勾股定理之“总统证法”
八年级数学上册 3.1 勾股定理 知识拓展 总统巧证勾股定理素材 苏科版(2021学年)
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总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛．迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的．事情的经过是这样的:在18７6年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论,时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和４，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.他是这样分析的，如图所示:１876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.１8８1年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
勾股定理总统证法过程
勾股定理总统证法过程
勾股定理和总统证法是数学年华著名的两个经典概念，它包含着许多实用的知识和推理能力，在众多数学家中都有深厚的意义。
那么，勾股定理总统证法这个两个概念是如何联系在一起的？它们之间又有着什么样的联系？今天，我们就来聊一聊勾股定理总统证法过程吧！
首先，我们要知道，勾股定理可以用来描述一个正三角形三条边的关系，它蕴含着三角形三条边的长度必为勾股数之一的定理，这个定理是古希腊的数学家勾股彻用几何证明的结果。
勾股数是指等式a²+b²=c²成立时，a,b,c均为正整数的情况，被称为勾股数。
而总统证法是利用了勾股定理的理念，建立在勾股定理的基础上，从而实现从正三角形中，通过勾股定理求出任意三条边的长度，进而求出三角形周长、面积等其他属性。
总统证法还可以用来验证正三角形，检验几何图形是否为一个正三角形；又能用来求出复杂三角形的组成，以及计算有关多边形的新几何。
上述，就是勾股定理总统证法过程。
通过学习和掌握勾股定理总统证法，不仅可以使我们掌握等边三角形的关系，还可以让我们更好的理解几何图形的立体和平面空间，更加熟悉惯性思维的思路。
总而言之，勾股定理总统证法无疑是一种重要而有用的思想，为我们学习更高深的数学知识奠定了基础！。
勾股定理的九种证明方法(附图)
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥AB，垂足为D。
则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ×AB。
②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。
它利用了相似三角形的知识。
四、古人的证法：CABD如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
总统证法勾股定理
总统证法勾股定理1.于任意正三角形，其有三条边，分别被称为直角边、长边和短边，分别表示为a、b、c；2.于直角边的平方等于长边和短边的平方之和，故有：a^2 + b^2 = c^2；3.此，当a、b、c都大于0时，总统证法勾股定理成立。
总统证法勾股定理是古希腊数学家勾股（Pythagoras）第一个提出的有关三角形的几何定理，被称为勾股定理。
它的定义是：在直角三角形中，直角的边的平方的和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
总统证法勾股定理是相当重要的几何定理。
它可以被用于计算三角形的某个边的长度，当另外两边的长度已知时。
在工程、建筑和设计领域中，也经常采用勾股定理来计算几何形状的大小和角度。
此外，总统证法勾股定理也经常被用来求解向量，以及描述物体运动的物理关系。
总统证法勾股定理可以说是数学史上最重要的几何定理之一，它在古希腊科学家希及克罗（Hicetas）的定义之前就已存在。
勾股（Pythagoras）本人没有提出总统证法勾股定理，而是由其学生依西修斯（Euryphaeus）利用它来证明一个问题。
此外，勾股定理也曾被希腊哲学家苏格拉底（Socrates）提出，但是他并没有证明此定理。
历史上，总统证法勾股定理的证明也有很多种。
林肯（Franklin）在1840年提出了一个基于抽象几何定理的证明。
他指出，如果一个三角形的底边是平移而不是旋转的，那么这个三角形依然满足总统证法勾股定理。
因为他的抽象几何证明简单明了，林肯的总统证法勾股定理也就成为了今天最流行的证明版本。
另外，总统证法勾股定理在一个不同的角度来看也有很多奇妙的应用。
它可以用来计算曲线的面积，计算二维图形的形状，甚至可以用来求解三维图形或立体几何图形。
此外，还有用总统证法勾股定理计算椭圆的周长、圆的面积以及三角型面积的应用，也不可忽视。
总而言之，总统证法勾股定理是数学史上一项重要的几何定理，它至今仍然是一个学术界及工程界最重要的几何工具之一。
勾股定理总统证法
勾股定理总统证法在数学界，勾股定理一直是最有名的定理之一。
它的证明方式也有多种，其中最为著名的就是总统证法。
总统证法又称为李氏定理，距今已有2000多年的历史。
它的原作者不可考，但它的精神活跃在我们的数学世界中，给大家带来很多视角。
勾股定理指：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。
具体地说，即：a^2 + b^2 = c^2总统证法是古代古希腊数学家著名的定理，他们用它来证明勾股定理。
他们使用一个四边形的概念，把它划分成四个直角三角形，并令其斜边的平方等于这些三角形的两条直边的平方和。
以下是证明勾股定理的总统证法的具体步骤：（1）把四边形划分成四个直角三角形，四边形中心两边的内角均为90°，其余各内角均为45°。
（2）给四边形赋予正方形形式，此时四边形被划为四个直角三角形，即：A-B-C-DA-C-B-DA-D-C-BA-B-D-C（3）把四边形的边赋予任意数值，如a, b, c, d，则每三角形的斜边长度分别为a, b, c, d。
（4）因为（AC）＋（CB）＝（AD）；（BC）＋（AD）＝（CB）；（AB）＋（CD）＝（BD）；（BD）＋（CD）＝（AB）；所以有：(a^2+b^2) = (c^2+d^2) = (a^2+d^2) = (b^2+c^2)。
因此，证明了勾股定理：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。
总统证法是一种非常有效的勾股定理证明方式，它也证明了数学的美妙之处，源自古希腊数学家的智慧。
总统证法的理论支持，使得勾股定理的证明更加准确，令数学变得更加完美。
它也激发了人类对数学的持续探索，使得数学日益进步。
最后，总统证法也使我们更加深刻地理解勾股定理，并知晓学习数学之美。
勾股定理是一个奥秘又伟大的定理，它丰富而深刻，只有经过不懈努力才可以得以理解。
学习这个定理，不仅可以提高我们数学的能力，还可以激发我们对数学的热爱，提高我们的求知欲望。
勾股定理的总统证法及其他证法
勾股定理的总统证法及其他证法TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理。
它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。
迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。
其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢难道他是数学家或数学爱好者答案是否定的。
事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。
”证法。
勾股定理的证明罗洪信（2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用）【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o , ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o .∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE ,∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o , ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o ,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o .D G C B a b ca bca bc a b c∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o .∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90o , ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o . ∴ ∠D EC = 180o ―90o= 90o .∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o , ∠EBC = 90o ,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o ―90o= 90o . 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o .∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o . 即 ∠CBD= 90o . 又∵ ∠BDE = 90o ，∠BCP = 90o ， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90o ，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90o ，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o . ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90o ，∠BCA = 90o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90o ，∠P AC = 90o ， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90o ，∠BCA = 90o ，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .K∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o ， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o ，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠BAE + ∠CAR = 90o ，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o ，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r . ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r, 即 r c b a 2=-+，∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++，∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o .这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90o ，CM = a ，∠AED = 90o ， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ， ∴ ∠ADC = 90o .∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o ， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90o ，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
勾股定理三个证明方法
勾股定理三个证明方法嘿，咱今儿个就来讲讲那神奇的勾股定理的三个证明方法哟！你可别小瞧了这勾股定理，它就像是数学世界里的一把万能钥匙，能打开好多难题的大门呢！那什么是勾股定理呢？简单来说，就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
先来说说第一个证明方法，拼图法。
咱就想象一下，把几个小图形拼成一个大图形，然后通过计算面积来证明。
就好像搭积木一样，把不同的积木块拼在一起，然后发现其中的奥秘。
你看，直角三角形不就像是一个特殊的积木块嘛，通过巧妙地拼接，就能得出那个神奇的等式啦！这是不是很有趣？再来讲讲第二个方法，赵爽弦图法。
这个名字听起来是不是很酷？就好像武侠小说里的什么神秘功法似的。
其实啊，就是通过一个特别的图形来证明。
你想想，一个图形里藏着勾股定理的秘密，就像一个宝藏藏在一幅画里，等你去发现它。
这多有意思呀，就像在玩一场寻宝游戏！还有第三个方法呢，那就是总统证法。
哎呀，你没听错，就是总统！美国有个总统叫加菲尔德，他居然也对勾股定理感兴趣，还想出了一个特别的证明方法。
你说这多神奇呀！一个总统不忙着处理国家大事，还能在数学的海洋里畅游，想出这么个巧妙的办法。
这就好像一个大明星突然展示出了一项你不知道的绝活儿一样，让人惊叹不已！你说这勾股定理是不是很神奇？它在我们的生活中也有好多用处呢！盖房子的时候，工程师们得用它来保证房子的结构稳固；做家具的时候，工匠们也得考虑它，让家具既好看又结实。
咱再回过头来想想这三个证明方法，每一个都像是一把钥匙，打开了勾股定理这个神秘宝库的一扇门。
拼图法让我们看到了图形的奇妙组合，赵爽弦图法让我们领略了古人的智慧，总统证法又让我们感受到了不同领域的人对数学的热爱。
所以啊，同学们，可别小看了这勾股定理和它的证明方法哟！它们就像隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘，去发现。
当你真正理解了它们，你就会发现数学的世界是多么的精彩，多么的有趣！难道不是吗？。
勾股定理的证明方法总统证法
勾股定理的证明方法总统证法勾股定理是数学中的一条重要定理，也是几何中常见的一个概念。
它描述了直角三角形中三条边的关系，被广泛地应用于各个领域。
勾股定理的证明方法有很多种，其中一种被称为总统证法。
总统证法是一种简洁而又巧妙的证明方法，它的核心思想是将直角三角形的三条边平方之和转化为一个完全平方数。
我们可以通过一个具体的例子来说明总统证法的原理和过程。
假设我们有一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，我们知道a² + b² = c²。
现在，我们将a和b分别表示为两个整数m和n的差和和，即a = m - n，b = m + n，其中m和n都是正整数。
将这两个式子带入勾股定理中，我们可以得到：(m - n)² + (m + n)² = c²化简上述表达式，我们可以得到：m² - 2mn + n² + m² + 2mn + n² = c²2m² + 2n² = c²这个式子告诉我们，如果我们能找到两个正整数m和n，使得2m² + 2n²能够成为一个完全平方数，那么这个完全平方数就是斜边c的平方。
这样，我们就证明了勾股定理。
为了更好地理解总统证法，我们可以通过一个例子进行具体的计算。
假设我们要证明一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。
我们可以令m = 2，n = 1，那么：2m² + 2n² = 2(2²) + 2(1²) = 8我们知道8不是一个完全平方数，因此这个例子并不能证明勾股定理。
但是，这个例子展示了总统证法的具体计算过程。
总统证法的优点在于它的简洁性和直观性。
通过将直角三角形的三条边平方之和转化为一个完全平方数，我们能够更加清晰地理解勾股定理的几何意义。
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问1：四边形ACDE、△ACB、 △BDE 、△ABE有 什CB、 △BDE 、 △ABE都是直角三角形.
问2：四边形ACDE与△ACB、 △BDE 、△ABE的 面积之和有什么关系？
郑宗平
2015.3.31 制
整理为：
勾股定理之“总统证法”
勾股定理是几何学的明珠，据说勾股定理的证法已达500余种；关于勾股定 理，数学史上还有一段佳话：美国第20届总统加菲尔德于1876年公开发表了一 个简明证法.他利用两个全等的直角三角形构造了一个图形来得出证明，后来 人们冠以加菲尔德得出的勾股定理的证法一个雅称叫“总统证法”.
同学们，你知道加菲尔德用两个全等三角形构造是如何构造的吗？这个证明该如何写?