高二数学数列专题练习题(含答案)
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高中数学《数列》专题练习1．与的关系：，已知求，应分时；n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =1S 时，=两步，最后考虑是否满足后面的.2≥n n a 1--n n S S 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d--=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，dn a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->mn m n n n q a a q a a --==,11中项如果成等差数列，那么叫做与,,a A b A a 的等差中项．。
b 2a b A +=等差中项的设法：da a d a +-,,如果成等比数列，那么叫做与的等,,a G b G a b 比中项．abG =2等比中项的设法：，，aq a aq前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=时；时1=q 1,na S n =1≠q qqa a q q a S n n n --=--=11)1(,11*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若，则2m p q =+qp ma a a +=2若，则q p n m +=+qp nm a a a a =2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An B d d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法(1)定义法：证明为常数；)(*1N n a a n n ∈-+(2)等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n (1)定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+(2)等比中项：证明21n n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥(3)通项公式：均是不为0常数）(,nn a cq c q =3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法(型)；n n n c a a =+1(4)利用公式；(5)构造法(型)；(6)倒数法等11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+14.数列求和(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
高二数学数列模块考试卷+答案详解(试卷版)
高二数学数列模块考试卷+答案详解（试卷版）总分100分，考试时间90分钟一．选择题（共10小题,共30分）1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列2．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，a2=1，则a1等于（）A．B．C．D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列4．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）A．B．2 C．D．5．设{a n}是等差数列，a1+a3+a5=9，a6=9．则这个数列的前6项和等于（）A．12 B．24 C．36 D．486．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=（）A．2 B．4 C．6 D．87．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．158．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣9. 在数列{a n}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )A．成等差数列 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定10. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158二．填空题（共6小题，共30分）11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为 ． 12．等比数列{a n }中，a 3=2，a 5=6，则a 9= ．13．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *），则S 10= ．14．已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ． 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为113,6n n S x -=⋅-则x 的值为_______三．解答题（共4小题，共40分）17．已知数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立，且a 1=1，a 3=2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1（n ∈N*） （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （Ⅱ）设c n =a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为T n （1）求T n （2）求满足不等式≤9的所有的n 的值．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（﹣1）n a n +（﹣1）n a n 2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}满足a2=5，a5+a9=30．{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．答案详解一．选择题（共10小题,共30分）1解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C2．解：∵等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，∴=，可得a6=a7，∴公比q=a2=1，则a1===．故选：B．3．解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C4．解：等比数列{a n}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴2×2a2=a3+4a1，∴4a1q=a1（q2+4），解得q=2．∴a n=2n﹣1，=．则数列{}的前5项和==．故选：C．5．解：设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=3a1+6d=9，即a1+2d=3；a6=a1+5d=9．∴d=2，a1=﹣1，则这个数列的前6项和s6=6×（﹣1）+×2=24，故选B．6．解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故选B．7．解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．8．解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．9. B10. C二．填空题（共6小题，共30分）11．解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120∴a1+7d=24∵2a10﹣a12=2a1+18﹣a1﹣11d=a1+7d=24 故答案为：2412．解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 5=6， ∴q 2=3，则a 9==6×32=54．故答案为：54．13．解：因为a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *）， 当n=1时，a 3﹣a 1=0得到a 3=1；当n=2时，a 4﹣a 2=2，所以a 4=4；…得到此数列奇次项为1，偶次项以2为首项，公差为2的等差数列，所以S 10=1×5+5×2+×2=35．故答案为3514．解：由题意a 3=16，故S 5=5×a 3=80，由数列的性质S 10﹣S 5=80+25d ，S 15﹣S 10=80+50d ，S 20﹣S 15=80+75d ， 故S 20=20=320+150d ，解之得d=﹣2又S 10=S 5+S 10﹣S 5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：110 15.{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又()210203030301010,30,30,7010S S S S -==∴-=∴=答案：70 16.12三．解答题（共4小题，共40分）17．解：（Ⅰ）数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立， ∴数列{a n }为等差数列， ∵a 1=1，a 3=2， ∴2d=a 3﹣a 1=2﹣1=1， ∴d=，∴a n =1+（n ﹣1）=（n+1），∵数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1， 当n=1时，S 1+b 1=1，即b 1=， 当n ≥2时，S n ﹣1+b n ﹣1=1， ∴S n +b n ﹣（S n ﹣1+b n ﹣1）=0 即3b n =b n ﹣1，∴数列{b n }是以为首项，以为公比的等比数列，∴b n=2•（）n，（Ⅱ）由b n=2•（）n，∴S n==1﹣，∴1﹣S n=（）n，∵c n=a n•b n=（n+1）•（）n，∴T n=2•（）1+3•（）2+…+（n+1）•（）n，∴T n=2•（）2+3•（）3+…+n•（）n+（n+1）•（）n+1，∴T n=+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1=+﹣（n+1）•（）n+1=﹣•（）n，∴T n=﹣•（）n，∵≤9，∴﹣•（）n≤9•（）n，∴≤（9+）•（）n，即9+≥•3n，当n=1时，左边=，右边=，成立，当n=2时，左边=，右边=，成立，当n=3时，左边=，右边=，故不成立，综上所述n的值为1，218．解：（Ⅰ）由S n=，得当n=1时，，得a1=1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）=0，得a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n=（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n ﹣3）2+（4n﹣1）2]=2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]=2n+8•=8n2+2n．19．解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．20．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a5+a9=30可得，，解得a1=3，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，∴S n===n（n+2）=n2+2n，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，=（1+﹣﹣）=﹣﹣【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式和裂项求和，属于中档题。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和。
【答案】11【解析】因为在等比数列中，已知，则根据连续三项的和依然成等比数列可知，该数列的前15项的和11.故答案为11.2.已知等比数列满足，且，则当时， .【答案】【解析】因为3.（本小题12分）设等差数列{}的前项和为，已知＝，．(1) 求数列{}的通项公式；（2）当n为何值时，最大，并求的最大值．【答案】（1）.（2）当或时，最大，且的最大值为120.【解析】(1)由＝，可建立关于a1和d的方程，求出a1和d的值，从而确定{}的通项公式.（2）在（1）的基础上，可求出,从而利用二次函数的性质可求出其最大值，要注意n取正整数.（1）依题意有，解之得，∴.（2）由（1）知，＝40，，∴＝＝＝－4＋121，故当或时，最大，且的最大值为120.4.在等差数列中，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为构成一个等差数列，其公差为2,因此.5.下列命题中正确的是( )A．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列【答案】C【解析】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,所以,所以，，是等比数列.6.在等比数列中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解：由得，所以，，从而=，故选A。
7.在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为（）A．32B． 256C．D． 64【答案】D【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为在正项等比数列中，是方程的两个根，所以，，所以==64，故选D。
8.若正数组成等比数列，则一定是（）A．等差数列B．既是等差数列有是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．2.（本小题满分12分）已知等比数列{an }满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列bn =，求该数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将已知条件用首相和公比表示,即可求得公比,根据等比数列的通项公式可求得．（2）由可得,并将其化简变形,用裂项相消法求数列的和．试题解析：解：（1）设等比数列的公比为，由得，，解得，则，（2）由（1）得，，，∴，则【考点】1等比数列的通项公式；2裂项相消法求数列的和．3.已知数列满足：，则的通项公式为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,数列是首相为,公比为3的等比数列．．故B正确．【考点】1构造法求通项公式；2等比数列的通项公式．4.（本小题满分12分）已知等比数列{an }满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列bn =，求该数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将已知条件用首相和公比表示,即可求得公比,根据等比数列的通项公式可求得．（2）由可得,并将其化简变形,用裂项相消法求数列的和．试题解析：解：（1）设等比数列的公比为，由得，，解得，则，（2）由（1）得，，，∴，则【考点】1等比数列的通项公式；2裂项相消法求数列的和．5.等差数列中，则的值是（）A．24B．22C．20D．【答案】A【解析】根据等差中项知，,所以，即．又,．故选A．【考点】等差中项的应用．【方法点睛】对于该类问题常常有两种方法：一、设数列的首项和公差进行基本量运算，从而求解，往往比较繁琐．方法二、常利用数列的性质运算，使运算简单、准确、快捷．但需要掌握数列常见的性质同时注意观察题中的条件．例如：本题用到了等差中项，快速求出，同时，从而求解．6.数列满足,，则此数列的第5项是（）A．15B．255C．20D．8【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、以4为公比的等比数列，∴，∴，∴．【考点】等比数列的证明、等比数列的通项公式．【方法点睛】在高中数学教材中，有很多已知等差等比数列的首项、公比或公差（或者通过计算可以求出数列的首项、公比或公差），来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差等比数列，而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新的数列，从而间接地求出数列的通项公式，对于不同的递推公式，我们可以采用不同的方法构造不同类型的新数列．一、利用倒数关系构造数列，如构造成的形式；二、构造形如的数列；三、构造形如的数列；四、构造形如的数列．7.已知数列的前n项和满足：,且,那么（）A．1B．9C．10D．55【答案】A【解析】∵，∴令，即，即，∴数列是以1为首项、1为公差的等差数列，∴，∴．【考点】等差数列的证明、等差数列的通项公式．【思路点睛】利用已知条件恒成立，所以令，得到，利用等差数列的定义，分析出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式先得出，再利用求出数列的通项公式的值．8.已知数列{an }的前n项和Sn＝a n－1（a是不为零的常数），则数列{an}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列【答案】C【解析】当时，，，∴数列是等差数列．当时，，∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列【考点】等差数列等比数列的判定9.已知数列{an }满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若数列{an }的前n项和为Sn，求Sn．【答案】（1）详见解析；（2）Sn＝（n－1）·2n＋1【解析】（1）由已知条件推导出，由此证明{}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）知，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{an}的前n项和Sn试题解析：（1）∵an －2an－1－2n－1＝0，∴－＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1），得＝＋（n－1）×，∴an ＝n·2n－1，∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①则2Sn ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n②①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Sn＝（n－1）·2n＋1．【考点】1．数列的求和；2．数列递推式10.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。
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高中数学《数列》专题练习
1．n S 与n a 的关系：1
1(1)(1)n n
n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a =1S ；
2≥n 时，n a =1--n n S S 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .
2.等差等比数列
3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法(
n n
n c a a =+1
型)；(4)利用公式1
1(1)(1)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法(b ka a n n +=+1型)；(6)倒数法等
4.数列求和
(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。
5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+00
1
m m
a a 的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。
…
也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
一、选择题
1．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ ）
A ．2
1
-
B ．2
3
-
C ．21
D ．
2
3
2．在等比数列{}n a 中，若,243119753=a a a a a 则=11
29
a a ( )
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,2
1
,551S a a S n =
+且,209=a 则=11S ( ) A ．260 B ．220 C ．130 D ．110
!
4．各项均不为零的等差数列{}n a 中，若),2,(*
112≥∈=--+-n N n a a a n n n 则S 2 009等于( )
A ．0
B ．2
C ．2 009
D ．4 018
5．在△ABC 中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以3
1
为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.非等腰的直角三角形
6．记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ ）
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D ．7或8
7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（ ）
A.)(2*N n a n n ∈=
B. ⎩⎨⎧≥==)
2(2)
1(3n n a n n C. )(2*
1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确
(
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
9．设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，则8a 的值为( )
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
10．n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列,若,11=a 则4S =( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 <
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =( ) A ．12-n B ．1
)2
3(-n C ．1
)
3
2(-n D ．
1
2
1-n
二、填空题:
13．已知等比数列{}n a 为递增数列.若,01>a 且,5)(212++=+n n n a a a 则数列{}n a 的公比=q . 14．设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项和为,n S 则2
4
a S = .
15．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 16．等比数列{}n a 的首项为a 1＝1，前n 项和为,n S 若S 10S 5＝31
32，则公比q 等于________． 三、解答题
…
17．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==．
（I ）求数列{}n a 的通项公式．
（II ）设31323log log log n n b a a a =++
+，求数列1
{}n
b 的前n 项和．
19．已知{}n a 为等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1） 求{}n a 和}{n b 的通项公式；
.
（2） 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .
20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．
(1)
证明：2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<． 21．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且
n T 2
1
1-
=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 22．设数列{}n a 满足10a =且111
1.11n n
a a +-=--
（Ⅰ）求{}
n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
, 1.n
n n k n k b b S ==
=<∑记S 证明：。