高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.19：数列方程问题的研究与拓展
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展.docx
专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和 l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点(2，3)，则过点A (a 1,b 1)、B (a 2,b 2)的直线l 的方程为 . 2x +3y +1=0拓展：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =u u u r u u u r ，2BP PD =u u u r u u u r ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=．（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．代入椭圆方程2214x y +=， 得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，即1118x y +=-． ③ 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ 由③④可得直线AB 的方程为x ＋y =18-，所以AB 直线斜率为－1.探究2： 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．解： (1) 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x26＋y 23＝1.(2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，即k ＝±1. 若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k2. 因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．拓展1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意点P (x 0,y 0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A 、B 两点.求证：直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.拓展2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y =∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为探究3：设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）?请证明你的结论. 解：（1）由0(0)0f ∆>⎧⎨≠⎩解得1b <且0b ≠；（2）设二次函数与x 轴的两个交点分别为1(,0)x 和2(,0)x ，则1x 和2x 是关于x 的方程220x x b ++=的两个不同解，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点1(,0)x ，2(,0)x ，(0,b )分别代入圆方程有21122220,0,0,x Dx F x Dx F b Eb F ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 由前两个方程可知1x 和2x 是关于x 的方程20x Dx F ++=的两个不同解，所以2,D F b ==,代入第三个方程解得1E b =--，所以圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=；（3）由(2)圆C 方程整理为222(1)0x y x y b y ++-+-=，令222010x y x y y ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩解得21x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩，可知圆C 经过两个定点(－2,1)和(0,1).拓展：已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比. 不过A 点的动直线12y x m =+交椭圆O 于,P Q 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明,P Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点,,A P Q 的动圆记为圆C ,，已知动圆C 过定点A 和B (异于点A )，请求出定点B 的坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)., 1b =, ∴椭圆的标（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P 将 化简得：0)1(2222=-++m mx x ①∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-, ∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.（3）法1：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,,PQPQ圆过定点(2,0)，所以420D F ++=③圆过1122(,),(,)P x y Q x y , 则2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩ 两式相加得： 22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++=12y y m +=Q , 5220mD mE F -++=∴④点重合）所以1-≠m ，解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩(舍).所以圆过定点(0,1).法2：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,联立22012x y Dx Ey F y x m ⎧++++=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得到：2244()()0525E x m D x m EmF ++++++=⑤，由题可知方程①和⑤同解所以2242()5242(1)()5E m m D m m Em F ⎧=++⎪⎪⎨⎪-=++⎪⎩整理得23223522E D m Em F m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，又有圆过点A ，可得420D F ++=且1m ≠-，由上述三个方程联立可得.拓展：试证明如下定理：定理 设斜率为k 的直线与椭圆()22221,0x y a b a b+=>>相交于,P Q 两个不同点（也不同于椭圆的右顶点A ），则过,,P Q A 的圆恒过一个异于点A 的顶点B 2222222222,++a k b abk a b a k ba kb ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭证明：设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，直线PQ 的方程为：y kx m =+。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题3.7：导数中繁分式化简问题的研究与拓展.docx
专题3.7： 导数中繁分式化简问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________[解析]考查函数的切线方程、数列的通项.在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =， 所以1135,1641212k k a a a a a +=++=++= 变式1：设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则2012120122201l o g l o g l o g x x x +++的值为 ． -1 变式2：在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___________.【解析】设00(,),x P x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y e e x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--∴+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --∴=-++=+- 0001()(1)2x x t e e x -'=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，0max 111,()2x t e e ∴==+. 变式3：设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ．332变式4：已知曲线C ：()(0)a f x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积 为___________．4探究2：设函数)(,)2(ln )(2R a x a x ax x f ∈-+-=（1）当0≥a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若存在0>x ,0)(<x f ,求实数a 的取值范围对于第二问的研究：可直接参数分离 得：)(ln 22x g xx x x a =++>,所以222)()12)(2(ln ))(12()(x x x x x x x x x g +++-++='而后对分子 提取公因式；变式1：已知函数)0,(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(2f ，（处的切线的斜率为1，且对于任意的[]2,1∈t ， 函数)](2[)(23x f m x x x g '++=在区间()3,t 上总存在极值，求实数m 的取值范围； （3） 当2=a 时，设函数32)2()(-+--=x e p x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个 0x ,使得)()(00x f x h >成立，求实数p 的取值范围.在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特征的分析，导函数图象过定点()2-0，， 且开口向上，充要条件为⎩⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g ，根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得 )2()(max g t g '='（3）问：分子负项较多，可猜想恒为负值变式2：设,3,0-<>b a 函数x eb ax x x f -++=32)()(，x e a x g )425()(2+=，且3=x 是函数)(x f 的一个极值点.（1）求b a ,间满足的等式；（2）证明：对任意的实数[]4,0∈x ，)()(x g x f ≤；（3）若存在[]4,0,21∈x x ，使1)()(21<-x g x f 成立，求实数a 的取值范围.提醒注意的一个非定向问题：探究3：设函数21)(ax x e x f x ---=（1）当0=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.变式1：设函数)0()(>++=a c xb ax x f 的图像在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y （1）用a 表示出c b ,；（2）若x x f ln )(≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值范围.变式2：设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，则实数a 的取值范围为________________变式3：若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 . 拓展1：设函数()1xf x e -=-． （1）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围．拓展2：)(x f 设函数x x ee xf --=)(.（1）证明：2)(≥'x f ； （2）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围.拓展3：设函数sin ()2cos x f x x=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．拓展4：设)(ln )(R a x ax x f ∈-=是定义在区间()e ,0上的函数，其导函数为)(x f '，且存在实数()e x x ,0,21∈，21x x <,满足)()(21x f x f =（1）证明：0)(>x f ；（2）设10,)1(210<<-+=λλλx x x ,0)(0>'x f ,求实数λ的取值范围.参数分离可行，但中间需要对分子进行因式分解（平方差公式的应用）最后借助洛必达法则完成洛必达法则简介：法则1 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()'0g x ≠；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.1：恒成立、能成立问题的研究与拓展.docx
专题2.1：恒成立、能成立问题的研究与拓展【问题提出】已知集合{}2540A x x x =-+|≤，集合{}2|220B x x ax a =-++≤ （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； 【探究拓展】探究1：说出下列恒成立或能成立问题的转化策略1. ()f x =sin 2cos2a x b x +，其中0≠ab ，有()()6f x f π≤对一切R x ∈恒成立.① 11()012f π=；② 7()10f π＜()5f π；③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数④ ()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤ 存在经过点()b a ,的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 2. 函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为_________.3. 已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ） （1）若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；（2）若)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围；（3）若)(x f 在区间[]3,1上有零点，求实数a 的取值范围. 4. 已知函数,1)(2a x x x f ++=12)(33++-=a a x x g ，若存在)1.(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a x x ，使得9)()(21≤-x g x f ，求实数a 的取值范围.5. 已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥,求实数m 的取值范围.6. 函数()()m mx x g x x x f 25,342-+=+-=，若对任意的[]4,11∈x ，总存在[]4,12∈x ，使()()21x g x f =成立, 求实数m 的取值范围.7. 上题条件改为“若存在[]4,11∈x ，总存在[]4,12∈x ，使()()21x g x f =成立”呢？8. 函数421()421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、为三边长的三角形, 求实数k 的取值范围.探究2：设函数1)(2-=x x f ，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 23-≤m 或23≥m 变式1：设函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且是定义域为R 的奇函数. 若23)1(=f ，且 )(2)(22x f m a a xg x x ⋅-+=-的最小值为2-，则实数m 的值为_________.变式2：定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >， 使得|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数， 其中M 称为函数()f x 的上界. 已知函数()421xxf x p --=+⋅+， 12()12xxq g x q -⋅=+⋅.（1）当1p =时， 求函数()f x 在(),0-∞上的值域， 并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数， 请说明理由；（2）若(0,2q ∈， 函数()g x 在[]0,1上的上界是()H q ， 求()H q 的取值范围； （3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数， 求实数p 的取值范围．解：（1）值域为()3+∞，，故不存在常数0M >， 使得|()|f x M ≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，所以函数()f x 在(),0-∞上不为有界函数；（2）122()11212x x xq g x q q -⋅==-+⋅+⋅，[][]0,1,21,2x x ∈∴∈，函数在定义域上单调递减则()g x 的值域为121,121q q q q ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦,当(0,2q ∈时， 112112q qq q -->++ 所以1()1qg x q -≤+对于[]0,1x ∈恒成立，则()H q 的取值范围是1,1q q ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭（3）转化为不等式恒成立问题2-313t pt ≤++≤在(]0,1t ∈上恒成立，求得[]5,1p ∈- 拓展2：对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥恒成立．则实数a 的取值范围为_________. 276≥≤a a 或 解：先处理参数x 的恒成立问题，即关于x 的二次函数的最小值大于等于81，处理的时候需要进行三角换元，而后处理参数θ的恒成立问题【答案】原不等式等价于21(32sin cos sin cos )4a a θθθθ+--≥，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解不等式得132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.先求132sin cos 2sin cos θθθθ+++0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值. 令sin cos x θθ=+，则x ⎡∈⎣，于是213(1)512()2x f x x xx+-+==+⋅.易知()f x在⎡⎣上是减函数，所以max 7()(1)2f x f ==，从而72a ≥. 再求132sin cos 2sin cos θθθθ+-+0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值. 令sin cos x θθ=+，则x ⎡∈⎣，于是213(1)312()2x f x x xx +--==+⋅≥当sin cos x θθ+==时等号成立.从而min ()a g x ≤=综上，a的取值范围为(7,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U . 变式1：若函数2()f x x x a b =++-图像上存在点11(,())P x f x 对任意[]1,3a ∈-都不在x 轴上方，则实数b 的最小值为________________114思路：先处理函数2()g x x x a =++有解问题，然后再处理恒成立问题变式2：若存在实数x 0与正数a ，使0x a +，0x a -均在函数()f x 的定义域内，且()()00f x a f x a +=-成立，则称“函数f （x ）在x = x 0处存在长度为a 的对称点”．（1）设32()321f x x x x =-+-，问是否存在正数a ，使“函数f （x ）在x = 1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由． （2）设()bg x x x=+（x > 0），若对于任意x 0∈（3，4），总存在正数a ，使得“函数()g x 在x = x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．拓展3：已知函数)(x f 定义在区间[a , b ]上，设“{}D x x f ∈|)(min ”为函数)(x f 在集合D 上最小值，“{}D x x f ∈|)(max ”为函数)(x f 在集合D 上最大值.设{}x t a t f x f ≤≤=|)(min )(1，(],[b a x ∈)；{}x t a t f x f ≤≤=|)(max )(2，(],[b a x ∈)．若存在最小正整数k ，使得)()()(12a x k x f x f -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”．（1）若函数32)(23+-=x x x f ，]2,0[∈x ，试写出)(1x f 、)(2x f 的解析式；（2）若m >0，函数233)(mx x x g -=是[]m 3,0上“第3类压缩函数”，求实数m 的取值范围． 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题6第19讲数列的综合应用 精品
12Sn＝1＋
12＋212
＋…＋
2n1－1－
2nn＝
11－－2121n－
n 2n
＝2－
22n－2nn，
整理，得 Sn＝4－n2＋n－12，n∈N*. 所以，数列{bn}的前 n 项和为 4－n2＋n－12，n∈N*.
【命题立意】本题考查等比数列的定义与通项公 式、等差数列的性质、错位相减求和法及应用，考查 方程思想与运算求解能力．属中档题．
2．特殊数列求和
例3已知数列{an}中，a1＝34，an＋1＝2－1 an(n∈N*)． (1)求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通 项公式； (2)设 bn＋an＝1(n∈N*)，Sn＝b1b2＋b2b3＋…＋
bnbn＋1，试比较 an 与 8Sn 的大小．
【解析】(1)因an＋11－1－an－1 1＝2－1a1n－1－an－1 1 ＝1－（2－2－anan）－an－1 1＝－1，
式中部分项可相互抵消，从而化简和式；
(4)除上述较常用的方法之外，还有①分组求和法；② 并项求和法；③倒序相加法等．
1．简单递推数列及应用 例1(1)已知数列{an} 满足 a1＝1，且 an＝13an－1＋13n (n≥2, 且 n∈N)，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝n＋3n 2 B．an＝n＋3n 2 C．an＝n＋2 D．an＝(n＋2)·3n
【点评】求数列前 n 项和的常用方法：(1)公式法、 (2)错位相减法、(3)裂项相消法、(4)除上述较常用的方 法之外，还有①分组求和法；②并项求和法；③倒序
相加法等．
3．递推数列与特殊数列求和综合应用
例5已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2－n2＋1 an(n≥1)．
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专题7.19：圆锥曲线中曲线系思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则直线 OF 的方程为 . 1111()()0x y c bp a-+-= 探究1：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2＝r 2和直线l ：x ＝a （其中r 和a 均为常数，且0 < r < a ），M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q ． （1）若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标．【解】（1）当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ，．直线MA 2的方程：x －y －2=0，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -，．由两点式，得直线PQ 方程为：2x－y －2=0．另解：(1)当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，直线MA 2的方程：x +y －2=0，所以P 、Q 在曲线(x －3y +2)( x －y －2)+t (x 2+y 2－4)=0上，当t =－1时，2x －2y －2=0为直线PQ 的方程.（2）证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y = t a +r (x +r )，直线MA 1的方程是：y = t a －r (x －r ) ．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++，．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+，． 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++． 上式中令y = 0，得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a，．证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y =ta +r (x +r )，与圆C 的交点P 设为P (x 1，y 1) ． 直线MA 2的方程是：y =t a －r(x －r )；与圆C 的交点Q 设为Q (x 2，y 2) ．则点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在曲线［(a +r )y －t (x +r )］［(a －r )y －t (x －r )］=0上， 化简得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)+t 2(x 2－r 2)＝0． ① 又有P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2+y 2－r 2＝0．②－t 2×②得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2) －t 2( x 2+y 2－r 2)＝0，化简得：(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2) －t 2y ＝0．所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)-t 2y ＝0． ③在③中令y = 0得 x = r 2a，故直线PQ 过定点()20r a，．探究2：探究1：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F. 设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
数学研究性学习之数列
数学研究性学习之数列1、案例背景：在<<普通高中数学课程标准>>中对研究性学习有这样的描述:学会自主学习,独立探究问题;能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控,对知识进行系统整理;会对已有的知识经验进行反思、质疑,有发散思维的习惯和求异思维的心向,敢于提出自己独立的见解。
而历年来，各省也相继有研究性问题作为高考题目出现。
数列经常作为高考数学中的中高档题出现，对数列进行研究性学习，将数列的相关问题、性质、考察方式进行探究并推广是实现学生对数列题目作出较大突破的重要学习方式。
在这里，我们就人教版高一教材第一册(上)<<数列>>一章中的一道习题为例，进行数列的研究性学习。
2、原始习题：119页习题3.3第9题:由数列,,,,…前4项的值,推测第项的结果,并给出证明。
3、研究性学习过程：1>解法探究：对于这道数列习题，我们可以从代数和几何两个方面进行求解。
1.1>代数方法：法一：法二：1.2>几何方法：如下图所示，图(1)、(2)、(3)、(4)、(5) 中由数字1组成的菱形中数字1的个数分别代表、、、、的值,且图中每一行(或列)数字1的个数分别代表项中对应的数,因此其值显然就是菱形对角线上数字1的个数的平方,即分别为、、、、,所以有.2>一般化研究：通过仔细观察,我们能注意到在原求解题目，它是关于中间项成左右对称的,并且其前半部分构成了d=1的等差数列,那么我们就可以将原问题推广到一般的等差数列中，即有：推广1：设数列是首项为、公差为的等差数列,则数列,,,,第项的结果为.简证:.这样，我们就得到了该类型中一般化的结果。
接下来，我们思考，既然等差数列可以有这样的性质，那么我们学习过的另一个特殊数列等比数列是否也有相类似的结果呢？则有：推广2：设数列是首项为、公比为的等比数列,则数列,,,,第项的结果为.简证:.其中，该数列的公比q不能为1，若公比q=1,则。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展
专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展【问题提出】 问题1：（1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求1a d的数值； （ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 解：（1）①当n =4时,1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d =0若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=- 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d= 综上，得14a d =-或11a d= ②当n =5时,12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项。
若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因为0≠d ，所以3a 不能删去；当n ≥6时，不存在这样的等差数列。
事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾。
(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)，综上所述，4n = （2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b , (21)其中111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2111y x z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-（*）由10b d ≠知，2y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：数列中函数思想的研究与拓展
专题6.20：数列中函数思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）若已知等差数列{}n a 的通项公式为：342)3(-+-=n p a n n ，则p 的值为________.（2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a n a n m ==,，则=+n m a ____,=+n m S _____.（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(,n m m S n S n m ≠==，则______=+n m S .解析：0；2)1)((-++n m n m ；)(n m +-关注证明方法 （4）数列),2(122}{1≥-+=-n a a a n n n n 满足.若存在一个实数,λ使得}2{n n a λ+为等差数列，则=λ ．（5）等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是_______.（6）已知数列{}n a ，其中n n n a 32+=，且数列{}n n pa a -+1为等比数列，则_____=p .拓展1：设μλ,为非零常数，若{}n a 和{}μλ+n a 均为等比数列，20132013=a ，则 ____1=a .2013拓展2：记数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n nS a 是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时d 的值为 .拓展3：在等差数列{}n a 中，前n 项和n n S m =，前m 项和m m S n=，其中m n ≠，则m n S +的取值范围是 .()∞+，4探究2：设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .（1）若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； （2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立. 变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A -的值．变式2：设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和.记 2n n nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =.变式3：设数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2-4n +1．（1）若a 1=3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{a n +f (n )}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
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专题6.19：数列方程问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：（1）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S m ＋S n ＝S m ＋n ，且a 1＝1.那么a 10＝ . （2）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：=m n m n S S S +⋅,且a 1=2.那么a 10＝ .
（3）已知数列{}n a 中，121,0a a ==，若对任意的正整数m 和n (n >m )满足：22
n m n m n m a a a a -+-=⋅，则
119a = .
参考答案：1. 1 2.512 3.-1
探究2：已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011
1
1()2011i i i a b =+∑的值是 ．
变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则1
1()n
i i i a b n =+∑的值是 ． 变式2 数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n =112233()()()()n n n a b a b a b a b +++⋅⋅+，则{c n }的通项公式为
探究3：已知数列{}n a 的前三项分别为15a =，26a =，38a =，且数列{}n a 前n 项和n S 满
足2221
()()2n m n m S S S n m +=+--，其中,m n 为任意正整数．求数列{}n a 的通项公式n a .
解：令1,2n m ==，324441()1,29,102S S S S a =+-==，令1m =，21221
()(1),2n n S S S n +=+--
令2m =，22241
()(2),2n n S S S n +=+--∴4222123262(2)2,2
n n n S S a S S n n n ++++=-=-+=+=++
∴22,(3)n a n n =+≥又26a =符合，15a =不符合，∴5,
(1)22,(2)n n a n n =⎧=⎨
+≥⎩
变式：设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，对于任意正整数,m n ， 222(1)1m n m n S a S +=+-恒成立．
（1）若11a =，求234,,a a a 及数列{}n a 的通项公式；
（2）若4212(1)a a a a =++，求证：数列{}n a 是等比数列．（注重对条件的功能性分析） 解：（1）由条件，令1m n ==，得22212(1)S a S +=+．
∴2222(1)2(1)S a S +=+．则2212S a +=．∴211a a =+．∵11a =，∴22a =． 令1,2m n ==，得32412(1)S a S +=+．则2334(4)4(4)a a a +=++． 令2,1m n ==，得34212(1)S a S +=+．则234(4)8a a +=．
解得344,8a a ==.得2212(1)m n m n S a S ++=+．令1m =，得12212(1)n n S a S ++=+． 令2m =，得24212(1)n n S a S ++=+．∴
2
41
211n n S a S a +++=
+（*n ∈N ）．∵42
2a a =， 则数列{1}n S +(2,*)n n ∈N ≥是公比为2的等比数列．∴11222n n n S -+=⋅=．12n n a -=
（2）在①中，令2,2m n ==，得44412(1)S a S +=+．则4412S a +=．∴341S a +=． 在①中，令1,2m n ==，得32412(1)S a S +=+．则323412(1)S a S a +=++，∴42422a a a =⨯． 则424a a =．q = 2． 代入（*），得32(1)2n n a S -=+（3n ≥，*n ∈N ）．（*） 由条件4212(1)a a a a =++，得1214a a ++=．
∵211a a =+，∴121,2a a =∴=．则31422n n n a --=⨯=（3n ≥，*n ∈N ），
∵11a =，∴22a =也适合上式，∴12n n a -=（*n ∈N ）． ∴数列{}n a 是等比数列． 拓展：已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （1）求a 3，a 5；
（2）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列； （3）设c n ＝(a n+1－a n )q n －
1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .
探究4：设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足01565=+S S ，则d 的取值范围是______________.22≥d 或22-≤d （方程思想） 变式：若其他条件不变，求1a 的取值范围.1021≥a 或1021-≤a
拓展1：如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长 度为1千米，某炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹在方程221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+> 表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。
拓展2：（1）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若2)1(4
1
+=
n n a S . ① 求数列{}n a 的通项公式；
② 设*
,,N p k m ∈，k p m 2=+，求证：
k
p m S S S 211≥+. （2）若{}n a 为等差数列，前n 项和为n T ，求证：对任意*
N n ∈，21,,++n n n T T T 不构成等比数列.
o
x (km )
y (km )
拓展3：（1）设关于x 的不等式0122
<+--m x mx 对于满足2≤m 的一切m 都成立，则x 的取值范围是_____________. ⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-213,217 （2）若在[]4,0上存在实数p 使得不等式342
-+>+p x px x 成立，则实数x 的取值范围是_________.
()()+∞∞-,11,
拓展4：设计一幅宣传画，要求画面面积为2
4840cm ，画面的宽与高之比为λ（1<λ），画面的上、下各留cm 8的空白，画面的左、右各留cm 5的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？如果⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈43,32λ，那么λ为何值时，能使得宣传画所用纸张面积最小？ 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。