数学美解题
以美为先导巧解数学题
分析
直接求 最值 往 往 无从 下 手 ， 但根据 Ｘ 、 、 ｚ
在 条件 中的“ 平等 ” 地位 及 函数 ｆ（ ｘ， Ｙ ， ） 中各 变 量 的 对 称性 ， 由审美 直觉 ， 可 以猜 测 ， 当 ｚ— — 时 ， 函 数
提 高 自身 的 解 题 能 力． 使 数 学 解 题 与 数 学 美 完 美 结
即 ＭＮ 的长约 为 ４ ． ９ ｍ．
本题 运用 数形结 合 ， 巧妙、 简洁、 合理 、 优美． 它 来 自于解 析几 何知识 结构 及“ 美 的 意识 力 ” 的思 考． 从 这
一
终 发现 “ 条件 ” 与“ 结论 ” 之 间的必然 联 系．
㈣
解答 发现 ， 数学 美 的指导 思想起 了决 定性 的作 用．
数 学美 在解 题 中无 处 不 在 、 无 时不 有 ． 在 数 学 解
ｚ ） ／ ｚ ≥２ ＋２ ￣ ／ ｚ ／ ｚ ≥４ √ 、 ／ ／ ｚ ／ ４ ７， 同理
题 教学 中 ， 如果 注意 挖 掘 其 中美 的 因 素 ， 则 会 收 到事 半 功倍 的 良好 效 果． 在分析解题过程时， 通 过 建 立 审 美 模式 ， 往往 会 使 思 路 简 洁 而 明 晰 ， 讲 述 深 人 而 有 针
，
在 数学解 题过 程 中 ， 教 师 可 以 引 导 学 生 探 寻 问 题
例 ３ 已知 ３ 个 正数 ｘ、 ｚ ， 满足 ２ １ ２ ＋Ｙ ４ － ｚ 二１ － ．
中数学 美 的 因素 ， 如 问题 结 构 的 和谐 美 ， 数 与 形 的统
一
试 求 函数 ｆ（ ｘ， ， ２ ） 一（ １ ＋ｉ ／ ｘ ） （ １ ＋ｉ ／ ｙ ） （ １ ＋１ ／ ｚ ） 的
数学之美感受数学美妙的练习题
数学之美感受数学美妙的练习题数学之美：感受数学美妙的练习题数学作为一门学科，虽然有着严谨的逻辑和抽象的概念，但它同时也蕴含着美感。
通过解答练习题，我们可以体会到数学的美妙之处。
本文将通过几个不同类型的练习题，展示数学之美的独特魅力。
一、几何问题几何是数学中的重要分支，以空间形体的研究为基础，通过几何题目的解答，我们可以感受到图形之美。
1. 已知一个正方形的边长为a，求其面积。
解答：由于正方形的边长相等，所以面积为a的平方。
这个简单的公式就体现了几何学中的美感，简洁明了又富有准确性。
2. 已知一个圆的半径为r，求其周长和面积。
解答：根据圆的性质可知，其周长为2πr，面积为πr的平方。
圆形的优美曲线以及周长与面积间简洁的关系，使得这道练习题在解答过程中带来了美妙的感受。
二、代数问题代数学是数学中另一个重要的分支，通过代数问题的解答，我们可以感受到数学在抽象推理方面的美感。
1. 求解方程2x + 5 = 15。
解答：将方程转化为2x = 15 - 5，得到x = 10/2，即x = 5。
这个简单的方程求解过程中，通过运算的推理展示了数学中的抽象美。
2. 判断以下数列是否为等差数列：1, 3, 5, 7, 9。
解答：首先计算两个相邻项的差值，发现每个差值都为2，因此数列为等差数列。
通过观察、比较和推理，我们可以感受到数学在数列研究中的美妙之处。
三、概率问题概率论是数学中的一门重要学科，通过解答概率问题，我们可以感受到数学在随机事件分析中的美感。
1. 抛一枚硬币，问正面朝上的概率是多少？解答：由于硬币只有正反两面，所以正面朝上的概率为1/2。
这个简单的问题体现了概率事件的简洁性和标准性，同时也展示了数学思维在随机事件中的魅力。
2. 从一个标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解答：由于一副标准扑克牌中有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
这道题目展示了概率的计算过程，同时也体现了数学中的逻辑性和规律性。
在实际解题中还学生数学美
在实际解题中还学生数学美美的事物值得人们欣赏、值得人们去追求。
而数学的美又在哪里？假如能引导学生发现数学之美，能在给学生呈现数学之美，那一定能吸引无数学生竞折腰。
标签：数学美教学学生求知欲古代哲学家普洛克拉斯说过“哪里有数学，哪里就有美”。
作为科学语言的数学，它研究的对象是数、形、式、向量、矩阵。
因此在其内容结构和表现形式上都具备了某种美，那就是数学美。
包含了对称美、简洁美、结构美、奇异美……现在，大多数学生对数学缺乏学习兴趣，他们感受不到数学的魅力。
其实这也是学生缺乏对数学美的领悟和鉴赏。
仅是为了成绩而学，那么学习必定成为负担。
因此，在教学过程中，能呈现数学美，发现数学美，那么就可以让学生迷上数学，这也是数学教育者们的重要任务之一。
一、数学的简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单”。
明快的公式、多姿的符号，绚丽的图案。
所以数学的简洁，是其他学科无法媲美的，对于这一点我在数学的学习和教学中感触颇深.简洁的东西有利于学生记忆。
1、阿拉伯数字在全球通用，那就是因为他简单易懂便于使用。
若是表示一个多位数字4，300，000，000，还可以用科学记数法表示：。
这样一个简洁的表达可以作用于宏观领域和微观世界。
那么在教学中，老师可以引入大数的实例，请学生用不同的语言或方式表达这个多位数，并与科学记数法比较，那便能呈现数学的简洁之美，从而使学生乐于接受并掌握新的表示方法。
2、简洁、优美的公式、定理和数量关系谱写了自然界和人类社会的内在关系。
比如：圆的周长公式：C=2 π r 周长与半径有着简洁和谐的关系，一个传奇的数“π”把它们紧紧相连。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
用式子就可以简单表示为：在中，。
一个简单的式子就可以将所有直角三角形的三边关系准确无误地表达出来，便于学生记忆和书写。
二、数学的对称美与规律展示对称是种美，它能给人以整齐、沉静、稳重、和谐的感觉。
1、几何图形的对称美，那是对数学对称美最通俗最直观的展示。
利用数学美的思想方法指导解题
利用数学美的思想方法指导解题Ξ□张继斯(防城港市防城中学,广西防城港538001)[摘 要] 论述了数学美及其特征,并从数学美的四个重要特征出发,通过具体的例子说明怎样利用数学美的思想方法指导解题。
[关键词] 数学美;简洁美;统一美;对称美;奇异美;解题[中图分类号] G 63316 [文献标识码] A [文章编号] 1002-5227(2008)S -0124-03数学美的信息隐藏在数学知识、数学方法、数学语言中,是隐形的,比如:符号、公式、概念的简洁美;命题、定理的准确清晰美;定义、概念的确凿深刻美;推理运算的节奏简捷美;图形、形状的相似对称美;还有解决数学问题的奇异美;数学教材体系的严谨、和谐、统一之美等。
我国著名数学家徐利治教授指出:“作为科学语言的数学,具有一般语言文学和艺术所共有的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美,即所谓的数学美。
数学美的含义是丰富的,数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等都是美的具体内容。
”可见,数学美的内容是多方面的,总的来说,数学美的表现,常具有简单、统一、对称、奇异等四大特征。
数学美除了能给人美的熏陶、美的感受外,还有一个重要的作用:可以利用它来解题。
那么如何利用数学美的思想方法指导解题?在这,我们先介绍一下数学解题中的美学方法。
数学中的美学方法,就是用数学美的简单性、统一性、对称性、奇异性去考察数学的对象,思考数学的问题,形成数学思维的美学方法和解题策略,并自觉地引进美学机制,按照美的规律去进行问题转化的有意识的活动。
在用这一方法解数学题时,应以美的态度和意识去进行观察、思考,看能否运用美学的方法(简单性方法,统一性方法,对称性方法,奇异性方法等)来解决问题,下面将对这个问题进行具体的论述。
1 追求数学美的简单性,寻求最佳解题方案简单美是数学美的特征之一,它是指数学的研究总是追求逻辑结构的简洁,推理和证明方法的简捷及解答形式的简明。
浅窥数学解题中的简洁美
浅窥数学解题中的简洁美由于数学反映的是自然的本质，因此，数学美本质上是自然美的抽象画，既有结论之美，也有方法之美，还有结构之美.与普通的自然美一样，归纳起来，数学美体现为以下几个特征：简洁性、和谐性、奇异性.数学的美妙之处在于能把混乱化为和谐,纷杂化为对称,繁复变为简单,还在于能将一个陌生的问题利用熟知的"相似问题"进行类比,使其得以解决.1.数学美的简洁性，包括符号美、抽象美、统一美、常数美.数学理论的过人之处之一就在于她能用简洁的方式揭示复杂的现象.数学美的简洁性是数学美的重要标志，它是指数学的证明方法、表达形式和理论体系结构的简单性.主要包括符号美、抽象美、统一美和常数美等.有人说，文学家能将一句话拓展成一本书，数学家则把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现为符号美；数学家关注万事万物的共同特质数与形，忽略其具体物质属性，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美；数学家建立不同事物之间的联系，发现其相同点，表现为统一美；数学家寻求变化中的永恒，动态中的静止，用常数或不变量描述事物本质，带给人们常数美.比如，著名的欧拉恒等式，把自然界中5个最重要的常数0,1,i,eπ,通过数学的3个最基本的运算：加、乘、指数运算有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美；反映多面体的顶点数v，棱数e、面数f关系的欧拉公式f-e+v=2体现了数学的统一美和常数美；全部二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线)可以统一为圆锥曲线，而它们又分别表达了三种宇宙速度下物体运动的轨迹；笛卡尔通过坐标方法，用方程表示图形，用计算代替推理，实现几何、代数、逻辑的统一；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统一；克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学，认为不同的几何只不过是在相应的变换群下不变性质的科学，这些都反映了数学的统一美.简洁性的另一个值得强调的是常数美中的不变量问题，数学所关注的本质、共性、联系、规律等，归根结底都是某种不变性，而不变性的一个重要表现就是不变量，这种不变量是数学简洁美的一个重要体现.2.数学美的和谐性，包括对称美、序列美、节奏美、协调美.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学美的和谐性也是数学结构美的重要标志，数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，具体体现为对称美、序列美、节奏美、协调美等.其中对称美反映的是万事万物变化中的某种不变性，它包含着匀称、平衡与稳定；序列美、节奏美和协调美反映的是万事万物变化中的某种秩序、联系和规律，它包含着有序(单调)、递归、循环(周期)、整齐与层次.和谐性是自然的本质反映，自然界本身是和谐的统一体；和谐性也是真理的客观表现——真的东西是美丽的，正如爱因斯坦所说：“形式上的美丽，意味着理论上的正确.”数学中的和谐美俯拾即是.比如：杨辉三角；几何学中的黄金分割比；反映角度函数值关系的各种三角恒等式等.3.数学美的奇异性.包括奇异美、有限美、神秘美、对比美等.数学美的奇异性是指研究对象不能用任何现成的理论解释的特殊性质.奇异是一种美，奇异到极致更是一种美.数学的奇异美包括有限美、神秘美、对比美.有限美是指以有限认识、表达与研究无限，具有神奇之功；神秘美是指某些结论不可思议、甚至无法验证，但却绝对正确无疑；对比美主要指数学中的突变现象形成巨大的反差，令人惊叹.比如，二进制中0与1的丰富含义，正多面体的个数有限性，数学归纳法的两步证明等都体现了有限美；抽屉原理证明的各种存在性，超越数、幻方等都体现了神秘美；所有分形图形的复杂与美丽，勾股定理产生的勾股方程与费马猜想的反差等都反映了对比美.在某种意义上，数学美的简洁性是数学抽象的体现，数学美的和谐性与奇异性是现实世界的统一性与多样性在数学中的反映.数学总被人们误以为是枯燥乏味的学科，让人提不起兴趣。
数学美解题
解 题 中 的 数 学 美泰州市朱庄中学 王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。
一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。
”例1． 已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个实数根分别为m 、n ，记P ＝m 4+n 4, q ＝m 3+n 3,r ＝m 2+n 2. 求aP+bq+cr 的值。
分析：本题若用根与系数的关系m+n ＝b/a,mn ＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。
解：由方程的定义，得am 2+bm+c ＝0, an2+bn+c ＝0，则aP+bq+cr＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+b m 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2) ＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。
例3 已知c b a ，求使得ca k cb b a ---≥+14恒成立时k 的最大值分析：设m b a =-；n c b =-化简可得。
例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a -+-+-+≥++二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
数学美在解题中的应用
发现数学美运用数学美 期刊门户-中国期刊网2009-11-3来源:《中学课程辅导·教学研究》第21期供稿文/李爱红[导读]这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆摘要：数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。
这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。
关键词：数学美；应用；作用作者简介：李爱红，任教于河南省孟州市第一高级中学。
数学教学的目的是使学生掌握数学基础知识与基本技能，形成数学能力，发展个性品质和形成科学的世界观。
“数学是思维的体操”，实施素质教育的主阵地在课堂，如何优化数学教学过程并提高教学效益，是近年来数学素质教育的重点研究课题，而数学的抽象性、单调性、枯燥性成为优化数学过程、推行素质教育的“绊脚石”。
其实，数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。
这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美、运用数学美，带领学生进入数学美的王国，让学生在审美的愉悦中丰富想象、陶冶情操。
重视数学教学中的美育，对培养学生的求异思维、超前思维、创造思维都有十分积极的意义。
下面笔者就结合自己的教学实际谈谈数学美在实际生活和数学解题过程中的应用。
一、数学美在实际生活中的应用首先，我们来简单了解数学美的含义：思维是地球上最美的花朵，而数学是锻炼思维的体操。
著名数学家高斯说：“去寻求一种最美和最简单的证明，乃是吸引我去研究的动力。
”所以，数学美的含义主要体现在既有情境之中的自然美，又有意料之外的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、联想美、统一美。
(1)数学图形在自然界的应用比如蜂房，就是典型例子。
从正面看，蜂巢由一些正六边形组成，每个内角都是120度。
整齐的排列已令人惊奇，更有趣的是底部，由三个全等菱形拼起来，而整个蜂巢就是由两排这样的蜂房，底部与底部相嵌接而构成。
小学数学教学中数学美的体现
小学数学教学中数学美的体现
小学数学教学中，数学美体现在许多方面，以下是几种体现数学美的方式：
1. 几何图形的美感
对称美：教学中强调各种对称图形的美感，学生通过学习对称性，欣赏各种对称图形的美妙之处，如镜像对称、中心对称等。
规律美：几何形状中的规律美是数学中一种重要的美感，教师可以引导学生观察和探索不同几何形状之间的规律，培养他们的审美能力。
2. 数学公式和方程的美感
简洁美：数学公式和方程的简洁性是数学之美的一部分，通过教学引导学生欣赏公式和方程简洁明了的形式，以及它们背后隐藏的深奥之处。
等式美：等式是数学中重要的概念，教学中可以通过等式的漂亮性和等式两侧不变的原则来展现数学之美。
3. 数学问题解题的美感
创造美：数学解题过程中的创造性思维是数学之美的重要组成部分，教学中可以引导学生从不同角度思考问题，培养其解决问题的美感。
逻辑美：数学问题解题过程中的严谨逻辑是数学之美的表现之一，教学中可以培养学生的逻辑思维，让他们感受数学推理的美妙之处。
4. 数学历史和文化的美感
历史美：数学作为一门古老学科，有着悠久的历史，教学中可以向学生介绍数学的历史故事，让他们感受数学文化的魅力。
文化美：不同国家和文化背景下的数学发展呈现出不同的美感，教学中可以多角度呈现数学之美，促使学生拓展对数学的认识。
通过引导学生领悟数学中的美感，不仅可以提升他们对数学学习的兴趣和主动性，还可以培养他们的审美情趣和创造力。
这种对数学美的感受和体验将使数学教学更加生动有趣，激发学生对数学的热爱。
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数学美解题解题中的数学美泰州市朱庄中学王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。
一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。
”例1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为m、n，记P＝m4+n4,q＝m3+n3,r＝m2+n2. 求aP+bq+cr的值。
分析：本题若用根与系数的关系m+n＝b/a,mn＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。
解：由方程的定义，得am2+bm+c＝0, an2+bn+c＝0，则aP+bq+cr23＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+bm 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2)＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。
例3 已知c b a ，求使得ca kc b ba14恒成立时k 的最大值分析：设m b a ；n c b 化简可得。
例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现4希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向。
例1． 求证：2/1·5/4·8/7…(3n －1)/(3n －2)＞313 n (n 为正整数)。
分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把 左边的结构补充完整。
解：设A ＝2/1·5/4·8/7·……·(3n －1)/(3n －2),B ＝3/2·6/5·9/8·……· 3n/(3n －1),C ＝4/3·7/6·10/9·……·(3n+1)/(3n),∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0， 8/7＞9/8＞10/9＞0，2313 n n ＞133 n n ＞nn 313 ＞0， ∴A ＞B ＞C ＞0.∴A 3＞ABC ＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6· · (3n5－1)/(3n －2) ·3n/(3n －1) ·(3n+1)/(3n)＝ 3n+1. ∴原不等式成立。
例2 证明：对于一切和为1的正数na a a a 321,,，不等式211212132222121a a a a a a a a a a a a n n nn n1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n A 1211232232122a a a a a a a a a a a a n nn n B0 B A再利用2)(222b a b a和A B A 2例4． 如图，△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC ＝1，∠A ＝60°, ∠ABC ＝100°, ∠DEC ＝80°, 求S △ABC +2S △CDE . 分析：△ABC 和△CDE 都是一般的斜三角形，直接求面积很困难，注意到∠A ＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC 整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解。
ABCDEF MEDCBA6解：以AC 为一边，∠A 为一内角作正三角形ACM,作∠MCB 的平分线交MB 于F 。
∵MC ＝AC, ∠MCF ＝∠ACB ＝20°, ∠M ＝∠A, ∴△MFC ≌△ABC.又∵△CD E ∽△CFB,CE ＝1/2CB, ∴S △CDE ＝1/4 S △CFB∴S △ABC +2S △CDE ＝S △ABC +1/2S △CFB ＝1/2S △ACM ＝3/8.三、对称美——从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美的数学内容可谓比比皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效。
长期以来，人们对于对称性的理解往往仅局限于函数图象自身的对称性和不同函数图象之间的对称性，这大大缩小了对称性的外延。
其实，对称性应广义的理解为对称关系，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用它往往能更简捷地使问题得以解决。
本文阐述自己在这方面的思考与探索.1．利用对称的图形关系几何图形的对称性是一种美,但它所蕴涵的代数关系往往是问题解决的关键,也是形成奇思妙解的源泉.9.函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析函数y＝11－x＝－1x－1和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝11－x与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设78其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 8例 1 在椭圆191622 y x 中,求以点)2,3(P 为中点的弦所在的直线方程.分析：按常规方法，设出过P 的点斜式方程，将它与椭圆方程联立，然后结合中点坐标公式、韦达定理求出斜率，进而求得直线方程.但如果注意到椭圆的对称性以及中点弦的对称性，则可以利用对称性构造关于中点的对称方程求解.先求出椭圆191622 y x 关于点)2,3(P 对称的椭圆方程19)4(16)6(22 y x ,然后将两椭圆方程相减,整理后可得所求直线方程: 01453227 y x .例2． 如图，P 为⊙O 的弦AB 的中点，过P 任作两条弦CD 、EF ，连结ED 、CF 分别交AB 于M 、N 。
求证：PM ＝PN 。
（蝴蝶定理）评述：本题给人以对称美的享受，七十年9代，美国一家数学杂志曾对此题进行有奖征答，涌现出多种证法，这里介绍本人的独特证法：证明：连接OP 、OM 、ON ，过O 作OG ⊥ED 、OH ⊥CF ，垂足分别为G 、H ，连接PG 、PH ， ∵PA ＝PB ，AB 不是⊙O 的直径， ∴OP ⊥AB∴O 、P 、M 、G 四点共圆，O 、P 、N 、H 四点共圆，∴∠EGP ＝∠MOP ，∠CHP ＝∠NOP 。
∵△PED ∽△PCF ，PG ，PH 是中线， ∴△PEG ∽△PCH 。
∴∠EGP ＝∠CHP ，∴∠MOP ＝∠NOP ，∴PM ＝PN 。
2．利用对称的结构关系数学问题常有对称的结构关系,如典型的轮换对称、和差对称、互倒对称、互余对称、共轭对称等，恰当的利用对称的结构关系不仅能提高解题速度，而且往往能以简驭繁，简缩思维，拓宽思路.例1． 化简))((c a b a bc ＋))((a b c b ca ＋))((b c a c ab的结果为＿。
（1991年第一届“希望杯”数学竞赛HG PN OFM C E DB A10试题）A. ))((2c a b a bcB. ))((2a b c b caC.))((2b c a c abD.0 分析：因原式是a 、b 、c 的对称式，故化简的结果也应是对称式，但选择支A 、B 、C 都不是对称式，因此选D 。
例2 已知a ＞0, b ＞0，且a ＋b ＝1，求(a＋a 1)(b ＋b1)的最小值. 分析：由题设条件可知 a 、b 具有对称性，因此猜想当a ＝b ＝21时，原式有最小值425，可考虑均值设元.解：设2121xb x a， (－21＜x ＜21) 则(a ＋a 1)(b ＋b1)＝242164162425x x x显然，当x ＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4.因而，当a ＝b ＝21时，原式的最小值为425. 32a z a ay x例3 解关于z y x 、、的方程组:32b z b by x .32c z c cy x分析:本题可以运用消元法解，但运算量大，若注意到z y x 、、及c b a 、、的对称性，则可以这样求解：将c b a 、、看成未知系数，z y x 、、看作系数，那么c b a 、、就是方程023 x ym zm m 的根，由韦达定理可得：zc b a cabc xy ca bc ab ，则原方程的解为： )(ca bc ab yxabc cc b a z例4 求不定积分dx xx xcos sin sin 分析:本题乍一看不易下手,方法不当难以积分.但如果注意到正弦和余弦的对称性以及和式与差式的对称性,则可以化难为易,得到以下简洁美妙的解法. 由于xx xxx x xx xx cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin,令dxT x x xcos sin sin 1；dxT x x xcos sin cos 2；则 1cos sin cos cos sin sin 21c x dx dx dx T Tx x xx x x ，2cos sin )cos (sin cos sin sin cos sin cos 12|cos sin |ln C x x dx dx T T x x x x d x x xx x x ，联解以上两式得).)((|)cos sin |ln (2121211c c c c x x x T 其中. 3．利用对称的性质关系例4 求和：n n nnnnnC C C C C S 4321432分析：从结构上看，求和的各项是由等差数列的项与二项式系数的项合成，二项式系数的突出性质就是具有对称性，即k n nk nC C ，而等差数列的性质之一也是对称性，因此联想利用倒序相加法来解决不失为一种简便又巧妙的方法.设n nnnnnnnC C C C C G S 4321043210 ① 则构造010)1(nn n n n C C n nC S ②①+②得nn nN n n n n n n n n n C C C C n nC nC nC nC nC S 2)(22103210 ∴12 n n S .4．利用对称的位置关系当数学问题中的若干几何元素自身或这些几何元素都与同一几何元素存在对称的位置关系，则可以研究对称的几何元素寻找解题突破口，或可以研究其中一个几何量的性质，其它类比解决.11．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________． 解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2ex ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2例5 设异面直线a 、b 成 60角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段|AB|=4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动，求AB 的中点P 的轨迹. 分析：由于异面直线a 、b 和两端点A 、B 的地位都 E A 相等，由位置的对称性知P 点的轨迹必在过EF的中点O ， o P A a 且与a 、b 平行的平面 内.故取EF 的中点O,过O 作a a // , B bb b // ,则b a ,确定平面 ,EF ⊥ ,且A 、B 在 内的射影A 、 F B B 分别在b a 、上，而且由对称性知AB 的中点P 必在B A上，由|EF|=2，|AB|=4可得32|| B A . y在平面 内以B O A 的平分线为x 轴，为原点建立直 A角坐标系.令m A O ||,n B O ||,在B O A 中1222mn n m . O P x设点P 的坐标为),(y x ,则有)(223n m x , )(221n m y , B解得y m x 232 ， y n x 232 ， 消去n m 、可得1292 y x . 5．利用对称的数量关系当数学问题中的若干元素（或若干情形）具有对称的数量关系时，由此出发构建解题思路，往往可化繁为简，化难为易.例 6 由0，1，2……9组成无重复数字的6位数，个位数比十位数大的6位数有多少个？分析:若从个位数字进行考虑,就得按0，1，2……9进行分类讨论,则问题较为繁杂.注意到任意一个个位数比十位数大的6位数,交换个位与十位后就得到十位数比个位数大的6位数,反之亦然,依此“对称性”知所求为6位数总数的一半,即 )9(5921A 68040个.例7 已知 、、、均为锐角，且满足1cos cos cos 222 ，求证：29sin 1sin 1sin 1222.分析:由对称性知当 32222sin sin sin时等号成立,于是:34sin 9sin 122； 34sin 9sin 122；34sin 9sin 122，将三式相加得94)sin sin (sin9sin 1sin 1sin 1222222，即94)]cos cos (cos 3[9sin 1sin 1sin 1222222，故29sin 1sin 1sin 1222. 6．利用对称的置换关系当数学对象的若干量存在特定的数量关系时，则可以通过这种对称的置换关系，获得其余量的特征.这大大减少了运算环节,降低了思维难度.例8 已知函数ax x x f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，定义数列 n a ，使得a a 1，),(12a f a ……，)(1n n a f a .(1)求数列 na 的通项； （2）求证：11i ni i a a <8.分析：解决本题的出发点在于求出参数a .由于函数ax xx f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，因此可以进行以下置换:用 x换y ,用y 换x ,得到解析式: ay y x)(2.即2x ax y ,于是得2 a (其余略).评注:中学数学中有一个典型的置换,当几何图象关于直线b x y 对称时,其代数表达式则满足这样的置换关系: 用 b x 换y ,用b y 换x .例9 已知椭圆16222 y x 的内接PAB 的顶点P 的坐标为)3,1(，若APB 的平分线垂直于x 轴，求AB 边的斜率.分析:由平面几何知识知，直线PA 、PB 的倾斜角互补，其斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k ,将其方程3)1( x k y 代入椭圆16222y x 方程.可求得点B 的坐标为)33363,3332(2222 k k k k k k 求A 点的坐标时,无须将直线PA 的方程代入椭圆,只须以k 置换点B 坐标中的k ,即可得点A 的坐标)33363,3332(2222k k k k k k,所以3AB AB ABx x y y k.7．利用对称的变换关系中学数学问题有四类典型的对称变换，即点关于点的对称；点关于线的对称，线关于点的对称；线关于线的对称.这些对称变换一般利用中点公式、垂直关系，结合韦达定理则可以顺利解决.例10 已知椭圆C 的方程为16222 y x ，试确定m 的取值范围，使得对直线m x y L 4:，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:本题是一道典型的点关于直线对称的变换,需要抓住中点公式、垂直关系，结合韦达定理求解.故设C 上),(11y x A 、),(22y x B 两点关于直线m x y 4对称，AB 的中点为),(0y x .由于L AB ,可设直线AB 的方程为: b x y 41.由 m x y 4 得0481681322 b bx x16222 y x则: )4816(1346422 b b >0; 134221b x x x ; b b x y 13120410∴213 <b <213, ① AB 的中点为),(1312134b b 在直线L 上.∴m b b 13161312, 即134b m ,代入①得 13132<b <13132. 评注:本题还可以将),(11y x A 、),(22y x B 两点代入直线方程,利用两式相减求解,但都要注意使用设而不求的转换策略.四、相似美——从直觉判断和类比中发现数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题。