最优化方法与策略 层次分析法(AHP)
AHP层次分析法应用
AHP层次分析法应用AHP（Analytic Hierarchy Process）层次分析法是由美国运筹学家、哈佛大学教授Thomas Saaty于20世纪70年代初提出的一种多准则决策分析方法。
它通过将问题分解成多个层次，采用对比判断的方法，对各个层次的因素进行评价和排序，最终得到最优决策方案。
AHP方法广泛应用于各个领域，包括经济、管理、工程、环境、医疗等领域。
AHP方法的核心思想就是将复杂的决策问题分解成多个层次，从而更加系统和全面地进行评价和决策。
AHP方法包括以下几个基本步骤：1.建立层次结构：首先，需要明确决策问题，并将其分解成多个层次。
通常，AHP方法包括目标层、准则层和方案层。
目标层是最高层，表示决策的目标或价值观。
准则层是中间层，表示决策目标的具体指标或要素。
方案层是最底层，表示各种决策方案或选择。
2.构建判断矩阵：接下来，需要构建每个层次之间的比较矩阵。
比较矩阵是指根据专家对两个因素之间相对重要性的判断，构建的一个方阵。
判断矩阵的元素表示两个因素之间的相对重要程度，采用1-9的尺度进行比较。
具体而言，1表示两个因素具有相同的重要性，9表示一个因素比另一个因素重要程度非常高。
3.计算权重：通过计算各层次之间的比较矩阵，可以得到每个因素的权重。
具体地，通过计算比较矩阵的特征向量（对应最大特征值的特征向量），将其标准化后即可得到每个因素的权重。
4.一致性检验：为了保证判断矩阵的可信度和稳定性，需要进行一致性检验。
一致性检验使用一致性指标CI和一致性比率CR来评估比较矩阵的一致性程度。
一般来说，当CR值小于0.1时，认为比较矩阵是可接受的。
5.评估和选择最优方案：通过比较各个方案的权重，可以得到最优决策方案。
最优决策方案通常是根据权重最大的方案来确定的。
AHP方法的应用范围非常广泛。
在经济中，可以应用于公司战略决策、投资决策、供应链管理等领域。
在管理中，可以应用于人才选拔、绩效评估、决策问题分析等方面。
层次分析法(AHP法)
一致性检验是层次分析法 中非常重要的步骤，可以 保证分析结果的可靠性
04
CATALOGUE
层次单排序
特征向量法
总结词
通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素权重的方法。
详细描述
特征向量法是层次分析法中确定权重的一种常用方法。它基于线性代数原理，通过计算判断矩阵的特 征值和特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反映各因素之间的相对重要性，广泛应用于决 策分析和多目标优化等领域。
要点一
总结词
通过计算判断矩阵的最大特征值对应的特征向量来确定各 因素权重的方法。
要点二
详细描述
最大特征值法也是层次分析法中确定权重的一种常用方法 。它基于矩阵论原理，通过计算判断矩阵的最大特征值和 对应的特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反 映各因素之间的相对重要性，并且在判断矩阵一致性检验 中具有重要作用。最大特征值法在多目标决策、系统评价 等领域有广泛的应用。
03
CATALOGUE
构造判断矩阵
标度定义
标度2
两个元素相比，前者比后者稍 重要
标度4
两个元素相比，前者比后者强 烈重要
标度1
两个元素相比，具有相同的重 要性
标度3
两个元素相比，前者比后者明 显重要
标度5
两个元素相比，前者比后者极 端重要
判断矩阵的构造
01
通过专家咨询、比较等方法，对每一层次各元素相对重要性给 出判断
02
将判断结果整理成矩阵形式
判断矩阵的元素aij表示第i个元素与第j个元素相对重要性的比值
03
判断矩阵的一致性检验
一致性检验是检验各元素 重要性判断是否具有逻辑 一致性
当CR<0.1时，认为判断 矩阵的一致性是可以接受 的；否则，需要对判断矩 阵进行调整
ahp名词解释
ahp名词解释
AHP，全称Analytic Hierarchy Process，中文名是“层次分析法”，是美国运筹学家、匹兹堡大学T. L. Saaty教授在20世纪70年代初期提出的。
层次分析法是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的主观判断结构，把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。
而后，利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。
如需了解更多关于AHP的信息，建议查阅相关资料或咨询专业人士。
层次分析法AHP法ppt课件
18
目标层
工作选择
准则层 方案层
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
19
建立层次结构模型的思维过程的归纳
1
w2
wn
wi wi wk
wj
wk w j
wn
wn
1
w1 w2
27
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）2。6
3 层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
wn
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
20
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
7. 层次分析法(AHP)简介
一致性檢驗
3. 由于人在主觀比較的時候可能會存在比較不一致的問題﹐因 此需要在此驗証矩陣的一致性。
1 n ith entry in AW T Tem p = ( ) T n i =1 ith entry in W
CI = Temp n n 1
如果
CI 0 .1 RI
則可認為矩陣有令人滿意的一致性
1 1/6
6 1
水平分值
0.857 0.143
方案一
方案二
•綜合分值
准則 空間利用率 物流強度 搬運距離 擴充彈性
權重 方案一
0.057 0.250 0.750
0.263 0.167
0.558 0.125
0.122 0.857
綜合分值 0.361
方案二
0.833
0.875
0.143
方案二最 優
0.639
1 5 7 3 1/5 1 3 1/3 1/7 1/3 1 1/5 1/3 3 5 1
正規化
1/(1+5+7+3)=0.063
0.063 0.044 0.085 0.313 0.221 0.198 0.438 0.662 0.595 0.188 0.074 0.119
0.036 0.322 0.536 0.107
物流 強度
搬運 距離
擴充 彈性
相關性設定原則
1 3 5 i and j are nearly equal important i is weakly more important than j i is strongly more important than j
7
9 2,4,6,8
i is very strongly important than j
AHP层次分析法1
简介AHP层次分析法1. 何谓AHP呢?层次分析法((Analytical Hierarchy Process, 简称AHP)是个很有趣又很有用的东西，它提供一个有效的方法去进行复杂的决策，无论在一般生活、商业或学术研究上，都有很精采的应用。
例如：●软件开发管理之应用---- 在微软的MSDN文件里，其利用AHP方法来评析与比较3个信息系统的质量，以决定那一个系统的质量最好●一般生活上之应用---- 例如本章所举的例子，想找一个理想的工作，其所谓理想的评选标准有三：钱多、事少、离家近。
那么就可以利用AHP方法来从多个工作时机中评选出一个比较合乎理想的工作了。
●商业上之应用---- 例如全球性运输公司利用AHP方法评选最正确转运港口。
简而言之，AHP是将复杂的决策情境切分为数个小部份，再将这些部分组织成为一个树状的层次结构。
然后，对每一个部份的相对重要性给予权数值，然后进行分析出各个部份优先权。
对决策者而言，以层次结构去组织有关替代方案(alternative)的评选条件或标准(criteria)、权数(weight)和分析(analysis)，非常有助于对事物的了解。
此外，AHP可协助捕捉主观和客观的评估测度，检验评估的一致性，以及团队所建议的替代方案，减少团队决策之失误，如失焦、无计划、无参予等。
AHP将整个问题细分为多个较不重要的评估，但还维持整体的决策。
AHP方法是由Thomas L. Saaty教授所研究发展出来的，其适合多评选标准(Multi-Criteria)的复杂决策。
目前市面上有许多软件工具可用，包括最著名的Expert Choice软件系统，以及免费网络上AHP软件或服务，可下载Java版本的AHP系统。
2. AHP的分析步骤AHP分析包含4个步骤：Step-1. 分解(Decomposing)将整个问题分解为多个小问题。
例如，整个问题是：想找一个理想的工作。
各项工作都有三个属性(attribute)，因而将理想分为三个评选条件：「钱多、事少、离家近」。
层次分析法—AHP简介
第一单元 层次分析法—AHP 简介(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。
事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。
匹兹堡大学Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法A HP 。
于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。
层次分析AHP 的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。
决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。
好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。
AHP 的主要不足在于：1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。
规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。
AHP ——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。
尽管AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。
层次分析法(AHP)
第一单元层次分析法一AHP介绍(The Analgtic Hierarachy Process AHP)、尸、-前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。
事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。
匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。
于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。
层次分析AHP的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。
决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。
好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。
AHP的主要不足在于：1. AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。
规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。
AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。
尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。
§1 AHP 预备知识（一）1. 特征根与特征向量设A a ij m n为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量g （g i,g2, , g n），使得Ag g （1）则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于（属于）特征根的特征向量。
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§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
一、递阶层次结构的建立 首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在模
型中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成 若干组，形成不同层次。层次可分为三类：
（1）最高层(目标层) （2）中间层(准则层) （3）最底层(措施层或方案层)
（2）如果问题复杂，u1，u2，…，un对于C的重要性无法直接定量， 而只能定性，那么确定权重用两两比较法。其方法是：对于准则C，元素ui 和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋 值，表2-1列出了1～9标度的含义。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
二、线性规划问题的数学模型
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵
其中 就是元素 和 性质：
相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （1）权重计算方法。 ① 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为 权重向量，即
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （2）一致性检验。 ③ 计算性一致性比例C.R.（Consistency Ratio）。
④ 计算各层元素对目标层的总排序权重。
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
一、建模
四人出行，始发站丹东，终点站北京。选择出行方案如下。 方案1：乘大巴车到沈阳，动车到北京。 方案2：乘大巴车到沈阳，卧辅车到北京。 方案3：开车到沈阳桃仙机场，从沈阳飞往北京。 方案1的大巴费用为人均79元，动车人均207元，但到北京后多一天住宿费用， 人均125元，单程共需1 644元，时间约为8个小时。 方案2的大巴费用为人均79元，卧辅车人均172元，省一天北京住宿费用，单程 共需1 004元，时间约为13个小时。 方案3：开车到沈阳桃仙机场费用为250元，停车费300元，从沈阳飞北京费用 人均670元，单程共需3 430元，时间约为3小时25分钟。
上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构被称为递阶层次结构。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
二、构造两两比较判断矩阵
在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素u1， u2，…，un对于准则C的相对重要性即权重。这通常可分两种情况：
（1）如果u1，u2，…，un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重 量等），其权重可直接确定。
最优化方法与策略
目录
第一章 线性规划
第二章 层次分析法（AHP）
第三章 基于Matlab软件设计的数学实验 第四章 励志人生的最优化方法
第五章 思维策略
第六章 营销策略
第七章 概率统计基础
开篇导论
对于现实生活中涉及复杂的社会、经济、管理、生态等很多问题的解 决，过去的系统分析与设计常常凭经验，靠主观判断进行，缺乏应有的科 学性，因而往往造成重大失误。层次分析法是一种新的定性分析与定量分 析相结合的系统分析方法，是将人的主观判断用数量形式表达和处理的方 法，简称AHP（Analytic Hierarchy Process）法。近年来，层次分析法 在经营管理等方面的系统分析、设计与决策中日益受到重视。
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
四、计算层次总排序权值和一致性检验 B1对总目标的权值为： 0.3239×0.4559 ＋ 0.1818×0.0414 ＋ 0.5832×0.2286 ＋ 0.2×0.1780 ＋
0.2307×0.0961＝0.3463 同理得，B2，B3对总目标的权值分别为：0.4096， 0.2438 决策层对总目标的权向量为：｛0.3463， 0.4096， 0.2438｝
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
二、构造成对比较矩阵
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
二、构造成对比较矩阵
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
三、计算层次单排序的权向量和一致性检验
表明A通过了一致性验证。 对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如表 2-3所示。 计算可知B1，B2，B3，B4，B5通过一致性检验。
计算步骤如下： 第一步，A的元素按列相乘得一新向量； 第二步，将新向量的每个分量开n次方； 第三步，将所得向量归一化后即为权重向量。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验
（1）权重计算方法。 ③ 特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题
④ 对数最小二乘法。用拟合方法确定权重向量
故，层次总排序通过一致性检验。 ｛0.3463，0.4096，0.2438｝可作为最后的决策依据。 即各方案的பைடு நூலகம்重排序为B2＞B3＞B1，应该选择方案2。
计算步骤如下： 第一步，A的元素按行归一化； 第二步，将归一化后的各行相加； 第三步，将相加后的向量除以n，即得权重向量。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （1）权重计算方法。 ② 根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一 化，得到的行向量就是权重向量。其公式为
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
运用层次分析法进行系统分析、设计、决策时，可分四个步骤进行： （1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； （2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较, 构造两两比较的判断矩阵； （3）由判断矩阵计算被比较元素对该准则的相对权重； （4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
使残差平方和
为最小。
⑤最小二乘法。确定权重向量 为最小。
使残差平方和
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （2）一致性检验。 ① 计算一致性指标C.L.（Consistency Index）。
② 查找相应的平均随机一致性指标R.I.（Random Index）。 表2-2给出了1～15阶正互反矩阵计算1 000次得到的平均随机一致性 指标。