分类加法计数原理与分步乘法计数原理易错点最新衡水中学精品自用资料
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
在数学中，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两个重要的计数方法。 本演示将介绍它们的概念、应用和示例，并提供总结和应用建议。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为不同的分类，并将每个分类的计数结果相加，从而得到问 题的解答。
1
概念理解
了解如何将问题分类以及如何对每个分
应用案例
2
类进行计数。
探索实际应用中分类加法计数原理的例
子，如组队问题和物品组合问题。
3
加法计数实践
自己动手解决一些分类加法计数问题， 提升技巧。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为逐步计数的阶段，然后将每个阶段的计数结果相乘，从而 得到问题的解答。
概念介绍
了解如何将问题分解为多个 阶段以及如何对每个阶段进 行计数。
实际应用
探索分步乘法计数原理在实 际问题中的应用，问题 的练习，提高技能。
总结和应用建议
通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，我们能够更有效地解决各种计数问题。将这些方法应用于实 际生活和工作中，可以帮助我们更好地分析和解决问题。
灵活应用
理解如何根据具体问题选择合适 的计数原理，并将其灵活运用。
问题解决能力
培养分析和解决问题的能力，提 升数学思维。
成就感
获得解决问题的成就感，进一步 激发学习兴趣。
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A.9种
B.18种 C.12种
D.36种
-22-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)分两类:①当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; ②不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的
取法.
其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点 每类方案中的每一 每步依次完成才算完成这件事情 种方法都能独立地 (每步中的每一种方法都不能独立
完成这件事
地完成这件事)
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-4-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有
3 种颜色),有A33种方法. 所以区域 1 与 3 同色,共有 4A33=24 种涂色方法.
②区域 1 与 3 不同色:第一步,涂区域 1 与 3,有A24种涂色方法;第二步,
11.1 分类加法计数原固
-2-
1.两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
结论 依据
完成一件事,可以 有 n类不同的方案 .在第 1 类方案中有 m1 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 m2 种不 同的方法,……在第 n 类方案 中有 mn 种不同的方法 完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的 方法
随堂巩固
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。
分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。
假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。
根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。
然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。
在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。
选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。
将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。
接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。
同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。
假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。
然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。
综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。
分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。
通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。
(完整版)计数原理知识点、题型小结doc
第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。
3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。
5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如n m m n 和的问题。
例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A6.n 的阶乘定义： 用 表示。
6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(解析版)
分类加法计数原理与分类乘法计数原理导学案【学习目标】1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.【自主学习】知识点一分类加法计数原理1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.知识点二分步乘法计数原理1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.2.完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.【合作探究】探究一分类加法计数原理的应用【例1】某校高三共有三个班，其各班人数如下表：(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法；第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种).(2)由题设知共有三类：第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种).归纳总结：【练习1】如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递.则单位时间内传递的最大信息量是________.【答案】19解析若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事也可分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破.分四类：第一类，网线为12→5→3，单位时间传递的最大信息量是3；第二类，网线为12→6→4，单位时间传递的最大信息量是4；第三类，网线为12→6→7，单位时间传递的最大信息量是6；第四类，网线为12→8→6，单位时间传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.探究二分步乘法计数原理的应用【例2】从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________.【答案】100解析由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条).归纳总结：1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路：(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.【练习2】从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条.【答案】30解析该题实质上就是给A，B，C赋值.但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件，即C＝0，所以，下面只需安排A，B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A，B的值，分为两步：第一步取一个数作为A，有6种；第二步从剩下的5个数中取一个数作为B，有5种.所以由分步乘法计数原理得：直线的条数为6×5＝30.探究三两个计数原理的综合应用【例3】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？解(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名组员，共10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得：共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法，第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法.归纳总结：【练习3】高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有________种.【答案】14解析穿衣方式分两类：第一步：不选连衣裙有4×3＝12(种)方法.第二步：选连衣裙有2种方法.由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14(种)方法.课后作业A 组 基础题一、选择题1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有( ) A.32种 B.9种 C.12种 D.20种 【答案】 C解析 由分类加法计数原理知，不同的选法有N ＝8＋4＝12(种).2.现有A ，B 两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )A.6种B.5种C.4种D.3种 【答案】 C解析 若选甲、乙两人，包括甲操作A 车床，乙操作B 车床，或甲操作B 车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法.若选甲、丙二人，则只有甲操作B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法.若选乙、丙二人，则只有乙操作B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法.3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A.56B.65C.5×6×5×4×3×22D.6×5×4×3×2【答案】 A解析 每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种).4.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数共有( ) A.2＋4＋3 B.2×4＋3 C.2×3＋4D.2×4×3解析分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×4种，二是直接从甲地到丙地有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3.5.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有()A.3种B.6种C.7种D.9种【答案】C解析分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).6.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A.7B.12C.64D.81【答案】B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.二、填空题7.把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法.【答案】243解析依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法.8.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种.(用数字作答)【答案】9解析分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法.9.一个科技小组有3名男同学和5名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共有________种不同的选派方法.解析由分类加法计数原理有3＋5＝8(种)不同的选派方法.10.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是________.【答案】24解析圆的方程由三个量a、b、r确定，a、b、r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理得，可表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.11.集合A＝{x1，x2，…，x2 015}的子集个数为________.【答案】22 015解析因为集合A中含有2 015个元素，所以要得到集合A的一个子集A1分2 015步：第1步，考查元素x1是否在A1中，有2种可能(x1∈A1，x1∉A1).第2步，考查元素x2是否在A1中，有2种可能(x1∈A1，x2∉A1).……第2 015步，考查元素x2 015是否在A1中，有2种可能(x2 015∈A1，x2 015∉A1).根据分步乘法计数原理，对于有2 015个元素组成的集合，共有2×2×2×…×2＝22 015(个)不同的子集.三、解答题12.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2十7＝14(种)不同的选法.(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法.(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法.(4)从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.B组能力提升一、选择题1.已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A.18B.10C.16D.14【答案】D解析M中元素作为横坐标，N中元素作为纵坐标，则在第一、二象限内点的个数为3×2＝6.M中元素作为纵坐标，N中元素作为横坐标，则在第一、二象限内点的个数为4×2＝8.共有6＋8＝14(个).2.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14B.13C.12D.10【答案】B解析对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小.若a＝0，则b＝－1,0,1,2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9个.∴(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.二、填空题3.若在如图1的电路中，只合上一只开关以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两只开关以接通电路，有________种不同的方法.【答案】56解析对于图1中，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一只即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一只开关；第二步，合上B中的一只开关，故有2×3＝6(种)不同的方法.4.如图所示的是某城市中M，N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A地到N地有________种不同的走法.【答案】18解析从M地经过A地到N地分两步.第一步，从M到A，有3种走法；第二步，从A到N，有6种走法.根据分步乘法计数原理可得从M地经过A地到N地共有3×6＝18(种)不同的走法.5.如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.【答案】40解析满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个.6.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．【答案】60解析根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，当第一个选1号螺栓的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60种方法，故【答案】是60.7．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)5位回文数有________个；(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．【答案】(1)900(2)9×10n－1解析(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．。
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
分类加法计数原理和分步乘法计数原理(学生版)
6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理目 录☯知识清单☯1、分类计数原理（1）定义：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法。
（2）解题思路：2、分步计数原理（1）定义：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法。
（2）解题思路：分类计数 结论 将完成这件事的方法分成若干类求出每一类的方法数将每一类的方法数相加得出结果分类 分类 分类将完成这件事的方法分成若干类将完成这件事的方法分成若干类将完成这件事的方法分成若干类（3）分步两个条件：①步骤互相独立，互不干扰②步与步确保连续，逐步完成3、两个计数原理的关系（1）两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加，关键是“分类”分步相乘，步步相乘，关键是“分步”分类完成一件事，每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性。
分类计数原理可利用“并联”电路来理解。
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事，要注意“步”与“步”之间的连续性。
分步计数原理可利用“串联”电路来理解。
运用加法运算运用乘法运算注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整（2）利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：①弄清完成一件事是做什么；②确定是先分类后分步，还是先分步后分类；③弄清分步、分类的标准是什么；④类要做到不重不漏。
☯典型例题☯母题1：分类计算原理1.设椭圆22xa＋22yb＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为( )A．20 B．24 C．12 D．112.如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.3.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )A．16B．15C．12D．10分类计数原理解题思路1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
学习目标
1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查．
重点难点
1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查．
导学过程
备注
基础知识自测：
1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为
A．96B．84C．60D．48
10．一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．
11某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．
4．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
A．24B．26C．36D．37
8．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为()
分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点与题型归纳
分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点与题型归纳两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案❶，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤❷，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法(11 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.12 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.11 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.12 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法1不重复过一点 .解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O (2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O (2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数1如120,343,275等 ，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝61个 .若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝121个 ，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝721个 .所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝2401个 .答案：240考点二 分步乘法计数原理[典例精析]11 已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P 1a ，b 1a ，b ∈M 表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为1A.6B.12C.24D.3612 有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析]11 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.12 每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝1201种 .[答案]11 A12 120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略11 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.12 分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f1x＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个1用数字作答 .解析：一个二次函数对应着a，b，c1a≠0 的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝181个二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝61个偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析]11 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为1A.24B.48C.72D.9612 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是1A.48B.18C.24D.3613 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是1A.60B.48C.36D.24[解析]11 分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.12 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝241个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝361个 .13 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面1非表面构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案]11 C12 D13 B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路11 弄清完成一件事是做什么.12 确定是先分类后分步，还是先分步后分类.13 弄清分步、分类的标准是什么.14 利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键11 关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.12 关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝241种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝241种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝721种 .答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个1用数字作答 .解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝321个 .第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝401个 .答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对1x，y作为一个点的坐标，则这样的点的个数是1A.9B.14C.15D.21解析：选B 当x ＝2时，x ≠y ，点的个数为1×7＝7.当x ≠2时，∵P ⊆Q ，∴x ＝y .∴x 可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝141个 .2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为1A.504B.210C.336D.120解析：选A 分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为1A.40B.16C.13D.10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有1A.32个B.34个C.36个D.38个 解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝21种 .共有2×2×2×2×2＝321个 子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为1A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为1A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.12019·郴州模拟 用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有1A.4(320种B.2(880种C.1(440种D.720种 解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4(3201种 不同的涂色方法.8.12019·惠州调研 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”1如2(013是“六合数” ，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有1A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B 由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝151个 .9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝ 3 4 12 D 34 A CB 9第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝1201种 .故安排这8人的方式共有24×120＝2(8801种 .答案：2(88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种1用数字作答 .解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有1A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40(000大的偶数共有1A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝1201个 .3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有1A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→(C―→D顺序涂色，下面分两种情况：11 A，C不同色1注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.12 A，C同色1注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.12018·湖南十二校联考若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位1例如：134＋3(802＝3(936 ，则称1m，n为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对1m，n的值，那么值为1(942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1(942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}11 y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；12 y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：11 a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.12 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理易错点
主标题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理易错点
副标题：从考点分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：分类计数，分步计数，易错点
难度：2
重要程度：4
内容：
【易错点】
1．两个计数原理的理解
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(×)
2．两个计数原理的应用
(5)(教材习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种．(√)
(6)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．(√)
[剖析]
1．两点区别
一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”，如(1)、(2)．
二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”，如(3)、(4)．
2．两点提醒
一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律，如(5)．
二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如(6)中2,3可重复但至少各出现一次.。