浅谈分类讨论思想及其应用

浅谈分类讨论思想及其应用
杨凌高新中学 王旭 2010-1-12
分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境.
一、 分类讨论思想的概念
由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.
二、 分类讨论的原则
从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.
1.同一性原则
同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用：
例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围.
分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论：
(1) 当θsin =0,即θ=k π（k ∈Z ）,直线l 的斜率不存在,倾斜角α=
2π (2) 当θsin ≠0,即θ≠k π（k ∈Z ）,直线l 的斜率k =θ
sin 4, 并且由 -1≦θsin ≦0,0≦θsin ≦1,得出﹣1≧θsin 1＞﹣∞, ﹢∞＞θ
sin 1≧1, ⇒k 的取值范围为(][)+∞-∞-,44,
直线倾斜角α取值范围为[]4,4arctg arctg -π
例2：已知集合A ={x x 2－ax +4=0,x ∈R, a ∈R },B ={x x 3－5x 2+2x +8=0,b ∈R },若A B ⊆,求a 的取值范围.
分析：由于{=B x x 3－5x 2+2x +8=0, b ∈R
}={x (x +1)(x －2)( x －4)=0}={﹣1,2,4},且A B ⊆,则集合A 可能是空集、单元素集合和两个元素集合,而集合A 的元素是一个一元二次方程的解集,即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根,因此要分三类讨论,求出a 的取值范围,此题研究对象是一元二次方程x 2－ax +4=0的根的判别式△,分成大于零,小于零和等于零这三种情况,这种分类符合同一性原则,没有遗漏任一情况.
(1) 当△=a 2－16＜0,即﹣4＜a ＜4时,因为A = ø,满足A B ⊆,所以a ()4,4-∈；
(2) 当△=0,即a =±4时,由A B ⊆得a =4；当△＞0,即a ＞4或a ＜﹣4时,A B ⊄
综上可得,当a (]4,4-∈时,A B ⊆
2.互斥性原则
由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集I 来说,A 1,A 2…A n 在满足A 1∪A 2∪…∪A n =I 的前提下,并不能保证A i ∩A j = ∅（i ,j ∈n,i ≠j ）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象I , A i (i =1…n)是I 子集,且作为分类的标准,若A i ∩A j = ∅（i ,j ∈n, i ≠j ）,则称这种分类符合互斥性原则,互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来.
例3：某车间有10名工人,其中4人仅会车工,3人仅会钳工,另外三人车工、钳工都会,现需选出6人完成一件工作需要车工、钳工各3人,问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑钳工,因为6人会钳工,故有36C 种选法,但这时不清楚选出的钳工中有
几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法
确定是从7人中选,还是从6人、5人、4人中选,同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类,因为有3人是全能的,故有四种不同的情况可能出现,具体如下：
（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含一名全能工人；
（3）选出的6人中含二名全能工人；（4）选出的6人中含三名全能工人；
故有2324233314233413233324132334133334P C C C C C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
24924133323143334333333
=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+C C C C C C C C C C 注意：选出的全能工人,既会车工,又会钳工,这两种情况也需分开来进行讨论,这种分类方法避免了重复出现的机会,不遗漏任一情况,一般地,互斥性 原则在排列组合中应用十分广泛.
3.层次性原则
如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位.
例4：解关于x 的不等式：ax 2-(a +1)x +1＜0 a ∈R
分析：这是一个含参数a 的不等式,它不一定是二次不等式,故首先应对二次项系数a 进行分类,a =0和a ≠0.当a ≠0时,不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是两根之外,也可能处于两根之间,故又须分a ＞0和a ＜0两种,确定了这一层后,又会出现1与
a 1的大小问题,又需将a 与1之间进行分类,分三层讨论,具体过程如下：
（1）当a =0时,原不等式化为 101>⇒<+-x x
（2）当a ≠0时,原不等式化为 a (x －1)(x －
a 1) ＜0 i .若a ＜0,则化为 (x －1)(x －a 1) ＞0 ⇒x ＞1或x ＜a
1 ii .若a ＞0,则化为 (x －1)(x －a
1)＜0 a ).a ＞1时, a 1＜1 ⇒ a 1 ＜x ＜1； b ).a =1时, a
1=1 ⇒解是空集 c ).0＜a ＜1时, a 1＞1 ⇒1＜x ＜a
1 由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一
次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.
三、 分类讨论的步骤
同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论
中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：
（1）确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；（2）正确选择分类标准,合理分类；
（3）逐类、逐段分类讨论；（4）归纳并做出结论.
下面从一个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤.
例5：设k ∈R,问方程(8－k )x 2+(k －4)y 2=(8－k ) (k －4)表示什么曲线？
分析：第一步,确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数k ,
所以将k 视为研究对象,k 的取值范围是全体实数R.
第二步,选择正确分类标准,合理分类.当k ≠4且k ≠8时,方程可变形为1842
2=-+-k
y k x , (k －4)与(8－k )的正负会引起曲线有不同的类型,故“4”和“8”是一个分界点,而k －4=8－k 与k －4＞0, 8－k ＞0,但k －4≠8－k 所表示的曲线也是不一样的,因此,“6”也是一个分界点,所以对k 进行正确的分类应为： (﹣∞,4) ，4，(4,6)，6，(6,8)，8，(8,﹢∞)
第三步,逐类、逐段分类讨论
(1) k =4时,方程变为 4x 2=0,即x =0 表示直线
(2)k =8时,方程变为 4y 2=0,即y =0 表示直线
(3)k ≠4且k ≠8时,原方程化为 1842
2=-+-k
y k x i .当k ＜4时：表示双曲线； ii .当4＜k ＜6时 ： 表示椭圆；
iii .当k =6时：表示圆； i v.当6＜k ＜8时：表示椭圆；v.当k ＞8时：表示双曲线 第四步,归纳并做出结论
当k ＜4或k ＞8时, 方程表示双曲线； 当4＜k ＜6或6＜k ＜8, 方程表示椭圆； 当k =4或k =8时,方程表示直线； 当k =6时,方程表示圆。

通过上例分析,我们可以看出,分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第二要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性.。