矩阵论广义逆矩阵

(1) ；（2） ．
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于 的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设 ，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且 如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ， ；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意 矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设 ，则 的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵 才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
证由定义直接得到．
证毕
因为在Penrose方程(1)和(2)中，A与X的位置是对称的，所以X∈A{1，2}与A∈X{1，2}是等价的，即A和X总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质 =A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵．
引理6．1设 ， ，且rank(AB)＝rankA．则存在矩阵 ，使得A＝ABW．
定理6．6设 ， ， ．若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则 ．
证记 为A的第j列，则线性方程组Ax= 都有解(因为 就是解)．由于 是线性方程组的解，即
从而
故X∈A｛1｝
证毕
三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵
利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵．
定理6．7设 ，Y，Z∈A{1}．记X＝YAZ，则X∈A{1，2}．
利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．
定理6.5设 ， ， ．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是
(6.4)
其中 ， ，当矩阵方程有解时，其通解为
( 任意) (6．5)
证如果式(6．4)成立，则 是AXB=D的解．反之，如果AXB=D有解，则
将式(6．5)代入矩阵方程AXB＝D的左边并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定义，可推出等于D，这说明式(6．5)是矩阵方程AXB＝D的解．反之，设 是AXB＝D的任一解，则有
(10) 的充分必要条件是rankA=n．
证只证(6)，其余结论直接利用 的定义或仿定理6．4证明．
记 ，由定理6．9知X∈A{1，2，3}．余下只要验证X满足Penrose方程(4)．因为
上式右边是Hermite矩阵，故 ，即X∈A{1，2，3，4}，从而 ．
同理可证 ．
证毕
应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于 一般不再成立：
由于{1}-逆是最基本的，而 惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以 与 在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．
§6.2 {1}-逆及其应用
一、{1}-逆的计算及有关性质
利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．
定理6.2设 (r>0)，且有 和n阶置换矩阵P使得
定义6.2设 ，若 满足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为 ，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为 ，也称之为A的加号逆．
在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：
A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，
反之，若X∈A{1}，且rankX=rankA．由定理6.4知
rankX=rankA=rank(XA)
从而根据引理6.1，存在矩阵 ，使得X=XAW，故
XAX=XA(XAW)=XAW=X
即X∈A{1，2}．
证毕
为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到 与 的{1}-逆．
定理6．9设 ， ， ，则
定理6.15设 ， ，矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解为
（6.10）
证由式（6.10）可求得 对任意 ，有
于是 这表明式（6.10）给出的z都是Ax=b的最小二乘解。
又设 是Ax=b的任一最小二乘解，则有
与前面推导过程类似，有
从而 =0，即 ，可见 是线性方程组 的解，由于 ，根据定理6.13知，上述方程组有解，且通解为
例6．1已知矩阵 ，求 ．
解4．8已求得
，
使得
从而由式（6．1），得
利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．
定理6．3设 ，且 和 使得
则
，
（6．2）
证可知
令X=T S．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，
可设
由AXA=A，得
当 ，而 ， 和 为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A的所有{1}-逆．
其中∑=diag ，而 是A的非零奇异值．记
则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．
再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)
从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．
证毕
需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
它相当于在式(6．5)中取 ．故式(6．5)给出了AXB＝D的通解．
证毕
推论1设 ， ，则有
证由定理6．5可知，AXA＝A的通解为
( 任意)
令 ，代入上式得
证毕
上述推论用某一个给定的 ，便给出了集合A｛1｝的全部元素．
推论2设 ， ．则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是
(6．6)
其中A(1)∈A｛1｝．如果Ax＝b有解，其通解为
故 可见式（6.10）给出了Ax=b的全部最小二乘解。
由定理6.15的推证过程可得如下结论。
推论1设 ， ，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z是方程组 的解。
推论2设 ， ，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z是方程组 的解。
证若z是Ax=b的最小二乘解，由推论1知，z是 的解，于是
定理6．11设 (r>0)，且A的满秩分解为
A=FG( ， )
则
证由定理1．26知，rank( )=rankG=r，rank( )=rankF=r，从而 与 都是r阶可逆矩阵．记
容易验证X满足四个Penrose方程，故X= ．
证毕
推论设 ．则当rankA=m时，有
而当rankA=n时，有
例6．3求下列矩阵的Moore-Penrose逆：
证将A按列分块为A＝( )，考虑线性方程组
(j=1,2,…,n) (6．8)
因为
rank(AB)≤rank(AB， )=rank(AB， )
=rank[A(B， )]≤rankA=rank(AB)
所以rank(AB， )=rank(AB)，即式(6．8)的诸线性方程组都有解，设
(AB) (j=1，2，…，n)，W=( )
Y= {1，2，3}，Z= {1，2，4}
证由定理1.26知
rank( )= ，rank( )=rankA
根据引理6．1，存在 ，使得
或
于是
AYA=
即Y∈A{1}．由{1}-逆的性质知rankY≥rankA，又有
rankY=rank
故由定理6．8得Y∈A{1，2}．又因为
AY=
=
可见 ，故Y∈A{1，2，3}．
按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有 类．
以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．
定理6.1设 ，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一．
证设rankA＝r．若r＝0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程．若r>0，由定理4．19知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得
(7) 的充分必要条件是rankA=n．
证(1)～(3)由定义直接得到；
(4)rankA＝rank ；
(5)与(4)的证明类似；
(6)如果 ，则由(5)，得
反之，如果rankA=m．则由(5)知， =rankA=m．又 是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到 ，两边同乘 即得 ；
同理可证(7)．
证毕
二、{1}-逆的应用
二、 在解线性方程组中的应用
利用{1}-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题．由于 是特殊的{1}-逆，所以相应地有
定理6.13设 ， ．则线性方程组Ax=b有解的充分必
要条件是
且通解为
（ 任意）(6．9)
由式(6．9)可知，如果线性方程组Ax＝b有解，则当且仅当 ，即rankA＝n时解惟一．在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即