专题复习：巧用相似解决一类与圆有关的小压轴题
备战中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习含答案
备战中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习含答案一、相似1．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB，∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴ =1（2）（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，∴，∵，∴，∵DT∥PG，DK∥PH，∴，∴，∴【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴，∵△PHC∽△ACB，PG=HC，∴，故答案为：；【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。
（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ，由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。
2020-2021中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习
2020-2021中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习一、相似1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。
中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合及答案解析
中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合及答案解析一、相似1．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，， = ,即是的切线（2）解：猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴ = , = ,∴∵∴∴∵∴∵∵∴∴∴MN∥AB．【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。
由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。
2．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M 从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝ EM；（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.【答案】（1）证明：：∵ °, ° ,∴ °∵ ,∴∵∥ ,∴∴ °,∴过点作于点 ,则 .在中，∴∴（2）解：在中，，∴∵a.当点在线段上时，过点作于点 ,在中，由（1）可知：,∴∴∴b.当点在线段延长线上时，过点作于点在中， ,在中， ,∴ ,∴（3）解：连接 ,交于点 .∵为的中点∴ ,∴ .∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵∥∴ ,∴ ,,∵ ,∴ ,又∵ ,∴∽ ,∴，即 ,∴【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I ,结合（1）中的结论MN=EM即可求解；②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点I '，解RtΔNI′M 和可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N'，由（2）中的计算可得MN、CD、MC的长，解直角三角形CDM可得∠DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=，根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN′=MD；则NC的长可求，由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,3．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x， x2+2x+6），则FG= ，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，∴当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）（3）解：如图2，不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6解得k1= 或k2=∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。
中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案.doc
中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案一、相似1．如图的中点1，过等边三角形M， N，连接 MN ．ABC 边AB 上一点 D 作交边AC 于点E，分别取BC， DE（1）发现：在图 1 中，________；（2）应用：如图2，将绕点 A 旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且， M ， N 分别是底边 BC， DE 的中点，若，请直接写出的值．【答案】（1）（2）解：如图 2 中，连接AM、 AN，，，都是等边三角形，，，，，，，，，∽，（3）解：如图 3 中，连接AM、 AN，延长 AD 交 CE于 H，交 AC 于 O，，，，，，，，，，，，，，，∽，，，，，，≌，，，，，，，，，，【解析】【解答】解：（1）如图 1 中，作于H，连接AM，，，，时等边三角形，，，，，平分线段DE，，、 N、 M 共线，，四边形 MNDH 时矩形，，，故答案为：；【分析】（ 1）作DH ⊥ BC 于 H，连接AM.证四边形MNDH 时矩形，所以MN=DH，则MN ： BD=DH：BD=sin60 ，°即可求解；（2）利用△ ABC ，△ ADE 都是等边三角形可得AM ： AB=AN： AD，易得∠BAD = ∠MAN ，从而得△ BAD ∽ △ MAN，则 NM： BD=AM：AB=sin60 ，°从而求解；（3）连接 AM、 AN，延长 AD 交 CE 于 H，交 AC 于 O.先证明△BAD∽△ MAN可得NM ： BD=AM：AB=sin∠ ABC；再证明△ BAD ≌ △ CAE，则∠ ABD = ∠ ACE ，进而可得∠ABC = 45 ，可求出°答案 .2．如图， Rt△ AOB 在平面直角坐标系中，已知：B（0，），点OA=3，∠BAD=30°，将△ AOB 沿 AB 翻折，点O 到点 C 的位置，连接A 在 x 轴的正半轴上，CB 并延长交 x 轴于点D.（1）求点 D 的坐标；（2）动点 P 从点 D 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动，当△ PAB为直角三角形时，求 t 的值；（3）在（ 2）的条件下，当△ PAB为以∠ PBA为直角的直角三角形时，在y 轴上是否存在一点 Q 使△ PBQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由 .【答案】（ 1）解：∵ B（0，），∴OB=.∵OA=OB，∴OA=3，∴AC=3.∵∠ BAD=30 ，°∴∠ OAC=60 .°∵∠ ACD=90 ，°∴∠ ODB=30 ，°∴=，∴O D=3，∴D（﹣ 3，0）；（2）解：∵ OA=3，OD=3，∴ A（ 3，0）， AD=6，∴A B=2，当∠PBA=90时°.∵P D=2t，∴O P=3﹣2t.∵△ OBA∽ △ OPB，2∴3﹣ 2t==1，解得 t=1，当∠APB=90 时°，则 P 与 O 重合，∴t=；（3）解：存在 .①当 BP 为腰的等腰三角形.∵OP=1，∴BP==2，∴Q1（ 0，+2）， Q3（ 0.﹣2）；②当 PQ2=Q2B 时，设 PQ2=Q2 B=a，在 Rt△ OPQ2中， 12+（﹣x）2=x2，解得x=，∴Q2（ 0，）；③当 PB=PQ 时， Q （ 0，﹣）4 4综上所述：满足条件的点Q 的坐标为Q1（ 0，+2）， Q2（ 0 ，）， Q3（ 0.﹣2）， Q4（ 0，﹣） .【解析】【分析】（ 1）根据已知得出OA、 OB 的值以及∠ DAC 的度数，进而求得∠ ADC，即可求得 D 的坐标；（ 2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；（3）求得 PB 的长，分四种情形讨论即可解决问题.3．（1）问题发现：如图① ，正方形 AEFG的两边分别在正方形ABCD的边 AB 和 AD 上，连接 CF.①写出线段CF与 DG 的数量关系；②写出直线CF与 DG 所夹锐角的度数.（2）拓展探究：如图②，将正方形AEFG绕点用图②进行说明 .（3）问题解决如图③，A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利△ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，D 在直线 BC 上运动，连接OE，则在点∠BAC=∠ DAE=90°， AB=AC=4，O 为 AC 的中点 .若点D 的运动过程中，线段OE 的长的最小值.（直接写出结果）【答案】（ 1）①CF=（2）解：如图：DG，②45①连接 AC、 AF,在正方形ABCD中，延长CF交 DG 与 H 点，∠CAD=∠BCD=45,设 AD=CD=a，易得 AC=a=AD,同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF=AG,∠CAD=∠FAG,∠ CAD-∠ 2=∠ FAG-∠ 2,∠1=∠ 3又△CAF∽ DAG,=,CF=DG;②由△ CAF∽ DAG，∠ 4=∠ 5，∠ACD=∠ 4+∠ 6=45 ,∠5+∠ 6=45，∠5+∠ 6+∠ 7=135 ，在△ CHD中，∠CHD=180 -135 =45，（1）中的结论仍然成立（3） OE 的最小值为.【解析】【解答】（ 3）如图：由∠ BAC=∠ DAE=90 ,可得∠ BAD=∠ CAE,又AB=AC,AD=AE, 可得△ BAD≌ △ CAE,∠A CE=∠ ABC=45 ,又∠ ACB=45 ,∠ BCE=90 ,即CE⊥ BC,根据点到直线的距离垂线段最短，OE⊥ CE时， OE 最短，此时OE=CE,△ OEC为等腰直角三角形，OC=AC=2,由等腰直角三角形性质易得，OE=，OE 的最小值为.【分析】（ 1 ）①易得CF=DG;②45；(2)连接AC、 AF,在正方形ABCD 中，可得△CAF∽ DAG，=,CF=DG，在△ CHD 中，∠ CHD=180 -135 =45，（1）中的结论是否仍然成立；（3） OE⊥ CE 时， OE 最短，此时OE=CE,△ OEC 为等腰直角三角形， OC=AC=2,可得 OE 的值 .4．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△ CFE中， CF=6,CE=12,∠ FCE=45°,以点 C 为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于AD 长为半径做弧，交于点 B,AB∥ CD.（1）求证：四边形 ACDB为△ CFE的亲密菱形；（2）求四边形 ACDB的面积 .【答案】（ 1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC 是∠ FCE 的角平分线 ,∴∠ ACB=∠ DCB，又∵ AB∥ CD,∴∠ ABC=∠ DCB，∴∠ ACB=∠ ABC，∴AC=AB，又∵ AC=CD,AB=DB,∴AC=CD=DB=BA，四边形 ACDB是菱形，又∵∠ ACD与△ FCE中的∠ FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形 ACDB为△ FEC的亲密菱形 .（2）解：设菱形 ACDB的边长为 x，∵ CF=6,CE=12,∴FA=6-x，又∵ AB∥ CE,∴△ FAB∽ △ FCE,∴,即，解得： x=4，过点 A 作 AH⊥ CD于点 H,在Rt△ ACH中，∠ ACH=45°,∴s in∠ ACH= ,∴AH=4 ×=2,∴四边形 ACDB的面积为：.【解析】【分析】（ 1）依题可得： AC=CD,AB=DB,BC是∠ FCE 的角平分线 ,根据角平分线的定义和平行线的性质得∠ ACB=∠ ABC，根据等角对等边得 AC=AB，从而得 AC=CD=DB=BA，根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形；再根据题中的新定义即可得证. （2）设菱形ACDB 的边长为x，根据已知可得CF=6,CE=12,FA=6-，x根据相似三角形的判定和性质可得，解得： x=4,过点 A 作 AH⊥CD 于点 H,在 Rt△ ACH 中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.5．如果三角形的两个内角α与β满足2α +β =90，那°么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°，则∠B=________°；（2）如图①，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=4， BC=5.若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ ABD 是“准互余三角形”试.问在边 BC上是否存在点 E（异于点 D），使得△ ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE的长；若不存在，请说明理由 .（3）如图②，在四边形 ABCD 中， AB=7， CD=12， BD⊥ CD，∠ ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长 .【答案】（ 1） 15（2）解：如图①中，在Rt△ ABC中，∵ ∠ B+∠ BAC=90°，∠ BAC=2∠ BAD，∴∠ B+2∠BAD=90 ，°∴△ ABD 是“准互余三角形”，∵△ ABE 也是“准互余三角形”，∴只有 2∠ B+∠ BAE=90 ，°∵∠ B+∠BAE+∠ EAC=90 ，°∴∠ CAE=∠ B，∵∠ C=∠ C=90 ，°∴△ CAE∽ △ CBA，可得 CA2=CE?CB，∴C E= ，∴B E=5﹣= .（3）解：如图②中，将△ BCD沿 BC 翻折得到△BCF.∴CF=CD=12，∠BCF=∠ BCD，∠CBF=∠ CBD，∵∠ ABD=2∠ BCD，∠BCD+∠CBD=90 ，°∴∠ ABD+∠ DBC+∠CBF=180 ，°∴A、B、 F 共线，∴∠ A+∠ ACF=90 °∴2∠ ACB+∠ CAB≠ 90，°∴只有 2∠ BAC+∠ ACB=90 ，°∴∠ FCB=∠ FAC，∵ ∠ F=∠ F，∴△ FCB∽ △ FAC，∴CF2=FB?FA，设 FB=x，则有： x（ x+7） =122，∴x=9 或﹣ 16（舍去），∴AF=7+9=16，在 Rt△ ACF中， AC=【解析】【解答】（ 1）∵ △ ABC是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°，∴2∠ B+∠A=90 ，°解得，∠ B=15°；【分析】（ 1 ）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（ 2 ）只要证明△CAE∽△ CBA，可得 CA2=CE?CB，由此即可解决问题；（ 3）如图②中，将△ BCD沿 BC翻折得到△ BCF只.要证明△ FCB∽ △ FAC，可得 CF2=FB?FA，设 FB=x，则有： x（ x+7）=122 ，推出 x=9 或﹣ 16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；6．如图，点O 为矩形 ABCD的对称中心，AB＝ 5cm， BC＝ 6cm，点 E.F.G分别从 A.B.C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为1cm/s ，点 F 的运动速度为 3cm/s ，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动 .在运动过程中，△ EBF 关于直线 EF 的对称图形是△ EB′设F.点 E.F.G运动的时间为 t（单位： s） .（1）当 t 等于多少s 时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、 B、 F 为顶点的三角形与以点F， C， G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t ，使得点B’与点 O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（ 1）解：若四边形 EBFB′为正方形，则 BE＝ BF， BE＝ 5﹣ t， BF＝3t，即： 5﹣ t ＝ 3t，解得 t＝ 1.25；故答案为： 1.25（2）解：分两种情况，讨论如下：①若△ EBF∽ △ FCG，则有，即，解得： t＝ 1.4；②若△ EBF∽ △ GCF，则有，即，解得： t＝﹣ 7﹣（不合题意，舍去）或∴当 t＝ 1.4s 或 t ＝（﹣ 7+）s时，以点点的三角形相似. t ＝﹣ 7+.E、 B、F 为顶点的三角形与以点F， C， G 为顶（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点 O 重合 .如图，过点O 作 OM⊥ BC于点 M，则在 Rt△ OFM 中， OF＝ BF＝ 3t ，FM＝BC﹣ BF＝ 3﹣ 3t， OM ＝ 2.5，由勾股定理得： OM 2+FM 2＝ OF2，即： 2.52+（ 3﹣ 3t）2＝（ 3t ）2解得： t＝；过点 O 作 ON⊥AB 于点 N，则在Rt△ OEN 中， OE＝BE＝5 ﹣t ， EN＝ BE﹣ BN＝5﹣ t ﹣2.5＝2.5﹣t ，ON＝ 3，由勾股定理得：ON2+EN2＝ OE2，即： 32+（ 2.5﹣ t）2＝（ 5﹣ t ）2解得： t＝.∵≠，∴不存在实数t ，使得点B′与点 O 重合【解析】【分析】（ 1 ）利用正方形的性质，得到BE＝ BF，列一元一次方程求解即可；（ 2）△ EBF 与△ FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题 .假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t 值，它们互相矛盾，所以不存在7．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ 6cm， BC＝8cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速度向点 B 运动，运动时间为t 秒，连接MN.（1）若△ BMN 与△ABC 相似，求t 的值；（2）连接 AN， CM，若 AN⊥ CM，求 t 的值．【答案】（1）解：∵∠ ACB＝ 90°， AC＝ 6cm， BC＝ 8cm，∴ BA＝＝10(cm)．由题意得BM＝3tcm ，CN＝ 2tcm，∴ BN＝ (8－ 2t)cm.当△ BMN∽ △ BAC时，，∴＝，解得t＝；当△ BMN∽ △ BCA时，＝，∴＝，解得t＝.综上所述，△ BMN 与△ ABC相似时， t 的值为或（2）解：如图，过点M 作 MD ⊥CB 于点 D，∴∠ BDM＝∠ACB＝ 90 °，又∵ ∠B＝∠ B，∴ △BDM ∽ △ BCA，∴＝＝. ∵ AC＝ 6cm， BC＝ 8cm， BA＝ 10cm， BM＝3tcm ，∴DM ＝tcm， BD＝tcm ，∴CD＝cm.∵AN⊥CM，∠ ACB＝ 90 °，∴∠ CAN＋∠ ACM＝ 90 °，∠ MCD＋∠ ACM＝ 90 °，∴∠ CAN＝∠MCD. ∵ MD ⊥CB，∴ ∠ MDC＝∠ ACB＝ 90 °，∴ △ CAN∽ △ DCM，∴＝，∴＝，解得t＝．【解析】【分析】（ 1）在直角三角形ABC 中，由已知条件用勾股定理可求得AB 的长，再根据路程 =速度时间可将BM、 CN 用含 t 的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t 的代数式表示出来，因为△ BMN与△ABC相似，由题意可分两种情况，①当△BMN ∽△ BAC 时，由相似三角形的性质可得比例式：，将已知的线段代入计算即可求解；②当△ BMN∽ △BCA 时，由相似三角形的性质可得比例式：的线段代入计算即可求解；（ 2 ）过点M作MD ⊥ CB 于点 D ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，将已知△BDM ∽ △ BCA，于是可得比例式数式表示 DM 、 BD 的长，则，将已知的线段代入计算即可用含CD=CB-BD 也可用含t的代数式表示出来，同理易证t 的代△CAN∽ △ DCM，可得比例式，将已表示的线段代入计算即可求得t 的值。
备战中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案
备战中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案一、相似1．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．求证：（1）AD是⊙B的切线；（2）AD=AQ；（3）BC2=CF•EG．【答案】（1）证明：连接BD，∵四边形BCDE是正方形，∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，∵C为AB的中点，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，∵BD为半径，∴AD是⊙B的切线（2）证明：∵BD=BG，∴∠BDG=∠G，∵CD∥BE，∴∠CDG=∠G，∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，∴∠ADQ=∠AQD，∴AD=AQ（3）证明：连接DF，在△BDF中，BD=BF，∴∠BFD=∠BDF，又∵∠DBF=45°，∴∠BFD=∠BDF=67.5°，∵∠GDB=22.5°，在Rt△DEF与Rt△GCD中，∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，∴Rt△DCF∽Rt△GED，∴ ,又∵CD=DE=BC，∴BC2=CF•EG．【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=即可。
由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，∠DBC=∠CDB=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=，则∠∠ADB=，问题得证；（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。
由题意易得∠AQD=-∠G，∠ADQ=-∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以AQ=AD；（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。
中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及详细答案一、相似1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=（3）解：存在，易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN的面积为△ABC面积的，∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，∴tan∠MAC= =4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，∴tan∠MAC= =1；②当N点在BC上，如图2，BC= =2 ，∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，∵S△AMN= AN•MN=2，∴MN= = ，∴∠MAC= ；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，由②得AH= ，则BH= ，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴，即，∴MN= ，∵AN•MN=2，即•（﹣t）• =2，整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合含详细答案
中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合含详细答案一、相似1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).（1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围）.（2）当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出 =________. （4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）（2）解：如图1，过点P作PH⊥BC于点H，∴∠PHB=∠PHQ=90°，∵∠C=90°，AD∥BC，∴∠CDP=90°，∴四边形PHCD是矩形，∴PH=CD=3，HC=PD=2t，∵CQ=t，BC=4，∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，∴BQ2= ，BP2= ，PQ2= ，由BQ2=BP2可得：，解得：无解；由BQ2=PQ2可得：，解得：；由BP2= PQ2可得：，解得：或，∵当时，BQ=4-4=0，不符合题意，∴综上所述，或；（3）（4）解：如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，∵AD∥BC，DM∥PQ，∴四边形PQMD是平行四边形，∴QM=PD=2t，∵QC=t,∴CM=QM-QC=t，∵∠BCD=∠MCD=90°，∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，∴由BM2=BD2+DM2可得：，解得：，∴当时，∠BDM=90°，即当时，PQ⊥BD.【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，∴S△PBQ= BQ×3= ；（ 3 ）解：如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，∴∠PMC=∠C=90°，∵AD∥BC，∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，∴四边形PMCD是矩形，，∴PM=CD=3，CM=PD=2t，∵AD=6，BC=4，CQ=t，∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,∴，解得：，∴MQ= ，又∵PM=3，∠PMQ=90°，∴tan∠BPQ= ；【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到s与t之间的函数关系式。
中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习及详细答案
∵
=1 且∠ ABC=∠ AMN，
∴ △ ABC～△ AMN
∴
，
∵ AB=BC，
∴ ∠ BAC= （180°﹣∠ ABC）， ∵ AM=MN
∴ ∠ MAN= （180°﹣∠ AMN）， ∵ ∠ ABC=∠ AMN， ∴ ∠ BAC=∠ MAN， ∴ ∠ BAM=∠ CAN， ∴ △ ABM～△ ACN， ∴ ∠ ABC=∠ ACN （3）解：如图 3，连接 AB，AN，
∴ BI=
=24，
∵ BI=24＜32，
∴ 中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，
过点 K 作 KL⊥BC 于点 L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为 ×BG• BF= ×（40+20）× （32+16）=720， 答：该矩形的面积为 720； （4）解：如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，
由题意知四边形 ABCH 是矩形， ∵ AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， ∴ EH=20、DH=16， ∴ AE=EH、CD=DH， 在△ AEF 和△ HED 中，
∵
，
∴ △ AEF≌ △ HED（ASA），
∴ AF=DH=16，
同理△ CDG≌ △ HDE，
∴ CG=HE=20，
（2）解：∵ 四边形 ABED 内接于⊙O，∴ ∠ CED=∠ CAB，
∵ ∠ C=∠ C，∴ △ CED∽ △ CAB，∴
，
∵ AB=BC=10，CE=2，D 是 AC 的中点，
∴ CD= ；
（3）解：延长 EF 交⊙O 于 M，
在 Rt△ ABD 中，AD= ，AB=10，
∴ BD=3 ， ∵ EM⊥AB，AB 是⊙O 的直径，
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专题复习：巧用“相似”解决与圆有关的小压轴题 【复习目标】 能以“圆．”为背景，寻找（构造）“相似．．
”，并能运用相似知识求解． （南通市中考常在第10题呈现，一般属于选择或填空压轴题）
【活动设计】
活动一、错题回顾
1．（2011·大邑模拟）如图，在△ABC 中，∠C=60°，以分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知圆O 的半径为23 ．则DE 的长为 ．
2．（2015·南通）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于
点E ，AB=6，AD=5，则AE 的长为【 】
A ．2.5
B ．2.8
C ．3
D ．3.2
3．（2016·海门一模）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ．若AD ＝2，BC ＝8，
CD ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为【 】 A ．3
104 B ．102 C ．10 D ．72
4．（2012·万州模拟）如图，⊙O 的直径AB 长为10，弦AC 的长为6，∠ACB 的角平分线
交⊙O 于D ，则CD 长为 ．
A
C B D
·O
（第3题）
活动二、课堂测试 1．（2016·如皋一模）如图，△ABD 内接于⊙O ，点C 在线段AD 上，AC =2CD ，点E 在弧
BD 上，∠ECD =∠ABD ，EC =1，则AE 等于【 】
A ．2
B ．32
C ．3
D ．2
2．（2013·南通）如图．Rt △ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AB 的中
点，CD 与AB 的交点为E ，则CE:DE 等于【 】
A ．4
B ．2.5
C ．3
D ．2.8
3．(2014·苏州)如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x —y ）的最大值 ．
4．如图，BC 是半⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，
5BF FC =，又AB=8，AE=2，则AD 的长为 【 】
A ．13+
B ．
132+ C ．32 D ．12+
（第2题）
· O D A B C
E。