六年级奥数学练习试卷思维培训资料 计数的方法与原理
六年级下册数学试题-奥数思维训练：-3：巧算的方法（含答案）全国通用
六年级下册数学试题-奥数思维训练：-3：巧算的方法（含答案）全国通用巧算的方法同学们，能够在看似无序的算式中寻找到一定的规律，化繁为简，那么一定能够增强你学习数学的信心、兴趣和能力。
智慧姐姐例题精选⑴9＋99＋999⑵84＋83＋78＋79＋80＋77【思路点睛】⑴方法一：把9、99、999分别看作10、100、1000进行相加。
因为每个加数都多加了1，所以要再从它们的和中减去3。
9＋99＋999＝10＋100＋1000－3＝1110－3＝1107方法二：从9中分出1加给99，再分出1加给999。
9＋99＋999＝7＋100＋1000＝1107⑵观察这6个的数大小，你会发现这些数的大小相差不大，都接近80，我们可以先把这几个数都看作是80，先求6个80的和，然后再将原来的数逐一和80相比，比80大几的，就再加几，比80小几的就再减几。
这种巧算的方法就叫“找基准数”。
84＋83＋78＋79＋80＋77＝80×6＋（4＋3－2－1－3）＝480＋1＝481思维体操1．399＋298＋197＋962．199＋1999＋199993．31＋28＋29＋30＋32＋334．68＋71＋72＋70＋69＋68＋71例题精选⑴355＋82－123＋645－182－77 ⑵578＋（122－46）－（198＋54）【思路点睛】⑴“355”与“＋645”，合起来凑整；“＋82”与“－182”加减抵消，减数大，抵消之后仍然减；“－123”与“－77”，合成“－200”。
355＋82－123＋645－182－77＝1000－100－200＝700⑵在计算有括号的运算时，先算括号里的，但有时可以先去掉括号，然后进行运算会更加简便。
去括号时，如果括号前面是加号，可直接去掉括号，其它都不变；如果括号前面是减号，那么去括号后，原括号里面的运算符号要变号，加号变减号，减号变加号。
578＋（122－46）－（198＋54）＝578＋122－46－198－54＝700―100―198＝600－200＋2＝402思维体操1．735－326－2742．1409－579＋793．684－65＋26＋74－1354．1928－（267－72）－133例题精选⑴70÷25÷13×39÷4×30⑵666×222＋333×556【思路点睛】⑴在乘除法运算中，可以综合应用已学过的乘法运算定律，除法性质和一些计算技巧，使计算正确而又快捷。
奥数的计数原理练习
奥数的计数原理练习关于奥数的计数原理练习奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读奥数计数原理：容斥原理练习7,感受奥数的奇异世界!1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个?2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
问三项都报的有多少人?3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的`有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。
问这个班最多多少人?最少多少人?5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?6、分母是1001的最简真分数共有多少人?7、李老师出了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?(2)两题都不对的有几人?8、每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。
问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?9、一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?。
2014年六年级数学思维训练：计数综合四要点
2014年六年级数学思维训练：计数综合四一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？三．超越篇23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）2014年六年级数学思维训练：计数综合四参考答案与试题解析一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．【解答】解：观察图形可知：在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，所以不同的取法共有49×4=196（种）．答：一共有196种不同的取法．2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有==70种吃法．【解答】解：==70（种）答：共有70种吃法．3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×=2×=70种不同的方式．【解答】解：2×=2×=2×35=70（种）答：比赛过程一共有70种不同的方式．4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？【分析】利用插板法可知：10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共==36种分法．【解答】解：==36（种）答：一共36种分法．5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：+×+×+=165种安排播出的方法．【解答】解：+×+×+=4+×7+4×+=4+42+84+35=165（种）答：共有165种安排播出的方法．6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有==861种．【解答】解：有==861（种）答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能．7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【分析】根据插空法可知：将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有==792种．【解答】解：==792（种）答：一共有792种熄灯方案．8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．【解答】解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，共有==28（个）中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，共有==56（个）答：三位数共有28个，四位数共有56个．9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．【解答】解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法．所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒．10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．【解答】解：×2=5×2=10（种）答：共有10种不同的染色方式．二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排：1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合：①由如为3格的单列三个格子可以排成1个；②4格可以排成2个；…可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；③384﹣48=336个；所以应该有336个．【解答】解：6×8×2×4﹣4×6×2=384﹣48=336（个）答：一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？【分析】由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共种顺序，第二列和第三列依次有和种，由此由乘法原理得共××种顺序．【解答】解：××=35×6=210（种）答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序．13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【分析】（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有=6（种）；（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有=24（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1），有×2=12（种），所以共24+12=36（种）．【解答】解：（1）=6（种）答：这只青蛙共有6种可能的跳法．（2）+×2=24+12=36（种）答：这只青蛙共有36种可能的跳法．14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．【解答】解：一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形，另一条直线也是如此，也有3个三角形．以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）．答：从图中最多可以数出210个三角形．15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？【分析】（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法；…当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；共有：18+17+16+…+1=171（种）．（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法．【解答】解：18+17+16+…+1=171（种）20+1=21（种）答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？【分析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．【解答】解：29=512（块）；答：一共有512种不同的吃法．17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．【解答】解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．【解答】解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”，共有==56（种）答：有56种不同的选法．19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【分析】考虑两种方法：①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．【解答】解：方法一：四盘都一样：10，三盘一样：10×9=90，两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360，没有两盘一样的，=210，最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）．方法二：让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．答：共有715种选菜方案．20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20××种方法；（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有×种．【解答】解：（1）20××=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=604800（种）答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法；（2）×=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=30240（种）答：如果站成一圈共有30240种排列方法．21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．【解答】解：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．答：这样的长方体有25个．22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果．【解答】解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色；用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种，此步情况数N=4×3×2=24（种）当使用四种颜色，6个面4个颜色：相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色换成剩下的那个颜色有24×3=72（种）所以，总情况数24+72=96（种）答：共有96种不同的染色方法．三．超越篇23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案．【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：最多间隔4个白球的有4种不同规格：类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格．最多间隔7个白球的有1种规格．所以，共有不同规格：2+4+3+2+1=12（种）；答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？【分析】它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．【解答】解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一）因为第二次交换的是第五位，所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一）因为第三次交换第四位，所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个，因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一）因为第四次交换第三位，所以第三位不能是1，只能是2，因此有：6﹣2345一种情况；第二位只能是1：即612345，第五次交换第二位，结果是162345；综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：4×3×2×1=24（个），而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一，故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）．答：可以进行5次操作的六位数有120个．25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？【分析】利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色．先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，○△◇．进一步分情况探讨即可．。
六年级奥数学练习试卷思维培训资料 方程解应用题 (2)
名校真题 测试卷12 （方程篇）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （06年清华附中考题）10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分.2 （06年西城实验考题）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。
如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那麽丁种练习本共买了_________本。
3 （02年人大附中考题）某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克？4 （03年北大附中考题） 六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
5 (06年西城外国语考题)某个五位数加上20万并且3倍以后，其结果正好与该五位数的右端增加一个数字2的得数相等，这个五位数是__________。
【解】：设这个五位数为x ，则由条件(x+200000)×3＝10x+2，解得x ＝85714。
6 （06年北京二中题）某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的32，【附答案】1 【解】：设10人的平均分为a 分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程： [ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。
2 【解】：设甲、丙数目各为a ，那么乙、丁数目为226400a-，所以列方程 4a+3×226400a -+2a+1．4×226400a-=16000 解得：a=1200。
小学奥数全国推荐最新六年级奥数通用学案附带练习题解析答案10计数问题(二)
年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（二）几何图形计数问题还必须灵活地运用几何图形的有关基本概念和基本知识，根据几何图形的特征，合理分类，巧妙计算，就能达到正确、简便的目的。
用分类方法解答小学数学中某些智力性思考题或竞赛题时，能巧妙地找到正确答案，而小学生在运用这种方法时往往出现思路不清，层次不明，逻辑思维不严密等情况，计算时容易产生重复和遗漏的错误。
因此，用分类方法解题时必须注意几个问题。
（1）分类必须有明确的标准。
在解题前必须根据题目要求确定分类的标准，即根据什么来分类的原则。
（2）分类要注意层次。
比较复杂的题目可以先分成大类，然后再将每个大类分成若干小类，分层次进行。
（3）分类计数时应防止重复或遗漏。
分类时应注意要做到既不重复又不遗漏，这是使所得结果准确无误的保证。
合理的分类是解题的关键，而分类不重复又不遗漏是使所得结论准确的保证，同时也是检验分类是否正确的一种方法。
几种一般图形的计数方法：（1）数长方形长边上有多少条线段：4＋3＋2＋1＝10（条）。
宽边上有多少条线段：3＋2＋1＝6（条）。
长方形总数：10×6＝60（个）。
（2）数平行四边形方法与数长方形相同，总数为：（4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1）＝60（个）。
（3）数正方形边长为1的正方形：7×4＝28（个）。
边长为2的正方形：6×3＝18（个）。
边长为3的正方形：5×2＝10（个）。
边长为4的正方形：4×1＝4（个）。
正方形的总数：28＋18＋10＋4＝60（个）。
例1 数一数下图中共有多少个长方形？分析与解：为了方便计数，我们将图中每个小长方形标上数字，以“块”分类、进行计数。
①②③④⑤⑥⑦由1块组成的长方形：7个。
由2块组成的长方形：[①②]、[②③]、[④⑤]、[⑤⑥]、[⑥⑦]、[②⑥]、[③⑦]，共7个。
由3块组成的长方形：[①②③]、[④⑤⑥]、[⑤⑥⑦]、[①④⑤]，共4个。
小学六年级奥数 第4讲计数原理之加乘原理_PDF压缩
【例3】(★★★) 一个三位数，其反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序 数得到的差大于0，且为4的倍数，满足条件的三位数有_____个。
【例5】(★★★) 在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的 自然数，使它们相加时不进位？
【例4】(★★★) 一个至少两位的数，如果满足高数位上的数字总大于低数位上的数字， 如732、85421，我们称之为“下降数”，那么“下降数”中一共有 _____个偶数。
计数原理之加乘原理
加油站 加法原理：分类计数，类类独立 乘法原理：分步计数，步步相关 关联词区分：可以…) 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？
【例2】(★★★)(北京市人大附中分班考题) 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的 奇数有多少个？
【例8】(★★★★) 从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问： ⑴要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？ ⑵要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？
【例10】(★★★★) 从1到999这999个自然数中有_____个数的各位数字之和能被4整除。
本讲总结 加法原理：分类计数，类类独立 乘法原理：分步计数，步步相关 关联词区分：可以……也可以…… 加法原理
先……再……又…… 乘法原理
乘法原理的前提：平等性 常用方法： ①优先排序法 ②排除法 ③分类讨论
重点例题：例5、例7、例8、例9
2
【例6】(★★★) 一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。问这样的七位 数共有多少个？
1
【例7】(★★★) 在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的 倍数有多少种不同的取法？
六年级奥数计数原理与方法练习题
1.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。
问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？2.甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
问：一共有多少种可能的情况？3.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4.一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5.设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。
6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。
求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7.在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？8.在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？9.10个三角形最多将平面分成几个部分？10.四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。
问：一共有多少种不同的方法？。
计数原理与方法练习
奥数专题练习之计数原理与方法练习1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。
问：一共有多少种不同的方法？2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
问：一共有多少种可能的情况？3：经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。
6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。
求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7。
有8个队参加比赛，如果采用下面的淘汰制，那么在赛前抽签时，实际上可以得到多少种不同的安排表？8.在8×8的方格棋盘中，取出一个由 3个小方格组成的“L”形（如图1），一共有多少种不同的方法？9.数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。
问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？10在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？11在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？12。
10个三角形最多将平面分成几个部分？13.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。
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【解】：四张构成正方形的有3种，3张竖的连在一起的有123对4、5、6。
456对1、2、3、7、8总共有8种。
3张横的连在一起的有368对2、5、7。
2、5、7对3、6、8、1、4共8种。
所以总共8+8+3=19种。
3、用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网，一共有＿＿种不同的覆盖方法。
（迎春杯试题）【解】：5个1×2的小长方形都是竖直的时候有1种，3个竖直的时候剩下的要横着放，这样有4种，1个竖直的时候，有3种，所以总共只有8种。
[总结]：这题我是这样总结的：若用1×2的小长方形去覆盖2×N 的方格网，则设方法数为An ，那么A1=1，A2=2，N ≥3时。
后面的方法数都是前面的两种数目和。
这样A3=1+2=3，A4=2+3=5，A5=3+5=8种。
4、某小学有一支乒乓球队，有男、女小队员各8名，在进行男女混合双打时，这16名小队员可组成＿＿对不同的阵容. （03年三帆中学入学测试题）【解】先把男生排列起来，这就有了顺序的依据，那么有8名女生全排列为8！＝40320．5、某校高二年级共有六个班级，现从外地转进4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为多少___________。
（04年人大附中分班测试题）【解】：先选学生，这样我们可以从4人中先选2人，这样总共有4×3÷2=6种，剩下的学生只能在一起；再排学生，这样第一组选出的学生有6种选择，第二组选出的学生有5种，所以总共有6×6×5=180种。
6、有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？ (05年首师大附中测试题) 【解】：3甲+7乙+丙=324甲+10乙+丙=43组合上面式子，可以得到：甲+3乙=11，可见：甲+乙+丙=4甲+10乙+丙-3甲-9乙=43-3×11=10。
7、用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数．（05年人大附中入学测试题）【解】1) 9×8×7=504个2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210个（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，×6是对3个数字全排列，7×6是三个数连续的123 234 345 456 567 789这7种情况）第十三讲小升初专项训练-----计数的方法与原理引言：计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。
【例1】．（★★★）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？[思路]：要使增加的部分最多，则增加的正方形的每条边跟原来的每条边的交点要越多越好则增加的长方形的每条边跟原来的每条边的交点要越多越好。
解答：（见下图）最多26个。
[总结]：相关的总结：N个图形最多可把平面分成部分数直线： 1+n×(n+1) ÷2圆： 2+1×n×(n-1)三角形： 2+3×n×(n-1)长方形： 2+4×n×(n-1)注意区分，直线是分封闭的图形，其他的都是封闭图形；圆只有一个圆角，三角形有三个圆角，长方形有四个圆角，注意总结中的系数变化。
【例2】．（★★★）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形。
问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？解答：[方法一]：解：我们前面经常用到的找规律的方法，当四边形内放置一个点时，它与4个定点相连，可以得到4个三角形；增加一个点，这个点必定落在某一个三角形内，那么它与三角形的三个定点相连，构成三个新的三角形，三角形总数增加3-1=2个；以后每增加一个点，它同样都必定落在某一个三角形内，也都是增加2个三角形。
所以，三角形的总数为 4+（1996-1）×2=3994个。
第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）×3=5989刀。
[方法二]：解：一个点就是360度，1996个点就是1996×360；四边形本身内角和是360度，所以，度数总和是1996×360+360=1997×360度；每一个三角形内角和是180，所以有三角形1997×360÷180=3994个。
第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）×3=5989刀。
【例3】、（★★★）10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。
请问一共有多少种不同的放法？[方法一]：题型转换和隔板法的应用[思路]：解数学题的一种重要方法是转化，不断地转化，把你不熟悉的问题转化为你熟悉的问题．从10个有差别的橘子中选出3个橘子有多少种选法，这是我们熟悉的问题．我们希望能把原来的问题转化为这种问题解：把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着．反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘子，这就变回题目中的放法．所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同．我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目．这时我们用隔板地方法，把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙．我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，再这两个空隙中分别放一块隔板，这样就分成了3组，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如下图．所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了．这种题目同学们是熟悉的，就是C122=12×11÷2=66．所以题目中所求的不同的放法有66种．[方法二]：[思路]：分步骤考虑解：1个盘子装：不妨把10个看成1个桔子，有3个不同的盘子：1×3=32个盘子装：3个盘子取出2个装桔子共3种选择，对于每一种选择都有9种装法（1+9、2+8、……、9+1），共9×3=273个盘子装：9×8÷2=36总计：3+27+36=66种不同的方法。
[总结]：这是一道非常典型的题目，同学们应该反复体会这种解法．[拓展]：20个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分一个，请问总共有多少种分法？【例4】（★★★）数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。
问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？【解】：我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号。
例如对于数3，上述4种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。
显然，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有【例5】：（★★★）把13拆成三个数的和，请问有几种拆法？【解】：隔板法：13写成13个1，这样有12个空，我们可以拿2块板，可以把1分成3堆，所以总共有==66 212C 121112⨯⨯【例6】、（★★★）若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”。
问一共有多少“上升的”自然数？[方 法]：整体和极端考虑[思 路]：我们先举几个例子来看看“上升的”自然数是什么样的．1 2、l23、l234、12345些都是“上升的”自然数．初看之下似乎没什么规律，连位数都是不确定的．但如果我们再举一个极端的例子：123456789，我们就可以发现其中的奥妙．解: 很明显地可以看出，每个“上升的”自然数都可以由123456789这个数划掉若干个数码得到．反过来，由从123456789这个数中划掉若干个数码得到的至少两位的数都是“上升的”自然数．所以只要算出从123456789中划掉若干个数码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了．因为每个数码都有划掉和保留这两种可能，而且得到的一位及零位数只有10个，所以所能得到的至少两位的数有2×2×2×2×2×2×2×2×2—10=502(个)．所以一共有502个“上升的”自然数．【例7】、（★★★）有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。
问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？[方法一]：[思 路]：组合问题考虑，但是由于圆棒部分左右但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种。
为此，可以从中间一节着手。
解： 5节颜色一样是有：3种；左右对称时有：3×2×3+3×1×2=24种；左右不对称时有：1、5节或2、4节不同有3×3×3×2=54种；1、5节和2、4节同时不同有3×3×2×3=54种；所以，全部有3+24+54+54=135种。
[方法二]：[思 路]：组合问题考虑，但是由于圆棒部分左右但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种，先考虑全部情况，再减去重复的情况。
解：所有情况总共有 3×3×3×3×3=243种着色方式,其中有3×3×3种是对称的.所以这27种必需算2次。
但因为圆棒可以反过来使用,因此左边和右边看的情况时相同的,共有 (243+27)÷2=135种【例8】、（★★★★）如下图，八面体有12条棱，6个顶点。
一只蚂蚁从顶点A 出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次。
问共有多少种不同的走法？[思路]：从A出发，要走过所有的顶点，我们只要考虑第几次经过对顶点C解：走完6个顶点，有5个过程分两大类：第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点。