总统证法勾股定理
勾股定理常见证法
勾股定理有多种证明方法，以下是其中一些常见证法：1. 欧几里德证明：通过勾股圆方图证明勾股定理，大正方形的面积等于4个直角三角形加上一个小正方形面积之和。
2. 加菲尔德证明：在梯形中构造三个直角三角形，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，证明勾股定理。
3. 小K证明：通过相似三角形，边长之比相等，证明勾股定理。
4. 辅助圆证明：以点B为圆心，BA为半径作圆，延长BC交圆于点E,D，则三角形DCA相似ACE，从而证明勾股定理。
5. 切割定理证明：直角三角形ABC，以点B为圆心BC为半径作圆，交AB及AB延长线于D,E，则BE=BC=BD=a，从而证明勾股定理。
6. 面积合成证明：利用图形拼接证明勾股定理。
7. 行列式证明：n阶行列式等于以n个向量为边在n维空间中张成的n维体的体积，从而证明勾股定理。
8. 赵爽弦图证法：利用弦图构造直角三角形，利用面积法证明勾股定理。
9. 毕达哥拉斯证法：利用正方形分割法证明勾股定理。
10. 书本证明方法：利用八个全等的直角三角形和三个边长分别为a、b、c的正方形构造两个正方形，从而证明勾股定理。
11. 三角形相似推导：利用三角形相似的性质推导勾股定理。
12. 切割线定理证明：利用切割线定理和相似三角形证明勾股定理。
13. 托勒密定理证明：利用托勒密定理和相似三角形证明勾股定理。
14. 利用切线长定理：利用切线长定理和相似三角形证明勾股定理。
15. 总统证法：美国第20任总统加菲尔德在五年前证明了勾股定理，其方法被称为“总统证法”，具体为梯形面积等于三个直角三角形的面积之和。
16. 射影定理证明：利用射影定理和相似三角形证明勾股定理。
17. 余弦定理证明：当90度角时，利用余弦定理证明勾股定理。
18. 达芬奇的证明：利用几何图形和比例关系证明勾股定理。
19. 高斯公式证明：利用高斯公式（也叫鞋带公式）证明多边形面积，从而证明勾股定理。
以上是常见的勾股定理的证法，其中最常用的是面积法，同时还会结合其他几何知识如相似三角形、切割线定理、射影定理等进行证明。
勾股定理的六种证明
证明一
b a c ∴ (a + b)2 = c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
证明二
c c2 = (a − b)2 + 4(½ab) = a2 − 2ab + b2 + 2ab ∴ c2 = a2 + b2
【证法2】（1876年美国总统Garfield证明） 证法2 1876年美国总统Garfield证明） 年美国总统Garfield证明 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则 每个直角三角形的面积等于 1 ab 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条 直线上. . ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. . ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， . 1 2 它的面积等于 c
• 1881 年成为美国第 20 任总統 • 1876 年提出有关证明
证明二及证明三的比较 明二及证明三的比较
• 两个证明基本上完全 相同！
证明四
a2
b2
证明四
证明四
证明四
证明四
∴ a2 + b2 = c2 c2
青朱出入图
• 刘徽（生於公元三世紀） • 三国魏晋时代人。 • 魏景元四年（即 263 年）为 古籍《九章算术》作注释。 • 在注作中，提出以「出入相 补」的原理來证明「勾股定 理」。后人称该图为「青朱 入出图」。
勾股定理的6种最常用证明方法
勾股定理的常用证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯. ∴ 222c b a =+.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠D EC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于2 21c.又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于()2 21b a+.∴()222121221cabba+⨯=+. ∴222cba=+.【证法4】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵RtΔGDH ≌RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+.∴()22214cabba+⨯=+. ∴222cba=+.【证法5】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法6】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.D。
关于“勾股定理”的60种证法
关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。
过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。
90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。
正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。
2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。
因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。
Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。
3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。
整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。
勾股定理总统证法
勾股定理总统证法在数学界，勾股定理一直是最有名的定理之一。
它的证明方式也有多种，其中最为著名的就是总统证法。
总统证法又称为李氏定理，距今已有2000多年的历史。
它的原作者不可考，但它的精神活跃在我们的数学世界中，给大家带来很多视角。
勾股定理指：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。
具体地说，即：a^2 + b^2 = c^2总统证法是古代古希腊数学家著名的定理，他们用它来证明勾股定理。
他们使用一个四边形的概念，把它划分成四个直角三角形，并令其斜边的平方等于这些三角形的两条直边的平方和。
以下是证明勾股定理的总统证法的具体步骤：（1）把四边形划分成四个直角三角形，四边形中心两边的内角均为90°，其余各内角均为45°。
（2）给四边形赋予正方形形式，此时四边形被划为四个直角三角形，即：A-B-C-DA-C-B-DA-D-C-BA-B-D-C（3）把四边形的边赋予任意数值，如a, b, c, d，则每三角形的斜边长度分别为a, b, c, d。
（4）因为（AC）＋（CB）＝（AD）；（BC）＋（AD）＝（CB）；（AB）＋（CD）＝（BD）；（BD）＋（CD）＝（AB）；所以有：(a^2+b^2) = (c^2+d^2) = (a^2+d^2) = (b^2+c^2)。
因此，证明了勾股定理：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。
总统证法是一种非常有效的勾股定理证明方式，它也证明了数学的美妙之处，源自古希腊数学家的智慧。
总统证法的理论支持，使得勾股定理的证明更加准确，令数学变得更加完美。
它也激发了人类对数学的持续探索，使得数学日益进步。
最后，总统证法也使我们更加深刻地理解勾股定理，并知晓学习数学之美。
勾股定理是一个奥秘又伟大的定理，它丰富而深刻，只有经过不懈努力才可以得以理解。
学习这个定理，不仅可以提高我们数学的能力，还可以激发我们对数学的热爱，提高我们的求知欲望。
勾股定理的证明比较全的证明方法
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
来进行的．
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
ba
c
A
B
求证：a2 3
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的：
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味．
勾股定理证法
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。
方法•1/16证法一（邹元治证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。
∵Rt△HAE≌Rt△EB F∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共线∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2•2/16证法二（课本的证明）：如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。
•3/16证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。
易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2•4/16证法四（总统证明）：如下图所示。
易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2•5/16证法五（梅文鼎证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。
易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。
∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积∴c²=a²+b²•6/16证法六（项明达证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的几种证明方法我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。
【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。
【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初二的学生来说，是能够领会的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总统证法勾股定理
1.于任意正三角形，其有三条边，分别被称为直角边、长边和短边，分别表示为a、b、c；
2.于直角边的平方等于长边和短边的平方之和，故有：a^2 + b^2 = c^2；
3.此，当a、b、c都大于0时，总统证法勾股定理成立。
总统证法勾股定理是古希腊数学家勾股（Pythagoras）第一个提出的有关三角形的几何定理，被称为勾股定理。
它的定义是：在直角三角形中，直角的边的平方的和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
总统证法勾股定理是相当重要的几何定理。
它可以被用于计算三角形的某个边的长度，当另外两边的长度已知时。
在工程、建筑和设计领域中，也经常采用勾股定理来计算几何形状的大小和角度。
此外，总统证法勾股定理也经常被用来求解向量，以及描述物体运动的物理关系。
总统证法勾股定理可以说是数学史上最重要的几何定理之一，它在古希腊科学家希及克罗（Hicetas）的定义之前就已存在。
勾股（Pythagoras）本人没有提出总统证法勾股定理，而是由其学生依西修斯（Euryphaeus）利用它来证明一个问题。
此外，勾股定理也曾被希腊哲学家苏格拉底（Socrates）提出，但是他并没有证明此定理。
历史上，总统证法勾股定理的证明也有很多种。
林肯（Franklin）在1840年提出了一个基于抽象几何定理的证明。
他指出，如果一个三角形的底边是平移而不是旋转的，那么这个三角形依然满足总统证
法勾股定理。
因为他的抽象几何证明简单明了，林肯的总统证法勾股定理也就成为了今天最流行的证明版本。
另外，总统证法勾股定理在一个不同的角度来看也有很多奇妙的应用。
它可以用来计算曲线的面积，计算二维图形的形状，甚至可以用来求解三维图形或立体几何图形。
此外，还有用总统证法勾股定理计算椭圆的周长、圆的面积以及三角型面积的应用，也不可忽视。
总而言之，总统证法勾股定理是数学史上一项重要的几何定理，它至今仍然是一个学术界及工程界最重要的几何工具之一。
它曾多次被用于数学的研究和科学的实践，成为数学发展的重要组成部分。