2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测：5-2 等差数列及其前n项和含答案

[A组基础演练·能力提升]
一、选择题
1．若数列{a n}的首项a1＝1，且a n＝a n－1＋2(n≥2)，则a7＝( )
A．13 B．14
C．15 D．17
解析：∵a n＝a n－1＋2(n≥2)，∴a n－a n－1＝2，又∵a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，故a7＝1＋2×(7－1)＝13.
答案：A
2．(2014年石家庄模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝15，S5＝55，则数列{a n}的公差是( )
A.1
4
B．4
C．－4 D．－3
解析：∵{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，
∴2a3＝22，a3＝11，
∴公差d＝a4－a3＝4.
答案：B
3．(2014年沈阳质检)S n为等差数列{a n}的前n项和，a2＋a8＝6，则S9＝( )
A.27
2
B．27
C．54 D．108
解析：S 9＝a1＋a9
2
＝
a2＋a8
2
＝27.
答案：B
4．(2014年北京东城模拟)已知{a n}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a27＝a3a9，又因为数列{a n}的公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为a n＝20＋ (n－1)×(－2)＝22－2n，
所以S 10＝a1＋a10
2
＝5×(20＋2)＝110，故选D.
答案：D
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则
它的公差为( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6
解析：设a n ＝23＋(n －1)d ，则a 6>0，
a 7<0即⎩⎪⎨
⎪⎧
23＋5d >0，23＋6d <0
解得－435<d <－35
6
，
又因为d ∈Z ，所以d ＝－4. 答案：C
6．(2014年郑州模拟)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
6
是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A ．2
B ．8
C ．14
D ．20
解析：由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d (d >0)，则这五份分别是14－2d,14－d,14,14＋d,14＋2d .
又1
6(14＋14＋d ＋14＋2d )＝14－2d ＋14－d ，解得d ＝6.故14－2d ＝2，选A. 答案：A 二、填空题
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为________． 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝12，即3a 1＋9d ＝12，化简得a 1＋3d ＝4，故S 7＝7a 1＋7×6
2
d ＝7(a 1＋3d )＝7×4＝28.
答案：28
8．(2014年浙江五校联考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.
解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×3
2
d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1＋k －
⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1＋
－
⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10. 答案：10
9．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝5，b n ＝2a n ，则b 5＋2b 7的最小值为________． 解析：由题意可得，数列{b n }是等比数列，且各项均为正数，故b 5＋2b 7≥2 2b 5b 7＝2 2·2a 52a 7＝2 2·2a 5＋a 7＝2 2·2a 3＋a 9＝16. 答案：16
三、解答题
10．(2013年高考四川卷)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
解析：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，
解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2
－n
2.
11．已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .
解析：(1)依题意⎩⎪⎨
⎪⎧
a 5＝a 1＋4d ＝12
a 20＝a 1＋19d ＝－18
，
∴a 1＝20，d ＝－2，
∴a n ＝20＋(n －1)(－2)＝－2n ＋22.
(2)易知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11
，
∴n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝
n
－2n ＋
2
＝(21－n )n ；
n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)
＝110＋
n －
＋2n －
2
＝n 2
－21n ＋220.
综上所述，S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－n n ，n ≤11n 2
－21n ＋220，n >11.
12．(能力提升)已知a 2、a 5是方程x 2
－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是公差为正数的等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12
b n (n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .
解析：(1)∵x 2
－12x ＋27＝(x －3)(x －9)＝0，又数列{a n }的公差d >0，∴a 2＝3，a 5＝9，
∴d ＝
a 5－a 2
3
＝2，∴a n ＝2n －1.
∵T n ＝1－12b n (n ∈N *
)，∴b 1＝23.
当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12b n －1－1
2b n ，
∴b n ＝1
3b n －1，
∴b n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23
n .
(2)由(1)知c n ＝(2n －1)·23n ＝4n －23n ，
∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋332＋…＋2n －13n
， ∴13S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3
33＋…＋2n －13n ＋1，
∴23S n ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
32＋…＋13n －2n －13n ＋1
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－n ＋13n ＋1，
∴S n ＝2－2n ＋2
3n .。