第5章矩阵对角化自测题答案 (4)

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线性代数第五版第五章常见试题及解答

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B2．若A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，则|A-E|=（） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B3．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B4．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B5．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 答案：C6．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（） A ．121 B ．71 C ．7 D ．12 答案：A7．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（） A ．23- B ．32- C ．32 D ．23答案：B8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B答案：D9.与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101答案：A10．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A 答案：D11．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（）A ．41B ．21C ．2D ．4 答案：A12.若A 与B 相似，则（） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B | 答案：D13.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D14．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4201答案：C15.下列矩阵是正交矩阵的是（） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122 答案：A16．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 答案：D17．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（） A ．A B ．D C ．E D ．-E答案：C18．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100，则A 的特征值为（）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1答案：B19．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2=E ，则必有（） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1答案：C20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4 答案：C21．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 答案：B22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T答案：A23.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （）A.4B.5C.6D.7答案：B24.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A*答案：A7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.249.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2B.0C.2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

矩阵论自测题答案完整版

自测题一一、解：因为齐次方程0211211=++x x x 的基础解系为T T T )1,0,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321=-=-=ααα，所以V 的一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00111A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01012A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10003A ，显然A 1，A 2，A 3线性无关.V a a a a A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀22211211，有211211a a a --=，于是有 322221112A a A a A a A ++=，即A 可由A 1，A 2，A 3线性表示，故A 1，A 2，A 3为V 的一组基；且dimV=3.二、解：（1）R V X X ∈∈∀λ,.21，有21212122112211(2211)(X X X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+）=+)(1X )(2X,λλλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11122112211)(X XX )(1X .又因任意两个二阶方阵的乘积、和仍为二阶方阵，故V V '=，即为从V 到V （自身）的线性算子，所以为线性变换.（2）先求的自然基22211211,,,E E E E 下的矩阵A ：2221121111020020100012211)(E E E E E +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2221121112200)(E E E E E +++=2221121121020)(E E E E E +++=2221121122200)(E E E E E +++=故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2020020210100101A . 显然, 从自然基到所给基4321,,,E E E E 的过渡过阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000110011101111C ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-10001100011000111C , 所以在4321,,,E E E E 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-40200202231201011AC C B .三、解：（1）不是内积. 因为)(,A A tr A A +=)(2)(22211a a A tr +==并不一定大于零.（2）因为 1),(10==⎰dt te g f t ,⎰===1021231)(),(dt t f f f ,⎰-===1212212)21()(),(e dt e g g g t,g f g f ⋅≤),( ,即 212)21(311-⋅≤e .四、解：（1）2)2)(1(--=-λλλA I ，2,1321===λλλ.行列式因子：1,1,)2)(1(1223==--=D D D λλ ; 不变因子：2321)2)(1()(,1)()(--===λλλλλd d d ; 初等因子：2)2(),1(--λλ .（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121~21J JJ A ; （3）对T X A I )1,1,0(0)(,1111==-=ξλ得;T X A I )1,0,1(0)2(,2222==-=ξλ得.再求22=λ的一个广义特征向量：由23)2(X X A I -=- 得 T )1,1,1(3=ξ .取 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-111110111,1111011101P P ,:,)(则令SinA A f =[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡===2sin 02cos 2sin )(,1sin )()(22111λλλJ f f J f , 故 12211)])([)],([(s i n -⋅=P J f J f P d i a g A λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111101112s i n 2c o s 2s i n 1s i n 111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+----+=2c o s 1s i n 1s i n 2c o s 1s i n 2c o s 2s i n 2s i n 1s i n 1s i n 2s i n 1s i n 2s i n 2c o s 2c o s 2s i n 2c o s .五、解：（1）130143014,83,3014max max 31<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∑=∞j ij ia A ，故 0lim =∞→k k A ；（2）∑∞=0k k x 的收敛半径为1，而1<∞A 若在其收敛域内，故∑∞=0k kA绝对收敛，且∑∞=--=01)(k k A I A .六、解：（1） 6,5,15,511====∞∞m m A A A A ；又因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-322232223511A ，571=∞-A . 所以 7557)(1=⨯==∞∞-∞A A A c o n d ；1,5,)1)(5(3212-===+-=-λλλλλλA I .故 5l i m )(==i iA λρ. （2）因为031221,0121≠-==∆≠=∆，故可分解. （3） -+-r B B B ,,均可取1-B .七、证：设T n T n y y y Y x x x X ),,,(,),,,(2121 ==分别为在两组基下的坐标，则CY X =，当Y X =时有：θ=-X C I )(，则0=-C I ，故C 有特征值1.反之，由于1是过渡过阵C 的一个特征值，设其对应的特征向量为X ，即X CX ⋅=1，由坐标变换公式知，在基1β，2β，n β, 下的坐标CX Y =，故有X Y =.八、证： A 对称正定，∴存在正交矩阵C ，使D diag AC C n T ==),,,(21λλλ其中特征值）n i i ,,2,1(0 =>λ.对θ≠∀X ，有CX Y =，使DY Y y y y AX X T n n T =+++=2222211λλλ ,其中θ≠y .令n nn z y z y z y λλλ1,,1,1222111===.于是θλλλ≠=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Z BZ Z Y n ,11121故Z Z Z DB B Z DY Y T T T T ==)(. 而)(P B C PZ BZ C Y C X T T T ====令，所以Z Z Z AP P Z AX X DY Y T T T T T ===)(.因Z 的任意性，知I AP P T =，即A 与I 相合.自测题二一、解： I a A a I A I A k k k k k k λλλ===,,,I a a a A a A a A a I a n n k n )(102210λλ+++=++++∀ , 其中R a a a n n ∈+++λλ 10，故取V 的基为I ，1dim =V .二、解：（1）从基2,,1x x 到基22,,1x x x x ++的过渡矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001C ，所以在新基下的坐标为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0111011C .（2）不是线性变换.因为≠++++++=+),,2()(33221121111b a b a b a b b a a βα+)(α)(β.（3）不是内积. 如0341212121<-=-==），），（，（），，（α，不具有非负性.三、解：（1）利用Schmidt 正交化方法，得T e )1,1,1(1=，T e )1,0,1(2-=，T e )61,31,61(3-=.（2）从321,,ααα到321,,e e e 的过渡阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=610021103421C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-6003102211C ，故所求⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-00000034211AC C B .四、解：（1）由于A 实对称，所以存在正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∧=n AQ Q T21. 故2)1+=∧==n n AQ Q A F F T F （；n A =)('ρ；n A =2；n A cond =2)(；1)(21=-mA .（2）取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000111 A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 α ，得n a A n A ===212,1,α,即有212ααA A >.五、解：（1）3)1(201335212+=+-+---=-λλλλλA I ；1321-===λλλ. 33)1()(+=λλD ，所以,不变因子为3321)1()(,1)()(+===λλλλd d d ；初等因子为3)1(+λ. 故A 的Jordan标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011J .（2）cos A 的Jordan标准形为：J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------)1cos(00)1sin()1cos(0)1cos(21)1sin()1cos(.六、证：（1）因173.01<=A ；故;0lim =∞→kk A（2）因A 有范数小于1，故∑∞=0k k A 绝对收敛；且其和的形式为1)(--A I .七、解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00032103101~230121121A ；取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=302121B ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32103101C ；则有BC A =（最大秩分解）；1)()(12==λλD DT T B B B B 1)(-+=, 1)(-+=T T CC C C ,则 +++=B C A ，所以, 方程b AX =的极小范数最小二乘解为b A X +=.八、证：（1）因为 A C A AC C A n T 2)1(,=-=-所以，则有,0)1(2>-=n C n必为偶数.（2）设T n x x x X X AX ],,,[,21 ==λ的分量中绝对值最大者为kx ，则X AX λ=的第k 个方程∑==nj jkj k x a x 1λ；∑∑==≤=nj jkjnj j kj k x a x a x 11λ；∑∑==<≤≤nj nj kj kj kja x x a 111λ，故有1<λ.自测题三一、解：（1）不是. 设B B A A T T -==,，则)(T T B A B A -=+=T T B A B A )()(+≠-（一般情况下），又)()(B A B A B A T +-≠-=+（一般情况下），即V B A ∈+.（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+++∀001)(111010 n n n n d a d a a D a D a I a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++100)(10 n n n n d a d a a ，故得一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,001 ，且n V =dim .二、解：（1）123)(22++=x x x,12)(+=x x, 43)1(+=x,在基1,,2x x 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411322003A .（2）)5)(1)(3(41132203---=-------=-λλλλλλλA I ,可见矩阵A 有三个不同的单根1，3，5，故 A 可以对角化，即可以对角化.（3）设度量矩阵33)(⨯=ij C C ，则⎰⎰====1010213124114151C dx x C dx x C , ⎰⎰=====1102223121331,31dx x C C dx x C ,⎰⎰=====10331032231,21dx C xdx C C . 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12131213141314151C .三、解：设3322113)(ααααx x x ++=，使得)(1α，)(2α，)(3α是标准正交的.∵)(1α，)(2α已标准正交化，∴（)(1α，)(2α）=（)(2α，)(3α）=0，)(3α=1，即得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+1022022232221321321x x x x x x x x x ；解得：32,32,31321==-=x x x ；即()().22313213αααα++-=.因为)(1α，)(2α，)(3α为标准正交基，且把标准正交基变为标准正交基，故为正交变换, 它在基321,,ααα下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32321323132313232A .四、解：由自测题一中第四题（2）知A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J ，相似变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110T . 由T ）321321,,(),,(αααβββ=，求得3V 的一组基为3213312321,,αααβααβααβ++=+=+=，则在该基下的矩阵为J .五、证：当0=X 时，000===F F X α；当θ≠X 时，0≠T X α ; 从而0>=FTX X α. ,C k ∈∀ FT FTX k kx kX αα()(===X k X k FT=α,FTFTFTT FTY X Y X Y X Y X ααααα+≤+=+=+)(=Y X +，因此 , X 是向量范数. 又因为FTT FTA X AX AX )()(αα==X AA X FFTFT=≤α，因此 , F A 与X 相容.六、解：)6(2-=-λλλA I ，特征根为0,6321===λλλ；则6)(=A ρ.由于A A 62=，故A 可以对角化, 即存在可逆矩阵C ，使1006-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C A ；1001)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C A Aρ. 故得.61001001lim )(lim 11A C C C C A A kk kk =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→ρ七、证： ⇒设1)(<A ρ，取0)](1[21>-=A ρε，对于矩阵A ，存在矩阵范数⋅，使121)()(<+=+≤A e A A ερ . 1)(<≤⇐A A ρ 便得证.八、证：（1） 1-====AB B A B A B A T T , 同理，有1-==T T T B A AB .（2） B A B A B A B A B A T T +=+=+--)(11=AB ()AB B A T -=+，得2即有,0=+B A 0=+B A .自测题四一、解：（1）21111011201010011)(E E E E E T +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，21222011200110101)(E E E E E T+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，33332200010001000)(E E E E T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=，所以在E 1，E 2，E 3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A . (2) 设有一组基321,,e e e ，从E 1 ,E 2 ,E 3到e 1 ,e 2 ,e 3的过渡矩阵设为C ,即C E E E e e e ),,(),,(321321=再设A 在e 1 ,e 2 ,e 3下的矩阵为B , 则 AC C B 1-=.要使B 为对角阵，即找一个可逆矩阵C ，使AC C 1-为对角阵. 因为2)2(211011-=-----=-λλλλλλA I ,对0=λ，求得特征向量()T 0,1,1-，对λ=2，求得两个线性无关的特征向量()T 0,1,1，T )1,0,0(.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011C ，得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-10002121021211C ，则AC C B 1-=为对角阵. 由()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100011011,,,,321321E E E e e e ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=011001010011211E E e⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=011201010011212E E e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==100033E e .二、证：易得()()()122111,,,1,αααααα==0=，()()()()()(),1,,0,,,1,,0,,332332221331======αααααααααααα即11)(α=e ，22)(α=e ，33)(α=e 也是标准正交基，故是正交变换.三、解：（1）令T Y )0,,0,,(21 ηξ=，由Y HX = ，知X HX Y ==；取 Y X YX Y X X Y X X --=--=0η ； Y YY 10=，构造初等反射矩阵 T I H ηη2-= ，则有Y Y X HX ==0.（2）)3)(5(16)1(12812--=--=--=-λλλλλλA I . 因此 3,521==λλ ，所以5m ax )(==i iA λρ；因为65)(<=A ρ，故矩阵幂级数收敛.四、解：由正交矩阵行（列）向量组标准正交，得12122=+⎪⎭⎫⎝⎛a12122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛b 02=+bc a四组解是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===212121c b a ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==212121c b a ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=212121c b a ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=212121c b a .五、解： (1){}∑====31162,4,6m ax m axi ijja A ；{}∑=∞===3153,4,5m ax m ax j ij ia A;{}9max =⋅=∞ij m a n A.因为 ()()221--=-λλλA I，2,1321===λλλ , 故2m ax )(==i iA λρ.（2） 031≠=∆，0521132≠==∆ ，故可以进行LU 分解 .（3）易得2)(,3)(==B R A R ，所以6)(=⊗B A R ，B 的特征根为2,121==μμ ，故B A ⊗的特征根为4,2,4,2,2,1231322122111======μλμλμλμλμλμλ.2)(B A ⊗的特征根为：1，4，4，16，4，16.（4）∵02≠=B ∴B 可逆，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B ，所以-+-r B B B ,,均可取为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B . （5）A 的Jordan标准形为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J . （6）对应于11=λ的特征向量T )11,0(，，对应于22=λ的线性无关的特征向量只有一个T )1,0,1(，再求一个广义特征向量T )1,1,1(. 令TT ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111101111T .令 AA f 1)(= ，则1))((11=λJ f ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=214121)((22λJ f . 12211))(),(()(-⋅⋅=T J J diay T A f λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111110111210041210001111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53322211141.六、解：（1）由X AX λ=，即0)(=-X I A λ，若λ不是A 的特征根，则0≠-I A λ，所以0)(=-X I A λ只有零解，故0dim =λV .若λ是A 的特征根，则0=-IA λ，所以0)(=-X I A λ有非零解.设r I A R =-)(λ，则r n V -=λdim .（2）设T I A ωω2-= 其中ω为单位向量1=ωωT .则)2)(2(2T T I I A ωωωω--=T T T T w I ωωωωωωωω422+--=I I T T =+-=ωωωω44.七、证：（1）设()由于二,0≠∈m R X 次型()()0≥==AX AX AX A X BX X T T T T ，所以B 为半正定矩阵.（2）当A 的列向量组线性无关时，若X ≠0，则AX ≠0，故())(AX AX BX X T T =>0 ，即A 为正定矩阵.八、证：（1）λ为非奇异，λ为A 的特征值，故λ≠0 ，而λ1为1-A 的特征值，据特征值上界原理, 有11-≤A λ，即11-≥Aλ. (2) 对0≠∀X ，由已知有BXA X XB A A 11)(--+=+BXA X 1--≥XB A X 1--≥XB A )1(1--=由已知11-<AB , 即 11<-A B ,故知0≠∀X , 0)1()(11>-≥+--X B A X B A A ；即对0≠∀X , 有0)(1≠+-X B A A ，即0)(1=+-X B A A 无非零解.故0)(11≠+=+--B A A B A A , 从而0≠+B A ，即A +B 可逆.自测题五一、解：(1) 在V 1中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4324324321x x x x x x x xx x A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101010011432x x x . 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001,0101,0011321E E E , 因321,,E E E 线性无关，由定义知，它们是1V 的基，且3dim 1=V .(2)[]212，BB L V = 因为21,B B 线性无关； 2dim 2=V .),,,,(2132121B B E E E L V V =+在22⨯R 的标准基下，将21321,,,,B B E E E 对应的坐标向量21321,,,,ββααα排成矩阵, 并做初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10000031000111001111~13100020102000101111),,,,(21321ββααα，可见 4)dim(21=+V V .由维数定理145)dim (dim dim )dim (212121=-=+-+=V V V V V V .二、解：(1) 因为，过渡阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111C ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-111111C ，所以α在α1，α2，α3下的坐标为=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-3211a a a C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--23121a a a a a .（2）设,21λλV V X ∈则有()X X A 1λ=与()X X A 2λ=，两式相减得()021=-X λλ，由于21λλ≠，所在地只有X=0，故[]0dim 21=λλV V .三、解：取[]3X P 中的简单基,,,,132x x x 由于)1(=,12x -,)(3x x x -=221)(x x +=, 33)(x x x +-= ,则在1，x ，32,x x 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101A . A 的特征值为：2,04321====λλλλ , 相应的特征向量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010,0101,1010,0101. 令 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1010010110100101C , 则Λ=-AC C 1. 再由()()C x x x f f f f 324321,,,1,,,= , 求得[]3x P 中另一组基：()34233221)(,1)()(,1x x x f x x f x x x f x x f -=-=+=+=，.四、解： (1) ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1101dt dt de Adt e AtAt)(1I e A A -=-.(2)当j i ≠时0)(=j i εε；故度量矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A 21.五、解：（1）,9,1,3,3121====∞m T XX XX X3,4,3===∞∞XX XX XX T m T FT .（2）)1()(23+=λλλD ，易得1)()(12==λλD D . ∴ 不变因子)1()(,1)()(2321+===λλλλλd d d ；初等因子)1(,2+λλ.A 的Jordan标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000010J .六、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000001101101112101101011行变换A ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101101,211011C B ，则 A=BC . 其中B 为列最大秩矩阵， C 为行最大秩矩阵 .（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--+121033312111016332)(11TT B B B B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==--+1221311251211301111001)(11T T CC C C ，所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==+++14527533014515112103312213112151B C A .（3） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==+10111501515151413145275330145151b A X .七、证明提示：类似习题4.1第16题（1）的证明.八、证明：AC A B A ++=⇒因为两边左乘矩阵A ，有C A AA B A AA )()(++=,故 AB=AC .AC AB =⇐因为，设+A 为A 的加号定则，两边左乘+A ，有AC A AB A ++=.自测题六一、解：（1）当V x x x x X ∈⎪⎭⎫⎝⎛=22211211时，由02112=+x x 得⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010000001212211X X X X .取 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321E E E , 因线性无关，则它们是V的一个基.（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=0110)(111B E E B E T T ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=0000)(222B E E B E TT ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=0220)(333B E E B E TT ；故在基321,,E E E 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201000000A .（3）将A 对角化，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110001020C 使 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2001AC C ；设所求基为321,,Y Y Y ，有：()()C E E E Y Y Y 321321,,,,=.得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=0110,0112,1000321Y Y Y，则在基321,,Y Y Y 下的矩阵为对角形.二、解： (1) )1(4963752542-=---+---=-λλλλλλA I,A 的特征根 1,0321===λλλ；行列式因子 )1()(23-=λλλD ，易得 1)()(12==λλD D ；不变因子 )1()(1)()(2321-===λλλλλd d d ；初等因子1,2-λλ.(2) A 的Jordan 标准形为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000010J ；(3) ∵ 01621511,0121≠-=--=∆≠-=∆；∴ A 能进行LU 分解.三、解：（1）.13214,1010,00022322122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t t t dt dA t dt dA dt A d .（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00032121312x x dX df .四、解：(1) 由)(21I B A +=,得I A A I A B I A B +-=-=-=44)2(,2222,显然, 当且仅当I B =2时，有A A =2.(2) 因B A B BA AB A B BA AB A B A +=+++=+++=+222)(,得,0=+BA AB 即 ,BA AB -=两端右乘B 得 BAB AB -=2, 从而 AB B AB )(-=,由于幂等阵B 的任意性，故0=AB .五、解： (1)∵ m x x x 21两两正交的单位向量.∴)(21m x x x A =为列满秩矩阵,故T T T A A A A A ==-+1)(.（2）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛=101k A k ，且∑∞=-12)1(k k k与∑∞=-1)1(k kk 都收敛；∴ ∑∞=-12)1(k kk A k 收敛.（3）∵ 762+-=-λλλA I，而)2()52)(76(37291912222234++++-=+-+-λλλλλλλλ；由于0762=+-I A A ；∴原式⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-3217231)2(1I A . （4）∵ A 的特征根为n)2,1(，，i i =；B 的特征根为m )21(，，，j j =λ；∴B A ⊗的特征根为j i λ n;2,1(，，i =m)21，，，j =.六、证： (1) 当0=A 时，设A 的最大秩分解为A=BC.则 C B C B B C B C B A A D ~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= . 而[]()H HHH B BB B B B B 1~-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=()[][]++-==B B B BB B H HH21211.[]++++++⋅==B B C B C D 21~[]++=A A 21.当A =0时上式也成立.(2) 经计算A a a a A )(2321213++-= . 于是A A a a a AXA =++-=-31232221)(，A a a a X 1232221)(-++-=是A 的一个减号逆.(3)()I e e e e e e A A A A AT A TA A T ===-=-,..,所以因为.故 A e 为正交矩阵.七、证：(1) 设 R V n ∈∀∈μλβα,,,,，则00),()(ααμβλαμβλαμβλα+++=+k)),(()),((0000ααββμααααλk k +++==λ)(α+μ)(β.所以是线性变换.(2)是正交变换),(),(αααα=⇔T T ,即 ),(),(),(),(2),(0020220αααααααααα=++k k , 得[]0),(2),(0020=+ααααk k .由n V ∈α的任意性，上式等价于0),(20=+ααk ,所以 22200212),(2n k +++=-= αα .八、证：由舒尔定理知，存在西矩阵U 及上三角矩阵()ij r R =，使得R AU U H =，因此有H H H R U A U =，从而得H H H RR U AA U =.又因为()()()H H H H RR tr U AA U tr AA tr ==, ①由于R 主对角线上的元素都是A 的特征值，故由①式得2112121ij nj ni ij ni i ni r r ∑∑∑∑====≤=λ, ②而②式端是R 的Frobenius 范数的平方，又因在酉相似（即R AU U H =）下矩阵的F 范数不变，所以211211ij ni ni ijni n i a r ∑∑∑∑===== ③综合②、③两式便得到所需证的不等式.又不等式②取等号当用仅当i≠j 时都有0=ij r ，即A 酉相似于能角形矩阵，也就是A 为正规矩阵.自测题七一、解：（1）由02421=-+a a a ，得基础解系)0,0,1,2(1-=α，)0,1,0,0(2=α，)1,0,0,1(3=α；所以V 1的一组基为321,,ααα，且3dim 1=V .因为),(),,(2132121ββαααL L V V +=+),,,,(21321ββαααL =，易知1321,,,βααα是21321,,,,ββααα的一个极大无关组，故4)dim (21=+V V ，21V V +的一组基为1321,,,βααα.（2）251433221121,ββξαααξξk k k k k V V +=++=⇔∈∀ .所以 025********=--++ββαααk k k k k . 解此方程组得），，133,2,2(),,,,(54321---=k k k k k . 所以21V V 的一组基为)3,2,21---=，（ξ，且1)dim (21=V V .二、解：（1）211111)(cE aE E +=221212)(cE aE E +=211121)(dE bE E +=221222)(dE bE E +=即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d cd c b a b a E E E E E E E E 00000000),,,(),,,(2221121122211211，故A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d cd c b a b a00000000 ; (2) 由,B A AB +=得到 I I B A AB B A AB =+--=--,0 ,即I I B I A =--))((, 显然I A -与I B - 均为阶可逆方阵，于是有II A I B =--))((,即 I I B A BA =+--,亦即0=--B A BA , 故B A BA +=,从而 AB BA =.三、解：（1）)2()1(232011012λλλλλλ--=---=-E A，)2()1()(23λλλ--=D ，1)(2=λD ， 1)(1=λD .)2()1()()()(,1)()()(,1)(22331221λλλλλλλλλ--=====D D d D D d d ，所以初等因子为：λλ--2,)1(2.A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011. （2）()n I A tr dAd=. （3）两边求导数，利用,At AtAe e dtd = 且,0Ie = 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=133131113A .四、解：（1）∑==iij ja A 5m ax 1；∑==∞jij ia A 5m ax .（2）122212221---------=-λλλλA I )5()1(2-+=λλ ,5,1321=-==λλλ；故 5m ax )(==i iA λρ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3122411B ，故∞-∞∞⋅=1)(B BB cond 54145=⨯⨯=. （3） 2,3==rankB rankA ；623)(=⨯=⊗B A rank .)4)(1(26521232--=-+-=----=-λλλλλλλB I ，所以4,121==λλ，故 B A ⊗的特征值为：20,4,4,5,1,1'6'5'4'3'2'1=-=-==-=-=λλλλλλ（4） ∵0≠A ，1-A 存在，∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===--+-3222322235112221222111A A A .五、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000032102101~321043211111A ， BC A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32102101102111. （2）∵ 2=rankA ；2):(=b A rank ；∴ b AX =相容.（3）∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=142062*********T AA ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--211030010502152011070)(T T m AA A A ， ∴ 极小范数解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1234101b A X m.六、解：（1）0max≠=x P A 2121022maxmax--≠≠===PAP yy PAP PXPAX XAX x x PP .（2）A 的4个盖尔圆为它们构成的两个连通部分为11G S =， G G G S 322=4.易见，1S 与S 2都关于实轴对称.由于实矩阵的复特征值必成共轭出现，所以S 1中含A 的一个实特征值，而S 2中至少含A 的一个实特征值.因此A 至少有两个实特征值.七．证：（1）设为正交变换，λ为的特征值 , 则有()0()≠=αλαα，),(αα=()(α,)(α)),(),(2ααλλαλα==.∵),(>αα, ∴12=λ,故 1±=λ ；（2）设λ为的任一特征根，α为的属于λ的一个特征向量，即0,)(≠=αλαα，则1,11)(2,1222-=⇒=⇒==λλααλα.记11=λ的特征子空间为,1V 12-=λ的特征子空间为1-V .对V ∈∀α有=α(+α)(α) 2 + (-α)(α) 2 ，而 (+α)(α) 2∈,1V (-α)(α) 2 ∈1-V ，所以 11-+=V V V. 又⇒∈∀-11V V α,)(αα=且,)(αα-=；{}{}{}{},28,36,24,14321≤-=≤-=≤-=≤=g g G g g G g g G g g G得 αα-= ，即0=α，故11-⊕=V V V .自测题八一、解：(1)在已知基)(),(),(321t f t f t f 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111323221A ;(2) (⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321),,1())(2t t t f ；基2,,1t t 且到基)(),(),(321t f t f t f 的过渡矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110102C ；则21321234321))(),(,)(())((t t C t f t f t f t f -+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.(3) 设度量矩阵33)(⨯=ij d D , 则⎰⎰=====11021121121,11tdt d d dt d ； ⎰⎰=====1012222311331,31dt t d dt t d d ； ⎰⎰=====1014333322351,41dt t d dt t d d ；故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=51413141312131211D .二、解：(1) 令矩阵,3)(I A A f -= 若A 的特征值为λ,则)(A f 的特征值是3)(-=λλf ,故)(A f n 的个特征值为32)2(,,3)6(,1)4(,1)2(-===-=n n f f f f .从而 ))32(531(3)(-⋅⋅-=-=n I A A f .(2) 2)1)(2(224023638--=+-+---=-λλλλλλA I ；特征根为1,2321===λλλ.行列式因子：23)1)(2()(--=λλλD ，1)()(12==λλD D ; 不变因子：2321)1)(2()(;1)()(--===λλλλλd d d ；初等因子： 2)1(),2(--λλ；故A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110002J .三、解：（1）由于A 实对称，所以易求得非奇异矩阵P ，使Λ=-AP P 1，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1001011001101001P ,于是12211-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P e t t At=12111000011--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡P P e P P t =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--+-+t t ttttt te ee e e e e e 2222222210101100110100121. (2) X ()()Tt t At e e X e t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22,0,0,0.四、解：（1）6=∞A ；2)4)(2(224)4(31213232-+=--=--=-λλλλλλλλλA I ；特征根为4,2321==-=λλλ；则 4)(=A ρ.（2）2)3(,3)(==R A R∴ 6)(=⊗B A R ；B 的特征根3,421==μμ，∴ B A ⊗的全部特征根为：-8，-6，16，16，12，12. （3）∵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-310125411B ，∴+-B B l ,可取1-B .五、解：α1()T 4,0,3=，构造⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3040504035113R ，113140430735A A R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=. 同理，构造R A R R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=5135165735,3404300055112323.令 ()==TR R Q 2313⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---012202015012161551, 则 A=QR.六、证：（1）∵ A 为对称正定矩阵， ∴≠∀α有：>Aα，当且仅当0≠α时，有0=Aα；对R R ∈∀有：A T AkAk k αααα==；βββαααβαβαβαA A A T T T A++=++=+),(2)()(AAAAβαβα+=+≤2)(, （2）∵ IAA AA AA A A T T T T ==--11))(())((；∴1)(-T T AA A 是A 的右逆.（3）因为1-=A ，且A 为正交矩阵，所以有T T T A I A A I A A AA A I )()(+=+=+=+,则 AI A I A A I T +-=+=+)(，即 0=+A I .故A 一定有特征根-1.七、证： ()(),1111A a a A I f n n n n -++++=-=--λλλλλ 因为由()0=A f 得()01111=-++++--I A A a A a A nn n n ,即A ()()I A I a A a A n n n n 112111+----=+++ ,故 ()()I a A a AAA n n n 12111111--++-+++-= .自测题九一、解：不是. 如取α=（1，2），β=（3，4），()().,4,3,2,1αββααββα⊕≠⊕=⊕=⊕则有.二、解：（1）令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A ，则V X AX X ∈=,)(.VY X ∈∀,，P k ∈∀，则=+=+)()(Y X A YX )(X +)(Y ，kkX =)()(X ，所以是线性变换. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(1111AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(1212AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(2121AE E，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(2222AE E ，设在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为B ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101B .（3）令),,,(4321ββββ=B 其中i β为B 的列向量，由于 2)(=B rank ，且21,ββ是4321,,,ββββ的一个极大线性无关组, 所以dim2)(=V ，且),()(21B B L V =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101),,,(1222112111βE E E E B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010),,,(2222112112βE E E E B ，且21,B B 为)(V 的一组基，得dimKer =4-dim (V)=2.令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00004321x x x x B ，得基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010,010121ξξ. 记 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1010),,,(,0101),,,(22221121141222112113ξξE E E E B E E E E B , 则ker),(43B B L =，且43,B B 为Ker的一组基.三、解：非负性. A=0时，A 0,0,0,0;0,0,0〉=〉≠===A A A A A A bHa bHa 从而时从而.相容性. 设A ，B ∈C n n ⨯，则有()()().B A BBAA AB BAAB AB AB bHabHa bHbHaa bHa ⋅=++≤+≤+=同样可验证齐次性与三角不等式.在此A 是矩阵范数.四、解：（1）FG A ，A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−11101101412101000011101101行.（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--+303241012120663)(11TTTF F F F F . ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--+11111001313003)(11T T T G GG G G . ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==+++54131473032410361F G A . （3）b b AA b A T =-=++,)1,1,0,1(，故b AX =有解，极小范数解为T b A X )1,1,0,1(0-==+.五、解：（1）因2,3==rankB rankA ，得623)()()(=⨯=⋅=⊗B rank A rank B A rank .令0)2)(7(=+-=-λλλB I ，特征值2,721-==μμ.所以B A ⊗的所有特征值为：4,14,14,2,7,7161514321=-=-=-='='='λλλλλλ；10976)14()2(3232-=-⋅-==⊗B A B A .（2）∵ B 的特征值2,721-==λλ，∴I B B B f 3)(2+-=的特征值453772'1=+-=λ；113)2()2(2'2=+---=λ.六、解： ,11120013221111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-e ββ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122212221312,111311111T I H ωωω 令,1102003131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= A H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101110210,11201221e A ββ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2011,01102,1121122222A H I H Tωωω 所以取QR A R H H Q =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=得211313,21212222131121.七、证：（1）令 ),,(11-=n L W αα ，其中11,,-n αα 线性无关.通过标准正交化，将11,,-n αα 变为W 的一个标准正交基11,,-n ηη .由已知可得1,,2,10,-=>=<n i i ηα;因而11,,-n ηη ，α线性无关.把α单位化，令ααη||1=n ，于是{}n n ηηη--,,,11 与{}n n ηηη,,,11- 均为V 的标准正交基.同时，由题设,1,,2,1,)(-==n i i i ηη，而n n ηη-=)(，则把标准正交基{}n n ηηη,,,11- 变为标准正交基，故为正交变换. （2）因为为正交变换，（n ααα,,,21 ）=（n ααα,,,21 ）A ，所以A 为正交矩阵.又 A 的所有特征值n λλλ,,,21 都为实数，故有,T T AA I A A ==即A 为实的正规矩阵，从而存在正交矩阵Q ，使得Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321λλλAQ Q T , 则A =()A Q Q Q Q A Q Q Y TTT T =Λ=Λ=Λ,，即A 为实对称矩阵，故A 是对称变换.八、证：（1）设A 的特征根是n λλ,,1 ，令λλ-=1)(f ，则AI A f -=)(的特征根是,1,,11n λλ-- 由题设i λ-1〈1，n i ,,1 =，故,111 --i λ即20 i λ，因此,,,,1,20n i i =λ进而n n 2||||01<<λλ ，然而n d A λλ 1||==，故n n d 2|,|||01<=<λλ .（2）设A 的三个特征根为321,,λλλ，则32132312123213)()(||)(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A I f ，由于A 是奇数阶正交方阵，且1||=A ，易证奇数维欧氏空间中的旋转变换一定有特征值1，因此不妨设11=λ，则1||32321===A λλλλλ，于是323231213211λλλλλλλλλλλ++=++=++，从而1||)(23-+-=-=λλλλλt t A I f .其中321λλ++=t 为实数（因32,λλ或均为实数或为一对共轭复数）.又由于正交方阵的特征根的模为1.故有22,)(32323232≤+≤-+≤+≤+-λλλλλλλλ,所以31132≤++≤-λλ，即31≤≤-t .由哈密顿－凯莱定理知：023=-+-I tA tA A .自测题十一、解：（1）因为,2=rankA 求得θ=AX 的基础解系()(),9,0,21,2,0,9,24,121T T -=-=ξξ即为V 的一组基，且dimV =2.(2) 设A 为P 上任一n 阶方阵，则)(21T A A +为对称阵，)(21T A A -为反对称阵，且A=)(21T A A ++)(21T A A -，得21V V P n n +=⨯. 又若21V V B ∈∀ , 则有T B B =, 且T B B -=, 从而 θ=B , 则{}θ=21V V , 故21V V P n n ⊕=⨯.二、解：（1）∈∀ξ⇒-)(1θθξ=)(.设ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为),,,(4321x x x x，则(ξ)在基4321,,,εεεε下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x A .且(ξ)θ=及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0004321 x x x x A , 其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=00000000101001011111111111111111A . 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010,0101；取)(1θ-中两个线性无关的解向量⎩⎨⎧+=+=422311εεξεεξ, 所以),()(211ξξθL =-，dim2)(1=-θ.（2）由于)(1θ-中有一组基1ξ,2ξ，所以取432121,,,,,εεεεξξ，易知4321,,,εεξξ线性无关，则4321,,,εεξξ构成V 的一组基.设由基4321,,,εεεε到基4321,,,εεξξ的过渡矩阵为C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-101001010010001,10100101001000011＝C C ,所以在4321,,,εεξξ下的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-22002200110011001AC C .三、解：（1）先由rankA=n ，即A 的列向量组线性无关，证A T A 是正定矩阵（见自测题四中第七题），再由习题2-1第7题知，R n 构成一个欧氏空间.（2）令C=A T A =（c ij ），()ij j i j i c C ==εεεε,所以自然基在该内积定义下的度量矩阵为C=A T A.四、（1）证：∵A 是幂收敛的，∴()()B A A A B n n n ===22lim lim lim .（2）解：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==014112B A ，1212<⇒-=-λλλB I , ∴ B 是幂收敛.∴ 原级数和为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--04141B I . （3）解：设A的最大秩分解式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===10010110012AI FG A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1002011001010101A A F F H H .显然()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--1001)(,10021211I GG F F H H,.0102102101010110021)()(1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----+F F F F GG G A H H H。

研究生矩阵理论课后答案4,5章习题

2 1 − 2 3 1 0 4 1 1 0 −1 2 1 −1 0
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 −1 −2 0 −2 0
→
1 1 1 −2 −1 −1
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 1 2 0 2 0
同一向量的三种范数之间的大小关系习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成习题#5维线性空间的任意向量x #5
‖x‖∞ ≤‖x‖2 ≤‖x‖1 ≤ n‖x‖∞ ≤ n‖x‖2 ≤ n‖x‖1 ≤ n2‖x‖∞ ≤ …
立
证: |,…,|x ‖x‖∞= max{|x1|, ,|xn|} ≤(Σi=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 |+…+|x ≤((|x1|+ +|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 |,…,|x ≤ n max{|x1|, ,|xn|} = n‖x‖∞
习题#5是正定矩阵,x ,x∈ 习题#5-6A∈Cn×n是正定矩阵,x∈Cn #5
是向量范数. •证明:‖x‖=(x*Ax)1/2 是向量范数. 证明:‖x‖=(x
解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B 是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵使得A=B B.则的上述表示式可写为: 使得A=B*B.则x的上述表示式可写为: (Bx)) ‖x‖=(x*Ax)1/2 =((Bx)*(Bx))1/2 =‖Bx‖2 其中‖‖ 是向量2 范数.再注意可逆矩阵B 其中‖‖2 是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性 Bx=0,即可直接推出非负性即可直接推出非负性. 质:x=0 ⇔ Bx=0,即可直接推出非负性. ‖kx‖=‖B(kx)‖2=|k|‖Bx‖2=|k|‖x‖ 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: ‖x+y‖=‖B(x+y)‖2≤‖Bx‖2+‖By‖2

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵与二次型一、是非题〔正确打√,错误打×〕1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. <√>2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. <√>3.n 阶正交阵A 的n 个行<列>向量构成向量空间n R 的一个规X 正交基. <√>4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. <√>5.若A 是正交阵,Ax y =,则x y =. <√>6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. <×>7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. <×>8.n 阶矩阵A 在复数X 围内有n 个不同的特征值. <×>9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . <√>10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值<其中)(λf 是λ的多项式>.<√>11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值,1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. <×>12.T A 与A 的特征值相同. <√>13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. <×>14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足:B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. <√>15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. <√>16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. <√>17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. <√>18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. <√>19.实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵. <×>20．已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. <×>21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵. <√>22．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.<×>23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化为规X 型.<×>二、填空题1．向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交.Ans:()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans:1或-13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________.<-1,2,3>4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A ___________,=+++nn a a a 2211_____________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3,λ,若行列式482-=A ,则____=λ.<-1>6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-,则=x -1或2 .8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1,则2008A =E .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.<-1,见教材>10.设A 为2阶矩阵,1α,2α是线性无关的二维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1.11、设A 为正交矩阵,λ为A 阵的特征值,则λA E -=_____0___.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为_____.<2>13.<3分>二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为标准型216y f =,则a =_____.<a =2>14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______；二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2,则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为_____时f 为正定, a 的取值为_____时f 为负定. <1;2- a a >16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面三、选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一特征值为< C >.<A> 22a ； 22a - ； <C>22-a ； <D>22--a .2.若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的特征向量最多有<A >个线性无关.<A> 3个； 1个； <C> 2个； <D> 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是<A>正交矩阵 对称矩阵<C>退化矩阵 <D>满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量,则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为< D >.<A>α1-P ； αP ； <C>αT P ； <D>α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定,则下列结论不正确的是< C > .(A) A 的特征值全为正； A 的一切顺序主子式全为正； <C> A 的元素全为正；<D>对一切n 维列向量x ,Ax x T 全为正.6.下列各式中有<A >等于22212136x x x x ++.<A> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ； ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； <C> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ； <D> ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 7.矩阵〔 C 〕是二次型22212136x x x x ++的矩阵. <A>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421；<C>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331； <D>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151；8.设A 、B 为同阶方阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,且BX X AX X T T =,当〔 D 〕时,B A =. <A>)()(B r A r =； A A =T ；<C>B B =T ； <D>A A =T 且B B =T ；9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是〔 D 〕. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵C,使C C A T =； <C>负惯性指标为零； <D>各阶顺序主子式均为正数； 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是. <A>非正定二次型；正定； <C>负定； <D>不定；11．正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是〔 B 〕.<A>非对称且左右对角线上元素都是正数；对称且各阶顺序子式都是正数；<C> 对称且所有元素都是正数；<D> 对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是< C >.<A>0>k ；02>k ；<C>不存在； <D>0<k ；13．阶矩阵A 为正定的充分必要条件是< C >. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵,使A=C C T ；<C> A 的特征值全大于0； <D> 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ；14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=,当时是正定的.<A>k>0； k>2； <C> k>1；<D> k=1；15.设A ,B 为正定矩阵,则< C >.<A>AB 、B A +都正定； AB 正定,B A +不一定正定； <C>AB 不一定正定,B A +正定； <D>AB 和B A +都不一定正定；16.设A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是<C> <A>实对称矩阵 正定矩阵<C>可逆矩阵 <D>正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B<A>合同, 且相似. 合同, 但不相似 .<C>不合同, 但相似. <D> 既不合同, 又不相似.[ B ]18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为〔 D 〕 <A> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <C> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112<D> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是<A> 01≠λ 02≠λ <C> 01=λ <D>02=λ [ B ]20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 < C > <A> 所有k 级子式为正),,2,1(n k = A 的所有特征值非负 <C> 1-A 为正定矩阵 <D>秩<A >=n。

东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习2014

P240第11题: xT(ATA)x 正定 x≠θ, xT(ATA)x >0 <=>∨ x≠θ, (Ax)TAx >0 <=>∨ x≠θ, ||Ax||2>0 <=>∨ x≠θ, Ax ≠θ <=>∨ < = > Ax =θ没有非零解 < = > r(A) = 未知元的个数 = A的列数
(5)
0 0 0 2
1 1 0 1
总结: 假设A与B同阶 A与B等价 A与B相似秩相等秩相等行列式相等迹相等
特征值相等
A与对角阵Λ相似 k重特征值有k个线性无关的特征向量特征值互异 A与对角阵Λ相似 A为实对称阵 A与对角阵Λ相似
实对称矩阵 A与B相似
实对称矩阵 A与B合同
特征值相同
正负惯性指数相同正负特征值个数相同
1
M正定 1, …, s, 1, …, t > 0 A, B都正定.
10. P1-1A1P1=B1, P2-1A2P2=B2 -1 B A P P 1 1 => 1 = 1 B2 A2 P2 P2
P205 14.
1, 2 线性无关！
15. 有k (k>1)重特征值也有可能线性相关！只要k 重特征值对应k个线性无关的特征向量即可！再次提醒：对角阵的对角元一定要与相似变换矩阵 P 的列向量对应！ 15. (5) 若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式 18. P-1AP= => A = P P-1 19. 只是利用迹和行列式相同，得不到结果！还需利用“特征值相同”！
例若A=(α1, α2,„,αn)是n阶正交矩阵, 则 B=α1α1T+ α2 α2T+… +αrαrT (1≤r≤n)的特征多项式是?

线性代数练习题——矩阵相似对角化

3 2
0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟ =⎜ 2 2⎟ 4⎠ ⎝1 − 2 2 ⎠ 0⎞ ⎛ 1 ⎟⎜ 4⎠ ⎝ −1 0⎞ ⎟ 2⎠
⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0 ⎞ =⎜ ⎟= ⎜ 3 3⎟ ⎝ − 7 8 ⎠ ⎝1 − 2 2 ⎠
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13
………………………………
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 A = A A =⎜ 9 9⎟⎜ ⎝1 − 2 2 ⎠ ⎝ − 1
10 9
Hale Waihona Puke 0⎞ ⎟ 2⎠0 ⎞ ⎛ 1 =⎜ 10 10 ⎟ ⎝1 − 2 2 ⎠
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8.设A是n阶正交矩阵，且 A = −1 证明－1是A的一个特征值。证：事实上，由于
AT A = E ，于是
AT = A = −1
− E − A = − AT A − A = − AT − E A
∴
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11、判断以下说法是否正确：n阶方阵A可对角化的充要条件是： ① A有n个相异的特征值； ② AT 有n个相异的特征值； ③ A有n个不相同的特征向量； ④ A有n个线性无关的特征向量。 ⑤ A的任一特征值的代数重数与其线性无关的特征向量的个数相同。 ⑥ A对于每一个ni 重特征值 λi (i = 1,2,L m ) 矩阵 λi E − A 的秩是 n − ni 。
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0 ⎞⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 ⎟⎜ 10 ⎟⎜ 1 ⎠⎝ 0 2 ⎠⎝ − 1
0⎞ ⎟ 1⎠
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此题亦可用递推方法计算： A2=AA
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 0 ⎞ =⎜ ⎜ − 1 2 ⎟⎜ − 1 2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化扩展例题及求解

的一个特征向量为

1
,求
a,
b,
c
和
的值。
1
[分析]当 A 是抽象的方阵时，求 A 的特征值、特征向量通常需要考虑特征值、特征向量的定
义或等价定义。本题主要考察 A* 和 A 的特征值之间的关系，以及它们有共同的特征向量。
[解]由于 A* ， AA* A E E ，对 A* 两边同时左乘 A ，即有：
1 2 3 2 2 0 fA() | E A | 1 4 3 1 4 3
1 a 5 1 a 5
10 0 ( 2) 1 3 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 1 5
[例
9]设
A

1
4
3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。
1 a 5
[分析]本题主要考察可对角化的条件：n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关
的特征向量，即 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量。
[解]先求特征方程。
（１）如果 2 是特征方程的二重根,则 2 满足方程 2 8 18 3a 0 ,故
a 2 ．
1 2 3
当 a 2 时,
A
的特征值为
2,2,6,矩阵
2E

A

1
2
3

的秩为
1,故

2
对应有两
1 2 3
个线性无关的特征向量,从而 A 可以相似对角化。
[证]设是 AmnBnm 对应于特征值的特征向量，则

高等代数第五章自测题

。
2 4．实二次型 f x1 , x2 2 x12 2 x2 2 x1 x2 经非退化线性替换化成的规范形为
。
1 0 5．若实对称矩阵 A22与矩阵合同，则二次型 X AX 的标准形是 0 2
6.二次型 f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 xy xz yz 的矩阵是。
若矩阵c可逆使则必成立aa与b有相同特征值ba与b相似有相同的规范形bx二次型a为实对称矩阵正定的一个充要条件是b存在可逆矩阵c使得ac成为对角矩阵a可逆d存在可逆m使得ac其秩等于1d其秩等于2二次型的标准形是已知矩阵a正定则矩阵都是正常数a不是对称矩阵b是正定矩阵c必是正交矩阵d是奇异矩阵三判断题1
2．设A是正定矩阵，证明A-1 、A2也是正定矩阵.
3
k1k2b 2 k2 c
（D）是如果A与B合同，则秩（A）=秩（B），反之，若秩（A）=秩（B），则A与B合同。（）
1 2 x1 1 2 4．二次型 f ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) 的矩阵为 3 4 x 3 4 2
。
（C）当 B B时, 二次型X AX与X BX 有相同的规范形（D）当 B B时, 有A A 1 2. 二次型 f X AX （A为实对称矩阵）正定的一个充要条件是（）（A） det A >0 （B）存在可逆矩阵C，使得 C AC成为对角矩阵
1
（C） A可逆
标准形，写出相应的非退化线性替换，并利用矩阵演算所得结果。
2 2 2．若二次型 f 2 x12 6 x2 tx3 2 x1 x2 2 x1 x3 正定，求实数t的取值范围.
1 10 10 3．设矩阵A= 0 2 8 ，试判别二次型 f X ( A A) X 是否正定？ 3 0 0

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内容提要：一、方阵的特征值与特征向量 1、定义：)0(≠=ξλξξA 2、特征值与特征向量的求法（1）求特征多项式E A λ-的全部根，它们就是A 的所有特征值。

（2）对于A 的每个特征值λ，解方程组0)(=-X E A λ，A 的属于λ的全部特征向量就是该齐次线性方程组的全体非零解。

3、特征值与特征向量的性质（1）若λ是A 的特征值，则n n n n a a a a f ++++=--λλλλ1110)( 必为=)(A f E a A a A a A a n n n n ++++--1110 的特征值。

（2）设A 为可逆矩阵，λ是A 的特征值，则0≠λ，并且λ1是1-A 的特征值，λA是*A 的特征值。

（3）若n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，n λλλ ,,21是A 的n 个特征值，则 1) ）的迹（trA 221121A a a a nn n →+++=+++ λλλ 2)A 21=n λλλ（4）设A 为n 阶方阵，则A 的属于不同特征值的特征向量必线性无关。

二、相似矩阵1、定义：B AP P =-1，记作B A ~。

2、相似矩阵的性质（1）相似矩阵具有相同的秩和相同的行列式。

（2）相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。

3、方阵对角化（1）方阵相似于对角矩阵的条件：n 阶方阵A 相似于对角矩阵⇔A 的k 重特征值λ有k 个线性无关的特征向量。

（2）求与方阵A 相似的对角矩阵及相似变换矩阵。

《线性代数》单元自测题答案第五章矩阵对角化一、填空题：1．设方阵A 的行列式0=A ，则 0 一定是A 的特征值．分析设n λλλ ,,21是A 的特征值，因为A 21=n λλλ ，若0=A ，则n λλλ 21 中至少有一个等于0.2．设A 为3阶方阵，A 的三个特征值为1，2，3，则A A 42-= -36 ．分析设A A A f 4)(2-=，因为A 的三个特征值为1，2，3，于是)(A f 的特征值为,3141)1(2-=⋅-=f ,4242)2(2-=⋅-=f ,3343)3(2-=⋅-=f故A A 42-=.36)3)(4)(3(-=---3．设A 的每行元素的和均为6，则 6 必为A 的一个特征值，及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 为一个属于此特征值的特征向量．分析设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，则 .1116666111111212222111211212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 4. 若方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=26025041a A 可对角化，则=a -2 ．分析 )23)(1(2625)1(26025041||2+--=-----=------=-λλλλλλλλλλaE A)2()1(2---=λλ 故A 的特征值为.2,1321===λλλ当121==λλ时，解方程组0)(=-X E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00036024040321x x x a 。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00020012036024040a a E A若方阵A 可对角化，则.2021)(-=⇒=+⇒=-a a E A r 二、单选题：1．设3阶方阵A 与B 相似，且A 的3个特征值为2，3，4。

则161-+B E =（ B ）（A ）12；（B ）365；（C ）65；（D ）85．分析因为A 与B 相似，且A 的3个特征值为2，3，4，故B 的特征值也为2，3，4，从而1-B 的特征值为41,31,21，E B 611+-的特征值为1256141,216131,326121=+=+=+，于是161-+B E .3651252132611=⋅⋅=+=-E B 2．设A 为3阶方阵，A 的三个特征值为3，2，1，其对应的特征向量依次为,,,321ααα),,(321ααα=P ，则AP P 1-=（ D ）（A ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200030001；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300010002；（C ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020001；（D ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020003． 3. 设)(ij a A =是一个3阶方阵，且0332211=++a a a ，又已知A 的两个特征值为2,121==λλ，则E A 2+=（ D ）（A ）3；（B ）2；（C ）12；（D ）-12．分析设A 第三个特征值为3λ，则.302133322113321-=⇒=++=++=++λλλλλa a a 从而E A 2+的特征值为123,422,321-=+-=+=+，故E A 2+.12)1(43-=-⋅⋅= 三、计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=322232223A 的特征值与特征向量．解：因A 的特征多项式λλλλλλλλλ-----++---=-327237227322232223||321c c c E Aλλλ-----1000102271312r r r r 0)1)(7(2=--=λλ ⇒特征值为71=λ，132==λλ．1）当71=λ时，解线性方程组0)7(=-x E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000422242224321x x x 。

得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111ξ．所以，A 的属于71=λ的特征向量为11ξk （01≠k ）。

2）当132==λλ时，解方程组0)(=-x E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222222222321x x x 。

得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ．所以，A 的属于132==λλ的特征向量为3322ξξk k +（32,k k 不全为零）．2.判断⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=324010223A 是否可对角化，若可对角化，则求出对角矩阵与相似变换矩阵．解因A 的特征多项式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101014222422247行E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111222222222行E A)1()1()1)(1(32401022322-+-=-+-=------=-λλλλλλλλE A所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=+x E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000224000224321x x x得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征值121-==λλ有两个线性无关的特征向量，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-x E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000424020222321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+00000021211224000224行E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000010101424020222行E A3.把下列线性无关的向量组进行Gram Schmidt -正交化．()()()1231011,1101,1110T T Tααα=-=-=-．解：令 11βα=2122111T T αββαβββ=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31321311101321011222231111333ββββαββββααβT T T T --=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=545353513132131521101320111 则1β，2β，3β是正交向量组，再把它们单位化，令 )3,2,1(==i u iii ββ，得 123111033111,,12331535114μμμ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1u ，2u ，3u 即为所求。

四、证明题：证明若0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可对角化，则必有0=+y x ．证明：因)1()1(011102+--=---=-λλλλλλy xE A ，故A 的特征值为1,1321-===λλλ.。

当121==λλ时，解方程组0)(=-x E A ，因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-0000010********x y y x E A 因此若A 可对角化，则0)(=-x E A 的基础解系中必含有2个解向量，于是必有,1)(=-E A R 从而有0=+y x 。