层次分析法二

（ Aw） i λ =∑ nw i i
层次分析
3. MATLAB算法 %对于形如 A = (mij/hij)的正互反阵，求特 征值和特征向量。 >>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn1,…,mnn]; >>A=B./B’ >>[X,D]=eig(A)
1 m RI n = ∑ CI nk m k =1
则 CI > RI 时, 判断矩阵明显不具有一致 性。 取 α < 1 , 则当 CI < α RI 时, A 在水准 α下有满意的一致性.
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四. AHP的计算 1. 最大特征根与特征向量的计算—幂法 给定 A > 0, 对任x>0 则
Ak x lim xT Ak x = cv , v是A的主特征向量 k →∞
一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特 征向量。 若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 aij = aik/ ajk = wi / wj。 表示wi 与 wj之间的比值, 是这两者重要 性之间的一个判断. w 就是各对象之间的一个排序. 即:各列均表示被判断元素之间的排序。
定理 3 证明:
wj wi
+ (aij
wj wi
) ] ≥ 2， 若λ1 = n，则 [∗] = 2
−1
a ij = wi w j 致
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4. 判断矩阵的一致性指标 对于矩阵 A， ∑λi = trA= ∑aii
i i
A 正互反，有
∑λ
i
i
=n
A 一致正互反，有
λ1 = n, λi = 0, i = 2, , n
∃λ1 > 0, w > 0 , Aw = λ1w ,
∑a w
ij j
j
= λ1wi
w j −1 wj w j 1 n −1 n 1 n n λ1 = ∑ ∑ aij = ∑ ∑ [ aij + ( aij ) ] +1 wi n i =1 j =1 wi n i =1 j =i +1 wi
[aij
A 正互反，则 λ1> n
λ1 − n 1 n CI = − ∑ λi = n − 1 n − 1 i=2
5. 随机一致性指标 固定 n, 令 A 的上三角从{1/9,…,1,2,…,9} 中随机取值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。 对每个 n = 1, 2, …, 9 分别随机地抽取 n=100~500 个样本, 得到 Ank 和 CInk (不一 致判断矩阵的指标)。取
2. 一致性判断矩阵与因素排序
一致性判断矩阵：所有元素满足一致性 条件 aij = aik akj 的判断矩阵。 一致性判断矩阵的特征向量就是因素的 排序
3. 矩阵的一致性 定理 1. (Peron-Frobenious) 非负矩阵存在 正的最大模特征根,对应着正的特征向量。 定理 2. 一致的正互反阵的秩等于 1，主特 征根为n，若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则 有 aij = wi / wj。 定理 3. n 阶判断矩阵是一致的，当且仅当 1=n。 ：
若取 则
x = e = (1,1,
k→∞
,1) T
w 为排序向量
lim
Ake = w, T k e A e
（ i 特征根为 λ = Aw） wi
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2. 特征根与特征向量的近似算法 计算行(几何)平均
M i= ∏ aij ， wi = n M i
j =1 n
归一化 特征根
wi T wi = ， w = w1， ，wn）为特征向量 （ ∑ wi
三. 分析原理 1. 标度法 10. 心理学研究表明，人们通过感觉 思维比较判断两个对象的相对差别是可 能的。 20. 同时比较时能区别差异的心理学 极限为7±2个。
30. 实验表明 9 级标度法是可行的。 光源四面放四个物体, 距离为 27, 45, 63, 84。 可算得它们的相对亮度为 0.607, 0.219, 0.111, 0.063。 记 W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对 亮。 由人进行相对比较, 得 (c1-c2): W-S, (c1-c3): S-D, (c1-c4): D, (c2-c3): W, (c2-c4): W-S, (c3-c4): E-W c1:c2, c1:c3, c1:c4, c2:c3, c2:c4, c3:c4
定理 2 证明： 一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例 aij = m aih，i=1,…,n 由一致性：aij = aik akj， aih = aik akh，则 aij /aih= akj /akh=m, 即 aij = m aih,i =1,…,n 由 aij = aik/ ajk， 令a=(a1k a2k … ank)’, a-1=(1/a1k 1/a2k … 1/ank)’ 则有 A = a a-1’ , 判断矩阵的秩为 1. 且有 A a = a a-1’a = n a