狂刷52 统计及统计案例-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
狂刷58 不等式选讲-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题十三 选考内容狂刷58 不等式选讲1．不等式 取等号的条件是 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】由题可得 ，当且仅当 ，即 时取等号，故选C ． 2．不等式|1|3x +≤的解集是 A ．{|4x x ≤-或2}x ≥ B ．{|42}x x -<< C ．{|4x x <-或2}x ≥ D ．{|42}x x -≤≤ 【答案】D【解析】|1|3x +≤，即313x -≤+≤，即42x -≤≤， 故不等式|1|3x +≤的解集是{|42}x x -≤≤，故选D. 3．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = A ．35或3- B ．3- C ．35D ．35-【答案】B【解析】∵|2|3ax -<，∴323ax -<-<，∴15ax -<<，若0a >，则15x a a -<<，∴153a -=-，513a =，无解； 若0a <，则51x a a <<-，∴113a -=，553a =-，∴3a =-.故选B ．4．函数|1||2|y x x =++-的最小值及取得最小值时x 的值分别是 A ．1，[1,2]x ∈- B ．3，0 C ．3，[1,2]x ∈- D ．2，[]1,2x ∈【答案】C【解析】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，故选C ．5．已知函数()|3||7|f x x x =-+-，则函数()f x 的最小值为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．10 【答案】B【解析】当7x ≥时，()372104f x x x x =-+-=-≥；当37x <<时，()374f x x x =-+-=；当3x ≤时，()371024f x x x x =-+-=-≥，所以函数()f x 的最小值为4，故选B ．6．x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是 A ．1m > B ．1m ≥ C ．2m >D ．2m ≥【答案】C【解析】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，此时53x x m -+-<有解． 故选C ．7．若实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．1 B ．34 C ．611D ．58【答案】C【解析】由柯西不等式可得222211()(23)(1)23x y z x y z ++≤++++，即22262311x y z ++≥，故选C ． 8．下列不等式推理正确的是A ．若x y z >>，则||||xy yz >B ．若110a b<<，则2ab b > C ．若a b >，c d >，则ac bd > D ．若22a x a y >，则x y >【答案】D【解析】对于A ，123>->-，但|1(2)||(2)(3)|⨯-<-⨯-，A 不正确； 对于B ，若110a b<<，则0b a <<，则2b ab >，B 不正确； 对于C ，12->-，34->-，但1(3)2(4)-⨯-<-⨯-，C 不正确；对于D ，若22a x a y >，则2()0a x y ->，则0x y ->，则x y >，D 正确．故选D ．9．已知关于x 的不等式21x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．](),13,⎡-∞+∞⎣ B ．[]1,3 C ．](),31,⎡-∞--+∞⎣D ．[]3,1--【答案】C【解析】∵22x a x a -++≥+，∴由21x a x -++≥的解集为R ，得21a +≥，解得31a a ≤-≥-或． 故选C ．10．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3 D ．13【答案】A 【解析】由题可得2222221111111[()()()][()()()](a b c a b a b c a b c a++=++++≥⨯+⨯211)9c b c+⨯=，当且仅当13a b c ===时取等号，所以111a b c ++的最小值为9，故选A ．11．不等式 的解集为________________．【答案】 ，【解析】∵ ，∴或 ，解得x ＞2，故所求不等式的解集为 ， ．12．若函数()1f x x x a =+++的最小值为1，则实数a =________________.【答案】0或2【解析】由绝对值不等式的性质有，1(1)()1x x a x x a a +++≥+-+=-，即11a -=， 即0a =或2，故答案为0或2.13．若不等式log 2(|x+1|+|x-2|−m )≥2恒成立，则实数m 的取值范围为________________．【答案】(−∞，-1]【解析】由题意可知|x+1|+|x−2|−m ≥4恒成立，即m ≤(|x+1|+|x−2|-4)min ．又|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1) − (x−2)| −4=−1，故m ≤−1，所以实数m 的取值范围为(−∞，-1]． 14．若11||,||36x y ≤≤，则2x y +的最大值是________________. 【答案】23【解析】由绝对值三角不等式可得1122222363x y x y x y +≤+=+≤+⨯=， 当且仅当0xy >时，等号成立，因此，2x y +的最大值为23，故答案为23.15．若实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为________________．【答案】611【解析】由柯西不等式可得222211(23)(1)()123x y z x y z ++++≥++=，所以22262311x y z ++≥，故22223x y z ++的最小值为611． 16．设函数 ， ．若存在 ，使得 成立，则 的取值范围为________________． 【答案】 ，【解析】因为函数 ，所以函数 的最小值为 ，因为存在 ，使得 成立，所以 ，故有 ，解得513m -<<，故 的取值范围为 ，．17．不等式125x x -++≥的解集为A ．(][),22,-∞-+∞B ．(][),12,-∞-+∞C ．(][),23,-∞-+∞D ．(][),32,-∞-+∞【答案】D【解析】原不等式等价于2125x x x <-⎧⎨---≥⎩或21125x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或1125x x x >⎧⎨-++≥⎩，即23x x <-⎧⎨≤-⎩或2135x -≤≤⎧⎨≥⎩或12x x >⎧⎨≥⎩3x ⇒≤-或x ∈∅或2x ≥3x ⇒≤-或2x ≥．故D 正确．18．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“|2|||x x a -+>恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为|2||||2|2x x x x -+≥--=，且|2|||x x a -+>恒成立，所以2a <，所以“2a ≤”是“|2|||x x a -+>恒成立”的必要不充分条件，故选B ．19．已知 ，若关于x 的不等式 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(−1，3) B ．(−1，1) C ．(1，3) D ．(−3，1)【答案】A【解析】因为|x −1|+|x+2|≥|(x −1)−(x+2)|=3，所以函数f (x )的最小值为3，要使不等式f (x )>a 2−2a 对于任意的x ∈R 恒成立，只需a 2−2a <3，即(a+1)(a −3)<0，解得−1<a <3，故a 的取值范围为(−1，3)．故选A ．20．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-【答案】C【解析】由绝对值不等式的性质可得||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--≤++-=， 即|1||2|3x x +--≥-.因为|1||2|x x a +--<无实数解，所以3a ≤-. 故选C.21．已知A ，B ，C 是ABC △的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为 A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤C ．1119πA B C ++>D ．1119πA B C ++<【答案】A【解析】由柯西不等式，可得2111111()()()9A B C A B C A B C A B C++++≥⋅+⋅+⋅=， 因为A B C ++=π，所以1119πA B C ++≥，当且仅当π3A B C ===时等号成立，故选A ． 22．若0b a <<，则下列不等式：①||||a b >；②a b ab +<；③2b a a b +>；④22a a b b<-中，正确的不等式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】因为0b a <<，所以||||a b <，①不正确；因为0b a <<，所以0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，②正确； 因为0b a <<，所以0b a >，0a b >，且a b ≠，所以22b a b aa b a b+>⨯=，③正确； 因为222a b ab +>，所以222a ab b >-，因为0b <，所以22a a b b<-，④正确；综上，正确的不等式有3个．故选C ．23．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是A ．(][),22,-∞-+∞B ．(][),31,-∞-+∞C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】B【解析】根据绝对值三角不等式，得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+，∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +，∵()2f x ≥恒成立，∴12a +≥，∴12a +≥或12a +≤-，则1a ≥或3a ≤-，故选B.24．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，则313131a b c +++++的最大值为A ．3B ．32C ．18D ．9【答案】B【解析】由柯西不等式， 得()()()()()2222222313131111313131a b c a b c ⎡⎤+++++≤+++++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦，所以31313132a b c +++++≤，当且仅当13a b c ===时，等号成立，故选B ． 25．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C【解析】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+， 故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C ．26．已知命题p ：113x x a -++≥恒成立，命题q ：(21)x y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是 A ．23a £B ．102a <<C ．121a << D ．1223a <≤ 【答案】D【解析】对于命题p ，()()1111112x x x x x x -++=-++≥-++=，故232,3a a ≤≤. 对于命题q ，10211,12a a <-<<<. 由于p 且q 为真命题，故,p q 都为真命题，所以1223a <≤.故选D ． 27．若函数 没有零点，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．或D ． 或【答案】A【解析】因为函数 没有零点， 所以方程 无实根，即函数 与 的图象无交点， 如图所示，则 的斜率 应满足，故选A.28．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为A ．1[,+)6∞B ．1[,+)3∞C ．1[,+)2∞D ．1[,+)12∞【答案】C【解析】由题可知对于任意的x ∈R ，2|1|30ax x a -++≥恒成立，即2|1|3x a x +≥+恒成立，令()g x =2|1|3x x ++．当1x =-时，()0g x =；当1x ≠-时，211()||43|12|1x g x x x x +==+++-+，若10x +>，则44122(1)2211x x x x ++-≥+⋅-=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号；若10x +<，则44412[(1)]22[(1)]261(1)(1)x x x x x x ++-=--++-≤--+⋅-=-+-+-+，当且仅当(1)x -+4(1)x =-+，即3x =-时取等号，所以4|12|[2,)1x x ++-∈+∞+，所以1()(0,]2g x ∈，所以12a ≥，故实数a 的取值范围为1[,+)2∞．故选C ．29．关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为________________．【答案】(][),14,-∞+∞【解析】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞.故答案为(][),14,-∞+∞.30．已知函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】9(,]2-∞【解析】由题可知，当14x ≤≤时，4||5x a a x +-≤-，所以5a ≤，455a x a a x-≤+-≤-， 故25a -≤45x x +≤，因为14x ≤≤，445x x ≤+≤，所以254a -≤，解得92a ≤，故实数a 的取值范围为9(,]2-∞．31．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________________．【答案】[]1,3-【解析】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩. 所以a 的取值范围是[]1,3-.32．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为________________．【答案】(,9]-∞【解析】由40x y xy +-=可得4x y xy +=，因为x ，y 均为正实数，所以等式两边同时除以xy 可得411x y +=，所以4144()()5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当4y x x y =，即当26x y ==时取等号，因为x y m +≥恒成立，所以9m ≤，故实数m 的取值范围为(,9]-∞．11。
冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(解析版)
冲刺2020年高考数学小题狂刷卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]-【答案】A 【解析】 由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-，所以{|12}R C A x x =-<<，故选A ．2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)±B．(0) C ．(0,1)± D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B ． 3．设实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数z x y =+经过点()3,0A 时取得最大值，则max 30 3.z =+= 故选D. 4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】22221||1a b a b +≤⇔+≤，其表示的是如图阴影圆弧AB 部分，1a b +≤其表示的是如图阴影OAB ∆部分，所以 “221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件.故答案选B.5．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C. 6．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .故选B ．7．设66016(1),x a a x a x +=+++L 则246a a a ++=（ ）A ．31-B ．32-C ．31D ．32【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式为6r r C x ，故2462466661515131a a a C C C ++=++=++=,故选C ．8．如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN u u u u v u u u v的最大值为（ ）A ．2BC ．1 D【答案】C【解析】•PM PN u u u u v u u u v 2()()PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v0011cos150cos12010()0()122OM OM ON =++⋅≤+⨯-+⨯-=u u u u v u u u u v u u u v ，选C ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D ．10．已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则（ ） A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n a a +> B ．当()*1n a n >∈N 时，则1n n a a +<C ．当112a =时，则111n n a a +++> D ．当12a =时，则111n n a a +++>【答案】C 【解析】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--=． 当01n a <<时，1110n n a a +-<，故1n n a a +<，A 错误．当1n a >时，1110n n a a +->，故1n n a a +>，B 错误．对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误．用数学归纳法证明选项C.易知0n a >恒成立,当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+,当1n k =+时,222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++> 成立,故111n n a a +++>恒成立，得证,故答案选C ． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
狂刷57 坐标系与参数方程-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题十三 选考内容狂刷57 坐标系与参数方程1．已知点A 的极坐标为5π(2,)6，则点A 的直角坐标为 A ．(1,3)- B ．(1,3)- C ．(3,1)- D ．(3,1)-【答案】D【解析】设点A 的直角坐标为(,)x y ，则52cos 36x π==-，52sin 16y π==，所以点A 的直角坐标为(3,1)-，故选D ．2．参数方程()3cos 1cos x y ααα=+⎧⎨=-⎩为参数对应的普通方程为A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x ++=-≤≤D ．()31024x y x +-=-≤≤【答案】D【解析】因为1cos 1α-≤≤，所以24x -≤≤，由cos y α=-可得cos y α=-，代入方程3cos 1x α=+中得310x y +-=， 所以普通方程为()31024x y x +-=-≤≤.故选D. 3．在极坐标系中，过点(4,)6P π且平行于极轴的直线方程为 A ．cos 2ρθ= B ．cos 23ρθ= C ．sin 2ρθ= D ．sin 23ρθ=【答案】C【解析】将(4,)6P π化为直角坐标为(23,2)，所以过点(23,2)且平行于x 轴的直线方程为2y =，化为极坐标方程为sin 2ρθ=，故选C ．4．若一直线的参数方程为001232x x t y y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则此直线的倾斜角为A ．60︒B ．120︒C ．30°D ．150︒【答案】B【解析】消去参数t 得0033x y x y +=+，故斜率为3-，则对应的倾斜角为120︒，故选B ． 5．在极坐标系中，若曲线1sin():14C ρθπ+=与曲线22:C ρ=相交于A ，B 两点，则||AB = A ．4 B ．22 C ．2 D ．1【答案】C【解析】由sin()14ρθπ+=及2ρ=，可得12ρ=，10θ=或22ρ=，22θπ=，所以利用勾股定理可得||AB =22(2)(2)2+=．故选C ．6．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12，再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是A ．123x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩B ．23x xy y '=⎧⎨'=⎩C ．213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩D ．1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩【答案】A【解析】由sin y x =变成3sin 2y x =''，设伸缩变换为(,0)x xy y λλμμ'=⎧>⎨'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，所以312μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得123x xy y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，故选A. 7．若直线1333x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-【答案】C【解析】将直线的参数方程代入圆的方程可得22(1)(333)16t t ++-+=，解得1t =或3，所以直线与圆的两个交点坐标分别是(2,23)-，(4,0)，所以线段AB 的中点坐标为(3,3)-．故选C ． 8．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于 A ．1 B ．3 C ．2D ．23 【答案】B【解析】易知曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02πρθρθ>≤<，联立曲线1C 与2C 的方程，得2sin 23cos ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π33θρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，3AB ρ==. 故选B ．9．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k 等于A ．33B ．33-C ．3D ．33±【答案】D【解析】将曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩中的θ消去，得曲线C ：22(2)1x y -+=，又知圆C 与直线l 相切，可得2211kk =+，解得33k =±.故选D.10．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心【答案】D【解析】将cos sin 2ρθρθ+=化为直角坐标方程为20x y +-=，将2cos ρθ=化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，所以圆C 的圆心为(1,0)C ，半径1r =， 则圆心C 到直线l 的距离22|12|21211d r -==<=+，所以直线l 与圆C 相交． 又(1,0)C 不在直线l 上，所以直线l 与圆C 的位置关系为相交但不过圆心， 故选D ．11．将极坐标方程2cos 4sin ρθθ=-化为直角坐标方程得________________．【答案】22240x y x y +-+=【解析】将方程2cos 4sin ρθθ=-两边同时乘以ρ，得22cos 4sin ρρθρθ=-，化为普通方程得2224x y x y +=-，即22240x y x y +-+=.故答案为22240x y x y +-+=.12．将椭圆的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）转化为普通方程为________________．【答案】22143x y +=【解析】因为2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以cos 2sin 3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则22123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则普通方程为22143x y +=. 故答案为22143x y +=.13．以平面直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆2cos ρθ=的圆心的平面直角坐标为________________． 【答案】(1,0)【解析】由2cos ρθ=，可得22cos ρρθ=，根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，可得222x y x +=，即22(1)1x y -+=，故所求的圆心坐标为(1,0)． 14．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为________________．【答案】42【解析】由参数方程可知，圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径长为4， 圆心到直线l 的距离为221232211d -++==+，因此，直线l 被圆C 截得的弦长为()22242242-=.故答案为42.15．在极坐标系中，圆2ρ=的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=上的点的距离的最小值为________________．【答案】2【解析】将圆2ρ=化为直角坐标方程即224x y +=，表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆．将直线cos sin 2ρθρθ+=化为直角坐标方程即20x y +-=，易得点(0,0)到直线20x y +-=的距离为2，故圆2ρ=的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=上的动点的距离的最小值为2．16．已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2π)θ∈，则该椭圆的焦点坐标为A ．(0,3)±B ．(20)?C ．(3,0)±D ．(1,0)±【答案】C【解析】根据题意，椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2π)θ∈，则其普通方程为2214x y +=，其中2a =，1b =，则413c =-=，所以该椭圆的焦点坐标为(3,0)±. 故选C ．17．参数方程t 为参数)所表示曲线的图象是A B C D【答案】D【解析】因为 ，所以 ，当 时，y=0，排除C ；由 得 或 ，所以 且 ，当 时， ， ；当 时， ， ，故排除A 、B ，故选D ． 18．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为 A ．2 B ．4 C ．5D ．25【答案】D【解析】因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-，2224x y x y +=-，即22(1)(2)5x y -++=，则圆心为（1，-2），半径5r =，因为点O 到圆上的最大距离等于点O 到圆心的距离d 加上半径r ，且22(10)(20)5d =-+--=，所以PO 的最大值为25，故选D.19．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为 A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-= D ．cos 8sin 4ρθρθ-=【答案】A【解析】将直线22x y -=按124x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程为1222x y -=，即440x y --=，化为极坐标方程为4cos sin 4ρθρθ-=．故选A ． 20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是 A ．22B ．2C ．1D ．2【答案】B【解析】设曲线C 上任意一点的坐标为()3cos ,sin θθ，所以曲线C 上的点到直线l 的距离为ππ|2sin()4|42sin()|3cos sin 4|33222d θθθθ+--++-===， 则当()ππ2π32k k θ+=+∈Z 时，d 取最小值，且min 4222d -==，故选B ．21．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为 A ．3(1,)3B ．23π(,)36 C ．23π(,)33D ．23(2,)3【答案】B【解析】由πcos()13ρθ-=可得13cos sin 122ρθρθ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为12x +312y =，即320x y +-=，故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为(2,0)，23(0,)3，所以点P 的坐标为3(1,)3，其极坐标为23π(,)36．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了平面直角坐标与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础.先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标．22．已知实数0p >，点(2,)A m 在曲线212:(2x pt C t y pt ⎧=⎨=⎩为参数)上，圆26cos :(26sin p x C y θθθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数)的圆心为点B ，若A ，B 两点之间的距离等于圆2C 的半径，则实数p = A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C【解析】将曲线1C 化为直角坐标方程为22y px =，因为点(2,)A m 在曲线1C 上，所以24m p =．将圆2C 化为直角坐标方程为22()362p x y -+=，得到圆心(,0)2pB ，半径6r =，由题意得||AB r =，即22(2)(0)62p m -+-=，化简得281280p p +-=，结合0p >解得8p =．故选C ．23．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ，交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n +的值为 A ．23B ．43C ．83D ．不能确定【答案】B【解析】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=. 故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）. 故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--===⋅⋅43.故选B ． 24．在极坐标系中，由三条直线0θ=，π3θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为 A ．14B ．334- C ．234- D ．13【答案】B【解析】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标为()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线π3θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标为2π,3ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22ππcossin 133ρρ+=，即2213122ρρ+=，得231ρ=-. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为()121π1333sin 13123224S ρρ-==⨯⨯-⨯=. 故选B ．25．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为43cos ρθ=，则曲线1C 与2C 的关系为A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B【解析】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为()222312x y -+=，则曲线2C 是以点()223,0C 为圆心，以223r =为半径的圆，两圆圆心距为()()22023204d =-+-=，12223232r r -=-=-，12223r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交.故选B ．26．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，(2,0)C ，直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC △的面积最大时，tan α= A ．23B ．142C ．73D ．147【答案】D【解析】将曲线C 的方程π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=， 所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα⋅-+=，因为1sin 2sin 2ABC S CA CB ACB ACB △=鬃仔=?，所以当ACB ∠为直角时ABC △的面积最大， 此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，如图，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -，所以||3CD =，于是||7DE =，所以214tan 77α==.故选D. 27．已知直线(t 为参数)与曲线 交于 两点，则 ________________．【答案】2【解析】由条件可知：直线为x-y-1=0，由 ， ，曲线 ， 可化为 ，即圆心为 ， ，半径 ，由圆心在直线上，则 ． 28．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线2C 的直角坐标方程为________________．【答案】224413y x +=【解析】根据题意，曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线C 2：1cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=．【名师点睛】本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标方程，是基础题．根据题意，写出曲线C 2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程．29．直线12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为________________.【答案】210【解析】将直线12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得22132122t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即212302t t -++=，2460t t --=，所以12124,6t t t t +=⋅=-，所以弦长为()2121241624210t t t t +-=+=.故填210.30．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(2,)6π，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标方程为________________． 【答案】cos()16ρθπ+=【解析】∵点A 的极坐标为(2,)6π，∴点A 的平面直角坐标为(3,1)，又直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan 3π，即3x －y －2＝0， ∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，整理得cos()16ρθπ+=．31．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________________. 【答案】22【解析】由2cos 12sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部， 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴224||22AB CD -==，故答案为22．32．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点，则线段BC 中点的直角坐标为________________． 【答案】4433(,)2525【解析】直线的参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程为11433y x =-，圆5ρ=转化为普通方程为2225x y +=，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --=，设交点为11(,)x y ，22(,)x y ，中点坐标为00(,)x y ，则12044225x x x +==，1201111411(22333y y y x +==-+-212411233)()33325x x x =-+=，则线段BC 中点的直角坐标为4433(,)2525． 【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以ρ，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程转化为普通方程，再求解．。
函数的性质—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)
狂刷04 函数的基本性质1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称D ．在(]0-∞，上单调递减 8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．59．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−110．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增 ，则m 的取值范围为_______________． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±15．已知()fx 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则 A ．a b c ＜＜ B ．b a c ＜＜ C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则2sin cos ++x xx xA ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．5027．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．对于B ，2()1f x x x =-2()1f x x x -=--对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，关于原点对称．当0x >时，21()()12f x x -=---= 21(1)()2x f x -+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数． 故选B.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3e e x x f x x x --=-，则()()f x f x -=，故函数()3e e x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 选项；由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±，()0.50.51e e 0.500.1250.5f -=<-，排除D 选项； ()10101e e 101100010f -=>-，故可排除B 选项. 所以本小题选A.【名师点睛】本小题主要考查函数图象的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，属于基础题.求解时，根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）【答案】D 【解析】函数y =2313111x x x x x ---==+++–1，且在x ∈（–1，+∞）时，函数y 是单调递减函数，在x =2时，y 取得最小值0；根据题意x ∈（m ，n ]时y 的最小值为0，∴m 的取值范围是–1≤m <2． 故选D ．4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质．因为()f x 为定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()()()()4422f f f f -=-=，，又0234<<<，所以()()()234f f f <<，所以()()()234f f f -<<-． 故选A ．5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =，()2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果.属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质判断,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--，又0x <时，()2f x x ax =-+，2a ∴=-.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.根据函数为奇函数，求得当0x <时()f x 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称 D ．在(]0-∞，上单调递减 【答案】C【解析】由题意可得：()21111x x f x x x x -≥⎧=--=⎨-<⎩，，， 绘制函数图象如图所示，观察函数图象可得：图象关于1x =对称，选项A 正确； 最小值为1-，选项B 正确；图象不关于点()11-，对称，选项C 错误； 在(]0-∞，上单调递减，选项D 正确. 故选C.【名师点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数图象的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图象考查函数的性质即可.8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．5【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以e 1e 122e ()()1e 1x x x x g x g x ----+=++-+---，所以g (－x )＝－g (x )－4，所以g (－3)＝－g (3)－4＝－5， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性的定义求函数值． 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−1【答案】B【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4. 又()f x 为奇函数，()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==，∴()()()()12340f f f f +++=.()()()()()()()()()123201*********f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=⨯+++-⎡⎤⎣⎦0=.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用问题，关键是能够得到函数的周期，利用周期性和奇偶性求解出一个周期内的函数值的和.即根据()()2f x f x +=-可先推导出()f x 的周期为4，再利用函数为奇函数且周期为4求出()()()()12340f f f f +++=，最后根据周期性可求解出结果.10．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________． 【答案】4【解析】依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4； 当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0． 因此，函数f (x )的最大值是4．故填4．【名师点睛】本题主要考查不等式的解法与函数的性质等基础知识，意在考查考生的运算求解能力与推理能力．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增 ，则m 的取值范围为_______________．【答案】(,4]-∞【解析】由于4()44=4()4mx m x y x m m m x x ⎧-≥⎪⎪=-⎨⎪-<⎪⎩，则函数4y x m =-的增区间为,4m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为,4m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，所以要使函数4y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增，则14m≤，解得：4m ≤， 故m 的取值范围为(,4]-∞.【名师点睛】本题主要考查分段函数的单调性，关键是掌握初等函数单调性的判断，属于基础题.求解时，先去绝对值，得到函数|4|y x m =-为分段函数，求出单调区间，即可得到m 的取值范围. 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．【答案】(,5]-∞-【解析】本题考查函数的性质．当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；而()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增；若()()31f x a f x +≥+，则31x a x +≥+，即21a x ≥+在[2]x a a ∈+,上恒成立，即()221a a ≥++恒成立，解得5a ≤-，故实数a 的取值范围是(,5]-∞-．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，cos y x =，为余弦函数，在[]01，上为减函数，不符合题意； 对于B ，sin y x =，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为sin y x =，单调递增，符合题意； 对于C ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为12x y =（），单调递减，不符合题意； 对于D ，3y x =-，为奇函数，不符合题意. 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的定义，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．判断函数的奇偶性，首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，此时不必求f (－x )．当定义域关于原点对称时，若证明函数具有奇偶性，应运用定义，将f (－x )与f (x )进行比较，有时不易变形时，可直接计算f (－x )±f (x )，判断其是否为零；若证明函数不具有奇偶性，只需找到一组相反量的函数值，不满足f (－a )＝f (a )和f (－a )＝－f (a )即可． 14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(2()ln 14g x ax x =++也为奇函数. 而(2()ln 14g x ax x-=-+，故((22()()ln 14ln 140g x g x ax x ax x -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选C.【名师点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查两个函数相乘的奇偶性判断，属于基础题.求解时，根据函数()f x 为偶函数，sin x 为奇函数，判断出(2()ln 14g x ax x =++为奇函数，根据奇函数的定义列方程，求得a 的值即可.15．已知()f x 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则A ．a b c ＜＜B ．b a c ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜【答案】B【解析】因为()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，故()()121221011f x f x x x x x -<-，∴函数()f x x 是()0,+∞上的增函数， ∵0.222122,00.21,log 52＜＜＜＜＞，∴20.220.22log 5＜＜，∴b a c ＜＜. 故选B.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，由()()2112120x f x x f x x x --＜可知函数()f x x是()0,+∞上的增函数，结合自变量的大小比较函数值(即实数a ，b ，c 的大小)即可.16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 【答案】A【解析】若(1)f x +为偶函数，则(1)(1)f x f x -+=+，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称． 又函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，则32321a a -+-=⨯，解得12a =， 故当5(1,)2x ∈时，()1()2xf x =单调递减，又()33()2f a f =，1224()()(2)()3333f f f f a ==-=，3335()()(2)()2444f a f f f ==-=， 所以345()()()234f f f <<，即13(3)()()32f a f f a a <<，故选A ． 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】C【解析】由()()21f x f x +=-得：()()3f x f x +=，即()f x 是周期为3的周期函数，()()()()()()2018201967331673310f f f f f f ∴+=⨯-+⨯=-+， ()f x Q 为R 上的奇函数，()()211log 42f f ∴-=-=-=-且()00f =， ()()201820192f f ∴+=-.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是能够将自变量通过周期性和奇偶性转化为已知区间内的值，从而利用已知区间的解析式来进行求解.求解时，根据()()21f x f x +=-可得函数周期为3，从而将所求式子变为()()10f f -+，利用函数的奇偶性的性质和在30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的解析式即可求得结果. 18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．【答案】7【解析】易知f （x ）的定义域为R ，且关于原点对称， ∵f （﹣x ）)32()log()12x x x =--++32log 21x x x ⎛⎫=-+++ ()32log12x x x =++=f （x ），∴f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣a ）＝f （a ）＝7． 故答案为7．【名师点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题．求解时，先求出f （x ）的定义域，然后判断f （x ）的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________． 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()()312e ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f x x x --'=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又()()2120f a f a -+≤，即()()221f a f a ≤-，所以221aa ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．【答案】1【解析】本题考查函数的性质与求值．因为()()1g x f x x =+-，所以()()1g x x f x +-=． 所以()()()()()()5515515g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，()()()()()()1111111g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，所以()()5g x g x +≥，()()1g x g x +≤，所以()()()()()()54321g x g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤+≤+， 所以()()1g x g x +=，所以()g x 是以1为周期的周期函数． 所以()()()201711111g g f ==+-=．【解题技巧】推出()g x 是以1为周期的周期函数，是解决此题的关键．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．2sin cos ++x xx x22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L .故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．27．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3].故选D.【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1;,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 若函数()e e xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立， 即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.。
排列与组合-小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)
狂刷49 排列与组合1．有5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为A．8B．C．6D．2．六位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．480种B．360 种C．240 种D．120 种3．用数字0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是A．72B．144C．150D．1804．黄冈市有很多处风景名胜，仅4A 级景区就有10 处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1 人，则这5名职工的安排方法共有A．90 种B．60 种C．210 种D．150 种5．为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6 个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有A．240 种B．188种C．156种D．120 种6．某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A．40B．60C ．120D ．2407．已知 5 辆不同的白颜色和 3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2 辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有A ． 1880 种B ． 1440 种C ．720种D ．256 种8．6 个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为1B ．611C ．D ．8 129．甲、乙、丙、丁、戊 5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第 5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说 : “很遗憾，你和乙都未拿到冠军 .”对乙说 : “你当然不是最差的 . ”根据裁判的回答， 5 人的名次排列不同的情况共有A ． 54 种B ． 108 种C ．210种D ．96 种10．从字母 a,b,c,d,e, f 中选出 4个字母排成一排， 其中一定要选出 a 和b ，并且它们必须相邻 （a 在 b 前面 ），共有排列方法 _________ 种.11．沿着一条笔直的公路有 9 根电线杆， 现要移除 2根，且被移除的电线杆之间至少还有 2 根电线杆被保留，则不同的移除方法有 _______ 种 .12．蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、 淮河闸水利风景区都是 4A 风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的 景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上 9个景点中选择 6个景点游玩， 每个景点用半天 （上午、 下午各游玩一个景点） ，且至少选择 4 个 4A 风景区，则小明这三天的游玩有 __________________________ 种不同的安排 方式（用数字表示） .13 ．有 5 名师范大学的毕业生，其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，现将这 5 名毕业生1 A ．4分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人，若 A 校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有B．132 种A ．148 种14 ．某班准备从含有甲、乙的7 名男生中选取4 人参加4×100 米接力赛，要求甲、乙两人同时参加，且他们在赛道上顺序不能相邻，则不同的排法种数是A．720 B．20C．240 D．12015．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10 的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不8同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为8，21 那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为A．2 B．3C．4 D．516．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为A ．48B ．36C．24 D．1217．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为A ．33B ．36C．40 D．4818．2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3 名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5 元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75 元.若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为A ．20.5 B．21 元C．21.5元D．22 元19 ．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3 是三种不同的颜色，金色1、金色2 是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有B．240 种C．144种D．288 种20 ．某校从8 名教师中选派4 名同时去4 个边远地区支教（每地1 名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A ．900 种B ．600 种C．300种D．150 种21．某中学连续14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1 个班级，则A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 _________ 种.22 ．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，则取出的2 个球颜色不同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．23．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是11 A． B ．12 1411 C． D ．15 1824．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】安排3 名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有A．12 种B．18 种C．24 种25 ．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有_____________ 种．（用数字填写答案）26．【2018 年高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 ____________ ．27．【2018年高考浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2 个数字，从0，2，4，6中任取2 个数字，一共可A ．120 种D．36种以组成 ___________ 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）28．【2017 年高考浙江卷）从6 男2女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有 __________________ 种不同的选法．（用数字作答）29．【2017 年高考天津卷理数】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________________ 个．（用数字作答）1．有5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为A．8 B．2C．6 D．4【答案】B【解析】很明显两个球只能放在第二个和第四个盒子，故不同的放入种数为A22 2 ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查排列数公式及其应用，属于基础题.求解时，首先确定放球的方法，然后利用排列数公式即可求得满足题意的放球的种数.2．六位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．480种B．360 种C．240 种D．120 种【答案】A【解析】因为6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，所以甲安排在除去开头与结尾的中间的4 个位置，有C14 个选择，剩余的元素与位置进行全排列有 A 55，所以不同的演讲次序有C14 A55 480 种．故选A ．【名师点睛】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，其中遵循特殊元素优先考虑的原则是解题的关键，考查计算能力．求解本题时，直接从中间的4 个演讲的位置，选1 个给甲，其余全排列即可．3．用数字0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是A．72 B．144C．150 D．180【答案】B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5 中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步：第一步，排个位，共有 C 13 种方法；第二步，排千位，共有 C 14 种方法； 第三步，排百、十位，共有 A 24 种方法，1 1 2所以可组成 C3C 4A 4 144个四位奇数，故选 B.【名师点睛】本题主要考查简单排列组合和计数原理的应用 只能从 1，3，5 中选取；千位数字去掉个位数字选用的和 位数字 .4．黄冈市有很多处风景名胜，仅 4A 级景区就有 10 处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织 5名优 秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且 这三个风景区中每个风景区至少安排 1 人，则这 5名职工的安排方法共有A ．90种 C ． 210 种【答案】 D解析】把 5 名优秀的职工分成三组，共两类： 3、1、 1，2、2、1，【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题 .求解本题时，把 5 名优秀的职工分成三组，共两类： 3、1、1，2、 2、1，再分组分配即可求出．有关排列组合的综 合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一 定多读题才能挖掘出隐含条件 .解题过程中要首先分清 “是分类还是分步 ”、“是排列还是组合 ”，在应用 分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率 .5．为迎接双流中学建校 80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行 6 个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽 谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目 的不同安排方案共有B ．188种.求解时，根据题意，符合奇数的个位数字0 还剩下四个数字中选择，最后再排百、B ．60 种 D ．150 种根据分组公式共有3 1 1 2 2 1 C 5C 2C 1 C 5C 3C 1A22 A 22分组方法，共有C 53C 12C 11 A22C5A C 223C 1 A 33 150种安排方法，故选 D ．A ． 240 种C．156种D．120 种【答案】D【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4 种方法，第二步，丙、丁内部排列用A 22 种方法，第三步，其他三人共A33种方法，共4A 22A33 4 2 6 48 种方法；第二类：当甲在第2 位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法，后面两步与第一类方法相同，共3A 22A333 2 6 36种方法；第三类：当甲在第3 位时，与第二类相同，共36种方法.总计，完成这件事的方法数为N 48 36 36 120 .故选D．【名师点睛】本小题主要考查实际问题中的方案安排种数问题，考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，考查捆绑法，属于基础题.求解时，根据甲在第1,2,3 这三个位置进行分类讨论，按“先排甲，再排丙丁，再排其他三个”，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理求得不同安排方案.6．某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A．40 B．60C．120 D．240【答案】B【解析】此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为1C24种，2第二步将此两组大学生分到5 个部门中的两个部门中，不同的安排方式有A52，故不同的安排方案有1C24A52 60种．245故选B．【名师点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5 个部门，有4 名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排 2 名”，将问题分为两步来求解．7．已知5 辆不同的白颜色和3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2 辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有A ． 1880 种B ． 1440 种空，3 辆不同的红颜色汽车插空共 A 33种排法， 由分步计数原理得共 A 35A 22A 22A 33 1440 种. 故选 B.【名师点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原 理，理解题意是解题的关键，属于中档题．求解本题时，先从 5 辆白色汽车中选 3 辆全排列后视为 一个整体， 再将剩余 2 辆白色汽车全排列后视为一个整体， 然后将这两个整体全排列， 共有 3 个空， 3 辆不同的红颜色汽车插空排列即可．8．6 个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为1B ．61 D ．1290 1 所以所求概率 P 6 ，故选 C ． A 6 8【名师点睛】本题考查了古典概型求概率，以及排列和组合，本题的关键是满足条件的排列看成 6 个 人均分成 3 组，然后 3 组再排列 .9．甲、乙、丙、丁、戊 5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第 5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说 : “很遗憾，你和乙都未拿到冠军 .”对乙说 : “你当然不是最差的 . ”根据裁判的回答， 5 人的名次排列不同的情况共有A ． 54 种B ． 108 种C ．210种D ．96 种C ．720种 【答案】 BD ．256 种解析】由题意知，白颜色汽车按 3，2分两组，先从 5 辆白色汽车选 3辆全排列共 A 53种排法， 再将剩余 2 辆白色汽车全排列共2 A 22 种排法，再将这两个整体全排列，2 A 22 种排法，排完后有3 个A ．C ．答案】 C解析】后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为C 26C 24CA 33 90，总的基本事件个数是 A 66 ，答案】A【解析】第一名不是甲和乙，则只能是丙、丁、戊三人中某一个，有C13种选法，而乙不是最差的，则乙只可能是第二、三、四名，有C31种可能，再将剩下的三人排成一列，依次插入即可，由分步乘113法计数原理可知，共有C13C13A 33 = 54 种不同的情况.故选A.【名师点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．求解本题时，甲、乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3 种情况；再排甲，也有3 种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．10．从字母a,b,c,d,e, f 中选出4个字母排成一排，其中一定要选出 a 和b ，并且它们必须相邻（a在b前面），共有排列方法 _________ 种.【答案】36【解析】由于ab已经选出，故再从剩余的4 个字母中选取2 个，方法有C24 6 种，再将这2 个字母和整体ab 进行排列，方法有A33 6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6 636 种，故答案为36.【名师点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．求解时，从剩余的4 个字母中选取2个，再将这2 个字母和整体ab进行排列，根据分步计数原理求得结果．11．沿着一条笔直的公路有9 根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2 根电线杆被保留，则不同的移除方法有 _______ 种.【答案】21【解析】把6 根电线杆放好，7 个空，选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，所以有C27 21 种方法，故答案为21．【名师点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．求解本题时，把6 根电线杆放好，7 个空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．12．蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、 淮河闸水利风景区都是 4A 风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的 景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上 9个景点中选择 6个景点游玩， 每个景点用半天 （上午、 下午各游玩一个景点） ，且至少选择 4 个 4A 风景区，则小明这三天的游玩有 __________________________ 种不同的安排 方式（用数字表示） .【答案】 46080 【解析】分三种情况：①选择 4 个 4A 景区，有 C 64C 32A 6632400 （种）； ②选择 5 个 4A 景区，有 C 56C 13A 66 12960 （种 ）； ③选择 6 个 4A 景区，有 C 66A 66 720 （种）， 故共有 32400+12960+720=46080 （种 ）.名师点睛】本题考查排列组合，要做到不重复、不遗漏，属于基础题 .求解时，先选景区，再进行排列，即可得出答案 .13 ．有 5 名师范大学的毕业生，其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，现将这【解析】 A 校招收 1 人，则分配方法有 2A 校招收 2 人，则分配方法有 （C 5211A 校招收 3 人，则分配方法有 （1 C 12综上，共有 70 48 8 126 种，故选 C ． 【名师点睛】本题考查分组分配计数问题，考查综合分析求解能力，属较难题.求解时，根据 A 校招收人数分类讨论，再根据分类计数原理求解 .14 ．某班准备从含有甲、乙的 7 名男生中选取 4 人参加 4×100 米接力赛，要求甲、乙两人同时参加，且5 名毕业生法共有A ． 148 种BC ．126种D【答案】 CA 校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方 132 种 84 种C 15 (C 14A 22 C 24) 70 种；1)C 3A 2 48 种； C 12)A 22 8种.分配到 A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人，若他们在赛道上顺序不能相邻，则不同的排法种数是A ．720 C ．240【答案】 D解析】选出除了甲、乙之外的另外两个人并进行排列有 A 52 种，将甲、乙插入这两个人之间 A 23 种，则不同的排法种数为 A 25A 32120. 故选 D.名师点睛】相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻 的元素插到它们的空隙及两端位置 .求解本题时，利用插空法，先选出除了甲、然后将甲、乙插入这两个人之间的空隙中，进而可以得到答案n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝ 480（ n ∈N *），解得 n ＝4．【名师点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于 中档题．求解时，利用古典概型列出恰有 1 个中奖号码的概率的方程，解方程即可． （2）排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题 缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法 .16．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为A ． 48B ． 20 D ． 120乙之外的另外两个人，15．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为 1至10 的十个号码球（球的大小、 质地完全相同，但编号不 同），里面有 n 个号码为中奖号码，若从中任意取出 4 个小球， 其中恰有 81个中奖号码的概率为 ，21那么这 10个小球中，中奖号码小球的个数 n 为A ．2B ．C ．4D ．答案】 C解析】依题意，从 10 个小球中任意取出 4 个小球，其中恰有1 个中奖号码的概率为 8 ，则21821C 1n C 130 n ，C 140 ，所以 故选 C ．B ． 36C ．24D ． 1214【答案】 C【解析】先排首尾有 2 种，然后将两个小孩捆绑起来共有 2 种，那么再将小孩这个新的整体和妈妈 们排列共有 A 33种，因此一共有 4A 33=24 种，故选 C.17．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为A ． 33B ． 36C ．40D ． 48【答案】 B【解析】由题意，先从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端， 再排含有甲、乙的三个人，共有 C 32A22A 33 3 2 6 36种不同的排法，故选B ．【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合 问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，现从剩余的三人中选取两人，排在 队伍的两端，再排含有甲、乙的三个人，即可得到答案．解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清 “是分类还 是分步 ”、 “是排列还是组合 ”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑 “正难则反 ”的思维方式．18． 2019年 7月 1日迎来了我国建党 98周年， 6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡 .6名老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的 满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元（不含过塑费） ，且有一半 的照片需要过塑， 每张过塑费为 0.75 元.若将这些照片平均分给每名老党员 （过塑的照片也要平均分） 则每名老党员需要支付的照片费为A ． 20.5C ． 21.5元 【答案】 B 解析】利用捆绑法可求得照片的总数为 A 33A 44 144，144 0.5 72 0.75 则每名老党员需要支付的照片费为144 0.5 72 0.7521元 .6【名师点睛】本题考查排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力党员需要支付的照片费用，需求出照片的总费用，为此又需求出照片的总数，根据排列组合知识可3 名党员站在一起，且B ． 21 元D ． 22 元.求解时，要求每名老同选法；法，所以不同的选派方案共有 (10+15) A 44 600 种.求出照片的总数．19．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色 1、金色 2，其中黄色 1、黄色 2、黄色 3 是三种不同的颜色，金色 1、金色 2 是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案A ． 120 种 C ．144种答案】 D解析】不考虑红色的位置，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两个相邻的涂色方案有2 23 2C 3A 2 A 3 A 4 432 种，这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有2 2 1 2 2C 32A 22 C 12 A 22 A 23 144种，从而所求的结果为 432 144 288 种. 故选 D ．名师点睛】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考 查对立事件的方法，属于中档题 .求解时，首先计算出 “黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两个相邻的 涂色方案 ”数，然后计算出 “红色在左右两端，黄色 1、黄色 2、 黄色 3 有且仅有两个相邻的涂色方案 ” 数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数20 ．某校从 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教(每地名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A ． 900 种B ．600 种C ．300种D ．150 种答案】解析】 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5 名教师中选 2 名，有 C 52 10 种不第二类， 甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6 名教师中选 4 名，有 C 64 15 种不同选D ．288种故选B.【名师点睛】求解本题时，分两步进行，先从8 名教师中选出4 名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4 个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．21．某中学连续14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1 个班级，则A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 _________ 种.【答案】30【解析】根据题意，分2 步进行分析：（1）将四个班级分成3组，要求A,B 两个班级不分到同一组，有C42 1 5种分组方法；3（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有A33 6种情况，则有5 6 30种不同的情况，故填30.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.22 ．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，则取出的2 个球颜色不同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．【答案】79【解析】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，基本事件总数n 9 6 54 ，取出的2 个球颜色不同包含的基本事件个数m C13C16C13C14C13C1442 ，则取出的2个球颜色不同的概率是P m 42 7．。
狂刷08 函数与方程-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题二 函数狂刷08 函数与方程1．函数32()log f x x x=-的一个零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】32()log f x x x=-是连续的减函数， 又()()3221log 20,3103f f =->=-<，可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的一个零点所在的区间是(2,3). 故选C.2．函数1()ln 1f x x x =--的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】如图所示，易知y =ln x 与11y x =-的图象有两个交点． 故函数1()ln 1f x x x =--的零点的个数是2. 故选C.3．函数 的零点是 A ． 或 B ． 或 C ． D ． 或【答案】D【解析】 ， 由 得 或 ，而函数零点指的是曲线与x 轴的交点的横坐标， 故选D.4．函数223,0()=2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由20230x x x ≤⎧⎨+-=⎩得3x =-，由02ln 0x x >⎧⎨-+=⎩得x =e 2，∴f (x )的零点个数为2.故选C.5．已知函数()2log ,12,1x x f x x a x ≥⎧=⎨-<⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．() ,2-∞D ．(],2-∞【答案】C【解析】当1x ≥时，()f x 的零点为1，则1x <必有一个零点，由2y x a =-为一次函数，且单调递增，故需20a ->，即2a <.故选C ．6．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】∵ ，∴ ， ， ①当 时， 有两个零点，不成立；②当 时， 在 上有零点，故不成立； ③当 时， 在 上有且只有一个零点， 故 在 上没有零点，而当时， 在 上取得最小值，故， ∴ .综上所述，实数 的取值范围是 . 故选C.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 7．若函数()221f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是 A ．332a -≤<B ．31a -≤<C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或【答案】A【解析】因为函数()221f x x x ax =-+--没有零点， 所以方程221x x ax -+-=无实根，即函数()221g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点， 如图所示，则()h x ax =的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log f x x =有4个根. 故选A ．【名师点睛】函数与方程问题是高考的高频考点，考生需要对初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉.9．当0x >时，函数2()2x f x x =-的所有零点之和为___________. 【答案】6【解析】令22x x =，当0x >时，解得：2x =或4x =，∴所求零点之和为246+=.10．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为___________.【答案】3【解析】易知()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点，又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=->，∴由零点存在性定理可知：()03,4x ∈，则3a =. 11．函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数为_______________． 【答案】2【解析】求函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数，即求方程21log 202x x -+=的解的个数，也就是求函数2log y x =的图象与122y x =-的图象的交点个数．如图所示，可得()21log 22f x x x =-+的零点的个数为2．12．已知函数f (x )＝32x x ax x a ⎧≤⎨>⎩,,，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是_______________．【答案】(−∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】令()()3x xx a ϕ=≤，()()2h x x x a =>，函数g (x )＝f (x ) −b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y =b 有两个交点，结合图象可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或32a a >，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(−∞，0)∪(1，＋∞)．13．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为A ．1B ．34 C ．2D ．32【答案】D【解析】根据题意，点1414log 7log 56（，）在函数()3f x kx +＝的图象上，则1414log 56log 73k ⨯+＝，解得：2k ＝-，则()=2+3f x x -.若()0f x ＝，则32x =，即()f x 的零点为32. 故选D ．14．已知是函数()2sin cos f x x x m =+-在[]0,π内的两个零点，则A ．12B ．35C ．45D ．34【答案】C【解析】因为()2sin cos 5sin()f x x x m x m ϕ=+-=+-，其中21cos ,sin 55ϕϕ==，由函数()f x 在[]0,π内有两个零点，知方程5sin()0x m ϕ+-=在[]0,π内有两个根，即函数y m =与5sin()y x ϕ=+的图象在[]0,π内有两个交点，且12,x x 关于直线2x ϕπ=-对称，所以12x x +=2ϕπ-，所以124sin()sin(2)sin 22sin cos 5x x ϕϕϕϕ+=π-===，故选C ． 15．已知函数()||()ln 001xf x x a x a =-><<,的两个零点是12x x ,，则 A ．1201x x << B ．121x x = C ．121e x x << D ．12e x x >【答案】A【解析】因为()|||ln ln 0|x xf x x a x a =-=⇔=，作出函数n ||l y x =，xy a =的图象如下图所示，不妨设12x x <，则1210x x <<<，从而1ln 0x <，2ln 0x >，因此111|ln |ln xx a x ==-，22|ln |x x a ==2ln x ．故211212ln ln ln 0x x x x x x a a =+=-<，所以1201x x <<．故选A ．16．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数12,x x ()12sin x x +=()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，知()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.故选C.17．已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是 A ．3 B ．5 C ．7D ．9【答案】D【解析】当 时， ， 令 ，则 ，解得 .∵ ，∴函数 是周期为4的周期函数. 又∵函数 是定义域为 的奇函数，∴在区间 上， ， ， ，则 ， 即 ，则方程 在区间 上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个. 故选D ． 18．若函数()()20(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，且函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 A ．1[,1]2- B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-【答案】C【解析】函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，等价于()y f x =与y m =的图象有3个不同的交点，作出函数()f x 的图象，如图，由二次函数的知识可知，当12x =时，2x x -取得最小值为14-，函数y m =的图象为平行于x 轴的直线，由图象可知当1(0)4m ∈-，时，两函数的图象有3个不同的交点，即函数()g x 有3个不同的零点，故选C ．【解题技巧】对于已知函数零点的个数求参数的取值范围的问题，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．对于此类问题的求解，一般是先分解为两个简单函数，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，依交点个数寻找关于参数的不等式，求解即可得结论． 19．若函数()f x 满足()11()1f x f x -=-，当x ∈[−1，0]时，()f x x =，若在区间[−1，1)上，()g x =()f x mx m -+有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,1]2B ．1(0,)2C ．1(0,]2D ．11(,0)(0,)22-【答案】C【解析】因为当x ∈[−1，0]时，()f x x =，所以当x ∈(0，1)时，110()x -∈-，，由()11()1f x f x -=-可得，()111x f x -=-，所以()111f x x =+-，作出函数()f x 在[−1，1)上的图象，如图所示，因为()()g x f x mx m =-+有两个零点，所以()y f x =的图象与直线y mx m =-有两个交点，由图可得12(0]m ∈，．故选C ．20．设()f x 是定义在R 上的周期函数，周期4T=，对x ∈R 都有()()f x f x -=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是 A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,2【答案】D【解析】∵对x ∈R 都有f (−x )=f (x )，∴函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 在区间(−2,6]内关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0恰有3个不同的实数解， ∴函数y =f (x )与y =log a (x +2)的图象在区间(−2,6]上有三个不同的交点，∵当x ∈[−2,0]时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴函数图象如图所示，又f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有log a 4<3,且log a 8>3， 解得：342a <<.故a 的取值范围是()34,2.故选D ．21．已知()lg f x x =，则函数()()y ff x =的零点0x等于___________．【答案】10【解析】根据题意，()lg f x x =，则()()()l g l g f f x x =，若()()()00lg lg 0f f x x ==，即lg x 0＝1，解得0x ＝10，故函数()()y f f x =的零点0x等于10.故答案为10．22．设函数()22,0,0x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩，若4=)()(0f f -，()22f -=-，则关于x 的方程()=f x x 的解的个数为__________． 【答案】3【解析】由题意得()()()4022f f f -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得42b c =⎧⎨=⎩，即()22042,0x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩,．若()f x x =，当0x >时，2x =；当0x ≤时，2x =-或1-，所以()=f x x 的解的个数为3．23．若函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为__________．【答案】221[1,1){1}e e--- 【解析】函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点等价于方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]内有唯一的实数解，又0x >，所以ln 1xm x=-，要使方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]上有唯一的实数解，只需ln 1x m x =-有唯一的实数解．令()()ln 10x g x x x =->，则()g 'x =21l n xx-，由()0g 'x >得0e x <<，由()0g 'x <得e x >，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，2e ]上是减函数．又g (1)＝−1，g (e)＝1e −1，g (2e )＝221e -，故2211e m -≤<-或11em =-． 24．设定义域为R 的函数()21,02,0x f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若关于x 的方程()()22210f x af x ++=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】由()f x 的解析式可得函数图象如下图所示：()()22210f x af x ++=有6个不同的实数根，∴方程22210x ax ++=有2个不同的，且均在()0,1上的实数根，24802014202010212110a a a a ∆⎧=->⎪⎪<-<⎪∴⎨⎪⨯+⨯+>⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得：322a -<<-. 故答案为3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.25．已知函数32e ,0()461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为__________. 【答案】3【解析】函数()()()22[]32g x f x f x =--的零点，即()()22[]320f x f x --=的解，可得()2f x =或()12f x =-， 当0≥x 时，()32461f x x x =-+，可得2()1212f x x x '=-，令212120x x -=，可得0x =或1x =， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，函数是增函数，则1x =时，函数取得极小值1-，又0x <时，()()e 0,1xf x =∈，绘制函数图象如图所示，故()2f x =时，函数有1个零点；21)(-=x f 时，函数有2个零点， 所以，函数()g x 的零点个数为3．26．（2019年高考全国Ⅲ卷）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.27．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值.28．（2019年高考天津）已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数2,01,()1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.29．（2019年高考浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴＜0且()32011(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．30．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-. 故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.31．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.32．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 33．（2017山东理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 A ．(][23)0,1,+∞ B ．(][3,)01,+∞ C ．(][23)0,2,+∞ D ．(][3,)02,+∞【答案】B[]0,1x ∈()21y mx =-y x m =+m【解析】当01m <≤时，211,(1)y mx m≥=-在上单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+在上单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)m -≥13m m +⇒≥．故选B ．【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．34．（2017年高考天津理数）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+． 又3232()2322x x x x --=-+≤-（当233x =时取等号）， []0,1x ∈[]0,1x ∈222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤． 综上，47216a -≤≤． 故选A ．【名师点睛】首先将()||2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．35．（2016天津理）已知函数()()()24330log 110ax a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩,,(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程()||2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．72(,]43 B ．23[,]34C ．123[,]{}334D ．123[,){}334【答案】C【解析】当0x <时，f (x )单调递减，必须满足432a --≥0，故0＜a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需31a ≥，即13a ≥，所以1334a ≤≤．结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2−x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2−x 只有一个实数解．因此，只需当x ＜0时，方程|f (x )|＝2−x 恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当x ＜0时，f (x )＞0，即只需方程f (x )＝2−x 恰有一个实数解，即()24332x a x a x +-+=-，即()2221320x a x a +-+-=在(−∞，0)上恰有唯一的实数解，判别式()()()()()2242143244734143a a a a a a ∆=---=-+=--，因为1334a ≤≤，所以0∆≥． 当3a −2＜0，即a ＜23时，方程()2221320x a x a +-+-=有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a −2＝0，即a ＝23时，方程()2221320x a x a +-+-=的一个根为0，一个根为23-，满足要求；当3a −2＞0，即23＜a ＜34时，因为− (2a −1)＜0，此时方程()2221320x a x a +-+-=有两个负实根，不满足要求；当a =34时，方程()2221320x a x a +-+-=有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数a 的取值范围是123[,]{}334．故选C ．36．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 37．（2018年高考江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3ax =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减， 所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．38．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f (x )<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 39．（2019年高考江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =， ∴1234k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.40．（2018年天津理）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】()48，【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.41．（2017年江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。
狂刷53 随机变量及其分布-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题十一 概率与统计狂刷53 随机变量及其分布1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：X0 1 2 3P 0.2 0.3 0.4 c则实数c 等于 A ．0.5 B ．0.24 C ．0.1D ．0.76【答案】C【解析】根据题意得0.20.30.41c +++=， 所以0.1c =，故选C ．【名师点睛】本题考查了概率性质的运用，解题的关键是正确运用概率的性质. 2．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝ A ．12p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 【答案】D【解析】由于随机变量服从正态分布N (0，1)，由标准正态分布图象可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p ．故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p ．故选D ． 3．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24 B ．0.26 C ．0.288D ．0.292【答案】C【解析】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，（或223C 0.40.60.288P =⨯=）故选C ．【名师点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.求解时，首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 4．已知随机变量X ～B (10，0.04)，随机变量的数学期望E (X )＝ A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】由二项分布的期望公式得E (X )＝10×0.04=0.4，故选B ． 5．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为X1P 29c c - 38c -A ．13 B ．3 C ．13或23D ．14【答案】A【解析】由随机变量的分布列知，290c c -≥，380c -≥，29381c c c -+-=， ∴13c =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．根据所给的随机变量的分布列写出两点分布的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c 的值． 6．随机变量的分布列为，，其中为常数，则＝A ．B ．C ．D ．ξ0.20.424ξ()(1)c P k k k ξ==+1,2,3,4k =c 15()22P ξ<<23344556【答案】D【解析】由分布列的性质可知， ∴．故选D ． 7．已知随机变量~(,)B n p ξ，若() 4.8,() 2.88E D ξξ==，则实数n p ，的值分别为 A ．4，0.6 B ．12，0.4 C ．8，0.3D ．24，0.2【答案】B【解析】据题意，得 4.8(1) 2.88np np p =⎧⎨-=⎩，解得120.4n p =⎧⎨=⎩，故选B.【名师点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键.求解时，由~(,)B n p ξ，可得(),()(1)E np D np p ξξ==-，由此列出关于n p ，的方程组，从而得出结果.8．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X +=A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2【答案】B【解析】由分布列可知()0.20.8 1.2 2.2E X =++=，∴(68)6()86 2.2821.2E X E X +=+=⨯+=．故选B ．9．已知随机变量~(2,1)X N ，则(01)P X <<=参考数据：若~(,),()0.6826X N P X μσμσμσ-<<+=，(22)0.9544,P X μσμσ-<<+=(33)0.9974P X μαμα-<<+=.A ．0.0148B ．0.135951,123234454c c c c c +++=∴=⨯⨯⨯⨯155()(1)(2)226P P P ξξξ<<==+==X 123P0.20.40.4C ．0.1574D ．0.3148【答案】B【解析】因为()~2,1X N ，所以2,1μσ==，所以()()130.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=，()(22)040.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，又()()112130.34132P X P X <<=<<=，()()102040.47722P X P X <<=<<=， 所以()()()0102120.1359P X P X P X <<=<<-<<=， 故选B ．【名师点睛】本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率.求解时，根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率.10．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ= A ．3.55 B ．3.5 C ．3.45D ．3.4【答案】B【解析】依题意知ξ可取2，3，4，则35112()C 10P ξ===，2335C 3(3)C 10P ξ===，2435C 6(4)C 10P ξ===， 所以()136+3+4=3.5101010=2E ξ⨯⨯⨯. 故选B.【名师点睛】本题考查数学期望，属于基础题.求解时，根据ξ的可能值，计算出每个可能值的概率，再计算()E ξ.11．已知随机变量()100,0.1X B :，则DX =______.【答案】9【解析】1000.110.1)9DX =⨯⨯-=（.故答案为9.【名师点睛】本题主要考查二项分布方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.求解时，直接利用二项分布的方差公式求解即可.12．某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题，他预测同学第一题正确的概率为0.8，两题全对的概率为0.6，则汪老师预测第二题正确的概率为______. 【答案】0.75【解析】设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ， 则()()()()0.80.6P AB P A P B P B =⋅=⋅=，()0.75P B ∴=， 故答案为0.75.【名师点睛】本题考查事件的独立性，考查概率的运算.求解时，两题全对的概率为第一题正确的概率与第二题正确的概率的积，进而得到所求. 13．随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝，则D (X )的值是________________． 【答案】【解析】∵a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，∴b ＝，a ＋c ＝，又∵E (X )＝，∴＝－a ＋c ，故a ＝，c ＝，∴D (X )＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝． 14．甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，则恰有1个人译出密码的概率为________________． 【答案】512【解析】设甲独立破解出的概率为()1=3P A ，乙独立破解出的概率为()1=4P B ，则两人一块破译，恰有一人破译出的概率为()()()()()()11P P A P B P B P A =-+-1111511344312⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 135913231313161213161313131259则恰有1个人译出密码的概率为512. 故答案为512. 【名师点睛】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式的应用，是基础题.求解时，根据相互独立事件的概率求解方法计算即可. 15．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数1(5,)4B ξ～，则()P k ξ=取最大值时k =________________． 【答案】1【解析】依题意，可得5C k3()45k -1()4k 15C k -≥3()45(1)k --1()41-， 且5C k3()4k-1()4k ≥15C k +5(1)3()4k -+11()4k +，解得12k ≤≤32，又k ∈*N ，所以1k =．16．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为A ．3761C ()2B ．2741A ()2C ．2741C ()2D ．1741C ()2【答案】B【解析】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.故选B ．【名师点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 17．设01p <<，随机变量ξ的分布列为ξ1 2P3p 323p - 3p那么，当p 在(0,1)内增大时，()D ξ的变化是 A ．减小 B ．增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】B 【解析】32()0121333p p pE ξ-=⨯+⨯+⨯=， ()()()222322()0111213333p p p p D ξ-=-⨯+-⨯+-⨯=，则()D ξ是在R 上的递增函数，所以()D ξ是在(0,1)上的递增，故选B ．【名师点睛】本题主要考查随机变量及其分布列，考查计算能力，属于基础题.求解时，先求期望，再求方差，根据函数单调性求解.18．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件B =“三次取到的球颜色都不相同”，则()|P B A =A ．16 B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】Q 事件AB 表示三次取到的球颜色都不相同，∴()64626663P A ⨯⨯==⨯⨯，()64226669P AB ⨯⨯==⨯⨯，()()()129332P AB P B A P A ∴===. 本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查条件概率的求解问题，关键是能够准确理解积事件的含义，并求解出对应的概率.求解时，首先求解出()P AB 和()P A ，根据条件概率公式可求得结果.19．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ= A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，24(6)916()81P ξ===， 故B ． 20．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22212421244(0)(2)(1)3939399D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，22221222(0)(1)33339D ξ=-⨯+-⨯=.故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B ．【名师点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合2313241812668127481670243ξ()952==ξP ()812095944=⋅==ξP ()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.求解时，分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.21．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3，解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，故选A. 【名师点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功.求解时，根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可.22．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________________． 【答案】0.1359【解析】∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=，∴()1P X μσ<+=-10.682610.6826222-=+．又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，∴10.9544(2)2P X μσ->+=，∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+，∴(2)(2)P X P X μσμσμσ+<<+=<+-()P X μσ<+10.954410.6826()2222=+-+1(0.95440.6826)2=⨯-0.1359=． ∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.135 9P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359．23．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=________________． 【答案】1【解析】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P P P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==， 所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14， 依题意知1(4,)4B ξ:，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1．【名师点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ:是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．24．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋得奖金4元，落入B 袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为12.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为________________元.【答案】5【解析】记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，由题意可得()33111224⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P B ，所以3()1()4=-=P A P B . 因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖， 抽取活动奖金的可能取值为4,8=X ， 所以期望为()4()8()325=+=+=E X P A P B . 故答案为5.【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.求解时，先记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.25．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是Xa 1P131313则当a 在（0，1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．26．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p = A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】∵()(1)D X np p =-，∴0.4p =或0.6p =，4466641010(4)C (1)(6)C (1)P X p p P X p p ==-<==-Q ，22(1)p p ∴-<，可知0.5p >，故0.6p =．故选B ．27．【2018年高考浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1−p 2+1×12+2×p 2=p +12，∴D(ξ)=1−p 2(0−p −12)2+12(1−p −12)2+p2(2−p −12)2=−p 2+p +14，∵12∈(0，1)，∴D(ξ)先增大后减小，故选D ． 28．【2017年高考浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．29．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 30．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．【答案】1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即~(100,0.02)X B ，由二项分布的期望公式可得(1)1000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()C (1)k k n kn P X k p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．。
狂刷51 随机事件的概率、古典概型与几何概型-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题十一 概率与统计狂刷51 随机事件的概率、古典概型与几何概型1．已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B += A ．0.3 B ．0.6 C ．0.7D ．0.9【答案】C【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()1()0.4P B P C =-=，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.求解时，由对立事件概率关系得到B 发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P (A + B ).2．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A ．0.3 B ．0.55 C ．0.7D ．0.75【答案】D【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P A B P A P B =+U ，属于中档题.求解时，由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.3．设函数2()log f x x =，在区间()0,5上随机取一个数x ，则()1f x <的概率为A ．15B ．25 C ．35D ．45【答案】B【解析】由()1f x <，得2log 1x <，即02x <<，根据几何概型的概率公式可得从区间()0,5内随机选取一个实数x ，()1f x <的概率为202505-=-. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查几何概型，正确解出不等式是关键，属于基础题.求解时，由()1f x <02x ⇒<<，再根据几何概型求出概率.4．不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为A ．56 B ．23 C ．13D ．16【答案】A【解析】∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，基本事件总数n ＝24C 6=，∴这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为P ＝1﹣2224C C ＝56．故选A ．【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.求解本题时，从中随机摸2只球，得到基本事件总数n ，两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，由对立事件的概率公式即可得到答案．5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．25【答案】A【解析】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4，共5个，则51255P==.故选A．【名师点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P=目标事件的个数基本本事件的总个数.6．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是A．116B．18C．38D．316【答案】B【解析】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为22a，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率为()221822a a =，故选B ． 【名师点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.求解时，设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.7．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为A ．16B ．29 C ．518D ．19【答案】B【解析】随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个， 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为P 42189==． 故选B ．【名师点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．求解本题时，随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．8．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则这两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为A ．16B ．23 C ．310D ．25【答案】C【解析】列出所有小于150的三位回文数如下：101，111，121，131，141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101，111），（101，121），（101，131），（101，141），（111，121），（111，131），（111，141），（121，131），（121，141），（131，141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121，131），（121，141），（131，141），共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：310P =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题.求解本题时，列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解.9．三棱锥P ABC -的侧棱两两垂直，D 为侧棱PA 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上一点，DE ∥平面ABC ，2PF FC =，若从三棱锥P ABC -内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P DEF -内部的概率为A ．112B ．18 C ．16D ．13【答案】C【解析】因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面PAB ，平面PAB I 平面ABC AB =， 所以DE AB ∥，所以11212236P DEF P ABC V V --=⨯⨯=，即所求概率为16.故选C.【名师点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用及三棱锥体积的计算与几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.由题意，将概率问题转化为求体积之比问题，即可由几何概型的概率计算公式求解. 10．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为A ．π14- B ．π24- C ．π13-D ．π23-【答案】C【解析】由题，2x ≤，2y ≤，故2为最长边长，Q 以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，224x y ∴+<，即为以原点为圆心，半径为2的圆的内部，()1π21ππ12131222AOB ABCDS P S -⨯⨯--∴===⨯+⨯△梯形，故选C.【名师点睛】本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型.求解时，根据x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式224x y +<，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉AOB △即为符合条件的P 的运动区域，作出面积比即可. 11．某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成并且字母“k ”只可能在最后两个位置中的某一个位置上.如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A ．16 B ．14 C ．13D ．12【答案】B【解析】因为某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成，并且字母“k ”只可能在最后两个位置中的某一个位置上．该同学根据已有信息填入上述三个字母，满足题意的字母组合有四种，分别是eka ake eak aek ，，，， 拼写正确的组合只有一种eak ，所以他拼写正确的概率为14P =． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，是基础题．求解本题时，由列举法得到满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，根据古典概型概率公式可得结果．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 12．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值；从区间[]11-，内随机抽取200个数，构成100个数对()x y ，，其中满足不等式21y x >-()x y ，共有22个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为A ．7825B ．7225 C ．257D ．227【答案】A【解析】在平面坐标系中作出边长为1的正方形的上半部分和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为π22-， 由几何概型概率公式可得π222-22100=，解得78π25=. 故选A.【名师点睛】本题主要考查随机模拟实验以及“面积型”的几何概型，属于中档题.求解本题时，根据满足不等式21y x -()x y ，表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外，得出数对()x y ，所在的平面区域，利用几何概型概率公式列方程可得出π的值.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.13．为了迎接新学期，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为_________. 【答案】31120【解析】为了迎接新学期，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数55A 120n ==， 事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数25135255C C C C 31m =++=，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为31120m P n ==， 故答案为31120． 【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求解本题时，基本事件总数55A n =，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数21352555C C C C m =++，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．14．在区间[]0,2上分别任取两个数,m n ，若向量(),m n =a ，()1,1=b ，则满足1-≤a b 的概率是__________． 【答案】4π【解析】由(),m n =a ，()1,1=b ，得(1,1)m n -=--a b ，由1-≤a b 22(1)(1)1m n -+-≤，即22(1)(1)1m n -+-≤．,m n Q 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图形如图：圆22(1)(1)1m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4．则1-≤a b 的概率是4π． 【名师点睛】本题考查几何概型，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．求解时，由已知向量的坐标求出满足1-≤a b 的,m n 所满足的条件，结合,m n []0,2∈，数形结合得答案．15．“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为A ．13 B ．712C ．512D ．12【答案】B【解析】依题意，所有的扮演情况为44A 24=种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况为322322A 2A A 14+=种，故所求概率1472412P ==. 故选B ．【名师点睛】本题考查了分类计数原理以及古典概型，属中档题.求解时，分两类计数甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况：(1)甲扮演杨贵妃;(2)甲扮演王昭君或扮演西施，然后用古典概型概率公式计算.16．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为A ．45B ．35 C ．25D ．15【答案】C【解析】∵()1cos f x a x '=+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤； ②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴10a -≤<，综上，11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为25P =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题.求解时，先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题.17．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为A ．320 B ．340 C ．920D ．940【答案】C【解析】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有36C 20=个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：甲指挥交通，乙和丙在另一组；或者丙、乙指挥交通，甲在另一组；或者甲、乙指挥交通，丙在另一组，共有133C 9=个，所以所求概率为920． 故选C.【名师点睛】这个题目考查了古典概型的概率公式的应用，考查了基本事件个数的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.求解本题时，先分组，平均分为两组，共有20个基本事件，分情况讨论，满足题意的有9种，故概率为920. 18．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A ．()()P A P M >B ．()()P A P M <C ．()()P A P M =D ．()P A 与()P M 的大小关系与半径长【答案】C【解析】由题意，设四分之一圆的半径为R 2R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为2211π42R R -，阴影部分M 的面积为：222212111ππ22422R R R R ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以()()P A P M ＝，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.19．若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是A ．15B ．310 C ．710D ．35【答案】C【解析】五名同学站成一排照相，共有55A 120n ==种排法．A 、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：111323223323A C A A A A 84+=种，A ∴、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为84712010P ==． 故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，涉及的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目.求解本题时，先求出五名同学站成一排照相，共有多少种排法，再求出A 、B 两位同学至少有一人站在两端的排法种数，由此能求出A 、B 两位同学至少有一人站在两端的概率． 20．梅赛德斯-奔驰（Mercedes -Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=o ，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．332π B ．2334π C 639- D 639- 【答案】D【解析】由已知可得60AOB ∠=o ，则105ABO ∠=o .又()231sin15sin 4530222⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭oo o624=，()213sin105sin 456022⎛=+=⨯+ ⎝⎭ooo624=. 不妨设4OA =，则由正弦定理可得462sin15843sin10562OA OB ⨯⋅===-+o o，则(14843sin 6083122AOB S =⨯⨯-⨯=△o ， 所以阴影部分的面积为'324336AOB S S ==△，圆O 的面积为16S π=， 则在圆内任取一点，此点取自阴影部分的概率为'2433663916π4πS P S ===. 故选D ．【名师点睛】本题考查几何概型的面积概型，合理求出阴影部分的面积是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.求解时，分别求出圆与阴影部分的面积，作商即可得到结果.21．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个． 【答案】15【解析】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为21500.42=个，所以蓝球的个数为()5010.420.2815⨯--=个. 所以本题答案为15.【名师点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.根据红球的概率和个数求出总球数，从而求出篮球的个数.22．过点(0,0)O 作直线与圆22(5)(8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______． 【答案】932【解析】由题意可知，最长弦为圆的直径：221326r =⨯=，()0,0O Q 在圆内部且圆心到O 806412+=，∴最短弦长为：216914410-=，∴弦长为整数的直线的条数有：()22510232⨯-+=条，其中长度不超过14的条数有：()2141019⨯-+=条，∴所求概率932p =.本题正确结果：932.【名师点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.求解时，根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过14的直线条数，根据古典概型求得结果.23．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______.（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积为4π， 故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率为ππ4416P ==， 随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：196810000，即有：π19681610000=，解得：π 3.1488=，故答案为3.149． 【名师点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据()N A P N=求解．利用频率约等于概率，即可求解.24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．118【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C102=45种方法，因为7231119131730+=+=+=，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故所求概率为31=4515，故选C．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．25．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3【答案】A【解析】设AC=b，AB=c，BC=a，则有b2+c2=a2，从而可以求得ΔABC的面积为S1=12bc，黑色部分的面积为22221π()π()[π()]2222c b a S bc =⋅+⋅-⋅-2222221π()π44424c b a c b a bc +-=+-+=⋅+1122bc bc =，其余部分的面积为2231π1π()2242a a S bc bc =⋅-=-，所以有12S S =， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到p 1=p 2，故选A ．26．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a ．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，故选B ． 【秒杀解】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A ． 27．【2017年高考山东卷理数】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是12⋅⋅⋅99A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】标有1,2,,9L 的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是11542C C 5989=⨯，故选C ．【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．29．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种， 因此所求概率为310． 30．【2017年高考江苏卷】记函数2()6f x x x =+-D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D∈518495979的概率是3(2)55(4)9 --=--．。
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专题十一概率与统计狂刷52统计及统计案例1．完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是①从30件产品中抽取3件进行检查；②某校高中三个年级共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．A．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样C．系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D．简单随机抽样，分层抽样，系统抽样【答案】D【解析】对于①，从30件产品中抽取3件进行检查，总体的数量较少，且个体差异不明显，符合简单随机抽样的特点；对于②，该校高中的三个年级，是差异明显的三个部分，符合分层抽样的特点；对于③，该剧场有28排，每排有32个座位，显然总体数量较多，又有编号，符合系统抽样的特点.故选D．【名师点睛】三种抽样方法的特点、联系及适用范围:类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部分中抽取在起始部分取样时，采用简单随机抽样总体个数较多分层将总体分成几层，分层各层抽样时，采用总体由差异明抽样 进行抽取 简单随机抽样或系统抽样显的几部分组成2．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，⋯，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为 A ．522 B ．324 C ．535 D ．578【答案】D【解析】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578， 则满足条件的6个编号依次为436，535，577，348，522，578. 则第6个编号为578. 本题正确选项为D.【名师点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．求解本题时，根据随机抽样的定义进行判断即可．3．从编号为001，002，…，460的460个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，030，则样本中第5个产品的编号应该为 A ．099 B ．122 C ．145D ．168【答案】A【解析】由系统抽样所有样本编号成等差数列，可以理解为由127,30a a ==求5a 的值. 由127,3023a a d ==⇒=，514742399a a d ∴=+=+⨯=，所以编号为099，故选择A ． 【名师点睛】本题考查系统抽样特点：所有样本编号成等差数列，从而转化为数列题，属于简单题. 4．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是A．24 B．48C．56 D．64【答案】B【解析】由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=，又前3个小组的频率之比为1:2:3，所以第二组的频率为20.750.25 6⨯=，所以学生总数120.2548n=÷=，故选B．【名师点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.求解时，根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.5．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为A．12.25%B．11.25%C．10.25%D．9.25%【答案】B【解析】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为450200450150++×20%=11.25%，故选B ．【名师点睛】本题考查了识图能力及简单的统计问题，属简单题．求解本题时，直接结合图表，通过计算可得.6．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】D【解析】根据茎叶图中的数据，得甲班5名同学成绩的平均数为()17277808690815x ⨯+++++=，解得0x =；又乙班5名同学的中位数为73，则3y =. 所以033x y -=-=-． 故选D ．【名师点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．求解本题时，根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值．7．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍 【答案】C【解析】由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ，对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为0.2×2t ＝0.4t ，2017年设备支出金额为0.4×t ＝0.4t ，故A 错误；对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为0.2×2t ＝0.4t ，2017年支付工资金额为0.2×t ＝0.2t ，故B 错误；对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是0.25×2t ＝0.5t ，2017年用于研发的费用是0.1×t ＝0.1t ，故C 正确；对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是0.3×2t ＝0.6t ，2017年原材料的费用是0.15×t ＝0.15t ，故D 错误. 故选C ．【名师点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的推理，属中档题.求解时，先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的推理逐一检验即可得解.8．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本[)40,60内的数据个数为分组 [)10,20 [)20,30 [)30,40…… 频数345……A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】由于一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，所以样本中数据在[)2060,上的频数为300.824⨯=， 则估计样本在[)40,60内的数据个数为244515--=.故选B.【名师点睛】本题考查频数的求法，涉及频率分布表等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查划归与转化思想，函数与方程思想，属于基础题.求解时，由样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，求出样本中数据在[)2060,上的频数为24，由此能估计样本在[)40,60内的数据个数.9．设某高中的男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,，，，，用最小二乘法建立的回归方程为0.850.1ˆ87yx =-，则下列结论中不正确的是A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该高中某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为63.79kg 【答案】D【解析】根据y 与x 的线性回归方程为0.850.1ˆ87yx =-可得，0.50ˆ8b =>，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；回归直线过样本点的中心(),x y ，故B 正确；该高中某男生身高增加1cm ，预测其体重约增加0.85kg ，故C 正确； 若该高中某男生身高为170cm ，则预测其体重约为63.79kg ，故D 错误. 故选D.【名师点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记线性回归方程的定义以及回归分析的相关概念即可，属于基础题型.求解本题时，根据线性回归方程的意义，判断选项中的命题是否正确即可.10．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的22⨯列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”优秀 非优秀 合计甲班 10 50 60乙班 20 30 50 合计 3080110临界值表：()2P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9%【答案】C【解析】由表格中的数据可得()22110103020507.48660503080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，所以()26.6350.01P K ≥=，因此，有99%的把握认为“成绩与班级有关系”，故选C ．【名师点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是计算出2K 的观测值，并利用临界值表找出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.求解时，计算出2K 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，可得出“成绩与班级有关系”的把握性.11．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重(kg)y 的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是218y x =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是_____________kg .【答案】26【解析】由题意：35+2+6+4=45x +=，由于回归方程过样本的中心点(),x y ，所以218=241826y x =+⨯+=， 则这5名儿童的平均体重是26 kg .【名师点睛】本题考查线性回归方程的应用，属于基础题.由题意求出x ，代入回归方程218y x =+，即可得到平均体重.12．某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有__________条． 【答案】6【解析】总体容量为:8020404020200++++=，抽样比为:20403802040402010+=++++，所以青鱼与鲤鱼共有:32010⨯6=， 故答案为6.【名师点睛】本题考查了分层抽样，属基础题.求解时，先求出抽样比，再用样本容量乘以抽样比可得.13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为__________.【答案】4【解析】结合题意，建立方程，得到()()22221011+9=105101001110x y x y +++⎧⎪⎨⎪-+-+++=⎩，计算得到812x y =⎧⎨=⎩或128x y =⎧⎨=⎩，故4x y -=. 【名师点睛】本题主要考查了平均数计算，考查了方差计算，关键结合平均数和方差计算公式，建立方程，计算结果，即可，难度中等.结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果即可.14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男生女生各500名（所有学生都参加了调查），现从所有喜欢数学的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为A ．16B ．32C ．24D ．8【答案】C【解析】由等高条形图可知：喜欢数学的女生和男生的比为1:3，所以抽取的男生数为24人． 故选C ．【名师点睛】本题考查高条形图与分层抽样，需掌握等高条形图的性质与分层抽样方法，属于基础题.求解时，根据等高条形图可得到喜欢数学的女生和男生的比为1:3，再由分层抽样计算出抽取的男生人数.15．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量n 的最小值为 A ．6 B ．12 C ．18D ．24【答案】A【解析】由题已知总体样本容量为36人，当样本容量为n 时，系统抽样的样距为36n，分层抽样的样比为36n，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为18362n n ⨯=，篮球运动员人数为12363n n ⨯=，乒乓球运动员人数为6366n n⨯=，可知n 是6的整数倍，最小值为6. 故选A.【名师点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和讨论，以便求出样本容量.求解时，从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样.16．某大学中随机选取8名女大学生，其身高x （单位：cm ）与体重y （单位：kg ）数据如下表： x 165 165 157 170 175 165 155 170y 4857 50 54 64 61 43 59若已知y 与x 的线性回归方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，那么选取的女大学生身高为175cm 时，相应的残差为 A ．0.96-B ．0. 96C ．63. 04D ． 4.04-【答案】B【解析】已知y 与x 的线性回归方程为0.85 5.1ˆ87yx =-， 当175x =时：63.04y =， 相应的残差为：6463.040.96-=. 故选B.【名师点睛】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.求解时，将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.17．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 A ．12 B ．20 C ．25D ．27【答案】D【解析】设这个数字是x ，则平均数为617x+，众数是8， 若8x …，则中位数为8，此时5x =-，若810x <<，则中位数为x ，此时61287xx +=+，即9x =， 若10x …，则中位数为10，此时6121087x+⨯=+，即23x =， 所以所有可能值为5-，9，23，其和为27． 故选D ．【名师点睛】本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．求解时，设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．18．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：身高 ](100110 ，](110120 ， ](120130 ， ](130140 ， ](140150 ， 频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）A ．119.3B ．119.7C ．123.3D ．126.7【答案】C【解析】由题中可知，身高在(](](]100110110120120130，，，，，的频率依次为0.05，0.35，0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则()0.31200.110x -⨯=，解x ≈123.3. 故选C.【名师点睛】本题考查中位数的计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.求解本题时，由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.19．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE2016 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x 2018 0.48x0.8x 0.56x 0.12x 0.04x由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B.【名师点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.求解时，设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.20．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为11151720222224323319699x++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误.故选D．【名师点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.求解时，根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.21．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名(其中男生6000名，女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是参考数据与参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++()20P K k ≥0.15 0.100.050.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错误的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关 【答案】D【解析】由频率分布直方图知，（0.004+0.013+0.014+a +0.027+0.039+0.08）×5=1，解得a =0.023， 故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0.023+0.014+0.013）×5×1000=250人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人，由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为250−150=100人，故A 选项错误； 月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×1000=20人，故选项B 错误； 又由频率分布直方图知，当消费金额小于1750元时，频率为（0.004+0.027+0.039）×5+0.08×5×12=0.55>0.5，故选项C 错误； 由条件可以列出列联表：男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500 250 750 消费金额超过2000元100 150 250 合计6004001000故K 2的观测值()()()()()250010.8289n ad bc k a b c d a c b d -==>++++， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关. 本题选择D 选项.【名师点睛】解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、频率组距，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×频率组距＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．求解本题时，由题意首先求得a 的值，然后结合分层抽样的定义和独立性检验的结论逐一考查所给选项是否正确即可.22．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出__________人． 【答案】80【解析】根据分层抽样，可得抽样比例为500181009000540045=++，故南乡应抽出1540012045⨯=人，西乡应抽取1900020045⨯=人，故西乡比南乡多抽取80人. 【名师点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的抽取方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解本题时，根据分层抽样，求得抽样比例，进而求得南乡应抽出的人数和西乡应抽取的人数，即可得到答案． 23．在一组样本数据为11(,)x y ，22(,)x y ，…，122,(,,)(,,n n n x y n x x x ≥不全相等)的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n =都在直线132y x =--上，则这组样本数据的相关系数r =_______．【答案】1-【解析】因为102-<，所以这两个变量成负相关，故这组样本数据的相关系数为负值，又所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =都在直线132y x =--上，则1r =，所以1r =-．【名师点睛】本小题考查相关系数的知识，如果散点都在一条直线上，则1r =.24．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确；②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ．26．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．27．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】观察折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A 说法错误； 折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项B 说法正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，选项C 说法正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，选项D 说法正确． 故选A ．【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律．28．【2017年高考山东卷理数】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ． B ． C ．D ．ˆˆˆybx a =+101225ii x==∑1011600i i y ==∑ˆ4b=160163166170【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则160422.570,a =-⨯=当24x =时，ˆ42470y=⨯+166=，故选C ． 【名师点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数的公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．29．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 30．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．31．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为 ， ， ， ， ，r rr。