《大学物理》课后解答题 第三章刚体定轴转动
第三章 刚体定轴转动
一、思考讨论题
1、刚体转动时,若它的角速度很大,那么作用它上面的力是否一定很大?作用在它上面的力矩是否一定很大?
解:刚体转动时,它的角速度很大,作用在它上面的力不一定大,作用在它上面的力矩也不
一定大。
ω增大,则增大增大,
M , βω
I dt
d I ==, 又?= 更无直接关系。
与无直接关系,则有关,与与ωωβF M 2、质量为m =4kg 的小球,在任一时刻的矢径j t i t r 2)1(2
+-=,则t s =3时,
小球对原点的角动量=?从t =1s 到t s =3的过程中,小球角动量的增量=?。
解:角动量)22(]2)1[(2
t m j t i t dt
d m m +?+-=?=?= t s =3
j i t m j t i t 80)26(4)68()22(]2)1[(2
3-=+?+=+?+-==
j t m j t i t 16)22(42)22(]2)1[(2
1
-=+?=+?+-==
64)16(8013-=---==?==
3、如图5.1,一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动,有一辆玩具小汽车相对于台面由静止开始启动,绕作圆周运动,问平台面如何运动?若经过一段时间后小汽车突然刹车,则圆台和小汽车怎样运动?此过程中,对于不同的系统,下列表中的物理哪些是守恒量,受外力,合外力矩情况如何?
解:平台绕中心轴转动,方向与小车转动方向相反。
小车突然刹车,圆台和小车同时减速、同时静止。 分别考虑小车和圆台在垂直和水平方向的受力。
图
5.1
t
f n
小车
圆台
4、绕固定轴作匀变速转动的刚体,其中各点都绕轴作圆周运动,试问刚体上任一点是否具有切向加速度?是否具有法向加速度?法向加速度和切向加速度大小是否变化? 解:刚体上的任何一点都有切向加速度。也有法向加速度。大小不发生变化。
5、在一物体系中,如果其角动量守恒,动量是否也一定守恒?反之,如果该系统的动量守恒,角动量是否也一定守恒?
解:在一物体系中,角动量守恒,动量不一定守恒。例如题4中的小车与圆台组成的系统。
反之,系统的动量守恒,角动量也不一定守恒,除非是单个质点。
二、课堂练习
1、如图5.2所示,一轻绳绕过一质量为m/4,半径为R 的滑轮(质量分布均匀),一质量为m 的人抓住绳子的一端A
,绳子的另一端系一个质量为m/2的重物B ,绳子与滑轮无相对滑动,试求: (1
) 当人对绳子相对静止时,B 物上升的加速度;
(2) 当人相对于绳子以匀速u 上爬时,B 物上升的加速度; (3) 当人相对于绳子以加速度a 0上爬时,B 上升的加速度。
解:
方法一、用隔离体法,分别研究人、物和滑轮的运动。 (1)分别受力分析 A 、 B 、
a a a ==21
1T f =1
a mg 2 2a
1T 2 R a 2=
ma ma T mg ==-11
ma ma mg T 2
1212122==-
R a mR R T T 2
2214121)(??=- 即 ma ma T T 8
181221==- 联立以上各式得:g a 13
4
= (2)同(1)
(3)021a a a -= 带入得0213
8134a g a +=
方法二、选人、滑轮与重物为系统
(1)、对O 轴,系统所受的外力矩为: 设u 为人相对绳的匀速度,v 为重物上升的速度,则系统对O 轴的角动量为:
根据角动量定理:dL
M dt
=
,得 11328d mgR mRv mRu dt ??=- ???
又因:
0du dt =,dv a dt =得:4
13
a g =
(2)、同(1)。 (3)2048
1313
a g a =
+
2、如图5.3所示,一质量均匀分布的圆盘,质量为M ,半径为R ,圆盘与粗糙水平面接触,可绕通过其中心O 的竖直轴转动,一个质量为m (m < v 0的子弹沿圆周的切向射入盘的边缘,并嵌在里面,如图所示。若圆盘与水平面的摩擦系数为μ,试求: (1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度; 图5.3 Rmg g m R Rmg M 212=?? ? ??-=()ωJ v u Rm v m R L +--?? ? ??=22421R m J ??? ??=mRu mRv L -=?813 Rmg M 21=mRu mRv L -=8 13 (2)经过多长时间后,圆盘停转; (3)这时圆盘共转过多少角度?(以弧度表示) 解:子弹和圆盘为一个系统 (1)碰撞时角动量守恒 2201 ()()2 mv R J J MR mR ωω'=+=+ 所以 00 21 ()2 mv mv MR M m R ω= ? + (2)圆盘面密度2 R M πσ= ,则圆盘上半径为r-r+dr 的细圆环所受的摩擦力矩: (2)f dM grdm gr rdr μμσπ=-=-? 2330 2 2223 R f M g r dr g R g R gMR μσπ μσπμσπμ=-?=-=-=-? 由角动量定理:00f M t J mv R ω=-=-,得:0 32mv t Mg μ= (3)由动能定理: 22 22220 022********f m v m v M J MR M R M θω-=-=-??=- 所以 22 0232m v M gR θμ= 3、如图5.4所示,质量分别为M 1,M 2,半径分别为R 1, R 2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平 行。原来它们沿同一转向分别以ω10、ω20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相抵触,如图所示。求最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度ω1, ω2。 解:两柱体从接触到稳定状态只受摩擦力。规定两个圆柱旋转与受力矩的正方向均为原来的顺时针方向,由角动量定理: 111110()fR dt R f dt J ωω-=-=-?? 20图5.4 222220()fR dt R f dt J ωω-=-=-?? 由上两式得:1211021220()()J R J R ωωωω-=- 而转动惯量分别为: 222221112 1,21R M J R M J == 可得:1111022220()()M R M R ωωωω-=- 稳定后,两柱体接触的线速度相等,即:2211R R ωω-=,联立可得: 11102220 1121()M R M R M M R ωωω-= + 222011 10 2122 ()M R M R M M R ωωω-= + 显然,达到稳定后,两圆柱体反向转动。 4、如图5.5所示,弹簧的倔强系数k =2N/m ,弹簧和绳子的质量忽略,绳子不可伸长,不计空气阻力,定滑轮的半径R =0.1m ,绕其轴的转动惯量为01.0=J kgm 2。求质量1=m kg 的物体,从静止开始(这时弹簧无伸长)落下1米时的速度的大小为多少?(取10=g m/s 2。) 解: 方法一、分别受力分析如图 1122mg T ma a RT RT J k T kx -=?? ? -=?? =?? 2 ()J mg kx m a R =++ dx dv v dt dv )kx mg (J mR R a ==++=2 2 )kL mgL (J mR R dx )kx mg (J mR R v l 2 220 222212 1 -+=++=∴? 922 2 22 =-+=∴)kL mgL (J mR R v s m v 3= 方法二、 机械能守恒 未下降时 00=E 下降L 时:mgL kL )R v (J mv E -++= 2222 1 2121 0E E =得 922 2 22 =-+=)kL mgL (J mR R v ,得 s m v 3=