高中数学《导数的几何意义》新课导入课例.docx
高中数学教学案——导数的几何意义(含答案)
§3．1．3 导数的几何意义
【学情分析】：
上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。
【教学目标】：
1.了解曲线的切线的概念
2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．
3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程
【教学重点】：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.
【教学难点】：
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
t0.2 0.4 0. 6 0.8
药物浓度的
瞬时变化率
（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
）
(以上几题可以让学生在课堂上完成)
6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.
1。
高中数学《导数的几何意义》导学案
第一章 导数及其应用 1.3导数的几何意义一、【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；并会用导数的几何意义解题；【重点、难点】教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．二、学习过程【情景创设】我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？【导入新课】（1）曲线的切线及切线的斜率：当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.（2）导数的几何意义：(1)切线的概念:对于割线PPn,当点Pn 趋近于点P 时,割线PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的_______称为点P 处的切线.(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是切线PT 的斜率k,即k= =f ′(x 0).说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.【典例分析】例1.求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2.求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：例3．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.解：【变式拓展】1.若曲线f(x)=x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直,求切线l 的方程解:2.求抛物线y=f(x)=2x 2-x 在(1,1)点处的切线斜率.解:三、学习总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义四、随堂检测1.已知抛物线y=f(x)=x 2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.解:2.设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]2,4[ππ,求点P 横坐标的取值范围。
高中数学 专题1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2的全部内容。
导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1:如图，当点P n（x n，f(x n））（n＝1,2,3，4)沿着曲线f（x)趋近于点P（x0,f（x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l 2.思考3：曲线f （x ）在点(x 0，f （x 0））处的切线与曲线过某点（x 0，y 0)的切线有何不同？ 答:曲线f （x ）在点（x 0,f (x 0)）处的切线，点（x 0，f (x 0）)一定是切点，只要求出k ＝f ′（x 0），利用点斜式写出切线即可;而曲线f （x ）过某点(x 0,y 0)的切线，给出的点（x 0，y 0）不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f (x 0））处的切线的斜率k ＝f ′（x 0），欲求斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)）．思考4：如何求曲线f (x ）在点（x 0,f （x 0）)处的切线方程？答：先确定切点P （x 0，f (x 0)） ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0）,最后由点斜式可写出切线方程．2、例题剖析例1:（1)求曲线y =f (x ）=x 2+1在点P （1,2）处的切线方程.(2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线方程。
《导数的几何意义》教学设计
1 《导数的几何意义》教学设计 安徽省宿州市宿州学院附属实验中学 罗风云 一、教材依据 导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标 准实验教科书选修 1-1 第三章第二节的内容。 二、设计思想 教材分析： 导数是微积分的重要部分， 是从生产技术和自然科学的需要中产 生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、 物理、工程技术中有着广泛的应用， 而且在日常生活及经济领域也日 渐显示出其重要的功能。 本节内容分了两部分也即两个课时， 一是导数的概念； 二是导数 的几何意义。 之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念， 介绍导 数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。 教材中利用逼近方法， 将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线， 这种定义才反映了 切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂 时中找到永久，并使之确定起来” （恩格斯语）的微积分思想，让学 生反复通过图形 （数与形的结合） 去认识和感受导数的几何意义 —— 切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式 —— 几何直 观，从而加深对导数概念的认识和理解。 学情分析： 2
现有知识储备 （ 1）平均变化率、瞬时变化率； （2）过两 点的直线的斜率；（3）函数的极限；（4）导 数的概念等 现有能力特征 具有一定归纳、 概括、类比、抽象思维能力
现有情感态度 对导数这一新鲜的概念在具体情境 （函数图 像等）中的应用具有强烈的求知欲和渴望探 究的积极情感态度 设计理念： 学生为本，重视思维发生的过程，重视切线定义的形成过程，激 发学生的学习兴趣， 有意识培养学生的学习毅力。 让学生学习有趣的 数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文 价值。 三、教学目标 1. 知识与技能目标：
（1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数 f（x）在 x x0处的导 数 f / x0 的几何意义就是函数 f（x）的图像在 x x0 处的切线的斜率。 （数形结合），即： f / x0 lim f x0 x f （x0） ＝切线的斜率； x 0 x
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
导数的几何意义说课精选文档
5
学情分析
1、从知识上看，学生已经理解了导数的概念，但 这是建立在“数”的基础上的，缺乏从“形”上去理 解导数. 2、从学习能力上看，学生具备了一定的探究问题 的能力，但缺乏自主探究的主动性，并且学生对 切线的认识有着一定的思维定势 .
（
二
） 活动 2.表示出割线 PQ 的斜率并讨论分析在? x ? 0 的
自 过程中，割线PQ 的斜率变化规律.
主 探 究
针对学生在这个活动中可能出现的情况作出如下预设：
预设(1) 如果学生通过组内互相讨论分析得出结论，则 让小组选一名代表上讲台给大家展示
，
合 预设(2) 如果学生在小组讨论过程中不能发现规律并
6
教法与学法
教法
学法
情景 教学
问题 驱动
多媒 体辅 助
动手 尝试
观察 发现
合作 学习
7
教学过程
1 创设情境 导入新课
2
自主探究 合作学习 3 学以致用 强化落实
4 归纳小结 深化提高
5 布置作业 课后延伸
8
（
一
） 求导数 f ?( x0 ) 的步骤是什么？
创 第一步：求平均变化 率 f (x0 ? ? x) ? f (x0 ) ；
升 华
（2 ）若点P在曲线上，由于 P点不一定是切点， 一般方法也同上
设计意图：在例题的解决过程中，层层递进，一步步 提升学生的思维.最终掌握利用导数的几何意义研究曲 线的切线问题，从而轻松地解决本节重点。
19
课堂小测
1、下列说法正确的是 （ ）
A 若f ?(x)不存在，则曲线y ? f (x)在点（x0, f (x0)）处有 B 若曲线y ? f (x)在点（x0 , f (x0 )）处有切线 f ?(x)必存 C 若f?(x)不存在，则曲y线? f (x)在点（x0, f (x0)）处切
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
∆������
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开
高中数学第三章.3导数的几何意义学案含解析新人教A版选修6.doc
3．1.3 导数的几何意义[提出问题]如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3，4，…)，P 的坐标为(x 0，y 0)，直线PT 为在点P 处的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？ 提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n＝fx n －f x 0x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与在点P 处的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在点P 处的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．[导入新知]导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[化解疑难]曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率，即函数y ＝f (x )在点P 处的导数，反映了曲线在点P 处的变化率.[提出问题]已知函数f (x )＝－x 2＋2. 问题1：如何求f ′(x 0)? 提示：f ′(x0)＝lim Δx →0－x 0＋Δx2＋2－－x 20＋Δx＝lim Δx →0(－2x 0－Δx )＝－2x 0. 问题2：若x 0是一变量x ，f ′(x )是常量吗？提示：f ′(x )＝－2x ，说明f ′(x )不是常量，而是关于x 的函数． [导入新知]导函数的定义对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0) 是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x ) 便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx.[化解疑难]函数y ＝f (x )“在点x 0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系(1)函数在点x 0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．(2)导函数也简称导数，所以“导数” f (x )在一点x 0处的导数(特殊)导函数(一般)(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．[例1] 若函数f (x )＝x －x，求它与x 轴交点处的切线方程．[解] 由f (x )＝x －1x＝0，得x ＝±1，即与x 轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)．∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx －1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1xx ＋Δx ＝1＋1x 2， ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)， 即2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0. [类题通法]求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)． (2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． [活学活用]已知曲线y ＝3x 2，求过点A (1,3)的曲线的切线方程． 解:∵Δy Δx＝＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6. ∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)， 即6x －y －3＝0.[例2] (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8， 得x 0＝2，该点为(2,9)． [类题通法]求曲线切点坐标的五个步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，求出x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求得y 0的值，得切点坐标(x 0，y 0)． [活学活用]已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋a ]－x 2＋aΔx＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx ) ＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0. 根据题意得4x 0＝8，x 0＝2， 分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15， 得y 0＝8＋a ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y 0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[例3] 12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. lim Δx →0Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. [类题通法]解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如斜率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解．此处常与函数、不等式等知识点结合．[活学活用]已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|＝0x x ＝lim Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.7.导数的几何意义理解的误区[典例] 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． [解] y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx2－7]－x 2－Δx＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . 由于2×32－7＝11≠9， 故点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)， 则切线的斜率为k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)， 解得x 0＝2或x 0＝4， 所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0. [易错防范]1．解答本题误认为切线斜率k ＝f ′(3)．因点P (3,9)不在曲线上，从而点P 不是切点，故切线斜率不是在x ＝3处的导数．2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．3．如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程．[成功破障]求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．[解] 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x x 0＝＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝lim Δx →0 －ΔxΔx x 0＋Δxx 0＝lim Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20，故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)，由点(2,0)在所求的直线上， 得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得：x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.[随堂即时演练]1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交解析：选B f ′(x 0)＝0，说明曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以与x 轴平行或重合．2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D ∵y ＝x 2， ∴k ＝y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，则y ＝14.3．对于函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝____________. 解析：因为f ′(x 0)＝lim Δx →0a x 0＋Δx ＋4－ax 0－4Δx＝a ，f ′(1)＝2，所以a ＝2.答案：24．设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＞0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角的范围是________．解析：已知f ′(x 0)＞0，设切线的倾斜角为α， 则tan α＞0.又α∈[0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 5．在抛物线y ＝x 2上求一点P ，使在该点处的切线垂直于直线2x －6y ＋5＝0. 解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则抛物线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为 f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0.直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13.由题设知2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，此时y 0＝94，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.[课时达标检测]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在解析：选D 曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 、B 错误；f ′(x 0)不存在，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x ＝x 0，故C 错误、D 正确．2．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2 解析：选C 先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δxx x ＋Δx，Δy Δx ＝1x x ＋Δx ， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1xx ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即y ＝4x －4.3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x ＋y ＋5＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x )＝0 D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 由y ＝－3x －5，知f ′(x 0)＝－3＜0.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 的值为( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1选A ∵y ′＝li m Δx →0a ＋Δx 2－a ×12Δx＝li m Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a . ∴2a ＝2，a ＝1.5．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18解析：选B 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 x 0＋Δx3－x 3Δx＝li m Δx →0[(Δx )2＋3x 20＋3x 0·Δx ] ＝3x 20.∵k ＝3，∴3x 20＝3， ∴x 0＝1或x 0＝－1， ∴y 0＝1或y 0＝－1.∴点P 的坐标为(－1，－1)或(1,1)． 二、填空题6．曲线y ＝1x －1在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线的斜率为________．解析：Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 ＝2－＋Δx＋Δx＝－Δx＋Δx，∴Δy Δx ＝－1＋Δx，即k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0[－1＋Δx ]＝－14.答案：－147．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________.解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：38．如图是函数f (x )及f (x )在点P (2，f (2))处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.解析：由题图可知切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98， 所以f (2)＋f ′(2)＝98. 答案：98三、解答题9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点坐标；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋Δx ＝li m Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝li m Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率；(2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解：将P (2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1.∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx＝11－x ＋Δx －11－x Δx＝Δx [1－x ＋Δx －x Δx ＝1－x －Δx －x .当Δx 趋近于0时，Δy Δx 趋近于1－x 2. (1)曲线在点P 处的切线斜率为1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线斜率为1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0；曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《导数的几何意义》课例分析【教学廿标】知识与技能廿标：（1） 使学生掌握函数/（兀）在兀=兀0处的导数广（兀）的几何意义就是函数 /（尢）的图像在兀=竝处的切线的斜率。
（数形结合），Bp ：厂g ） = lim •/曲=切线的斜率V XT O V X（2） 会利用导数的儿何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学 思想方法。
过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现 问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能 力的目的。
【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint ）,实物投影等多媒体手段，增 大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。
【教学过程重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的儿何意义【教学过程】（一）作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，t 秒（s ）时运动员相对于水面的高度是 如）=*.9尸+6・5『+10 （单位:m ）,求运动员在t=ls 时的瞬时速度,并解释此时 的运动状态：在匸0.5s 时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释匸Is,匸0.5s 时运动员的运动状 态。
（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）（二）课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。
•问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。
学生运动。
导数广（勺）的本质是函数/（x ）在* X 。
处的瞬时变化率,即:（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已民用工业的经验、r (x 0)= limV A ->0 /(Xo+VQ-/(Xo ) Vx认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”，感知导数的几何意义奠定基础）•问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”，自然要结合“数”: 即：导数的代数表达式，并回忆求导数.厂（勺）的步骤。
•问（三）：求导数广（兀。
）的步骤有哪几步？教师引导学生回答：第一步：求平均变化率/（乞+VQ-/（込）；Vx第二步：当Vx趋近于0时，平均变化率/（巴+VQ一/（勺）无限趋近于的常Vx数就是广（勺）。
（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：•问（四）：第一步：平均变化率/（勺+丫:）7（勺）的儿何意义是什么? VX请在函数图像中画出来；学生动手活动。
由学生乙回答:平均变化率仝空上血的几何意义是割线AB的斜率。
VxA（x0,/（.r0））,B（x0 +Vx,/（x0 +Vx））。
教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。
•问（五）：第二步：V XT O时，割线AB有什么变化？请画出来。
学生动手活动。
教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化；Vx T （）, 3（珀）+Vx, /O（）+Vx）） T A（x（｝ ,/（x0））,当Vx->0,割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的肓线叫做曲线在兀=心处的切线，请把它画出來。
学生动手活动。
教师展示学生作品，引导学生发现，并说出：（形）V XT O,割线AB-切线AD,则割线AB的斜率一切线AD的斜率由数形结合，得.广（勺）=1曲/（£+丫）7阪）=切线AD的斜率所以，函数/（兀）在处的导数广（X。
）的儿何意义就是函数/（兀）的图像在兀=竝处的切线的斜率。
（数形结合）（说明：动手实践，探索发现。
使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。
）（三）动画演示，总结归纳1、演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出來。
2、教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint 动画。
初中平面几何中，圆的切线的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。
这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。
这种定义并不适用于一般曲线的切线。
例如上图中，直线厶虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线厶虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。
因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。
所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
3、根据导数的几何意义，在点P附近，曲线/（兀）可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法一一以直代曲（以简单的对象刻画复朵的对象）。
（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起來就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。
（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加強学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。
）（四）训练巩固、加强理解：1、在函数/?（/）=-4 J + 6.侨的图像上，（1 ）用图形来体现导数/2Z（1>- 3., /r（0.5） = 1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。
（2）请描述、比较曲线/?（/）在山、人、£附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在厶，心附近呢？（说明：要求学生动脑（审题）、动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
）2、如图表示人体血管中的药物浓度c=y⑴（单位：mg/mL）随时间f （单位: min）变化的函数，根据图像,估计uO.2,0.4,0.6,0.8 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。
（精确到0.1）c(mg/ml)（说明：要求学生动脑（审题）、动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、 “以直代曲”的思想方法。
）（五）抽彖概括，归纳小结：I 、抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念:.广（勺）是确定的数（静态），广（兀）是兀的函数（动态） 由 /©（））= lim /g+Vx ）：/缸 （特殊——一般） 2、归纳小结：由学生进行开放式小结： （1） 函数/（兀）在2如处的导数广（兀）的几何意义就是函数/⑴的图像在 兀=如的切线AD 的斜率。
（数形结合），即：/Vo ） = lim /（兀+°）-/（丸2 =切线人。
的斜率V A ->0 V X（2） 利用导数的儿何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代（六）作业布置，分层要求：1、 习题 P1OA5, 6.B2, 3.2、 如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函（0<V<5）的图像，请根据图像，估计V = 0.6,1.2时，气球的瞬时 3、请给出求函数y = /（x ）在兀=如处的切线方程的一个算法，并小组自编四 个求切线的题冃。
（探索：若把3.“在点（兀0，/（尢0））处”改为“过点（兀0，/（勺））”，f(x+Vx) -/(x)Vx（静态 动态）曲”的思想方法。
（3）导函数（简称“导数”）的概念。
=lim V XT O /(x+Vx) -/(x) Vx1.5 数 r(V)= r(n =膨胀率。
有什么发现?5算法有何不同？并小组自编四个求切线的题冃。
）（七）教学反思本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。
它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。
本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现高中数学课程标准所倡财的教学理念，主要特色如下：1.教学思路清晰，学习重点突出本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬间速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率一一瞬时变化率” 的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义一一“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”, 从而达到“以简单的对彖刻画复杂对象”的冃的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。
整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。
虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。
2.设问合乎情理，探究活动自然著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动（包括数学活动）的实际出发点”。
在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋，积极思考”。
本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）一一寻求想法一—实施想法一一发现规律一一给出定义一一应用定义解释现象（如何估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。
3.注重学法引导，揭示研究方法无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用, 教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问：“你为什么这样做？”、“你是怎样想的？”、“还可以怎样做？”等问题，问思路、问道理、问方法，及时组织学生交流思维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的慕本方法，借此引导学生学会必要的思维策略。