大的项;(3)求2319C 81C ...9C n nn n n n -++++的值.参考答案1.C【解析】二项展开式的通项公式为()515C 2rr rr T x -+=-,则当4r =时,其展开式中的x 的系数为()445C 280-=,故选C.考点:二项式定理. 2.D令72512=-r ,则2r =,则含7x 的项的系数为()242612C 240-=.考点:二项式定理. 3.A【解析】令1=x ,可得各项系数的之和为n2,则3228<<n,解得4=n ,中间一项的系数最大,故选A. 考点:二项式定理及展开式的性质. 4.B 【解析】1=x 时,5432101a a a a a a +++++=;1x =-时,54321053a a a a a a -+-+-=,∴122420=++a a a ,12031-=+a a ,∴606131420-=+++a a a a a ,故选B.考点:二项式定理的应用. 5.A故展开式中含3x 项的系数为1255C C 5-+=.故选A.考点:二项式定理的应用. 6.C【解析】()224426C 260xy x y -=,故系数为60.考点:二项式定理. 7.B44C (x +++1)1(4)1(6)1(4)1(1234++++++++=x x x x x x x x ,4)1(x x +常数项为24C ,2)1(6xx +中常数项为12,故4)11(++xx 展开式中常数项为24C 12119++=,故选B.考点:二项式展开式的系数. 8.B【解析】由二项展开式的性质,可得4,2n nA B ==,所以4272n nA B +=+=,所以3n =令3302r-=可得1r =,常数项为1233C 9T =⨯=,故选B.考点:二项式定理的应用. 9.45【解析】2(n x-的展开式中第三项的系数为2C n ,第五项的系数为4C n ,由题意有,解得10n =.的展开式的通项为1r T +=由40502r -=得8r =,所以展开式的常数项为88910(1)C 45T =-=.考点:二项式定理. 10.180【解析】,令100r -=,得10r =,(10112T =+,(102+的展开式的通项为1010C 2rrr-,则4x 项的系数为28102C 180=.考点:二项式定理. 11.3【解析】由题意可得01122C 2,C 2,C 2n n n n n n --⋅⋅⋅成等差数列,即112202C 2C 2C 2n n n n n n --⋅=⋅+⋅,化简可得2980n n -+=,解得n ＝8,或n ＝1(舍去).二项式8n ⎛⎛= ⎝⎝的展开式的通项公式为1634r-为整数,可得r ＝0,4,8, 故此展开式中有理项的项数是3. 考点:二项式定理的应用 12.(1)10 (2)454(3)22456345,,48256x x --【解析】(1)n的展开式的通项为113311C 2n rrr r n T x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝231C 2rn rr nx -⎛⎫- ⎪⎝⎭,又第6项为常数项,则当r ＝5时,203n r -=,即103n -＝0,可得n ＝10. (2)由(1)可得,10231101C 2rrrr T x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令10223r -=,可得r ＝2,所以含x 2项的系数为2210145C 24⎛⎫-=⎪⎝⎭. (3)由(1)可得,10231101C 2rrrr T x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若T r+1为有理项,则1023r -∈Z ,且0≤r≤10,所以r＝2,5,8,则展开式中的有理项分别为2454x ,638-,245256x -. 考点:二项式定理及其通项公式的应用.13.(1)①101145945,2835T x T x == ②1213675103,5103T x T x == (2)1【解析】(1)2128,7n n =∴=,通项为()727177C 33C rr r r r rr T x x x -++==.①二项式系数最大的项为第4,5项,()()3434210432114757C 3945,C 32835T x x x T x x x ====.②11771177C 3C 3,1,2,3,4,5,6,5,6C 3C 3,r r r r r rr r r r --++⎧⋅≥⋅⎪=∴=⎨⋅≥⋅⎪⎩, 则展开式中系数最大的项为第6,7项,()()5652212612136777C 35103,C 35103T x x x T x x x ====.(2)()201620162016120152015201520162016201620163028228282...2822282C C K =+=+⋅⋅++⋅⋅+=+,转化为20162被7除的余数,()6722016672287171k ==+=+,即余数为1.考点:二项式定理.14.(1)672- (2)325376x -(3)91109-【解析】(1)由题意得4422C (2):C (2)14:1n n --=,解得9n =.得3r =, 于是系数为()339C 2672-=-.(2)设第1r +项系数的绝对值最大,则11991199C 2C 2,C 2C 2,r r r r r r r r ++--⎧≥⎪⎨≥⎪⎩解得20317≤≤r ,于是r 只能为6,所以系数绝对值最大的项为27303662229C (2)5376xx ---=.(3)原式()()99001122999999111019C 9C 9C ...9C 1191999-⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 考点:二项式定理.。
【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：1.3.1 二项式定理(含答案解析)
[课时达标检测]一、选择题1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有() A．120种B．48种C．36种D．18种解析：选C最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故共有C12C13A33＝36种不同的播放方式．2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮灯方案有()A．60种B．20种C．10种D．8种解析：选C四盏熄灭的灯产生的5个空当中放入3盏亮灯，有C35＝10种方案．3．(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：选C分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．共有2＋6＋12＝20种可能出现的情形．4．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()A．120种B．5种C．240种D．180种解析：选C先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240种不同的分法．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A．40个B．120个C．360个D．720个解析：选A先选取3个不同的数，有C36种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．二、填空题6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案(用数字作答)．解析：(1)这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：第1类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同选修方案；第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：757．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：两老一新时，有C13×C12A22＝12种排法；两新一老时，有C12×C23A33＝36种排法，故共有48种排法．答案：488．如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC、CD、DA，不符合要求，故共有C36－4＝16种不同的建桥方案．答案：16三、解答题9．从－11，－7,0,1,2,3,4,5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C ＝0中的字母A，B，C的值，问斜率k小于零的不同直线有多少条？解：(1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0,1,2,3,4,5中选出一个安排C，则有C16A22种方法；(2)从1,2,3,4,5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有C25A22C16种方法．但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A＝2，B＝1，C＝0和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成C16A22＋C25A22C16－2＝130条斜率k小于零的直线．10．从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解：(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以有C34·C45·A77＝100 800个符合题意的七位数．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有C34·C45·A55·A33＝14 400.(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760.(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有C34·C45·A44·A35＝28 800个符合题意的七位数．。
数学选修2-3讲义：第1章1.31.3.1 二项式定理含答案
1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的展开式的第r＋1项C r n b n－r a r 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C r n an －r b r是(a ＋b )n 展开式中的第r ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√二项式定理的正用、逆用【例1】 (1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)r C r n (x ＋1)n －r＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C r n (x ＋1)n －r(－1)r ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，∴5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ＝0,1,2，…，8)． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1x r ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .【例3】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项 【解】 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)r x－r 3＝C r n (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T r ＝C r －1n a n －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r(－a )r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，即当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( ) A ．－28 B ．－7 C ．7D ．28【解析】 T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r·x 8－43r ，当8－43r ＝0，即r ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.【答案】 C3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.【答案】 A4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 35．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23r ·C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。
高中数学人教a版选修2-3第一章1.3.1《二项式定理》【练习】(学生版).docx
1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410 C ．－9C 610
D ．9C 410
2．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1
x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )
A ．3
B ．5
C ．8
D ．10
3．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )
A ．－1 B.12 C ．1 D ．2
5．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是(
) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25
6．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 二、填空题
7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52
，则a ＝________(用数字作答)． 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x
)6的展开式中的常数项为________． 三、解答题
9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
10．若⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．。
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
高中数学选修2-3 同步练习 1.3 二项式定理(解析版)
第一章 计数原理1.3 二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1+x )7的展开式中x 2的系数是 A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=7C r x r , 令r =2,得x 2的系数为27C =21.故选D. 【技巧点拨】熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N ，是解决此类问题的关键.2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是A ．6x 4B ．﹣6x 4C ．12x 4D ．﹣12x 4【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr rr T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r =C r －1n an －r ＋1b r －1；②求含x r 的项(或x p y q 的项)； ③求常数项； ④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．若6axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含32x项的系数为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B4．的展开式中,的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】的展开式的通项为,则的展开式中,的系数为5．在3nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴4322nn=，得∴通项公式为135522 155C33Crrr r r rrT x x x---+⎛⎫==⎪⎝⎭，令3522r -=，的系数为【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．6．已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得最终结果.7．已知二项式4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则展开式的常数项为A ．1-B ．1C ．47-D ．49【答案】B【解析】44111212x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦234111114262422x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴二项式中的常数项产生在24111,62,2x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中，分别是()()2224111,622,C 2x x x x ⎛⎫⨯⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭, 它们的和为124241-+=，故选B ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为4112x x⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果. 8．＝,则等于A ．32B ．-32C ．-33D ．-31【答案】D 【解析】因为＝,当时,当时,① 当时,②①-②，得=①+②，得=所以=故选D ．9．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】D【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-， 令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()55121C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 10．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为A ．第4项B ．第5项C ．第4项和第5项D ．第7项【答案】C 【解析】令，可得，令，得，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.11．的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意，展开式中项的系数为3C 32n r rrn-⋅⋅，系数为有理数，则n ﹣r 是3的倍数，r 是2的倍数， n =9，r =6，不符合； n =10，r =4,10，不符合； n =11，r =2，8，不符合； n =12，r =0,6,12，符合题意， 故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．12．如果13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 ______ . 【答案】-189【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题： （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.13．设5250125)21(x a a x a x a x -=++++,则125a a a +++=_________.【答案】2【解析】令x ＝1可得()501252111a a a a ++++=⨯-=,令x ＝0可得()5011a =-=-, 所以125a a a +++＝2.【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x =1可得所有项系数之和，令x =－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 14．233除以9的余数是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199－···＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋···＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 15．(N *)展开式中不含的项的系数和为 ________ .【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在二项式(2x −3y )9的展开式中,求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；（3）各项系数绝对值之和.【解析】设(2x −3y )9=a 0x 9+a 1x 8y+a 2x 7y 2+···+a 9y 9. （1）二项式系数之和为09C +19C +29C +···+99C =29. （2）各项系数之和为a 0+a 1+a 2+···+a 9, 令x =1,y =1,得a 0+a 1+a 2+···+a 9=(2−3)9=−1. （3）|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9, 令x =1,y =−1,得|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9=59, 则各项系数绝对值之和为59.17．已知在2112nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第项为常数项. 求：（1）的值； （2）展开式中的系数.【解析】（1）在212nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，第9项为常数项， 而第9项为,故有2n −20=0，解得n =10.（2）由（1）可得展开式的通项公式为()()52010202102211010C 2112C r rrrr r rr r r T xxx-----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅.令20−=5,求得r =6,故展开式中x 5的系数为61041105C 28⋅=. 18．利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.【解析】因为2n +2·3n =4×(1＋5)n ，所以2n +2·3n ＋5n －4，所以n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除， n =1时，2n +2·3n ＋5n －4=25.所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 19．已知a >0,b >0,m ≠0,n ≠0,若二项式(ax m +bx n )12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n =0,求ab的取值范围.【解析】T r+1=12C r (ax m )12−r ·(bx n )r =a 12−r b r 12C rx m (12−r )+nr . 令m (12−r )+nr =0, 又2m+n =0,所以m (12−r )−2mr =0, 又m ≠0,得r =4.所以展开式中的常数项为第5项,且为系数最大的项,则48439312124845751212C C C C a b a ba b a b⎧>⎨>⎩. 又a >0,b >0,所以9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以8954a b <<，即a b 的取值范围是89()54,. 20．（1）已知的第九项,第十项,第十一项的二项式系数依次成等差数列,求;（2）若()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 的展开式中常数项为,求212ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的有理项.【解析】（1）由题意:成等差数列,则.化简得.（2）()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 展开式中的常数项为+=,得，则4221122ax x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为=.故展开式中的有理项有83213531,,216T x T x T x -===。
高中数学选修2-3优质学案：1.3.1 二项式定理
1．3.1 二项式定理[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一二项式定理(a＋b)n＝______________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有__________项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做________________．知识点二二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第__________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝________________.思考1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？思考2二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？题型一二项式定理的正用、逆用例1利用(a＋b)n的二项展开式解题．(1)求(a＋2b)4的展开式；(2)求(2x－32x2)5的展开式．反思与感悟运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．题型二二项展开式通项的应用例2若(x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项．反思与感悟利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．跟踪训练2在(2x2)8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数．题型三二项式定理的应用例3(1)试求199510除以8的余数．(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．反思与感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练3已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．对组合数及展开式中的常数项理解不透致误 例4 求(x ＋1x －1)5的展开式中的常数项．错解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x)5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)， 而(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1，…，5－r )． 欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5， 而0≤r ≤5,0≤k ≤5－r ，k ，r ∈N *，∴有三组解⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，k ＝0，∴所求常数项为C 15C 24(－1)，C 35C 12(－1)3和C 55C 00·(－1)5，即－30，－20和－1. 错因分析 错解中出现了C 00这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑(x ＋1x )5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n ∈N *适用．当r ＝5时，5－r ＝0，此种特殊情况应特殊处理．还有概念的理解错误，一个展开式中只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项． 正解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x )5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)． 当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1. 当0≤r ＜5时，(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1,2，…，5－r )．欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5. ∵0≤r ＜5，且k ，r ∈N *，∴r 只能取1或3，相应的k 值分别为2或1，即⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1.∴常数项为C 15C 24(－1)1＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.点评 常数项其实也是二项式的特定项．求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项，根据通项的特点，求出相应的r 的值，再代入通项求特定项或其系数．1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n2．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A ．33B ．29C ．23D ．193．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．104．二项式(2x ＋1x 2)6的展开式中，常数项是________．5．若(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为15，则a ＝________.1.注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．提醒：完成作业 第一章 1.3.1[答案]精析知识梳理 知识点一C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (2)n ＋1(3)二项式系数 知识点二k ＋1 C k n an －k b k 思考1 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．思考2 不同．(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项为C k n a n －k b k ，而(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项为C k n bn －ka k .题型探究例1 解 (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－32x 2)＋C 25(2x )3·(－32x 2)2＋C 35(2x )2(－32x 2)3＋C 45(2x )(－32x2)4＋C 55(－32x 2)5＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10. 跟踪训练1 解 (1)方法一 (3x ＋1x )4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x )3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 (3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2[C 44(3x )4＋C 34(3x )3＋C 24(3x )2＋C 14·3x ＋1] ＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.例2 解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n·12， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(124x)k ＝C k 8·2－k·x 344k -，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.跟踪训练2 解 (1)T 5＝T 4＋1＝C 48(2x 2)8－4(－13x)4＝C 48·24·x 203，所以第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1120. (2)(2x 2－13x)8的通项是C r 8(2x 2)8－r(－13x)r ＝(－1)r C r 8·28－r·x7163r-.由题意，得16－73r ＝2，解得r ＝6，因此，x 2的系数是(－1)6C 68·28－6＝112. 例3 (1)解 199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1. (2)证明 32n ＋2－8n －9 ＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182①.①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 跟踪训练3 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n 1－2＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 当堂检测1．C 2.B 3.D 4.240 5.12。
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第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是
( )
A ．(2x ＋2)5
B ．2x 5
C ．(2x －1)5
D ．32x 5
解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x)5＝32x 5.
答案：D
2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项 解析：T r ＋1＝C r 24x 24－r 2·x －r 3＝C r 24·x12－56
r ，则r 分别取0，6，12，18，24时，x 的幂指数为整数，所以x 的幂指数有5项是整数项．
答案：C 3．若⎝
⎛⎭⎪⎫x －123x n 的展开式中第四项为常数项，则n ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C r n x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3
C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5. 答案：B
4．在(1－x 3)(1＋x)10的展开式中，x 5的系数是( )
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
解析：(1－x 3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.
答案：D
5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )
A ．x ＝5，n ＝5
B ．x ＝5，n ＝4
C ．x ＝4，n ＝4
D ．x ＝4，n ＝3
解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x)n －1，检验得B 正确．
答案：B
二、填空题
6．(2015·福建卷)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)．
解析：(x ＋2)5的展开式中x 2项为C 2523x 2＝80，所以x 2的系数等于80.
答案：80
7.⎝
⎛⎭⎪⎫2－13x 6
的展开式中的第四项是________．
解析：T 4＝C 3623⎝
⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x 8．如果⎝
⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n
的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________． 解析：T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r n x 2n －5r 3，由题意知r ＝2时，2n －5r 3
＝2，所以n ＝8. 答案：8
三、解答题
9．在⎝
⎛⎭⎫2x －1x 6
的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x 2的项及项数．
解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，
又T 3＝C 26(2x)4⎝
⎛⎭⎫－1x 2＝24C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.
(2)T k ＋1＝C k n (2x)6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ，
令3－k ＝2，得k ＝1.
所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.
10．已知m ，n ∈N *，f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
解：由题设知m ＋n ＝19，又m ，n ∈N *，
所以1≤m≤18.
x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m)＋12
(n 2－n)＝m 2－19m ＋171. 所以当m ＝9或10时，x 2的系数的最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.
B 级 能力提升
1．如果⎝
⎛⎭⎫3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3
B ．5
C ．6
D ．10 解析：⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 3n 展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝⎛⎭
⎫－2x 3r ＝C r n 3n －r (－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r (－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52
r ，所以正整数n 的最小值为5. 答案：B
2．设二项式⎝
⎛⎭⎫x －a x 6
(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．
解析：A ＝C 26(－a)2，B ＝C 46(－a)4，由B ＝4A 知，C 26(－a)2＝C 46(－a)4， 解得a ＝2(舍去a ＝－2)．
答案：2
3．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x －124x n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C 1n ·12
，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122， 依题意2C 1n ·12
＝1＋C 2n ·⎝⎛⎭⎫122，即n 2－9n ＋8＝0， 解之得n ＝8(舍去n ＝1)．
故T k ＋1＝C r 8(x)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12C r 8x 16－3r 4.
(1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当16－3r 4
＝0， 即3r ＝16，因为r ∈N *，所以3r ＝16不可能成立． 故展开式中没有常数项．
(2)若T r ＋1为有理项，当且仅当16－3r 4
为整数， 因为0≤r≤8，r ∈N *，所以r ＝0或r ＝4或r ＝8. 此时展开式中的有理项共有三项，
它们是T 1＝x 4，T 5＝358
x ， T 9＝1256x 2
.。