数列应用题专题训练

数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。

一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。

单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。

设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。

复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。

设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。

例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。

问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。

解：若不计复利，5年的零存整取本利是2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。

所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。

二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。

购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。

若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。

设每次所付欠款顺次构成数列{a n}，则a1=50+1000×0.01=60元，a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，……a n=60-(n-1)·0.5所以{a n}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，故a10=60-9×0.5=55.5元20次分期付款总和S20=25.5060×20=1105元，实际付款1105+150=1255(元)答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。

例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。

某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。

由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。

这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。

略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列a n，a1=20,d1=50,11月n 日新感染者人数a n=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n,b1=50n-60,d2=—30，b n=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人数为：2)30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。

例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP a 1 = 6×500 = 3000万m 2，d = 30万m 2，a 10 = 3000 + 9×30 = 32701990年、1991年、……2000年人口数成GPb 1 = 500 , q = 1% , 8.5460937.150001.1500910≈⨯≈⨯=b∴2000年底该城市人均住房面积为：298.58.5463270m ≈ 点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。

例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入1 kg 水， 问：1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？2.经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：a 1= 0.2 kg , a 2=21×0.2 kg , a 3= (21)2×0.2 kg 由此可见：a n = (21)n -1×0.2 kg , a 5= (21)5-1×0.2= (21)4×0.2=0.0125 kg2.由1.得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =21kg qq a S 39375.0211)211(2.01)1(6616=--=--=∴ 00625.039375.04.0=- 003125.0200625.0=÷点评：掌握浓度问题中的数列知识。

例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元， （1）求{}n a 的通项公式；（2）当827ab =时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？解：（1）由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，1223()()32n n n a a b --=+，∴12(1)23()()(2)32n n n an a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知827ab =， 当2n ≥时，1121222832838()()2[()()]327232729n n n n n a a aa a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立，当且仅当12283()()3272n n a a --=，即22422()()33n -=，解得3n =，因此这个人第三年收入最少为89a元．（3）当2n ≥时，121223233()()()()32382n n n n n a a a b a a ----=+≥+≥=，上述等号成立，须38ab =且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到，当38a b ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．例7．（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（万元）到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元） 贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=-（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元） 所以，甲方案的获利较多．三、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。

例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。

若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出n b2件，（n ∈N *）。

（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，s n ——s n-1=n b 2，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差nb2构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：解法一、直接列式：由题，s=b+2b +22b +32b +…+n b 2=b(2-n 21) （广告费为1千元时，s=b+2b ；2千元时，s=b+2b +22b ；…n 千元时s=b+2b +22b +32b +…+n b2）解法二、（累差叠加法）设s 0表示广告费为0千元时的销售量，由题：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--n n n b s s b s s b s s 222121201，相加得S n -S 0=2b +22b +32b +…+n b 2,即s=b+2b +22b +32b +…+n b 2=b(2-n 21)。