2021年浙江省丽水市渤海中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年浙江省丽水市渤海中学高三数学理模拟试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( )
A．
B．
C．
D．
参考答案：
B
试题分析：立体图就是直三棱柱被切掉红色线框的三棱锥后的立体图
考点：1.几何体的三视图；2.几何体的体积；
2. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等
于( )
A． B． C．5
D．3
参考答案：
【知识点】正态分布K8
A
由正态曲线的对称性知, .
【思路点拨】由正态曲线的对称性求出。

4. 已知复数是虚数单位，则复数的虚部是 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
4. 公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于 ( )
(A)．1 (B)．2 (C)．3
(D)．4
参考答案：
B
5. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
参考答案：
D
6. 下图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
考点：三视图.
7. 设集合，则满足的集合B的个数是
（A） (B) (C) (D)
参考答案：
C
因为，所以,所以共有4个，选C. 8. 平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝
（A）（B）2（C）4 （D）12
参考答案：
B
解析：由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴
9. 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案：
C
10. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：
，，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量满足，则__________．
参考答案：
5
依题意，得：，，
∴.
故答案为：5
12. 下列命题：
①函数在上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧；
③；
④数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当
时，取得最大值；
⑤定义运算则函数的图象在点处的切线方程是
其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）.
参考答案：
②③⑤
13. 的展开式中项的系数为．
参考答案：
－2835
二项式展开式的通项为，令，得．
故展开式中项的系数为．
14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：∵acosB+bcosA=2，
∴a×+b×=2，
∴c=2，…（6分）
∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，
∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）
由cosC=，得sinC=，…（10分）
∴S△ABC=absinC≤××=，
故△ABC的面积最大值为．
故答案为：．…（12分）
【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
15. 以下命题，错误的是（写出全部错误命题）
①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4
②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥
③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜
④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，
．
参考答案：
①②③
考点:命题的真假判断与应用．
专题:导数的综合应用；简易逻辑．
分析:①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；
②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；
③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则
，解得即可判断出正误；
④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，
n∈R+且不全等，kd ，，，等号不全相等，即可判断出正误．解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；
②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒
成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；
③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）
取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f
（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．
④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，
，因此正确．
综上可得：错误的是①②③．
故答案为：①②③．
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知是定义在上的函数，且满足时，
，则等于 .
参考答案：
1.5
17. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（I）当时，求在最小值；
（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：（
参考答案：
（I），定义域为．
，
在上是增函数．
当时，；……… 4分
，解得
．
综合①②③知：
．
……… 9分
（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，．
，
．
……… 15分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．
设当时，命题成立，即．
时，．根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成
立．………15分
略
19. （16分）设数列{a n}的前n项和S n＞0，a1=1，a2=3，且当n≥2时，a n a n+1=（a n+1﹣a n）S n．
（1）求证：数列{S n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）令b n=，记数列{b n}的前n项和为T n．设λ是整数，问是否
存在正整数n，使等式T n+成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】：数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．
【专题】：等差数列与等比数列．
【分析】：（1）通过当n≥3时，a n=S n﹣S n﹣1，a n+1=S n+1﹣S n，代入a n a n+1=（a n+1﹣a n）S n，通过S1=1，S2=4，S3=16，满足，而S n恒为正值，即可证明数列{S n}是等比数列；
（2）利用（1）求出S n，然后求数列{a n}的通项公式；
（3）化简b n=，利用裂项法求出数列{b n}的前n项和为T n．通过
n=1，推出λ不是整数，不符合题意，n≥2，是整数，从而λ=4是整数符合题意．然后得到结论
解：（1）当n≥3时，a n=S n﹣S n﹣1，a n+1=S n+1﹣S n，
代入a n a n+1=（a n+1﹣a n）S n并化简得（n≥3），…（4分）a n a n+1=（a n+1﹣a n）S n，又由a1=1，a2=3得S2=4，
代入a2a3=（a3﹣a2）S2可解得a3=12，∴S1=1，S2=4，S3=16，
也满足，而S n恒为正值，∴数列{S n}是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知．当n≥2时，，
又a1=S1=1，∴…（8分）
（3）当n≥2时，，此时
=，又
∴．…（10分）
故，
当n≥2时，
=，…（12分）
若n=1，
则等式为，不是整数，不符合题意；…（14分）
若n≥2，则等式为，
∵λ是整数，∴4n﹣1+1必是5的因数，∵n≥2时4n﹣1+1≥5
∴当且仅当n=2时，是整数，从而λ=4是整数符合题意．
综上可知，当λ=4时，存在正整数n=2，使等式成立，
当λ≠4，λ∈Z时，不存在正整数n使等式成立．…（16分）
【点评】：本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，函数的思想的应用，考查分
析问题解决问题的能力．
20. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且.
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,求斜三棱柱的侧棱的长度.
参考答案：
(1)取中点，连接，则面，
，
（2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴，建立空间直角坐标
系……5分
，设则
即
设面法向量；面法向量
21. 已知椭圆的焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点恰好落到由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界）？若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
略
22. 设函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤），它的一个最高点为（，1）以及相邻的一个零点是．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）﹣2cos2x+1，x∈[，2]的值域．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）由T=2?T=8，继而可得ω；由ω+φ=2kπ+（k∈Z），|φ|≤，可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换可求得g（x）=sin（x﹣），≤x≤2?﹣
≤x﹣≤，利用正弦函数的单调性即可求得x∈[，2]时y=g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵T=﹣=2，
∴T==8，
∴ω=；
又ω+φ=2kπ+，k∈Z．
∴φ=2kπ﹣，k∈Z．
又|φ|≤，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（x﹣）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=g（x）=sin（x﹣）﹣2cos2x+1
=sin x﹣cos x﹣cos x
=（sin x﹣cos x）
=sin（x﹣），
当≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，
∴﹣≤sin（x﹣）≤，
∴﹣≤sin（x﹣）≤．
∴y=g（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，着重考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定及正弦函数的单调性，属于中档题．。