微积分的创立——卡瓦列利、笛卡尔
微积分的创立、发展及意义【最新】
微积分的创立、发展及意义摘要该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要意义。
在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面的影响及其深远意义。
关键词：微积分数学史创立发展意义论文1、微积分的创立1.1 微积分的创立背景[1]克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。
第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。
首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略。
用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。
对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利(B.Cavalieri意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。
瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。
对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费马创造的。
在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。
微积分学来源
微积分学来源微积分学是微分学和积分学的总称。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
微积分概念发展史
微积分概念发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
微积分发展简史
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《微积分产生的历史背景》
作业
谢谢
另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运 动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的 运动方向，即轨迹的切线方向。
函数的最值问题
早在16世纪，西欧各军事强国的火炮制造技术就已
经非常先进。那么，一个现实的问题就是，发射角多大 时炮弹获得最大射程。
十七世纪初期，伽利略断定（在真空中）最大射程 在发射角是45 时达到；他还得出炮弹从各个不同角度 发射后所达到的不同的最大高度。 研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题， 例如求行星离开太阳的最远和最近距离。
微积分产生的历史背景
导入新课
17世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得 几何学后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数 学乃至整个科学发展史崭新的一页。 那么微积分是在怎样的背景下产生的呢？
内容解析
微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、
天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。 微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝 酿过程。
体积的方法，此法在17世纪时称“穷竭法”。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理
学家都为解决上述几类问题作了大量研究工作,如法
国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 沃利斯；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提 出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献。
虽然众多的数学家的研究工作为微积分的诞生做了
面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
面积与体积计算问题古已有之，如曲线围成的面积；
曲面围成的体积。17世纪上半叶，随着天文学的长足进 步，这方面的问题变得更为突出。
如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律 和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星 扫过的面积以及物体重心与引力等计算。
数学史第七章巨人的杰作——微积分的创立讲义
巨人的杰作——微积分的创立
7.3 科学巨人—— 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨
7.3 科学巨人——牛顿
牛顿
Isaac Newton
数学家 物理学家 天文学家 自然哲学家 英国皇家学会会员
艾萨克·牛顿简介
艾萨克·牛顿（1642--1727）出生于英格兰林肯郡的一 个小镇乌尔斯索普。他出生之前，他的父亲就已去世 。在牛we顿lco3m岁e时to ，us他e th的es母e P亲ow改e嫁rPo给in一t te个mp牧lat师es，, N把ew牛顿托 付给了Co他nt的ent祖de母sig抚n,养10。ye8a年rs后ex，per牧ien师ce病故，牛顿的母亲 又回到了乌尔斯索普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强， 这种习性可能来自他的家庭环境。
主要贡献
微积分的创立 二项式定理
运动的三个基本定 律（牛顿三定律）：
光学、哲学、 天文学
数学其他方面
微积分的创立
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时 笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的 影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚 的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。
1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文《 论数短论》，其中首次提出了流数的概念，所谓流数 就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商， 至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加 速度是速度的微商。
艾萨克·牛顿简介 牛顿墓碑铭文：此地安葬的是艾撒克·牛顿勋爵，他 用近乎神圣的心智和独具特色的数学原则，探索出行 星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的 不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到 的颜色的特性。以他在研究自然、古物和圣经中的勤 奋、聪明和虔诚，他依据自己的哲学证明了至尊上帝 的万能，并以其个人的方式表述了福音书的简明至理。 人们为此欣喜：人类历史上曾出现如此辉煌的荣耀。 他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。
微积分的发展史
微积分的发展历史摘要：我国和西方古代微积分的萌芽到近现代微积分的巨大发展，以及从牛顿到柯西等人为微积分的发明。
关键词：微积分；中国；西方；牛顿；“流数术”；微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
（一）我国的微积分思想萌芽：公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。
魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
”（二）西方的微积分思想萌芽：安提芬的“穷竭法”。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
（三）近现代微积分的发展：1635年意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。
1665年，牛顿对微积分问题的研究始于，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，牛顿首创了小○记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量。
并发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法），这就是牛顿的“流数术”。
在牛顿发明“流数术”的同时，莱布尼茨几乎和牛顿取得了同样的成就，并得到了著名的牛顿—莱布尼茨公式：从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
微积分发展史
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
微积分的现代发展
在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后， Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将 Riemann积分的含义扩展。例如著名的 Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在 Lebesgue积分下便可积。
我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域， 便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对 人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。 并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数 学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想 便属于这一领域。
1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量 方法》中陈述了他获得的著名定理，即现 在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克 劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代 微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒 级数称为“麦克劳林”级数。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元 函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。 这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利、 欧拉和拉格朗日等数学家。
第第二一类类是是，，望已远知镜物的体光的程移设动计的使距得离求表曲为线时 间的函数的公式的，切求线物问体题在任意时刻的速 度第第和三四加类类速是问度，题使确是瞬定求时炮行变弹星化的沿率最轨问大道题射运程动以的及路求 行程星、离行开星太矢阳径的扫最过远的和面最积近以距及离物等体涉重及 心与引的力函等数，极使大面值积、、极体小积值、问曲题线长、
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3 2
(x y)
y
3
（1）
另外：
2 a a a a (x y) a (2 x 2 xy) 3 2 2
2 2 3 a 2 (x y) xy a 3 4 x 2 y 3 3 1 2 3 x y a 12
（2）
N
D
*
a 4 x 4 z
2 2 0 0 0 a a a 2
1 3 x a 3 0
2
a
*
几何反思:
0
a
A
E
x
a M
B
z
x 的几何图形是底 边为a的正方形， 高为a的四棱锥。
2
x
o
z
G
Y F
Y
H=a a
C
N
D
N=3时，
x
3
3
?
3 2 2
3 a
x 3 x y 3 xy 2 x 6 x y
v x 2 x3 v x 2 x3 切线斜率= 2 2x f (x) x
1 4 将（1）代入（2）式中 x a 4
3
*
*生平简介：
1596年3月31日生于法国安德尔-卢 瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛 卡尔以纪念这位伟人），1650年2月 11日逝世于瑞典斯德哥尔摩。笛卡 尔是法国著名的哲学家、物理学家、 数学家、神学家，他对现代数学的 发展做出了重要的贡献，因将几何 坐标体系公式化而被认为是解析几 何之父。
f (x)
x
V-X
V
x
*
*例1：求y= x2
f (x) 解：
2
上任意一点P(x ,f (x))的切线斜率？
(v x) 2 r 2 (x e) 2 Ci X i
x 4 v 2 2vx x 2 r 2 (x e) 2 (x 2 ax b)
左右同次幂相等：
*
y Y=f(x)
2 2 2
1
该圆c(v,0)与y=f(x)相切时， P(x,f(x)) 点p是 f (x) (v x) r 的重根。 有重根x=e(任意值)的方程 2 r 2 i （ x-e ） C X 可以写成 i f(x) C(V,0)
1=2 ， 另外，根据相似， 所以，切线斜率= v x
2
A 平行于底线段的平方和。 在这两个三角形中，任 2 Z 何一个上的 之和表 示一个棱锥的体积
E
a M
B
z
x
o
x
G
Y F
z
Y
而这个棱锥的底面各边和高 a C 2 都是 x 表示的棱锥的边和 0 1 1 1 1 高的一半（2 2 2 = 8）
a a 1 1 2 2 2 Z 2 x x 8 0 4 0 0 a
x
a M
B
z
a a 令x z , y z 2 2
a a a xy z z z 2 2 2 4
2
x
o
z
G
Y F
Y
a
0
a 0
a
2
4 x 4 z
2 0 0
a
a
2
C
N
D
2 Z 怎么求？
*
OCN和 OBM z 是
D
另外：
a x y x y
由于x、y对称
a
0
a
0
2 x
0
0
a
1 2 x a 2 0
a
*
几何反思：
a
1 2 X a 2 0
a
A
x
x
a
B
G Y
Y
x 的几何图形就是边长为a E 0 的等腰直角三角形的面积。
F
a
0
a
的几何图形就是边长为a 的正方形的面积。
图1
图2
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被 平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的 两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体 积相等。
平面 1
平面 2 图1 图2
*卡瓦列利不可分量原理：
如果两个立体高度相等，任何两个分别与两 底平行与两底距离相等的平面与两个立体相交所 得截面面积之比恒等于给定的比，则两个立体体 积之比也等于给定的比。
*笛卡尔主要数学思想：
*在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，
代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出 解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起， 数轴是数和形的第一次接触。幵向世人证明，几 何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转 换来发现、证明几何性质。 新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几 何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几 何”或称“座标几何”。
C(X) P(X) x h
*
r
1
1
*
*
S C (X) S P (X)
x 2 (r ) h x 2 ( ) h
r2 ,
V 圆锥 = r 2 V 四棱锥
C(X)
P(X)
x h
r
1
1
*
卡瓦列利应用不可分量原理的应用
——推理出幂函数的积分公式：
a x dx (n 1、、、、、、、、 2 3 4 5 6 7 8 9) n 1 0
*笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创
*笛卡尔设想的“万能方法”：
任何问题
数学问题
代数问题 方程问题
*如何求曲线y=f(x)的过任意一点p(x,f(x))的切线
斜率？
*
笛卡尔：（1）通过构造一个半径是r圆心为c的圆； （2）圆与y=f(x)相切时，CP 就是法线； （3）做CP的垂线就是切线。
C
D
*
N=2时，
2 X ？ 0
a
A
2
a M
B
z
a
0
a
2
x y
0 a 0
a
E
a
x
o
x
G
Y F
(
2 2 x 2 xy y 0 0
a
z
Y
x、y有对称性)
a a 0 0
2 x 2 2 xy
C
N
D
*
2 2 a 2 x 2 xy
A
E
n a n 1
*
当n=1时，有 X
0 a
？
EF//AB且EF交CB于G点 令AB=AC=a , EG= x ,GF= y a=x + y
按照卡瓦列利的不可分量法： 面积是由无穷多个线段组成。
A
E
x
a
B
GY
Y
x
F
a a a
A 0
a a 0 0
Ca2源自（正方形ABCD面积） C
a a
*
*卡瓦列利基本思想：
点、线、面、体的兲系 线是由无穷多个点构成的，面 是由无穷多条线构成的，体则是由 无穷多个面构成的。
点、线、面分别就是线、面、体 的不可分量。
*
*卡瓦列利不可分量原理：
夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被 平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的 两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积 相等；
*
卡瓦列利的不可分量法 笛卡尔的“圆法”
*
*生平简介： 是意大利著名的数学家，1598年生
于米兰。1629年，大科学家枷俐略向波伦亚大学 推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又 将自己的《几何学》手稿和一本论圆锥曲线及其在 光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己 能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者 中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此， 他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647 年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的《几 何学》，《一百个不同的问题》等等。