2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析

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【苏教版】2019版高考文数一轮优化探究练习第六章第二节等差数列及其前n项和含解析

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13.答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310. 答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否成等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列教案理苏教版

第二节等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n 2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，由题意知，3×2＋3d ＝12，解得d ＝2，故a 6＝2＋(6－1)×2＝12. 答案：122．已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n3．(2018·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，且a 4＋a 5＋a 6＝21，所以3a 5＝21，即a 5＝7，故S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.答案：631．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－832．已知数列{}a n 为等差数列，若a 1＝－3,11a 5＝5a 8，则使其前n 项和S n 取最小值的n ＝________.解析：∵a 1＝－3,11a 5＝5a 8，∴d ＝2，∴S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴当n ＝2时，S n 最小．答案：2考点一等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．在等差数列{}a n 中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧a 1＋322×n ＝－152， ①a 1＋n －12＝32， ②由②得a 1＝－12n ＋2，代入①得n 2－7n －30＝0，∴n ＝10或n ＝－3(舍去)， ∴a 1＝－3. 答案：－32．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝2a 5，所以a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2018·苏北四市一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝3，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，因此S 9＝9＋9×82×2＝81.答案：814．(2019·南京调研)记等差数列{a n }前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110, 则m ＝_______.解析：因为S 2m －1＝m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝110，所以2m －1＝11，即m ＝6.答案：6[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2019·启东联考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋－3n2＝13n －3n22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －＋n －2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n.(1)证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴数列{}b n 为等差数列． (2)∵b 1＝a 1－23＝0，∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n.考点三等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.解析：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 答案：202．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为________．解析：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，故S n 取最大值时，n ＝8.答案：8[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180， ②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，所以18n ＝324，所以n ＝18.答案：182．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2003．已知在等差数列{}a n 中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31， ∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)由(1)知S n ＝32n －n 2，∴当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3，得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 答案：1792．(2019·常州一中检测)在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 12＝4，则a 2＋a 7＋a 12＝________.解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝4，∴a 7＝2. 则a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝6. 答案：63．(2018·徐州期中)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，S 11＝132，a 6＋a 9＝30，则a 12的值为________．解析：在等差数列{}a n 中，设首项为a 1，公差为d ，由S 11＝132，a 6＋a 9＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 1＋11×102d ＝132，2a 1＋13d ＝30，解得a 1＝d ＝2.∴a 12＝a 1＋11d ＝24. 答案：244．(2018·苏州质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝________.解析：3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ＋1·a k ＜0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k ＜0，所以452＜k ＜472，又因为k ∈N *，所以k ＝23. 答案：235．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，所以S n 的最大值为S 5. 答案：S 56．(2018·无锡期末)在等差数列{}a n 中，若a n ＞0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为________．解析：∵在等差数列{}a n 中，a n ＞0，a 4＝5， ∴a 2＋a 6＝2a 4＝10，∴1a 2＋9a 6＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2a 6＋a 6a 2＋10≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29a 2a 6·a 6a 2＋10＝85，当且仅当9a 2a 6＝a 6a 2时取等号．故1a 2＋9a 6的最小值为85.答案：85二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，∴可将其看作一个等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝100，a 8＝a 1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85，∴a 3＝a 1＋2d ＝865－165＝14，即老三应该分得14个金币．答案：142．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，所以a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20. 答案：203．(2018·苏州期末)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时n 的值为________．解析：由a 5＝15，a 10＝－10得a n ＝－5n ＋40，a n ＋5＝－5n ＋15，T n ＝a n ＋a n ＋52＝15(11－2n )，当11－2n ＝±1时，即n ＝5或6时，|T n |取最小值15.答案：5或64．(2019·泰州模拟)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4＝4，S 12＝24，则S 8＝________.解析：由等差数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－4)＝4＋24－S 8，解得S 8＝12. 答案：125．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 答案：b n ＝2n －16．(2019·扬州模拟)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9－2a 10＝________.解析：由S 13＝6，得a 1＋a 132＝13a 7＝6，∴a 7＝613，∴3a 9－2a 10＝3(a 1＋8d )－2(a 1＋9d )＝a 1＋6d ＝a 7＝613.答案：6137．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 8．(2019·启东中学模拟)若等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，关于x 的不等式d2x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，则使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，∴d 2＜0,0＋10＝－a 1－d 2d 2，0×10＝cd2，解得d ＜0，c ＝0，a 1＝－9d2.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9d 2＋(n －1)d ＝d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －112，令a n ≥0，解得n ≤112，因此使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.答案：59．(2018·启东期末)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{}b n 为等差数列．解：(1)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝n a 1＋a n 2＝n [3＋n ＋2＝n (n ＋2)． (2)证明：∵b n ＝S n n ＝n n ＋n＝n ＋2，b n ＋1－b n ＝n ＋3－(n ＋2)＝1，∴数列{}b n 为等差数列．10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1.因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋n ＋2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1. (2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝n ＋b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ. 所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n，② ②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 1，S 5，S 7成等差数列，所以S 1＋S 7＝2S 5，则a 1＋7a 1＋21d ＝2(5a 1＋10d )，解得d ＝2a 1，因为a 3＝5，所以a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.答案：2n －12．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 018＝________.解析：由a n ＋b n ＝1，得a n ＋1＋b n ＋1＝1，即b n ＋1＝1－a n ＋1，把b n ＋1＝1－a n ＋1代入b n ＋1＝11＋a n ，化简可得1a n ＋1－1a n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n n ＋1，所以b 1·b 2·…·b 2 018＝12 019. 答案：12 019 3．(2018·南京学情调研)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1. ①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d a 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1. (2)①因为b 1＝a 1＝1， b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，即b 2－b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1，所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1. 又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *. ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m .又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1. 当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析

一、填空题．一个等差数列的前项是，，，则等于．解析：∵，，成等差数列，∴(\\(＋＝，＋＝，))即(\\(＝()，＝().))∴＝.答案：．设>，>，若和的等差中项是，则＋的最小值是．解析：由已知得＋＝，则＝，∴＋＝＋≥，当且仅当＝时取“＝”号．答案：．已知等差数列{}的前项和为，若＝－，则＝.解析：＝＝＝＝.答案：．已知等差数列{}与{}的前项和分别为与，且＝，则等于．解析：∵＝＝＝＝.答案：．已知数列{}的前项和＝－，且满足<＋＋<，则正整数＝.<，即<(－)＋(－)<，所以解析：由＝(\\(，＝－－，≥，))可得＝－<＋＋<<，又∈*，所以＝.答案：．设等差数列{}的前项和为，若＝＝，则 {}的通项公式＝.解析：由题意得(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴＝＋(－)＝.答案：．设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝.解析：＝＝⇒＝.＝＝＝.答案：．设为等差数列{}的前项和，若＝，＝，则当取得最大值时，的值为．解析：由题意得(\\(＝＋＝＝＋＝))，所以＝，＝－，所以＝×＝－(－)＋，故当＝或＝时，取最大值．答案：或．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第行第＋列的数是．解析：由题中数表知：第行中的项分别为，…，组成一等差数列，所以第行第＋列的数是：＋.答案：＋二、解答题．在等差数列{}中，＝，为前项和，且满足－＝，∈*.()求及{}的通项公式；()记＝＋(>)，求{}的前项和.解析：()令＝，由－＝得－＝，即＋－＝.又∵＝，∴＝，∴公差＝.∴＝＋(－)·＝.()由()得＝＋，若≠，则＝(＋＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝＋.若＝，则＝＋，＝＝.．在数列{}中，＝－＋－－＝(≥，∈)．()试判断数列{}是否成等差数列；()设{}满足＝，求数列{}的前项和.解析：()由已知可得－＝(≥)，故数列{}是以为首项、公差为的等差数列．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章第二节等差数列及其前n项和

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13. 答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310.答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否成等差数列； (2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

(通用版)2019版高考数学一轮复习第6章数列2第2讲等差数列及其前n项和教案理

第2讲等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 4．等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列，且当a 1<0时，前n 项和S n 有最小值；公差d <0时为递减数列，且当a 1>0时，前n 项和S n 有最大值． 5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4，故选C. (教材习题改编)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选 A.法一：因为a 1＋a 5＝2a 3，所以a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，所以a 3＝1，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A. 法二：因为a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，所以a 1＋2d ＝1，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.(教材习题改编)在等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项．解析：a 1＝11，d ＝8－11＝－3，所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21. 答案：21已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：27等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．[典例引领]角度一求公差d 、项数n 或首项a 1(2018·洛阳市第一次统一考试)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．9D ．10【解析】依题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，所以a 1a 10＝10，又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1<a 10，所以a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1＝1.【答案】 A角度二求通项或特定项(方程思想)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.求数列{a n }的通项公式．【解】法一：设正项等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝27（a 1＋2d ）2，7a 1＋21d ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝17（a 1＋2d ）2，a 1＋3d ＝9，又因为a n ＞0，所以a 3＝a 1＋2d ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *)．法二：设正项等差数列{a n }的公差为d . 因为{a n }是等差数列，且a 1＋a 5＝27a 23，所以2a 3＝27a 23，又a n ＞0，所以a 3＝7.因为S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝63，所以a 4＝9.所以d ＝a 4－a 3＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1(n ∈N *)．角度三求前n 项和设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．【解析】法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×8d2＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.法二：由S 9＝9a 5＝－9，所以a 5＝－1，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 5＋a 12)＝－72.【答案】－72等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用，体现整体代入的思想．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3D ．8解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0，又d ≠0，则d ＝－2，所以a 6＝a 1＋5d ＝－9，所以{a n }前6项的和S 6＝1－92×6＝－24.2．在等差数列{a n }中，a 4＝2，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝65，则公差d 的值是( ) A ．4 B ．3 C ．1D ．2解析：选B.因为在等差数列{a n }中，a 4＝2，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝65，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2，10a 1＋10×92d ＝65，解得a 1＝－7，d ＝3. 所以公差d 的值是3.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3，S k ＝－35，则k ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由于a 1＝1，a 3＝－3，又a 3＝a 1＋2d ，所以d ＝－2，因此a n ＝3－2n . 得S n ＝1＋（3－2n ）2n ＝2n －n 2，所以S k ＝2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5，又因为k ∈N *，所以k ＝7. 答案：7等差数列的判定与证明[典例引领](2018·贵州省适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．【解】 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－（n ＋1）a n n （n ＋1）＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. [提醒] 判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．[通关练习]1．(2018·云南省11校跨区调研)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A. 34 B ．1 C. 43D. 32解析：选A.依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34，选A.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1.因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＋1－2b n ＝8a n ，所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2.又b 121＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n.等差数列的性质及应用(高频考点)等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等差数列的性质的考查常有以下三个命题角度： (1)等差数列项的性质的应用； (2)等差数列前n 项和的性质的应用； (3)等差数列前n 项和的最值．[典例引领]角度一等差数列项的性质的应用(1)(2018·太原市模拟试题)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则S 11＝( ) A ．66 B ．55 C ．44D ．33(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .【解】 (1)选D.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，所以12a 1＋60d ＝36，即a 1＋5d ＝3，所以a 6＝3，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝33，故选D.法二：因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9，所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36，所以a 3＋a 9＝6，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝33，故选D.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.角度二等差数列前n 项和的性质的应用等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．【解析】由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.【答案】 60角度三等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________．【解析】法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0，当n ≥12时，a n ＜0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55. 法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋n （n －1）2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4418.因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55. 【答案】 10或11 55(1)等差数列和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．②S 2n －1＝(2n －1)a n .③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：〈1〉当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；〈2〉当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S9＝( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A.S 11S 9＝11（a 1＋a 11）29（a 1＋a 9）2＝11a 69a 5＝119×911＝1.3．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033解析：选C.因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )．若d ＝0，则a n ＝a 1，其是常数函数；若d ≠0，则a n 是关于n 的一次函数．(n ，a n )是直线y ＝dx ＋(a 1－d )上一群孤立的点．单调性：d >0时，{a n }为单调递增数列；d <0时，{a n }为单调递减数列．等差数列{a n }的前n 项和S n 可表示为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．易错防范(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.2．(2018·兰州市诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B.法一：因为a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，所以d ＝32，所以S 9＝9×2＋9×82×32＝72. 法二：因为a 8＋a 10＝2a 9＝28，所以a 9＝14，所以S 9＝9（a 1＋a 9）2＝72. 3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23. 4．(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校模拟)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n为( ) A ．3 B ．3或4 C ．4或5D ．5 解析：选B.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，由n －4≥0，得n ≥4，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.故选B.5．(2018·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n （a 1＋a n ）2＋n （b 1＋b n ）2＝2 250，即n （103＋13n ＋90）2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：57．(2018·重庆适应性测试(二))设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2008．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－789．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4，所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差为d ＝4，所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．10．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选 A.因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<09＋a －1>0，解得－8<a <－7. 2．(2018·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．－50D ．0解析：选B.因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.3．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________．解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009.答案：11 0094．(2018·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)5．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．解：(1)因为S 4＝2S 2＋4，所以4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)因为a 1＝－52，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)＝n －72，所以b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.因为函数f (x )＝1＋1x －72在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上分别是单调减函数，所以b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，所以数列{b n }中的最大项的值是b 4＝3，最小项的值是b 3＝－1.6．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.。

(苏教版)高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列教案理(解析版)

1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d ＝na 1＋a n2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，由题意知，3×2＋3d ＝12，解得d ＝2，故a 6＝2＋(6－1)×2＝12. 答案：122．已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n3．(2018·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，且a 4＋a 5＋a 6＝21，所以3a 5＝21，即a 5＝7，故S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝63. 答案：631．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 2．已知数列{}a n 为等差数列，若a 1＝－3,11a 5＝5a 8，则使其前n 项和S n 取最小值的n ＝________. 解析：∵a 1＝－3,11a 5＝5a 8，∴d ＝2，∴S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴当n ＝2时，S n 最小．答案：2考点一等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．在等差数列{}a n 中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋322×n ＝－152， ①a 1＋n －112＝32， ②由②得a 1＝－12n ＋2，代入①得n 2－7n －30＝0，∴n ＝10或n ＝－3(舍去)， ∴a 1＝－3. 答案：－32．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝2a 5，所以a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2018·苏北四市一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝3，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，因此S 9＝9＋9×82×2＝81.答案：814．(2019·南京调研)记等差数列{a n }前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110, 则m ＝_______. 解析：因为S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝110，所以2m －1＝11，即m ＝6.答案：6[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·启东联考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n .(1)证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴数列{}b n 为等差数列．(2)∵b 1＝a 1－23＝0，∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n .考点三等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. 解析：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 答案：202．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为________．解析：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，故S n 取最大值时，n ＝8.答案：8[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180， ②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36，又S n ＝na 1＋a n2＝324，所以18n ＝324，所以n ＝18. 答案：182．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________.解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2003．已知在等差数列{}a n 中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22， S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，12a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31， ∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)由(1)知S n ＝32n －n 2，∴当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3，得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 答案：1792．(2019·常州一中检测)在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 12＝4，则a 2＋a 7＋a 12＝________. 解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝4，∴a 7＝2. 则a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝6. 答案：63．(2018·徐州期中)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，S 11＝132，a 6＋a 9＝30，则a 12的值为________．解析：在等差数列{}a n 中，设首项为a 1，公差为d ，由S 11＝132，a 6＋a 9＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 1＋11×102d ＝132，2a 1＋13d ＝30，解得a 1＝d ＝2.∴a 12＝a 1＋11d ＝24. 答案：244．(2018·苏州质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝________.解析：3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ＋1·a k ＜0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k ＜0，所以452＜k ＜472，又因为k ∈N *，所以k ＝23. 答案：235．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，所以S n 的最大值为S 5. 答案：S 56．(2018·无锡期末)在等差数列{}a n 中，若a n ＞0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为________．解析：∵在等差数列{}a n 中，a n ＞0，a 4＝5， ∴a 2＋a 6＝2a 4＝10，∴1a 2＋9a 6＝110⎝⎛⎭⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)＝110⎝⎛⎭⎫9a 2a 6＋a 6a 2＋10≥110⎝⎛⎭⎫29a 2a 6·a 6a 2＋10＝85，当且仅当9a 2a 6＝a 6a 2时取等号．故1a 2＋9a 6的最小值为85.答案：85二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币， ∴可将其看作一个等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝100，a 8＝a 1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85，∴a 3＝a 1＋2d ＝865－165＝14，即老三应该分得14个金币．答案：142．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，所以a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20. 答案：203．(2018·苏州期末)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时n 的值为________．解析：由a 5＝15，a 10＝－10得a n ＝－5n ＋40，a n ＋5＝－5n ＋15，T n ＝6a n ＋a n ＋52＝15(11－2n )，当11－2n ＝±1时，即n ＝5或6时，|T n |取最小值15.答案：5或64．(2019·泰州模拟)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4＝4，S 12＝24，则S 8＝________. 解析：由等差数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－4)＝4＋24－S 8，解得S 8＝12. 答案：125．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n 2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 答案：b n ＝2n －16．(2019·扬州模拟)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9－2a 10＝________. 解析：由S 13＝6，得a 1＋a 13132＝13a 7＝6，∴a 7＝613，∴3a 9－2a 10＝3(a 1＋8d )－2(a 1＋9d )＝a 1＋6d ＝a 7＝613.答案：6137．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2019·启东中学模拟)若等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，则使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，∴d 2＜0,0＋10＝－a 1－d 2d 2，0×10＝cd2，解得d ＜0，c ＝0，a 1＝－9d2.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9d2＋(n －1)d ＝d ⎝⎛⎭⎫n －112，令a n ≥0，解得n ≤112，因此使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.答案：59．(2018·启东期末)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 为等差数列．解：(1)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝n a 1＋a n 2＝n [3＋2n ＋1]2＝n (n ＋2)．(2)证明：∵b n ＝S n n＝nn ＋2n＝n ＋2， b n ＋1－b n ＝n ＋3－(n ＋2)＝1， ∴数列{}b n 为等差数列．10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N *.(1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1.因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2n ＋12－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1.(2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝n ＋2b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn，②②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 1，S 5，S 7成等差数列，所以S 1＋S 7＝2S 5，则a 1＋7a 1＋21d ＝2(5a 1＋10d )，解得d ＝2a 1，因为a 3＝5，所以a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.答案：2n －12．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 018＝________.解析：由a n ＋b n ＝1，得a n ＋1＋b n ＋1＝1，即b n ＋1＝1－a n ＋1，把b n ＋1＝1－a n ＋1代入b n ＋1＝11＋a n，化简可得1a n ＋1－1a n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n n ＋1，所以b 1·b 2·…·b 2 018＝12 019.答案：12 0193．(2018·南京学情调研)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1. ①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d a 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15，…b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n－22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

2019-2020高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课后作业理

∴bn＋1－bn＝－＝2.
又b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝ .
∴数列{an}的通项公式为an＝ .
10．解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，
7．(20xx·温州模拟)在等差数列{an}中，a9＝ a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于________．
8．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a ＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
三、解答题
9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝ (n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝ (n∈N*)．
3．解析：选B 由－＝1得－＝a1＋d－＝＝1，所以d＝2.
4．解析：选A 因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，
A．－1B．0C．D．6
2．(20xx·泉州模拟)等差数列的前三项为x－1，x＋1,2x＋3，则这个数列的通项公式为()
A．an＝2n－5B．an＝2n－3
C．an＝2n－1D．an＝2n＋1
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差d是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
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高考数学大一轮复习第六章数列《等差数列及其前n项和》练习理含解析

第2讲等差数列及其前n 项和[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2019·广东广州联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 017的值为( )A ．2 018B ．4 028C ．5 037D ．3 019解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋（m －1）d ＝4，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋（m ＋m ＋1）d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.5．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________．解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.答案：2257．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 答案：09．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.[综合题组练]1．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033解析：选C.因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.2．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( ) A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a na 2n＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a na 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：1304．(2019·四川广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn等于________．解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ①，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ②，①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n＝4n2n ＝4n ，所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝（4＋4n ）n2＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n5．(创新型)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 6．(应用型)已知一次函数f (x )＝x ＋8－2n .(1)设函数y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }是等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象与y 轴的交点到x 轴的距离构成数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由题意得a n ＝8－2n ，因为a n ＋1－a n ＝8－2(n ＋1)－8＋2n ＝－2，且a 1＝8－2＝6，所以数列{a n }是首项为6，公差为－2的等差数列． (2)由题意得b n ＝|8－2n |.由b 1＝6，b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，b 5＝2，可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．所以当n ≤4时，S n ＝6n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋7n ，当n ≥5时，S n ＝S 4＋(n －4)×2＋（n －5）（n －4）2×2＝n 2－7n ＋24.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋7n ，n ≤4，n ∈N *，n 2－7n ＋24，n ≥5，n ∈N *.。

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一、填空题
1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．
解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，
∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13. 答案：13
2．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．
解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，
∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．
答案：2
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.
解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2
＝8×182＝72. 答案：72
4．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9
等于________．
解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553
. 答案：3553
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.
解析：由a n ＝⎩⎨⎧
S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，
可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.
答案：8
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.
解析：由题意得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩
⎨⎧
a 1＝2，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .
答案：2n
7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2
＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2
＝9d 30d ＝310.
答案：310
8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．
解析：由题意得⎩⎨⎧
a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10
，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．
答案：4或5
9．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．
解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .
答案：n 2＋n
二、解答题
10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.
(1)求a 2及{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，
即a 1＋a 2－2a 1＝1.
又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.
∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .
(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，
若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )
＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q
. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2
＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．
(1)试判断数列{1a n
}是否成等差数列； (2)设{b n }满足b n ＝1a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1
＝3(n ≥2)，故数列{1a n
}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，
所以b n ＝3n －2，
所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2
. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；
(2)若数列{1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．
所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.
(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1
. 由T n ＝n 2n ＋1
>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。