专题四：分类讨论思想在解题中的应用

专题四：分类讨论思想在解题中的应用
一．知识探究：
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的
结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类
讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等
比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可
以称为性质型。

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解
决的。

2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。

根据不
同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；
3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；
5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
（4）总结概括，得出结论；
6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。

如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。

如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。

如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。

利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。

二．命题趋势
分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。

三．例题点评
题型1：集合中分类讨论问题
1．已知集合M=｛a 2, a+1,－3｝, N=｛a －3, 2a －1, a 2+1｝, 若M ∩N=｛－3｝, 则a 的值（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

题型2：函数、方程中分类讨论问题
3.在xoy 平面上给定曲线x y 22=。

设点A 坐标为（a ，0），R a ∈。

求曲线上的点到点A 距离的最小值d ，并写出)(a f d =的函数表达式。

题型3：解析几何中的分类讨论问题
4.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，求这直线方程。

5．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。

求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

6.设，问方程表示什么曲线？
k R k x k y k k
∈-+-=--
()()()()
8484
22
7.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。

题型4：不等式中分类讨论问题
8．解不等式()()
x a x a
a
+-
+
46
21
>0 (a为常数，a≠－
1
2
)
9．解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()
10.解关于的不等式：x log ()a x
111->
11.解不等式542--≥x x x。

题型5：数列中分类讨论问题
12．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。

①. 证明： lg lg S S n n ++22
<lgS n +1； ②.是否存在常数c>0，使得lg()lg()S c S c n n -+-+22
＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。

13.已知等比数列的前n 项之和为n S ，前n+1项之和为1n S +，公比q>0，令
T S S n T n n n n =→∞+1
，求lim 。

14．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题
15．∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos =
=12513
.
16．若函数f(x)=a+bcosx+csinx 的图象经过点(0，1)和]2
[0,x ),1,2(π∈π且时，|f(x)|≤2恒成立，求实数a 的取值范围。

题型7：实际问题中分类讨论问题
17．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c 元；若用水量超过am 3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b 元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
18. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？。