实验报告_特征值特征向量与线性变换
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学中，特征值和特征向量是矩阵与线性变换的重要概念。
特征值可以帮助我们理解线性变换对向量运动的影响，而特征向量则描述了这种影响的方向。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义对于一个n维向量空间中的线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v) = λv 成立，其中λ为一个标量，那么我们称λ为T的特征值，v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来获得。
设A是一个n×n的矩阵，并且v是一个非零向量，则有Av = λv 成立。
这是一个齐次线性方程组。
解该方程组即可得到特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的存在性和唯一性对于一个n×n的矩阵A，它的特征值存在和特征向量存在的条件是相同的。
一个矩阵最多有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量也可以有多个。
但是特征向量一定是线性相关的。
2. 特征值与特征向量的性质（1）特征值的和等于矩阵的迹如果A是一个n×n的矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则有λ₁+λ₂+...+λₙ = tr(A)，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
（2）特征值的乘积等于矩阵的行列式如果A是一个n×n的矩阵，则特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ₁*λ₂*...*λₙ = det(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
（3）特征值的倒数等于矩阵的逆矩阵的特征值如果A是一个可逆矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则A的逆矩阵的特征值为λ₁⁻¹、λ₂⁻¹、...、λₙ⁻¹。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中有广泛的应用。
下面列举了其中的几个应用领域：1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像压缩和降维等。
线性代数中线性变换与特征值
线性代数中线性变换与特征值线性代数是数学的一个重要分支，涉及了许多与线性空间和线性变换有关的概念与理论。
在线性代数中，线性变换和特征值是两个核心概念，对于深入理解矩阵和向量空间的性质与行为具有重要意义。
一、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，同时满足两个条件：保持向量加法和数乘运算的线性性。
也就是说，对于线性变换T和向量v，满足以下关系式：T(u + v) = T(u) + T(v)T(kv) = kT(v)其中u和v分别是向量空间V中的两个向量，k是一个实数。
线性变换有着许多重要的性质和应用。
它们可以用来描述许多实际问题，如投影变换、旋转变换和尺度变换等。
线性变换也可以用矩阵表示，这样就可以利用矩阵运算的性质来简化计算。
二、特征值与特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是描述线性变换行为的重要工具。
对于线性变换T和向量v，如果存在一个非零向量v使得下式成立：T(v) = λv其中，λ是一个常数，被称为特征值；v是一个非零向量，被称为特征向量。
特征值和特征向量具有许多重要的性质。
它们可以帮助我们理解线性变换的基本行为和性质。
特征值决定了线性变换对于特定方向的伸缩程度，而特征向量则表示了在这些方向上的移动。
特征值和特征向量也与矩阵紧密相关。
矩阵A的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A - λI)v = 0来得到，其中I是单位矩阵。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的一些重要的性质，如对角化和相似矩阵。
三、线性变换与特征值的应用线性变换和特征值在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 图像处理：线性变换可以用于图像的旋转、缩放和平移等操作。
特征值和特征向量可以帮助我们找到图像中的对称轴和重要特征。
2. 机器学习：线性变换和特征值可以用于降维和特征提取。
通过找到数据集的主成分，我们可以减少特征的维度，从而达到简化模型和提高计算效率的目的。
3. 数值计算：线性变换和特征值在数值计算中有着广泛的应用。
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和向量的运算以及数据分析中起着至关重要的作用。
本文将从理论和应用两个方面介绍线性变换和特征值的相关知识。
首先，我们来了解线性变换的基本概念。
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种映射，它保持向量的线性组合和加法运算不变。
在数学上，线性变换可以用一个矩阵来表示。
设有向量空间V和W，线性变换T表示从V到W的映射，如果对于V中任意的向量x和y，以及标量a和b，有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则T是一个线性变换。
线性变换具有许多重要的性质。
首先，线性变换可以保持向量的线性关系。
这意味着，如果x和y在V中线性相关，那么T(x)和T(y)也在W中线性相关。
其次，线性变换可以保持向量的零空间不变。
即如果向量x在V中是T的零空间向量，那么T(x)也是W中的零空间向量。
此外，线性变换还可以保持向量的长度不变，即它们是等距映射。
接下来，我们介绍特征值与特征向量的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，那么λ称为A的特征值，x称为相应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量描述了矩阵在某个方向上的缩放和拉伸效应。
它们在很多领域中都有广泛的应用，比如图像处理、物体识别和机器学习等。
对于一个n维方阵，它最多有n个不同的特征值。
如果一个特征值有k个线性无关的特征向量，那么该特征值的几何重数为k。
特征值的几何重数与代数重数不一定相等。
代数重数是特征值在矩阵的特征多项式中的重数，而几何重数则是对应特征值的特征向量的个数。
特征值与特征向量的求解通常涉及特征方程的求解。
特征方程是由矩阵的特征值和特征向量定义的方程。
设A是一个n阶方阵，λ是它的一个特征值，x是相应于λ的特征向量。
那么特征方程可以表示为Ax-λx=0，即(A-λI)x=0，其中I是单位矩阵。
特征方程的求根可通过行列式或特征值的性质进行计算。
除了特征值与特征向量的求解，特征值还可以用于矩阵的对角化。
线性代数的特征值与特征向量
线性代数的特征值与特征向量在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念。
它们的定义和性质在很多领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、工程等等。
特征值与特征向量是线性变换中的一种描述方法，它们能够揭示出线性变换对向量空间的影响。
通过求解线性变换对应的方程，我们可以找到这些特征值与特征向量。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
可以看出，特征向量v在经过矩阵A的作用之后，只改变了向量的模，而没有改变方向。
二、计算特征值与特征向量的方法计算特征值与特征向量的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法。
1. 特征多项式法根据特征值和特征向量的定义，我们可以得出以下定理：一个矩阵A的特征值λ是它的特征多项式det(A-λI)的根，其中I是单位矩阵。
因此，我们可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
举例来说，给定一个2阶方阵A，我们可以通过求解特征多项式det(A-λI)=0来找到特征值。
假设特征多项式为det(A-λI)=(a-λ)(b-λ)，则特征值λ1=a，λ2=b。
2. 可逆矩阵法另一种求解特征值与特征向量的方法是通过求解(A-λI)v=0的解。
如果(A-λI)是可逆矩阵，那么唯一的解是零向量。
如果(A-λI)不可逆，那么就存在非零向量v使得(A-λI)v=0，这时候v就是特征向量，λ是特征值。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：1. 特征值之和等于矩阵的迹（即矩阵对角线上元素的和），特征值之积等于矩阵的行列式。
2. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 如果特征值是复数，那么它的共轭也是特征值，对应的特征向量也是共轭的。
四、应用举例特征值与特征向量在线性代数的很多领域中有广泛的应用，下面举例说明：1. 对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
高等代数探索线性变换与特征值特征向量
高等代数探索线性变换与特征值特征向量在高等代数中，线性变换和特征值特征向量是两个重要的概念。
线性变换是指将一个向量空间的元素映射为另一个向量空间的元素的数学操作，而特征值特征向量则用于描述线性变换的性质和特点。
本文将探索线性变换和特征值特征向量的相关概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义线性变换是指对于一个向量空间V到自身的映射T，满足以下两个条件：1. 对于任意的向量u和v，以及标量k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)；2. 对于零向量0，有T(0) = 0。
线性变换可以通过矩阵乘法的形式进行表示，即T(v) = Av，其中A 是一个n×n的矩阵。
线性变换可以描述多种几何变换，如旋转、缩放、投影等，因此在计算机图形学、物理学等领域有广泛应用。
二、特征值和特征向量的定义给定一个n维向量空间V和一个线性变换T，如果存在非零向量v使得T(v) = λv，其中λ是一个标量，那么称λ是线性变换T的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们了解线性变换对向量空间的影响。
特征向量表示在该线性变换下不改变方向，只是进行拉伸或压缩，而特征值表示该方向上的拉伸或压缩的比例。
三、特征值和特征向量的计算要计算线性变换的特征值和特征向量，我们需要解特征方程Av = λv，其中A是线性变换矩阵，v是特征向量，λ是特征值。
特征方程的解是通过求解(A-λI)v = 0来实现的，其中I是单位矩阵。
解特征方程有两种方法，一种是通过求解(A-λI)v = 0的零空间，即线性方程组的解空间，来求得特征向量。
另一种方法是计算矩阵A的特征多项式，并找出其零点来求得特征值。
四、特征值和特征向量的性质1. 对于n阶矩阵A，它的特征值的个数不超过n个，而特征向量的个数必须等于n。
2. 对于特征值λ和它对应的特征向量v，如果存在特征值μ使得λ + μ = 0，那么对应的特征向量也满足T(v) = μv。
华工数学实验报告材料特征值与特征向量
《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程x k+1=Ax k；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。
猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？代基因型Aa01/211/21/20 aa0001/41/213．实验过程3.1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0.1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];X=[0.8;0.2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1.0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X; endformat long;X,n结果分析1.2.>>X20 =0.9999998092651370.000000190734863X =1.0000000000000000.000000000000000n =524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
线性代数中特征值与特征向量
线性代数中特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和线性变换中有着广泛的应用。
本文将针对特征值与特征向量展开探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：A*x = λ*x其中，λ为一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应特征值的特征向量。
特征值与特征向量通常是成对出现的，即一个特征值对应一个特征向量。
特征值与特征向量的定义为我们理解矩阵的性质和行为提供了重要的数学工具。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质：（1）特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
（2）特征值可以是复数，但特征向量通常是实数向量。
（3）特征向量的倍数仍为特征向量，即k倍的特征向量仍然是对应的特征向量。
（4）特征向量的长度可以为0，但特征向量不可能为零向量。
2. 特征值和特征向量的关系：（1）特征值和特征向量通过特征方程进行关联，特征方程的形式为：|A-λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
（2）特征值是特征方程的解，即满足方程|A-λI| = 0的λ即为矩阵A的特征值。
（3）特征向量在特征值所对应的方程中，为非零解。
通过以上性质我们可以发现，特征值与特征向量是矩阵的固有属性，它们具有重要的几何和物理意义，对于理解矩阵的本质和行为起着关键作用。
三、特征值与特征向量的计算方法计算特征值和特征向量是矩阵分析的关键步骤。
常用的计算方法有以下几种：1. 特征值与特征向量的直接计算：对于某些特殊的矩阵，如对角矩阵和上（下）三角矩阵，可以直接通过观察矩阵的对角元素或三角形式，得到特征值和特征向量。
2. 特征值与特征向量的求解算法：本征值问题是一个广义特征值问题，其计算方法较为复杂。
常见的求解算法有幂迭代法、Jacobi迭代法、QR方法等。
这些算法通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
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[-985/1393 -985/1393]，
计算得到第十一个矩阵的特征值为：1/2 +1/2i,1/2-1/2i，特征向量为：[2584/2889+1292/2889i],[2584/2889-1292/2889i]，
（4）eigshow菜单中的下一个矩阵，除了（2，1）位置上的元素替换为-1外，和上一个矩阵相同。将x完整地绕单位圆旋转一周。x和Ax平行过吗？A是否有某些实的特征向量？通过这个矩阵的特征值和特征向量，你可以知道什么？
（5）．研究菜单中的第六、七、八三个矩阵。对每种情况，尝试从几何上估计其特征值和特征向量，并使你猜测的特征值和矩阵的迹相容。通过令
（1）菜单顶部的对角矩阵为
初始时，选择这个矩阵，向量x和Ax均应沿着x轴的正向。这个初始位置给出了特征值-特征向量对的什么信息？试说明。将x沿着逆时针方向旋转，直到x和Ax平行，即它们均位于过原点的直线上。对第二个特征值-特征向量对，可以得到什么结论？对第二个矩阵，重复这个试验。通过观察，不经过计算，你怎样求得一个2×2对角矩阵的特征值和特征向量？
ax通过观察第一个矩阵和第二个矩阵可以不经过计算得到22对角矩阵2当你将x绕着单位圆旋转时x与ex在几何上重合因此单位矩阵e绕单位圆旋转出现x和ax是平行的角度
实验五：特征值特征向量
姓名：李思琴 20107109 周春雪 20107110 吴思 20107111
专业：机电三班成绩：
一、实验名称：特征值特征向量
二、实验目的：
1．利用MATLAB的函数eigshow理解方阵的特征值与特征向量的含义以及实特征值与复特征值的区别；
2．掌握利用Matlab函数eig求特征值与特征向量的方法；
3.验证方阵的特征值与特征向量的性质；
4. 理解利用概念求特征值与特征向量的方法的局限性。
三、实验准备：
1.特征值特征向量的概念与计算方法：设A是n阶矩阵，如果数λ和n维向量x使关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
（2）计算特征值的Matlab程序是基于QR算法的。也可以通过概念计算特征多项式的根求A的特征值。为确定A的特征多项式的系数，令 p=poly(A)，为了求p的根，可令 r=roots(p)并用format long 显示结果。哪一种计算特征值的方法更精确，是用函数eig还是求特征多项式的根？
五、实验结果
（7）研究菜单中的后面三个矩阵。应当注意后两个矩阵的特征值是相等的。对每一个矩阵，它们的特征向量的关系是什么？用Matlab计算这些矩阵的特征值和特征向量。
（8）在eigshow菜单中，运行最后一项，将随机生成一个2×2矩阵。尝试使用10次随机生成的矩阵，且对每一种情形，确定它们的特征值是否为实的。10个随机生成的矩阵中有实特征值的百分比是多少？随机生成矩阵的两个是特征值相等的可能性是多少？试说明。
4）、g（λ）是g(A)=a0A^m+a1A^m-1+……+amE的特征值，a是对应的特征向量，若：
g（A）=0，则g（λ）=0。
3. 利用定义求特征值与特征向量的方法的局限性：不易计算
四、实验内容
1.特征值的可视化。Matlab有一个工具eigshow，可以把线性变换的作用可视化。eigshow命令打开一个图形窗口，同时显示一个单位向量x和Ax，即x在A下的像。矩阵A可以通过eigshow命令的输入参数给出，或从图形窗口顶端的菜单中选择。为看到算子A在其它单位向量上的作用，将鼠标指向向量x的点，并拖动x延逆时针方向绕单位圆旋转。当x运动时，将可以看到像Ax的变化。在这个练习中，我们将例用eigshow工具，研究eigshow菜单中矩阵的特征值和特征向量。
第七个矩阵的特征向量的估计值为：[-1736/1909 250/601],[-671/1186-4216/5113]，真实特征向量为：[-1736/1909 250/601]’,[-671/1186 -4216/5113]；
第八个矩阵的特征值的估计值为：[151/280 2507/2977]，真实值为：[-1451/3990 517/555]，
-1559/5655 + 367/1270i -1559/5655 - 367/1270i
1972/13643 - 1572/6791i 1972/13643 +1572/6791i]
（1）方阵A的迹为：11，方阵A的特征值之和为：11，它们相等吗？回答：相等；
方阵A的行列式为：-554，方阵A的特征值的乘积为：-554，它们相等吗？回答：相等；
利用eig命令求得特征值为：7/8+253/765i,7/8-253/765i，特征向量为：[980/4801-701/1298i 881/1079],[980/4801+701/1298i 881/1079],两个结论一致吗？
结论：估计与计算的结果一致；
（7）对每一个矩阵，它们的特征向量的关系：，用MATLAB函数eig
421/1109 -1081/1549
472/1597 358/549
1003/2216 269/2793
3231/6428 -190/1101
489/1211 211/2525
Columns 3 through 4
409/1710 - 537/3518i 409/1710 + 537/3518i
-407/819 -407/819
2.特征值与特征向量有哪些性质：（1)、A与A’的特征多项式相同，特征值相同；
（2）、设λ为A的特征值，α为λ的特征向量，则：
1）、对任意的k有，kλ是kA的特征值；
2）、对任意正整数k有，有λ的k次方是A的k次方的特征值；
3）、若A可逆，ห้องสมุดไป่ตู้：
1/λi是A^-1的特征值，α是对应的特征向量；
|A|/λi是A*的特征值，α是对应的特征向量；
[X,D]=eig([0.25,0.75;1,0.5])
求第六个矩阵的特征值和特征向量。X的列为矩阵的特征向量，且D的对角元素为特征值。采用相同的方法检验其它两个矩阵的特征值和特征向量。
（6）研究菜单中的第九个矩阵。对它的特征值和特征向量，你可以得到什么结论？用eig命令求其特征值和特征向量，检验你的结论。
664/911 664/911985/1393]；
（3）的特征值为：1150/963,3657/31868,29/13353，特征向量为：
[979/10291145/2042 229/1468
934/3519 -1418/2163-1199/1611
269/1723 -2581/5103615/947]
Columns 5 through 6
549/878 549/878
-820/1737 + 433/14327i -820/1737 - 433/14327i
-12/233 - 409/10536i -12/233 + 409/10536i
-573/1589 + 307/2350i -573/1589 - 307/2350i
188/2797 + 347/1247i 188/2797 - 347/1247i
-241/735 - 637/2192i -241/735 + 637/2192i
593/7508 + 1364/2863i 593/7508 - 1364/2863i
363/1139 - 928/3673i 363/1139 + 928/3673i
计算得到第十二个矩阵的特征值为：1和1，特征向量为：[2889/3230-1292/2889],[-2584/28891292/2889]，
（8）10个随机生成的矩阵中有实特征值的百分比是：90 ％，
随机生成矩阵的两个是特征值相等的可能性是：不可能。
2. （1）的特征值为：-1,*,9，特征向量为：
（2）当你将x绕着单位圆旋转时，x与Ex在几何上重合，因此单位矩阵E的
特征值为：λ1=λ2=1，特征向量为：[0 -1],[1 1]；
（3）将x绕单位圆旋转，出现x和Ax是平行的角度：45°或225°，因此该矩阵的特征值为：λ1=-1，λ2=1，特征向量为：[-1 1],[1 1]；
（4）x和Ax平行过吗？回答：不平行，A是否有某些实的特征向量？回答：否，
（2）菜单中的第三个矩阵为单位矩阵E。当你将x绕着单位圆旋转时，x与Ex在几何上的比较是什么？在这中情况下，你可以得到关于特征值和特征向量的什么结论？
（3）第四个矩阵的对角线元素为0，且对角线下的元素为1。将x绕单位圆旋转并注意什么时候x和Ax是平行的。基于这个观察，求其特征值和对应的单位特征向量。通过将求得的特征向量乘以矩阵，验证 来检验你的答案。
第八个矩阵的特征向量的估计值为：[151/280 2507/2977]，真实特征向量为：[-1451/3990 517/555]；
（6）关于第九个矩阵的特征值与特征向量，
通过观察，你估计特征值为：7/8+253/765i,7/8-253/765i，特征向量为：
[980/4801-701/1298i 881/1079],[980/4801+701/1298i 881/1079],
3．随机产生的方阵A为： ，
方阵A的特征值为：4719/326，-2681/634，-3499/3160+ 1871/1263i，-3499/3160-1871/1263i，1475/994+545/818i，1475/994-545/818i。
特征向量为：Columns 1 through 2
[577/1500 -724/3545
1.特征值的可视化。