浅窥数学解题中的简洁美
数学中的简洁美
（3）简洁的奇异美
1、（蒲丰实验）取一张大纸，再取一根针，在纸上画出 一系列相距为两根针长的平行线，你随意把针投向纸 上，记下投的次数与针和平行线相交的次数，你能想 象，当投针的次数越来越大时，这两个数的比值有何 奇异变化；
---- 比值竟与圆周率 接近
（3）简洁的奇异美
数学中的简洁美
（1）数学的语言美
1、二次函数： f (x) ax2 bx c (a 0)
①自由落体运动： S 1 gt2 2
②斜抛运动：
y
2v0
g
cos2
x2
x tan
③圆的面积： S r2
④非常数的等差数列前 n
项和： Sn
na1
n(n-1) 2
d
⑤爱因斯坦的质能公式： E mc2
间的角距（即观察点到每对两颗星之间的夹角）
你能想象计算又有何惊奇且神秘结果；
---- 计算结果竟又与圆周率 接近
结束语：
任何领域都有美存在，
只要你能用心挖掘到美，
你就有可能攀登科学的
高峰
--- 杨振宁
（2）创造数学美
讨论题 3、解方程：
3x(3 9x2 1) (x 4)(3 (x 4)2 1) 0
2、黄金数 0.618
将一条单位长的线段分成两段，使 大段 全段
小段 大段
(
宽
①最美的矩形： 长 0.618
5 1 0.618) 2
②最美的人体：人的上身段与下身段的比值 0.618
2、黄金数 0.618
将一条单位长的线段分成两段，使 大段 全段
小段 大段
(
宽
①最美的矩形： 长 0.618
浅谈小学数学中的美
浅谈小学数学中的美英国著名哲学家罗素曾说过:“数学不但拥有真理,而且还具有至高无尚的美。
”数学是一门优美的学科,但小学数学对学生的美学教育却常常被忽视。
绝大多数学生都不能把数学与美联系在一起。
其实,数学是潜在美很强的学科,隐含着丰富的美育因素。
数学的美不同于自然美和艺术美,数学美是一种理性的美、抽象的美。
数学教师应该在教学中充分捕捉和挖掘数学中的美,让学生感受、体验以至探索数学美,领会数学的美学价值,更大地激发学生学习数学的兴趣,为能够创造数学美搭建桥梁。
那么,在小学数学阶段我们应该怎样在数学教学中让学生感受到数学的美呢?笔者认为应从以下三个方面进行。
一、感受数学的外在美1.数学的简洁美数学家研究数学的目的之一,就是尽可能地用简单而基本的数学语言去描述世界、解释世界。
用字母表示数,是从算术到代数的飞跃,不论从结构还是形式上,都使我们感到式简意明。
数学中的字符也以极其简洁的语言表达着丰富的含义。
从阿拉伯数字,从四则运算中的“+、－、×、÷”到改变运算顺序的“( )、[ ]”,比较大小的“>、<、=”等等,这些字符都讲究大小适中,它们的书写形式和意义也有着密切的联系,它们是全世界通行的语言。
我们可以在具体的教学情境中抽象出这些字符,让学生感受到数学的简洁美,培养学生的数感、符号感。
数学具有高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。
例如,各式各样的三角形的面积可以统一用一个公式表示:S=ah÷2。
又如,在讲三角形的面积公式时的“等底等高”、三角形性质时的“等边对等角”,它们已经简单到了极致,如同古诗般美到了极致。
数学的简洁美还体现在对数学简洁解法的追求中。
例如,小学阶段的简便计算,模仿高斯求等差数列的和等。
2.数学的对称美大自然的结构是用对称语言写成的,动物形体与植物叶脉都呈现着对称规律。
对称美在小学数学中也有着广泛的应用和表现。
在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。
数学课堂简约之美（精选）
数学课堂简约之美（精选）第一篇：数学课堂简约之美（精选）数学课堂简约之美摘要：新课程改革一路走来，数学课堂教学发生了可喜的变化。
但教师也明显感受到数学课堂尤其是公开课可谓花样百出、精雕细刻。
课堂变得繁杂，承受着不能承受之重，结果教师教得辛苦，学生学得疲惫。
因此数学课堂教学应该从以前不断添加各种因素的做“加法”转变为删繁就简地做“减法”，简约的数学课堂必然是数学教学的终极归宿之一。
关键词：简捷；简约之美；数学课堂在《中国教育报》上看到一句话――“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦。
”为什么我们的课堂变得繁杂、臃肿、凌乱，承受着不能承受之重，结果却因40分钟的教学时间所限，要么仓促收兵，要么严重拖堂，教师教得辛苦，学生学得疲惫？数学课堂教学应该从以前不断添加各种因素的做“加法”转变为删繁就简地做“减法”，简约的数学课堂必然是我们数学教学的终极归宿之一。
简约数学教学是指数学教学中要遵循“简约”的原则，体现“简约”的要求，凸显“简约”的风格，追寻“简约而不简单”的境界，追求一种简约之美。
简约的课堂对教师的要求非但没有降低甚至还更高了，教师要以先进的课程理念和教学思想为指导，对繁琐的数学课堂教学进行反思、调整、提升，不要过分追求教学环节的完美，不要过分强调面面俱到，不要注重多授其鱼，而应侧重授之以渔，从而达到审美化、艺术化、高效化的课堂教学境界。
借用一位哲人所说的“简单到极致，就是美丽”。
简约之美，美在简洁，美在意蕴，美在灵动，美在创造。
一、教学语言简洁，创造简约美恩格斯说：“言简意赅的句子，一经了解就能记住，变成口语，这是冗长的论述绝对做不到的。
”数学给人的第一感觉就是简约，通过数学图形与数学符号把很多文字表示的内容很简单地表达出来，给人以简洁之美。
因此，作为数学教师语言要干净利索，重要的话不厄长，简洁概括，去掉华丽精致的辞藻，删去可有可无的东西。
如，在教学“小数的基本性质”这节课中，为了激发学生学习数学的兴趣，创设了与现实生活相联系的情境，到超市购买学习用品的实例而导入：“书包16元，文具盒4元5角，你们会不会写？”让学生动笔写，这样得出两种不同的写法：16元，16.00元；4.5元，4.50元。
论数学中的简洁对称美
论数学中的美数学这门学科是充满美的，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的。
只要你愿意去感受，数学随时都能给师生带来一种美好的享受。
正如高斯所说的：“给我最大快乐的，不是已懂得的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。
”（一）数学的简洁美数学知识之所以强烈地吸引人们去研究，去探索，去追求，其中的原因之一便是它能对纷乱繁杂的数学现象进行高度的概括，使学习者能从中感受它概括的简洁美。
在数学语言的研究中，通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言。
品味简洁的数学美。
表示椭圆的三种语言都体现了简洁美。
椭圆的符号语言简洁、明了。
如椭圆概念的符号表示P={M|∣MF1∣＋|MF2||=2a,2a>|F1F2|},关系紧凑,言简意赅；椭圆的两个标准方程具有简单整齐之美；离心率cea易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。
椭圆的文字语言通俗易懂。
用到椭圆定义中“到平面内两个定点F1、F2的距离之和”这个常数；而将关系式转化成数学代数式用到两个定点F1、F2的坐标。
这就需要将“到平面内两个定点F1、F2的距离之和”和| F1F2|用字母表示。
建系后,将条件转化成关系式。
椭圆的图形语言形象生动。
以经过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图1),设M(x,y)是椭圆上的任意一点,焦距是2c(c>0),Ｍ与F1,F2两点距离之和绝对值等于常数2a。
（二）数学的对称美对称在我们生活中随处可见，图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。
在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线；平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩图1形、正方形、正多边形、圆。
立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。
其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。
让学生领略小学数学的简洁美
JIAOLIU PINGTAI 交流平台157数学学习与研究2019.8让学生领略小学数学的简洁美◎沈鸾鸾（江苏省兴化市新生中心小学，江苏兴化225700）【摘要】《新课程标准》明确提出：学生的数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．而在小学数学教学中，学生领略数学美的过程，就是一个富有个性的过程．小学数学课程中隐含着丰富多彩的美学因素，虽然数学的表达形式简洁，但它所表达的内涵却极其丰富．我们可以从梳理知识结构，理解文字叙述，运用字母表示等方面，让学生领略数学简洁性的统一美、抽象美和符号美．【关键词】知识结构；文字叙述；字母表示；领略；数学简洁美人们对数学的美早就有所认识，数学家常以简洁性作为自己的追求目标．我国著名的数学家徐利治先生明确指出：“数学是人类文明的结晶，数学的结构，图形，布局和形式无不体现出数学中美的因素”．在数学教材中，蕴涵着简洁性、和谐性、奇异性，其中简洁性是数学美的基本内容，它是指数学特有的统一美、抽象美和符号美．而我们的学生不仅要掌握数学知识，而且学会欣赏数学的美，让学生领略数学王国中的万千美景，进而提高学生学习数学的兴趣，增加数学课堂的灵动，促进学生全面的发展．一、梳理知识结构———领略数学简洁性的统一美世界上一切事物看似单独，又是相互联系的，处于一个大的统一体系中．其中数学知识的部分与部分、部分与整体之间的有机联系正是数学的统一美．在复习课上，我们可以帮助学生把所学的知识进行归纳，形成一个完整的、系统的知识体系．比如，长方体的体积公式是长方体的体积=长ˑ宽ˑ高，正方体的体积公式是正方体的体积=棱长ˑ棱长ˑ棱长，圆柱体的体积公式是圆柱体的体积=底面积ˑ高，而这三个立体图形的体积都可以统一用底面积乘高这个方法计算．通过对这些知识的回顾与整理，这部分知识已经有机地纳入其知识体系中，内化为结构的一部分了．这样，学生就能把学过的立体图形知识进行整合，加深理解，自然兴趣盎然了．在小学数学中不只是几何形体之间存在着密切的联系，形成了一个具有统一美的严密系统，在“数与代数”中也有很多这样的例子，如比与分数、除法之间的关系，先让学生在小组里讨论，再填写下表：联系不同比除法分数而这种复杂的关系又可以用3ʒ5=3ː5=35这样一道简单的算式表示，让学生了解到比的前项相当于除法中的被除数，分数中的分子；比号相当于除法中的除号，分数中的分数线；比的后项相当于除法中的除数，分数中的分母；比值相当于除法中的商，分数中的分数值．但在实际运用的过程中又有所不同，比表示两个数之间的关系，除法是一种运算，分数是一个数．这种既有区别又有联系、既对立又统一的现象在数学中处处可见，这些都是数学简洁性中统一美的体现．因此，在教学过程中，我们要做有心人，不断引导学生进行知识之间的综合归纳，弄清知识内在的联系，进行分类和整理，组建完整的知识网络，让学生领略数学简洁性的统一美．二、理解文字叙述———领略数学简洁性的抽象美小学数学中许多定义、公式的语言叙述，简洁明了，没有任何修辞，绝不多一个字或少一个字，所用的词语也决不能替换，这在教学中应予以揭示．例如，“减少了”与“减少到”，一字之差，所表示的意义则相差甚远．再如，关于分数的概念是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数．如丢掉了“平均”两字，则意义全变了．再如，在教学“平行与相交”时，让学生充分观察后自己说一说，什么是互相平行？然后通过比较揭示：“在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行”这样的表述是多么的无可挑剔．这种数学语言的简洁美给人以明快、精练之感．因此，教师在教学性质、概念、法则时，重点应放在重点字词的理解上，不需要死记硬背．在理解中体会用词的准确，从而使学生真正掌握知识，同时领略数学语言文字简洁性的抽象美．三、运用字母表示———领略数学简洁性的符号美数学最重要的特征便是用符号来表示，数字符号是最简洁的文字，表达的内容也极其广泛而丰富．用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍的规律，简洁、明了、易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感．如，当圆的半径用r表示，周长用C表示，则圆的面积就可简洁地表示为C=2πr，世界上到底有多少个圆？没有人能说清楚，但圆的周长与半径的关系都可以用这个公式表示，一个如此简单的公式，概括了所有圆的周长与半径的关系，能不令人惊叹吗？平行四边形的底用a表示，底边上的高用h表示，面积用S表示，则平行四边形的面积可简洁地表示为S=ah；各种各样的三角形面积都可以统一用S= ahː2这个公式来表示．这些公式的表达形式如此简单，但内容却极其丰富，是多么的简洁而又神奇呀！数学并不像有些人认为的那样枯燥乏味，它是一种美的学科．作为教师，应结合课内教材，抓住每个最佳时机不失时机地向学生揭示数学的美，巧妙地把美育融入数学教学中，把学生引入一个个美好的境界之中，提高学生数学的审美能力．【参考文献】［1］中华人民共和国教育部．数学课程标准［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．［2］吴振奎，吴旻．数学中的美［M］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011．。
数学美的几种类型 (2)
数学在日常生活中的美
数学在金融中的应用美
金融中的投资、保险等领域都需要用 到数学，数学的运用使得金融更加精 确和可靠，如风险评估、资产配置等 。
数学在体育中的应用美
体育中的运动分析、比赛策略等领域 也需要用到数学，数学的运用使得体 育更加科学和高效，如运动轨迹分析 、比赛数据分析等。
数学规律性的特点
数学规律性具有普遍性和必然性，不 受具体情境和条件的限制。通过数学 规律，人们可以更深入地认识和理解 世界的本质和内在规律。
逻辑性
逻辑性
数学中的逻辑性表现为数学推理的严密性和精确性。在数学中，每一个结论都需要经过严格的逻辑推理和证明才 能被接受。这种逻辑性是数学严谨性的重要体现。
数学逻辑性的特点
数学在计算机科学中的应用美
计算机科学中的算法、数据结构、密码学等都离不开数学，数学的运用使得计算机科学更 加精确和高效，如算法优化、网络安全等。
数学在工程学中的应用美
工程学中的建筑设计、机械设计、航空航天等领域都需要用到数学，数学的运用使得工程 设计更加精确和可靠，如结构力学分析、控制系统设计等。
数学在经济学中的应用美
数学逻辑性具有严谨性和精确性，使得数学成为一种可靠的工具，可以用来解决各种实际问题。同时，数学逻辑 性也使得数学成为一种培养逻辑思维能力的有效途径。
严密性
严密性
数学中的严密性表现为数学概念、公式和定理的明确性和无歧义性。在数学中，每一个概念、公式和 定理都有明确的定义和含义，不会出现模糊不清或者歧义的情况。
02
数学在化学中的应用美
化学中的分子结构、化学反应等都需要用到数学，数学的应用使得化学
数学美欣赏第1章数学的简洁性精品文档16页
数学美欣赏(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》) 课程简介了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.学习要求1. 用U盘复制电子讲稿，并打印.2. 课后认真阅读讲稿.3. 适当安排若干次课堂独立作业. 做课堂作业时, 允许参考本讲稿, 可以摘录讲稿内容.考核要求1. 进行期中考试和期末考试，均为开卷.2. 期末总评成绩=期中考试成绩×50%+期末考试成绩×50%.3. 期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题.第1讲第1章数学的简洁性序言著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.自然界原本就是简洁的：光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是o，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是54448'''最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种角度).在人体中，人的粗细血管直径之比总是，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大.无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有1，2，22，32，…，2n克的砝码，只允许其放在天平的一端，利用它们可称出1——()1122122221n n n +--=+++++L 之间的任何整数克重物体的重量.例如，当3n =时，我们有4个砝码：1克，2克，22克和32克，即1克，2克，4克和8克. 利用它们，我们可称出1克——3121+-克(即15克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克，2克,3克, …, 15克的重量. 这由下表可以明白.这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有1，3，23，33， (3)克重的砝码，允许其放在天平两端， 利用它们可以称出1----()11231333312n n n +--=+++++L 之间任何整数克重物体的重量.例如，当2n =时，我们有3个砝码：1克，3克和23克，即1克，3克和9克. 利用它们，我们可称出1克——21312+-克(即13克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克, 2克, 3克, …,13克的重量. 这由下表可以明白.以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁性使然. 下面的所谓“省刻度尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：一根6cm长的尺子，只须刻上两个刻度(在1cm和4cm 处)，就可量出1cm——6cm之间任何整数厘米长的物体长，即可量出1cm，2cm，3cm，4cm，5cm和6cm的长度(下简称“完全度量”).若用a b→表示从a量到b的话，那么具体度量如下：一根13cm的尺子，只须在1cm，4cm，5cm和11cm四处刻上刻度，便可完成1——13cm的完全度量. 具体度量如下：对于22cm的尺子，只须刻上六个刻度，即在：1cm，2cm，3cm，8cm，13cm和18cm；或者1cm，4cm，5cm，12cm，14cm 和20cm处刻上刻度，可完成1——22cm的完全度量.对于23cm的尺子来讲，也只须六个刻度：1cm，4cm，10cm，16cm，18cm和21cm，便可完成1——23cm的完全度量.一根36cm的尺子，只须在1cm，3cm，6cm，13cm，20cm，27cm，31cm和35cm处刻上八个刻度，便可完成1cm——36cm的完全度量.对于40cm的尺子，刻上九个刻度：1cm，2cm，3cm，4cm，10cm，17cm，24cm，29cm和35cm，即可完成1——40cm 的完全度量.这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现. 比如“植树问题”. 英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：9棵树栽9行，每行栽3棵，如何栽? 乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！牛顿还发现：9棵树每行栽3棵，可栽行数的最大值不是9，而是10，见右上图. 左下图给出10棵树，栽10行，每行栽3棵的栽法.其实，10棵树，每行栽3棵，可栽的最多行数也不是10，而是12，见右上图.英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出下面一道植树问题：10棵树，栽成5行，每行栽4棵，如何栽? 此题答案据说有300种之多，下面诸图给出了其中的几种.十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著《520个趣味数学难题》中也提出了下面的问题：16棵树，栽成15行，每行栽4棵，如何栽? 杜登尼的答案见左下图.美国趣味数学大师山姆·洛伊德曾花费大量精力研究“20棵树，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽18行的答案，见右下图.几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽20行的最佳方案，见左下图.稍后曾见报载，国内有人给出可栽21行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事——这些点是否真的共线? 既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知.在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意n个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点.直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明. 此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明. 1980年前后，《美国科学新闻》杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明.我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的. 由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具.在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解.数学中的简洁性的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用12S ah =(a 为底边长，h 为该边上高)或海伦公式S =为三角形半周长)去表达所有三角形的面积.数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性. 正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的. 实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号.附录 有趣的数制十进制数特点: 十进制数由十个数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，，组成. 二进制数特点: 二进制数由两个数字0和1组成.三进制数特点: 三进制数由两个数字0,1和2组成.前面讲过, 利用四个砝码: 1g, 2g, 4g, 8g, 可以称出1g——15g的整数克重量. 把重量用二进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式.用四个砝码1g, 2g, 4g, 8g可以称出1g——15g的整数克重量前面还讲过, 利用三个砝码: 1g, 3g, 9g, 可以称出1g——13g的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中). 把重量用三进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式. 下表中加下标3的数(如3101)表示三进制数, 不加下标3的数为十进制数.用三个砝码1g, 3g, 9g可以称出1g——13g的整数克重量1.1 数学符号人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、……. 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的. 文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”. 这些符号的组合便是语言. 人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号.符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力. 没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的.数学语言是困难的，但又是永恒的(纽曼语). 数是数学乃至科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字. 正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱.古代数学的漫长历程, 今日数学的飞速发展，十七世纪、十八世纪欧洲数学的兴起, 我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上都归咎于数学符号的运用得当与否. 简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，是何等重要! 反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算. 然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程. 在这个过程中，始终贯穿着人们对于自然、和谐与美的追求.古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一. 早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过, 他们用的是“单位分数”(分子是1的分数). 此外，他们还能计算直线形和圆的面积. 他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等. 可是，他们却是用下面的符号记数的：这样书写和运算起来都不方便，比如写数2314，就要用符号表示. 后来他们把符号作了简化而成为古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计数使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2，3，4，5，6，10，12，15，30，60等，这样，在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角度制，仍是六十进制). 巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法，他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成符号(称为楔形文字)，且将它们刻在泥板上，然后放到烈日下晒干以备保存. 同样，他们也是用楔形文字来表示数，无论是用来记录还是运算，都相对来说方便了许多.我国在纸张没有发明以前，已经开始用算筹进行记数和运算了. 算筹是指计算时使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具. 用算筹表示数的方法是：记数时, 个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说. 数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：在甲骨文中，数字是用下面的符号表示的(形象、自如)：阿拉伯数字未流行之前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)：它在计数和运算上已带来较大方便．在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号.我们再来看看方程用符号表示的历史(代数学的产生与方程研究关系甚密) . 在埃及出土的3600年前的莱因特纸草上有下面一串符号：它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的是一个代数方程式，用今天的符号表示，即211137327x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 宋、元时期我国也开始了相当于现代方程论的研究，当时记 数仍使用算筹. 在那时出现的数学著作中，就是用下图中的记号来表示二次三项式2412136x x -+的, 其中，x 的系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”． 到了十六世纪，数学家卡尔达诺、韦达等人对方程符号有了改进. 直到笛卡儿才第一个提倡用x 、y 和z 表示未知数，他曾用表示32926240x x x -+-=, 这与现在的方程写法几乎一致.其实，数学表达式的演变正是人们追求数学的和谐、简洁、方便和明晰的审美过程. 笛卡儿的符号已接近现代通用的记号, 直到1693年, 沃利斯创造了现在人们仍在使用的记号：韦达是第一个引进字母系数的人，但他仍用希腊人的齐次原则、拉丁记号plano 和solido 分别表示平面数和立体数；用aequtur 表示等于，in 表示乘号，quad 和cub 分别表示平方和立方，这显然不简便. 笛卡儿的符号已有较大程度的简化.我们还想指出一点：数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了. 随着数学的发展，随着人们对于数的认识的深化，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数?)，这需要创新.圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，但它又是无限不循环小数. 1737年欧拉首先倡导用希腊字母π来表示它(早在1600年英国数学家奥特雷德曾用π作为圆周长的符号)，且通用于全世界.用e表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数的也是欧拉. 我们知道，要具体写出圆周率或欧拉常数，这是根本不可能的(它们无限且不循环)，然而用数学符号却可精确地表示它们( 1.41421356=L表达一样).i表示，还是数学家欧拉于1777年首创的(这也使我们想到：欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系). 在奇妙的等式10ieπ+=中，所出现的五个数中的三个符号都是出自数学大师欧拉之手!从上面的例子我们可以看到：数学符号的重要在于它有无限的力量和手段来协助直觉，把社会和自然乃至宇宙中的数学关系联系起来，去解答一些已知或未知的问题，去创造更深、更新的思维形式.说到数学符号, 我们当然还不应忘记图形. 点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧几里得几何、非欧几何、解析几何正是研究这些图形的分支. 除此之外，还有许多精彩的例子. 首先我们会想到“哥尼斯堡七桥问题”.布勒格尔河流经哥尼斯堡市区，河中有两个河心岛，它们之间以及它们与河岸之间共有七座桥连接. 当地居民曾被一个问题搞得百思不得其解，这个问题是：你能否无遗漏又不重复地走遍七座桥而回到出发地?人们在不停地走着、试着，却无一人成功.数学大师欧拉接触此问题后，他巧妙地用数学手段将问题转化、化简，并成功地解决了这个难题. 首先，他将问题抽象成图形：用点代表河岸和小岛，用线代表桥(注意上面两个图中的A，B，C，D的对应)，于是得到右上图这个简单的图形，同时问题相应地改为：能否一笔画出这个图形?为了解决这个问题，我们首先明确：一笔画就是从图形上某点出发，笔不离开纸，并且每条线都只画一次不重复.其次，我们定义：若从图中某点出发的线的条数是偶数，则称该点为偶点; 若从图中某点出发的线的条数是奇数，则称该点为奇点.在左图中，从每一点出发都有两条线. 因此，这四个点都是偶点. 在右图中有4个点，从③、④两点出发的线有2条，故③、④是偶点；从①、②两点出发的线有3条，故这两个点是奇点.一个图形能否一笔画成，关键在于图中的奇点的个数. 欧拉发现了一个图形可以一笔画成的判定准则：奇点在一笔画中只能作为起点或终点. 在上述哥尼斯堡七桥问题中，所有的点都是奇点，因此，要想一笔画出下图是不可能的，也就是说，要想不重复地走过哥尼斯堡的七座桥，那是不可能的.欧拉的这项研究导致了拓扑学这门数学分支的诞生(在很大程度上讲，这也促进了图论这门学科的创立).例下面的图形能一笔画成吗?答第1图可以一笔画成.在第2图中，E点是偶点，其它点是奇点，所以第2图不能一笔画成. 第3图可以一笔画成.很难想象，如果欧拉不是运用了图形符号而是用河、桥去探讨这个问题，结果将会是怎样? 那样的话，解决问题的难度要变得很大，更谈不上新的数学分支的诞生.运用类似的方法，欧拉还证明了著名的关于多面体的顶点数V、棱数E和面数F之间的关系式——欧拉公式：由此人们发现了正多面体仅有五种：正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体.关于欧拉公式，我们可以用四面体和六面体来验证.-+V E F V E F四面体4642六面体81262六人相识问题：在任何6个人中, 必可从中找出3个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识.把这个抽象的问题转化成“点”与“染色直线”，从而巧妙地解答它，这不能不说是符号的一大功劳(要知道, 6人之间的相互关系的可能情况有2615C==种).2232768把六个人用点A、B、C、D、E和F表示. 若两个人相识，则用红线连接相应的点，若两人不相识，则用黑线连接相应的点. 点A与B、C、D、E和F的连线(5条)中，必有三条线的颜色相同, 不妨设AB、AC和AD为红色.再考虑B、C、D三点间的连线. 若它们全为黑色，则B、C、D三点为所求(左上图，它们代表的三个人彼此都不相识)；若三点间的连线至少有一条为红色，设它为BC，这时A、B、C三点为所求(右上图，它们代表的三个人彼此都相识).我们还可以有进一步的结论：上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组(证明见本节末附录).顺便讲一句：若要求彼此相识或不相识的人数是4，则总人数要增至18；若要求彼此相识或不相识的人数是5(这时有20010种组合方式)，则总人数要增至43人——49人之间(具体人数至今不详)；若要求彼此相识或不相识的人数是6，则总人数要增至102——165之间，确定它们是人们目前尚不可及的事.上面的事实，再次证明了数学符号的威力. 没有它, 至少问题的叙述会变得复杂而困难，或者根本无法表达清楚.世界原本是简洁的, 数学也是.没有数学语言(符号)的帮助，许多科学、技术的发展会变得迟缓，甚至停滞，这决非耸人听闻.我们说过：数、字母、代数式是符号，图同样也是符号，它们(数与形)之间的彼此借鉴与相互的通融，使得数学符号被赋予新意且更具魅力和美感. 为了更好地研究数学，人们必须创造且使用数学符号.如今，我们简直难以想象：如果没有现今的数学符号，数学乃至整个科学的面貌将会是何种模样!附录证明: 上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组.证明为证该结论, 我们注意到, 在本节的证明中, 我们实际上已证了下列命题若从某点向其余三点所引线段同色, 则在上述四点中, 必有某三点, 使得以其为顶点的三角形的三边同色(为方便, 以下称三边同色的三角形为同色三角形).只需考虑下列两图所对应的情形., 若BE、BF同为红色，则在A、B、E、F中，可在左图中．．．．产生同色三角形(上述命题), 且它异于BCD∆. 所以结论成立. 若BE、BF同为黑色，则在B、D、E、F中，也可产生同色三角形, 且它异于BCD∆. 所以结论仍真. 若BE、BF一红一黑, 不妨设BE为红, BF为黑.设CF为红(否则, 有黑BCF BCD∆≠∆, 得证), AE为黑(否则, 有红ABE BCD∆≠∆, 得证), AF ∆≠∆, 得证), DF为红(否则, 有黑BDF BCD为黑(否则, 有红ACF BCD∆≠∆, 得证), EF为红(否则, 有红∆≠∆, 得证), CE为红∆≠∆, 得证), DE为黑(否则, 有红DEF BCDAEF BCD(否则, 有黑CDE BCD∆为红三角形. 故结论∆≠∆, 得证). 此时, CEF成立.在上面的右图中．．．．．．．, 设CD 为黑(否则, ABC ∆和ACD ∆均为红三角形, 结论成立).若CE 、CF 均为黑， 则在C 、D 、E 、F 中，可产生同色三角形，且该三角形异于ABC ∆. 所以结论成立. 若CE 、CF 均为红，则同理可证结论成立. 若CE 、CF 一红一黑，不妨设CE 红, CF 黑. 设BE 黑(否则, 有红BCE ABC ∆≠∆, 得证), BD 黑(否则, 有红ABD ABC ∆≠∆, 得证), DE 红(否则, 有黑BDE ABC ∆≠∆, 得证), DF 红(否则, 有黑CDF ABC ∆≠∆, 得证). 此时, 在A 、D 、E 、F 中，可产生同色三角形，且它异于ABC ∆. 所以结论成立.。
浅谈小学数学课上的简约之美
浅谈小学数学课上的简约之美小学数学课上的简约之美表现在多个方面，包括教学内容的简练、教学方法的简单易懂、教学过程的精简高效等。
本文将从这些方面进行探讨。
小学数学课上的内容具有简练性。
数学是一门精确的学科，它的规则、定理、公式等内容都具有明确且简洁的表达方式。
在小学数学课上，老师通常会对这些内容进行简化和概括，以便让学生能够更容易理解和掌握。
在学习数学运算时，老师通常会把复杂的计算步骤进行简化，以便学生能够更快地求解问题。
小学数学课上的教学方法通常是简单易懂的。
考虑到小学生的认知能力和学习特点，老师会采用简单直观的教学方法，以便学生能够更容易理解和接受。
在教学加法时，老师会用物品的数量和图形的变化等具体例子来说明加法的概念和运算规则，让学生能够通过观察和操作理解加法的含义和过程。
小学数学课上的教学过程通常是精简高效的。
由于课时有限和学生注意力的容易分散，老师需要在有限的时间内尽量让学生掌握尽可能多的数学知识和技能。
为此，老师在备课和教学过程中会精心设计和安排，删繁就简，注重重点和难点的讲解，以达到高效传授数学知识的目的。
老师还会通过精确而简洁的语言和表达方式，使学生能够快速理解和记忆。
小学数学课上的简约之美还体现在教学环境的简明和教学资源的简化上。
一般来说，小学数学教室会布置得简单明快，黑板上的教学内容简洁明了，没有多余的装饰和干扰，以便让学生更好地集中注意力。
教学资源也是简化的，主要以教科书、练习册和教辅资料为主，减少了学生与学习资源的过多接触，以避免学习过程的复杂化和混乱化。
小学数学课上的简约之美在于内容的简练、方法的简单易懂、过程的精简高效以及教学环境和资源的简化等方面的表现。
这种简洁而有力的教学方式，有助于提高学生对数学知识的理解和掌握，培养学生的思维能力和解决问题的能力，为学生今后的学习打下坚实的基础。
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浅窥数学解题中的简洁美
由于数学反映的是自然的本质，因此，数学美本质上是自然美的抽象画，既有结论之美，也有方法之美，还有结构之美.与普通的自然美一样，归纳起来，数学美体现为以下几个特征：简洁性、和谐性、奇异性.
数学的美妙之处在于能把混乱化为和谐,纷杂化为对称,繁复变为简单,还在于能将一个陌生的问题利用熟知的"相似问题"进行类比,使其得以解决.
1.数学美的简洁性，包括符号美、抽象美、统一美、常数美.数学理论的过人之处之一就在于她能用简洁的方式揭示复杂的现象.数学美的简洁性是数学美的重要标志，它是指数学的证明方法、表达形式和理论体系结构的简单性.主要包括符号美、抽象美、统一美和常数美等.有人说，文学家能将一句话拓展成一本书，数学家则把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现为符号美；数学家关注万事万物的共同特质数与形，忽略其具体物质属性，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美；数学家建立不同事物之间的联系，发现其相同点，表现为统一美；数学家寻求变化中的永恒，动态中的静止，用常数或不变量描述事物本质，带给人们常数美.
比如，著名的欧拉恒等式，把自然界中5个最重要的常数0,1,i,eπ,通过数学的3个最基本的运算：加、乘、指数运算有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美；反映多面体的顶点数v，棱数e、面数f关系的欧拉公式f-e+v=2体现了数学的统一美和常数美；全部二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线)可以统一为圆锥曲线，而它们又分别表达了三种宇宙速度下物体运动的轨迹；笛卡尔通过坐标方法，用方程表示图形，用计算代替推理，实现几何、代数、逻辑的统一；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统一；克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学，认为不同的几何只不过是在相应的变换群下不变性质的科学，这些都反映了数学的统一美.
简洁性的另一个值得强调的是常数美中的不变量问题，数学所关注的本质、共性、联系、规律等，归根结底都是某种不变性，而不变性的一个重要表现就是不变量，这种不变量是数学简洁美的一个重要体现.
2.数学美的和谐性，包括对称美、序列美、节奏美、协调美.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学美的和谐性也是数学结构美的重要标志，数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，具体体现为对称美、序列美、节奏美、协调美等.其中对称美反映的是万事万物变化中的某种不变性，它包含着匀称、平衡与稳定；序列美、
节奏美和协调美反映的是万事万物变化中的某种秩序、联系和规律，它包含着有序(单调)、递归、循环(周期)、整齐与层次.
和谐性是自然的本质反映，自然界本身是和谐的统一体；和谐性也是真理的客观表现——真的东西是美丽的，正如爱因斯坦所说：“形式上的美丽，意味着理论上的正确.”数学中的和谐美俯拾即是.比如：杨辉三角；几何学中的黄金分割比；反映角度函数值关系的各种三角恒等式等.
3.数学美的奇异性.包括奇异美、有限美、神秘美、对比美等.数学美的奇异性是指研究对象不能用任何现成的理论解释的特殊性质.奇异是一种美，奇异到极致更是一种美.数学的奇异美包括有限美、神秘美、对比美.有限美是指以有限认识、表达与研究无限，具有神奇之功；神秘美是指某些结论不可思议、甚至无法验证，但却绝对正确无疑；对比美主要指数学中的突变现象形成巨大的反差，令人惊叹.比如，二进制中0与1的丰富含义，正多面体的个数有限性，数学归纳法的两步证明等都体现了有限美；抽屉原理证明的各种存在性，超越数、幻方等都体现了神秘美；所有分形图形的复杂与美丽，勾股定理产生的勾股方程与费马猜想的反差等都反映了对比美.
在某种意义上，数学美的简洁性是数学抽象的体现，数学美的和谐性与奇异性是现实世界的统一性与多样性在数学中的反映.
数学总被人们误以为是枯燥乏味的学科，让人提不起兴趣。
其实不然，其实数学本身就饱含各种各样的美，只要我们细心体会，它们就会呈现出别样魅力，给我们带来最美好的享受。
数学旨在拨开混沌寻找秩序、升级经验形成规律，将复杂还原成为最基本，这一过程本身就是美好的，而数学的美感与审美能力又是进行数学的研究与创造前提基础，所以说：“哪里有数学，哪里就有美”。
数学;美;数学美的作用
人们对于美好的事物总是不由自主的追求，如果你感到数学枯燥、无聊，那一定就是你没有尝试探索数学的美。
数学拥有着巨大的能量，它美丽诱人，神奇多变。
发现了数学的美，你就会深深的被数学的五彩缤纷所吸引。
历来有多少科学家为数学倾注了毕生精力，在数学的世界里不断的探索着未来。
“美”与数学同在，我们只有怀着一颗求美之心去了解数学，才能真正的感受到数学之“美”的博大精深与千变万化。
数学解题中的简洁美
爱因斯坦认为美的本质是简单性，他说：“只有借助数学，才能达到简单性的美学标准”。
他的这种美学观念和理论，在科学界有着较广泛的认同度。
当朴素、简单的外在形式与深厚底蕴相结合，就能形成为强烈的美。
我们看到，数学的理论、概念、公式都是非常简洁的，这些简洁的概括中又蕴含着整个世界的道理和完美性，这种简洁中就透着实在的美感。
在圆周长公式C=2πR中，不论这世界上有多少个圆，他的周长C都和半径R都遵循这一规律，这一简单的公式就将圆的共性一笔概括。
数学中，又有多少这样实用而深刻的概括和公式呢?我想是数不尽数的。
数学之和谐美
世间万事万物都是和谐统一的，自古人类就对和谐之美孜孜以求。
数学中的和谐美也是非常让人折服的，人尽皆知的数学和谐美就是黄金分割。
黄金分割又叫做黄金率，它表现的是事物各部分之间的比例关系：将一事物一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，这个比值是1∶0.618或者1.618∶1，这个0.618是世界上公认的审美数字，这种比例能给人直观的美的感受，并且在自然世界和人的生活中随处可见：人的肚脐是人的黄金分割点，门窗的长宽之比也多为0.618，植物自然生长叶柄夹角也符合黄金比例，各种建筑中随处可见0.618这个数字比例，各种著名画作、雕塑的黄面布局也符合黄金比例，这样的例子数不胜数。
可见数学的和谐之美不仅存在，而且早已渗入了我们生活中的点点滴滴之中。
数学之奇异美
我们认为奇异就是奇妙和变异，它具有开拓性和新颖性。
当已有的数学方法和理论遭到破坏，就会产生新的思想、理论、方法，这将
引起人的好奇与关注。
数学中许多新的课题和分支都源于人们对数学奇异性的探讨。
例如在无理数出现之前，人们普遍认为两条线段的长度是有公约的，后来，人们发现正常方形的对角线与边长不可公约，这种奇异的现象使得人们的思维从有理数跳跃出来，也带来的人类认知方面的一次飞跃。
看到这么美妙的数字规律，我们的心情也将为之开朗，数学的奇异之美引人入胜。
数学之对称美
数学的对称美是非常显而易见的，它是数学的一大特点。
数学对称美主要包括数(式)的对称美和图形的对称美两种。
数(式)的对称美体现在数(式)的结构上，如加法和乘法的交换规律a+b=b+a和ab=ba，a与b在位置上就具有对称的关系。
图形美则是指组成图形的部分之间，整体之间统一和谐之美。
我们常说的有轴对称图形和中心对称图形，这些图形的构图和谐、美观、匀称，被日常的建筑设计、服装设计、美术设计等广泛应用，这些来自数学的对称之美装点了我们的生活。
数学解题中的简洁美的意义
数学的美随时随地服务于人类，它的博大精深是任何一门科学所无法比拟的。
它需要我们用发现美的眼睛去体会，更需要通过我们的不断学习与积累去开拓和创造。
研究、揭示数学之美着实具有深刻的意义，千百年来，它不仅启迪着我们的思维、陶冶着我们的情操，也
为物理、生物、化学、天文等等学科的发展奠定坚实的基础，可以说，数学是人类的生存与发展的指路一盏明灯。
数学的美的科学，数学是充满力量的科学，哪里有数学，哪里就有美。
研究数学之美，将改变人们对数学的错误认知，将数学的绚丽多彩呈现于世。
作为新一代的社会生力军，我们应该以爱美、寻美、创美的精神去体会数学，积极提高数学学习的积极性，激发昂扬斗志，探索美好的未来。