《大学物理》课后解答题 第三章刚体定轴转动

第三章 刚体定轴转动
一、思考讨论题
1、刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用它上面的力是否一定很大？作用在它上面的力矩是否一定很大？
解：刚体转动时，它的角速度很大，作用在它上面的力不一定大，作用在它上面的力矩也不
一定大。

ω增大，则增大增大，
M ， βω
I dt
d I ==， 又⨯= 更无直接关系。

与无直接关系，则有关，与与ωωβF M 2、质量为m =4kg 的小球，在任一时刻的矢径j t i t r 2)1(2
+-=，则t s =3时，
小球对原点的角动量=？从t =1s 到t s =3的过程中，小球角动量的增量=？。

解：角动量)22(]2)1[(2
t m j t i t dt
d m m +⨯+-=⨯=⨯= t s =3
j i t m j t i t 80)26(4)68()22(]2)1[(2
3-=+⨯+=+⨯+-==
j t m j t i t 16)22(42)22(]2)1[(2
1
-=+⨯=+⨯+-==
64)16(8013-=---==∆==
3、如图5.1，一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一辆玩具小汽车相对于台面由静止开始启动，绕作圆周运动，问平台面如何运动？若经过一段时间后小汽车突然刹车，则圆台和小汽车怎样运动？此过程中，对于不同的系统，下列表中的物理哪些是守恒量，受外力，合外力矩情况如何？
解：平台绕中心轴转动，方向与小车转动方向相反。

小车突然刹车，圆台和小车同时减速、同时静止。

分别考虑小车和圆台在垂直和水平方向的受力。

图
5.1
t
f n
小车
圆台
4、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其中各点都绕轴作圆周运动，试问刚体上任一点是否具有切向加速度？是否具有法向加速度？法向加速度和切向加速度大小是否变化？ 解：刚体上的任何一点都有切向加速度。

也有法向加速度。

大小不发生变化。

5、在一物体系中，如果其角动量守恒，动量是否也一定守恒？反之，如果该系统的动量守恒，角动量是否也一定守恒？
解：在一物体系中，角动量守恒，动量不一定守恒。

例如题4中的小车与圆台组成的系统。

反之，系统的动量守恒，角动量也不一定守恒，除非是单个质点。

二、课堂练习
1、如图5.2所示，一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R 的滑轮（质量分布均匀），一质量为m 的人抓住绳子的一端A
，绳子的另一端系一个质量为m/2的重物B ，绳子与滑轮无相对滑动，试求： （1
） 当人对绳子相对静止时，B 物上升的加速度；
（2） 当人相对于绳子以匀速u 上爬时，B 物上升的加速度； （3） 当人相对于绳子以加速度a 0上爬时，B 上升的加速度。

解：
方法一、用隔离体法，分别研究人、物和滑轮的运动。

（1）分别受力分析 A 、 B 、
a a a ==21
1T f =1
a mg 2 2a
1T 2 R a 2=
ma ma T mg ==-11
ma ma mg T 2
1212122==-
R a mR R T T 2
2214121)(⋅⋅=- 即 ma ma T T 8
181221==- 联立以上各式得：g a 13
4
= （2）同（1）
（3）021a a a -= 带入得0213
8134a g a +=
方法二、选人、滑轮与重物为系统
（1）、对O 轴，系统所受的外力矩为： 设u 为人相对绳的匀速度，v 为重物上升的速度，则系统对O 轴的角动量为：
根据角动量定理：dL
M dt
=
，得 11328d mgR mRv mRu dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
又因：
0du dt =，dv a dt =得：4
13
a g =
（2）、同（1）。

（3）2048
1313
a g a =
+
2、如图5.3所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，圆盘与粗糙水平面接触，可绕通过其中心O 的竖直轴转动，一个质量为m （m <<M ），速度为
v 0的子弹沿圆周的切向射入盘的边缘，并嵌在里面，如图所示。

若圆盘与水平面的摩擦系数为μ，试求： （1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；
图5.3
Rmg g m R Rmg M 212=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=()ωJ v u Rm v m R L +--⎪⎭
⎫
⎝⎛=22421R m J ⎪⎭⎫ ⎝⎛=mRu
mRv L -=⇒813
Rmg M 21=mRu mRv L -=8
13
（2）经过多长时间后，圆盘停转；
（3）这时圆盘共转过多少角度？（以弧度表示） 解：子弹和圆盘为一个系统 （1）碰撞时角动量守恒
2201
()()2
mv R J J MR mR ωω'=+=+
所以 00
21
()2
mv mv MR
M m R ω=
≅
+ （2）圆盘面密度2
R
M
πσ=
，则圆盘上半径为r-r+dr 的细圆环所受的摩擦力矩： (2)f dM grdm gr rdr μμσπ=-=-⋅ 2330
2
2223
R
f M
g r dr g R g R gMR μσπ
μσπμσπμ=-⋅=-=-=-⎰
由角动量定理：00f M t J mv R ω=-=-，得：0
32mv t Mg
μ=
（3）由动能定理：
22
22220
022********f m v m v M J MR M R M
θω-=-=-⋅⋅=-
所以 22
0232m v M gR
θμ=
3、如图5.4所示，质量分别为M 1，M 2，半径分别为R 1，
R 2的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平
行。

原来它们沿同一转向分别以ω10、ω20的角速度匀速转动，然后平移二轴使它们的边缘相抵触，如图所示。

求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度ω1，
ω2。

解：两柱体从接触到稳定状态只受摩擦力。

规定两个圆柱旋转与受力矩的正方向均为原来的顺时针方向，由角动量定理：
111110()fR dt R f dt J ωω-=-=-⎰⎰
20图5.4
222220()fR dt R f dt J ωω-=-=-⎰⎰
由上两式得：1211021220()()J R J R ωωωω-=-
而转动惯量分别为： 222221112
1,21R M J R M J ==
可得：1111022220()()M R M R ωωωω-=-
稳定后，两柱体接触的线速度相等，即：2211R R ωω-=，联立可得： 11102220
1121()M R M R M M R ωωω-=
+
222011
10
2122
()M R M R M M R ωωω-=
+
显然，达到稳定后，两圆柱体反向转动。

4、如图5.5所示，弹簧的倔强系数k =2N/m ，弹簧和绳子的质量忽略，绳子不可伸长，不计空气阻力，定滑轮的半径R =0.1m ，绕其轴的转动惯量为01.0=J kgm 2。

求质量1=m kg 的物体，从静止开始（这时弹簧无伸长）落下1米时的速度的大小为多少？（取10=g m/s 2。

） 解：
方法一、分别受力分析如图
1122mg T ma a RT RT J k T kx -=⎧⎪
⎪
-=⎨⎪
=⎪⎩
2
()J
mg kx m a R =++
dx dv v dt dv )kx mg (J mR R a ==++=2
2 )kL mgL (J
mR R dx )kx mg (J mR R v l
2
220
222212
1
-+=++=∴⎰
922
2
22
=-+=∴)kL mgL (J
mR R v s m v 3= 方法二、 机械能守恒 未下降时 00=E
下降L 时：mgL kL )R v (J mv E -++=
2222
1
2121 0E E =得 922
2
22
=-+=)kL mgL (J
mR R v ，得 s m v 3=。