第十四章傅里叶光学
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux i y x f v u F )](2exp[),()}y ,x (f {),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)，⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
傅里叶光学复习要点
l rect ，截止频率 f 0 2 di l l
2 2 圆形出瞳： P , circ l/2
l ，截止频率 f 0 2 di
4、 MTF 的物理意义，什么叫光学链？ MTF（调制传递函数）综合反映了镜头的反差和分辨率特性， MTF 是用仪器测量的， 是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。 光学链：实际应用中，光学系统往往只是某个完整系统中的一个环节。完整系统可能包 括图像的产生、传递、摄像（记录） 、显示和处理等环节和因素。这些环节或因素就构 成了一个光学链。 5、 如何求空间带宽积？ 空间带宽积 SW 定义为函数在空域和频域中所占面积之积，
U ( P) a( P)e j ( P ) ， U ( P) 称为单色光场中 P 点的复振幅，它包含了 P 点光振动的振
幅 a( P) 和初相位 p ，与时间 t 无关，而仅仅是空间位置坐标的函数。 对于单色光波，由于频率 恒定，由于时间变量确定的位相因子 e
j 2 t
对于光场中的各
20、
卷积积分的含义是什么？脉冲的响应有什么特点？
g x, y f ( , ) h( x, y)dd f x, y * hx, y 其含义仍旧是指：把输
入函数 f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统
对于每个脉冲的响应叠加在一起就得对于 f(x,y)的整体响应。
h( x, y; , ) L ( x , y )的意义是：输入平面上位于 x =,y = 处的单位脉冲
（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。 21、 对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法是什么？ 一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数； 二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱函数的积。再对该积求逆傅里叶变 换求得输出函数。 22、 标量衍射理论的条件是什么？ 衍射孔径比照明波长大得多； 不在太靠近孔径的地方观察衍射场。 23、 称为单色光场中 P 点的复振幅是如何表示的？单色光场为什么能用复振幅描述？
物理光学A傅里叶光学PPT课件
,
f
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上面的讨论可以说明, 理想夫琅和费衍射系 统起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学对 夫琅和费衍射的新认识。
当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫 琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方 向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼 此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到 分频的目的.
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x
0
G
光 栅
3
1 0
-1
-3
屏
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
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f (x)
2d
d
d d 4
0d 4
d 2
3d 4
x
2d
(x)是周期性函数
f (x) f (x md), (m ,1, 2,)
d是空间周期.将上式用 傅里叶级数展开:
f (x) 1 2 cos(2 1 x) 2 cos(2 3 x)
2
d 3
d
2 cos(2 5 x)
5
d
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令
p0
1 d
,
f
(x)
1 2
2
cos(2p0 x)
2
3
cos(2 3 p0 x)
2
5
cos(2 5 p0 x)
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
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光栅的像是一 条条直条纹
• •
x
•
•
•
•
•
傅里叶光学简介
L1
O
F S+1
A B
S0
C
S-1
阿贝成象原理
I’
1
C’
通过衍射屏的光发生夫
琅禾费衍射，在透镜后
B’
焦平面上得到傅里叶频
A’
2
谱 (S+1, S0, S-1)
虚物
2 频谱图上各发光点发出的球面波在象平面上相干叠
加而形成象A’，B’，C’ 。
第一步是信息分解 第二步是信息合成
频 ❖ 第一步夫琅禾费衍射起分频作用将各 谱 语 种空间频率的平面波分开在L后焦面上形 言 成频谱 描 述 ❖ 第二步干涉起综合作用
傅里叶光学的应用
（1）光学信息处理的特点
✓ 高速 处理 并行传输 并行处理 响应 光开关 10-15s 光传输速度 3×108 m/s 电开关 10-9s 电传输速度 105 m/s
✓ 抗干扰能力强 ✓ 大容量 传输容量大 光纤
存储容量大 全息存储
（2）信息光学的应用
✓ 新型成像系统
✓ 图像处理、图像识别
傅里叶变换+线性系统理论
➢空间频率
照片的二维平面 上光振幅有一定 的强弱分布
➢空间频率
空间频率：单位长度光振幅变化的次数。 反映了光强分布随空间变量作周期性变化的频繁程 度，它同光振动本身的时间频率完全是两回事。时 间是一维的，空间可以是一维、二维、三维。
➢ 数学上的傅立叶变换
数学上可以将一个复杂的周期性函数作 傅立叶级数展开，这一点在光学中体现 为：一幅复杂的图像可以被分解为一系 列不同空间频率的单频信息的合成，即， 一个复杂的图像可以看作是一系列不同 频率不同取向的余弦光栅之和。
✓透镜的发明 ✓望远镜、显微镜的发明 ✓Snell折射定律、费马原理 ✓微粒说、波动说
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
matlab 傅里叶光学
matlab 傅里叶光学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶光学是一种利用傅里叶变换理论研究光传播和光信息处理的方法。
它将光学现象和傅里叶分析有机地结合在一起，通过对光学系统中光场随时间和空间的变化进行频域分析，揭示了光学系统的特性和行为。
傅里叶光学在光学设计、成像系统、数字图像处理等领域具有重要的应用价值，对于提升光学系统的性能和实现更复杂的光学功能具有重要意义。
傅里叶光学的基本原理是将光场视为波动，利用傅里叶变换将光场表示为频谱分解的形式。
在傅里叶光学中，光场的传播和变换可以用傅里叶变换公式描述，通过傅里叶变换可以将一个任意时间或空间变化的光场分解成一系列频率不同的平面波，这些平面波之间的相位和幅度关系代表了原始光场的性质。
通过傅里叶变换，可以实现光场的频域分析，理解光场的传播规律和特性。
在数字图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波处理。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像表示为频域上的频谱分布，通过分析频谱特性可以实现图像的去噪、增强、压缩等处理，提高图像质量和清晰度。
傅里叶变换还可以应用于图像配准、图像拼接、图像分割等图像处理任务，为数字图像处理提供了一种有效的工具和方法。
在实际应用中，matlab是一种常用的工具软件，可以实现傅里叶光学的理论研究和数值计算。
matlab软件提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于对光场进行傅里叶变换、光学系统的仿真模拟、图像处理和分析等任务。
通过matlab软件，研究者可以方便地进行傅里叶光学的数值计算和模拟，探索光学系统的特性和行为，实现光学功能的设计和优化。
第二篇示例：傅里叶光学是光学领域中一个重要的分支，它利用傅里叶变换的原理来研究光的传播、衍射、干涉等现象。
在傅里叶光学中，光被视为一种波动现象，能够通过数学方法描述和分析光的传播和相互作用。
让我们来了解一下傅里叶光学的基本概念。
在光学中，光波可以被表示为一个复数函数，具有振幅和相位两个要素。
第十四章傅里叶光学-文档资料
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
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傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
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E~x, y
H u , v e x jd 0 p u 2 v 2
而 FTE ~x1,y1 AFTtx1,y1ATu,v
tx1,y1 d 0
tlx2,y2
f
将 H u , v e x jd 0 p u 2 v 2 和 F E ~ T x 1 ,y 1 A T u ,v 代入
晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物
体频谱。
二、透镜的成像性质
E~x1,y1 E~x1,y1
在此只考虑点物成像问题：
F
1、点物距透镜无穷远
如图，在紧靠透镜前平面上的
f
光场分布为一常数，设为1，则
光波透过透镜后，若不考虑透
镜的有限孔径，在紧靠透镜后
平面上的光场分布为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12会聚球面波
E~x1,y1 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布E~x2,y2
面上的复振幅分布 E~x,y 。
和后焦
用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率
为 tx1,y1 ，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为
E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为 E~x1,y1 E~x1,y1
Ex1,y1tlx1,y1Ex1,y1
Atx1,y1expj2kf
x12y12
E~x, y
tx1,y1 tlx1,y1 f
光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据 菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算
E ~ x ,y eii z x 1 1 k e p z x 2 iz 1 k x p 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 iz 1 k x p 1 2 y 1 2 u x z 1v y z 1
即
E x ,y j1 fe x 2 jfk p x 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 ifk p x 1 2 y 1 2 u x 1 f v y f 1
将
E
x,E ~ yx 1 ,y j1 1f eA xtpx 1 2,jy kf1e x2x yjp 22 k f x 1 2y 1 2E~ x1,代y1入E~上x1,y式1 得到
第十四章傅里叶光学
2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E~x1,y1 3）后焦面上的复振幅分布 E~x, y
物体的复振幅透过率为tx1,y1 ，则物体与透镜之间的平面上的
复振幅分布为 E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
tlx1,y1expikx122fy12
FTE~ x1, y1 ux1 vy1 f f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于
衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx1,y1 tlx1,y1 f
E~x, y
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
e一xp样2jfk，x但2 他y2对 观，察后平焦面面上上的的强位度相分分布布没与有物影体响频，谱其的光位强相为分布不
2、点物在距透镜有限远的光轴上
设点物S位于距透镜为 l 的光轴上，S
S
则投射到透镜上的光波就是从S点
l
l
发出的发散球面波。在傍轴近似下，
它在透镜前平面上的场分布为
E ~x1,y1Aexpikx122ly12
通过透镜后场分布变为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12
所以，透镜的成像本领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的 结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使得 入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平 面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上 得到物体（或物体平面场分布）的频谱。 E~x1,y1 E~x1,y1
E ~ x ,y j1 fe x 2 jfk x p 2 y 2 FE ~ T x 2 ,y 2 u x f v y f
所以
E ~ x,y jA fe x 2 jfk p 1 d f0 x2 y2 T x f,y f
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到
有一个位相弯曲。当 d0 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，
当
d0 时f，式子变为
E~x,y
A
jf
Txf
y ,
f
上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限
大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物
体的较高频率成分（对应于与z轴夹角较大的平面波）的传播，
这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐
F E ~ x 2 , y T 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 是描述菲涅耳衍射在频
根据教材P375公式(13-118)知观察面上菲 域效应的传递函数。
涅的其E ~ 耳物中u , 衍频的v 射谱相T 光，移 u 场即因, v 的子e 频就 谱是j 是这 x e k 经个历传 j 了递x p z 一函z 个数u 2 相 v 移p 2 后 E~xu1,y1xd10E~xv2,y2yd10
Ifx,y
A
f
2
Txf,yf
2
2、物体放置在透镜前方
设面物已体导的出复紧振靠幅透透镜过之率前为的平t面x1,上y1场，分它布与透E~镜x2之,y2间 与的透距镜离后为焦d 0 面，上前
场分布 E ~x2,y2 之间的关系，所以这里只需要计算如下三个特定 平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布
F E ~ x 2 , T y 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 中得到
u x1 v y1
F E ~ x 2 , T y 2 A T u , v e j x d 0 u 2 p v 2 d0
d比于物 体的傅里叶变换。有