数学美五分类讨论思想在解题中的应用

数学欣赏五

分类讨论思想在解题中的应用

一、知识整合

1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着

重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析

（一）对变量或参数的分类讨论

１.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是．

２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是．

３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈

分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还

是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1

谁大谁小的问题，因而又需作一次

分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>

（）当时，原不等式化为2011

0a a x x a ≠--<()()

①若，则原不等式化为a x x a

<-->011

0()()

Θ10

11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a

x 1

②若，则原不等式化为a x x a

>--<011

0()()

（）当时，，不等式解为i a a a x ><<<1111

()ii a a

x 当时，，不等式解为==∈?11

()iii a a x a

当时，，不等式解为011111

<<><<

综上所述，得原不等式的解集为

当时，解集为或a x x a x <<>????

??011；{}当时，解集为a x x =>01|；

当时，解集为0111<<<<

a x x a ；当时，解集为a =?1；当时，解集为a x a x ><

111。

４.已知R m ∈，求函数m x x m x f +--=2)34()(2在区间]1,[o 上的最大值．

5.设R a ∈,二次函数a x ax x f 22)(2--=,若o x f >)(的解集为

A ,}31|{<<=x x

B ,?≠B A I ,求实数a 的取值范围.

（二）对题设给出条件的分类讨论

1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为．２. 已知R a ∈，若关于x 的方程o a a x x =+-++|||4

|2有实根，则a 的取值范围是．

３. 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=为，求数列|}{|n a 的前n 项和n P ．

（三）解题过程中的分类讨论

１.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。

２.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)3()2

(31

2≥-=---n S S n n n ，且

,121-==S S ，求数列}{n a 的通项公式．

３.已知a 是实数，函数)()(a x x x f -= （１）求函数)(x f 的单调区间；

（２）设)(a g 为)(x f 在区间]2,[o 上的最小值；①写出)(a g 的表达式； ②求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g ．

（四）简化和避免分类讨论的方法直接回避－反证法，求补法，消参法；变更主元－分离参数后变参置换或换元；

合理运算－用函数的奇偶性，变量的对称变换及公式的合理选用；数形结合－用图象的直观性和对称特点；

１.?ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==125

分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--?cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A 进行分类。解：Θ051322<=

οοB B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===12303

ο 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin =

=+>1

150180οο 这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A ≠150ο []∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π

[]=-?-?cos cos sin sin A B A B =-?-??????

?=-325131212131253

26 三、总结提炼

分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。

如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：

（1）“方程20ax bx c ++=有实数解”转化为240b ac ?=-≥“”时忽略了了个别情形：

当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；

（2）等比数列{}