弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
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弹性力学 第2讲 平面问题基本理论(1) PPT课件
x
y
由 Fy 0 :
y xy Y 0
y
x
o
x
y
yx
y xy
x
C
Y
yx
yx y
dy
X
x
x x
dx
xy
xy x
dx
y
y y
dy
上式含三个未知量 x , y , xy yx ，只有两个 方程，是超静定问题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）
• 受力：
平行于板面，沿厚度均布。
• 特点：
x 边界 z t 2 (自由面)：
( z )z t 0 2
( zy )z t 0 2
( zx )z t 0 2
3
内部： 认为： z zx zy 0 （条件：t 很小）
x
dx
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
由 Mc 0
xy
dy
1
dx 2
(
xy
xy
x
dx)
dy
1
dx 2
yxdx
1
dy 2
(
yx
yx
y
dy)
dx
1
dy 2
0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
得： X N l x m xy
YN
弹性力学第二章平面问题理论
，
n
）。
1、首先求斜截面应力分量（ px ，py ）由三角形微分
体的平衡条件可得
px l x m yx , p y m y l xy
2、分别计算（ px ，py ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lpx mpy l2x m2 y 2lm xy
x
y
O
因为任一横截面都可以看作对称面 所以各点都只能沿x 和y 方向移动,即w=0。 只要u,v位移分量。因此，此问题可称为 平面位移问题。
由对称性，
0, z 0, zx 0, zy 0( zx 0, zy 0) 只有平面应变分量 x , y , xy存在，
形变和位移间的关系 刚体位移
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理 概念可知，当物体变形后各点的位置完全确定时，任 一微分线段上的形变（包括伸缩、转角）即完全确定。 从数学推导也可看出，由位移函数求形变是一个求导 过程，所以位移确定，形变即唯一确定。
2、如果形变分量确定，位移分量并不完全确定。从 物理概念可知，物体在保持内部形变不变的条件下还 可以做刚体运动（平移和转动）。从数学角度看，由 形变求位移是一个积分过程，在常微分中，要出现一 个任意常数；在偏微分中，要出现一个与积分变量无 关的任意函数。这些未定项正是刚体的平移和转动。
u
dy
y
所以
xy
v x
u y
(c)
平面问题中的几何方程：
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
几何方程适用于 两类平面问题。
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
最新弹性力学课件02第二章 平面题目标基础实际PPT课件
r
dr dr dr
或drd rrdr
d r2d rrd2 r (d x u xd x u yd)2 y (d y x vd x y vd)2 y
两边同除以 (dr)2，得
(1r)2
d d
xud r xd
xud r yd
yr2
d dyr xvd d
xvd r yd
yr2
l 1 u x m u y 2 m 1 y v l x v 2
(2)平面应变问题 物理方程的另一形式
两类平面问题物理方程的转换：自习
七、边界分类及边界条件
边界条件： 建立边界上的物理（几何）量与内部物理（几何）
量间的关系是力学计算模型建立的重要环节。
（1）位移边界 S u
O
x
q
边界分类 （2）应力边界 S 三类边界
f
（3）混合边界
S
1、位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界
一、平面问题 平面应力问题、平面应变问题
特殊的几何形状
空间问题
平面问题
特殊的受力情况
平面应力问题 平面应变问题
1. 平面应力问题
b
(1)几何特征：等厚薄板
y
受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 a
体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。
x
z
t
y
三、斜面上的应力
（1）斜面上应力在坐标方向的分量 斜面外法线N 在坐标中的方向余弦：l,m
xE 1x(xz)
yE 1y(zx) zE 1z(xy)
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
xy
1 G
xy
其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。
弹性力学（第二章平面问题的基本理论）
弹性力学
学
大 第二章 平面问题的基本理论
安伟
长 任 授课教师： 任 伟
2013年3月
弹性力学
学
大 内容提要
安 伟 1、平面应力问题与平面应变问题
2、平衡微分方程
长 任 3、平面问题中一点的应力状态
弹性力学
学 2—1 平面应力问题与平面应变问题
大 任 何 一 个 实 际 的 弹 性 力 学 问 题 都 是 空 间 问
长 y
任dx
τ yx
+∂τ yxdy ∂y
σy
+∂σ ydy ∂y
(σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1
+(τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)
dx
×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
弹性力学
2—2 平衡微分方程
∑ 学 Fx = 0
大 ( σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1+( τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)dx ×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
∂σ x
安 伟 ∂x
+
∂τ yx
0
长 任 ∂τxy ∂x
+
∂σ y
∂y
+
fy
=
0
弹性力学
学2—2 平衡微分方程
∂ σx + ∂ τ yx + f = 0
学
大 第二章 平面问题的基本理论
安伟
长 任 授课教师： 任 伟
2013年3月
弹性力学
学
大 内容提要
安 伟 1、平面应力问题与平面应变问题
2、平衡微分方程
长 任 3、平面问题中一点的应力状态
弹性力学
学 2—1 平面应力问题与平面应变问题
大 任 何 一 个 实 际 的 弹 性 力 学 问 题 都 是 空 间 问
长 y
任dx
τ yx
+∂τ yxdy ∂y
σy
+∂σ ydy ∂y
(σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1
+(τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)
dx
×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
弹性力学
2—2 平衡微分方程
∑ 学 Fx = 0
大 ( σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1+( τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)dx ×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
∂σ x
安 伟 ∂x
+
∂τ yx
0
长 任 ∂τxy ∂x
+
∂σ y
∂y
+
fy
=
0
弹性力学
学2—2 平衡微分方程
∂ σx + ∂ τ yx + f = 0
弹性力学 第二章平面问题的基本理论
体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4
弹性力学 第3讲 平面问题基本理论(2) PPT课件
或)(写X 为 ：Y
x y
)
2( x y ) 0 ( 2 Laplace 算子)
(与E, μ无关，适合于平面应力和平面应变问题)
应力法方程： 2( x y ) 0
相容方程
x
m cos(90 ) sin
代入应力边界条件:
l(x cxo)ss m (yxyxs)ins X 0 m (ysiyn)s l(xyxyc)oss Y 0
x N
B
6
2. 圣维南原理
端部：只知合力而不知其分布，应力边界条 件难以给出。
21
22
思考：
若应变分量满足相容方程：
2 x
y2
2 y
x 2
2 xy
xy
那么由物理方程导出的应力分量是否一定满足 以应力表示的相容方程(不计体力)：
(
2 x 2
2 y2
)(
x
y
)
0
23
24
•应力函数：（多数情况体积力为常量）
((xx2222yy2222))((xxyy))0(1
3
• 应力边界条件
ox y
X YN
X ,Y —已知面力
yx y
xy X
x
YN
l( x )s m( yx )s X m( y )s l( xy )s Y 内力和外力的平衡。
4
• 混合边界条件
vs v 0
o
x
( yx )s X 0
y
例：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 。
P A
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
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4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
★ 应变和位移均为x、y的函数，不随z变化
7
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 工程实例
挡土墙
隧道
虽然这些结构并不符合无限长柱形假设，但离两端较远 处，仍可按平面应变问题进行计算，精度可满足要求。
8
§ 2-2 平衡微分方程
·平衡微分方程
微元体的平衡
平衡微分方程
* 表示物体内任意点的微元体平衡条件 * 建立应力分量与体力分量之间的关系
σ1
σ2
α1
y
σ2
σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 由(a)式，得
tanα1 =
σ1 - σx τxy
,
tanα2 =
τxy σ2 - σy
σ1 + σ2 = σx + σy
B’
18
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
P
y
x
α1 σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 – cosα2
α2)=
m2 l2
19
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
x
P
主应力特征方程
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
17
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力特征方程
O
x
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
*
P
A’A
* 两主应力都是实数
y
τn
B
σ σn n’
* σ1 + σ2 = σx + σy
O
x
y 平面问题的基本理论
1
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·空间问题的简化
弹性力学均为空间问题，但在特殊情况下，可简化为平面问 题，能减少未知量个数，便于方程求解，且精度不受影响。
·平面应力问题
♢ 几何特征 等厚度薄板
♢ 面力与约束 只在板边上，平行于板面，不沿厚度变化
♢ 体力 平行于板面，不沿厚度变化
·推导
O
x
P
A
σn：AB面上正应力 τn：AB面上切应力
σn = lpx + mpy
px τn
σn
y
B py p n
★ 由一点应力分量可求任 一斜面上正(切)应力
τn = lpy - mpx 由(2-3)式，得
σn = l2σx + m2σy + 2lmτxy
τn = lm(σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
x
P τyx σy
A
τxy
fxpx
σx
y
B
fy py
pn
Σ Fx = 0，得 px ds - σxlds - τxymds + fxlds·mds= 0
2 同除ds，且ds → 0
px = lσx+ mτxy
Σ Fy = 0，得
(2-3)
py = mσy+ lτxy
15
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
2
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 板面无面力和约束
板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿 板厚连续分布
切应力互等定理
3
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 应力分量只剩
★ 应力只存在平面应力，所以称为平面应力问题 板很薄，外力和约束不沿厚度变化 ★ 应力分量均为x、y的函数，不随z变化
·问题的提出
已知P点应力分量，求过P点任意斜面上应力?
O
x
P
A
px
y
B
py p n
cos(n,x)=l, cos(n,y)=m px：p在x轴投影 py：p在y轴投影 AB = ds PB = lds PA = mds
Δ PAB =lds·mds/2
14
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·推导
O
9
·微元体
O
§ 2-2 平衡微分方程
x
σx
σx+
∂σx ∂x
dx
y * 微元体尺寸dx、dy、1 * 应力分量作用在微分面中心上 * 应力分量随坐标变化 * 体力作用在体心 * 变形后尺寸可用变形前尺寸代替
10
·推导
(1) ∴
§ 2-2 平衡微分方程
∴
∵
∴
切应力互等定理
11
§ 2-2 平衡微分方程
∴ σmax = σ1 l2 =1 σmin = σ2 l2 =0
两主应力就是最大与最小正应力
21
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小切应力
O
x
由(2-5)式，得
σ2
τn = l m (σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
16
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力
O
x
P
A’A
τn
σ
y
B
σn n’
B’
σ：主应力
A’B’：应力主面 n’：应力主向
全应力=正应力 px = lσ py= mσ 由(2-3)式，得
lσx + mτxy = lσ mσy + lτxy = mσ
m l
=
σ
- σx τxy
m l
=
τxy σ - σy
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
★ 应变和位移均为x、y的函数，不随z变化
7
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 工程实例
挡土墙
隧道
虽然这些结构并不符合无限长柱形假设，但离两端较远 处，仍可按平面应变问题进行计算，精度可满足要求。
8
§ 2-2 平衡微分方程
·平衡微分方程
微元体的平衡
平衡微分方程
* 表示物体内任意点的微元体平衡条件 * 建立应力分量与体力分量之间的关系
σ1
σ2
α1
y
σ2
σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 由(a)式，得
tanα1 =
σ1 - σx τxy
,
tanα2 =
τxy σ2 - σy
σ1 + σ2 = σx + σy
B’
18
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
P
y
x
α1 σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 – cosα2
α2)=
m2 l2
19
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
x
P
主应力特征方程
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
17
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力特征方程
O
x
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
*
P
A’A
* 两主应力都是实数
y
τn
B
σ σn n’
* σ1 + σ2 = σx + σy
O
x
y 平面问题的基本理论
1
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·空间问题的简化
弹性力学均为空间问题，但在特殊情况下，可简化为平面问 题，能减少未知量个数，便于方程求解，且精度不受影响。
·平面应力问题
♢ 几何特征 等厚度薄板
♢ 面力与约束 只在板边上，平行于板面，不沿厚度变化
♢ 体力 平行于板面，不沿厚度变化
·推导
O
x
P
A
σn：AB面上正应力 τn：AB面上切应力
σn = lpx + mpy
px τn
σn
y
B py p n
★ 由一点应力分量可求任 一斜面上正(切)应力
τn = lpy - mpx 由(2-3)式，得
σn = l2σx + m2σy + 2lmτxy
τn = lm(σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
x
P τyx σy
A
τxy
fxpx
σx
y
B
fy py
pn
Σ Fx = 0，得 px ds - σxlds - τxymds + fxlds·mds= 0
2 同除ds，且ds → 0
px = lσx+ mτxy
Σ Fy = 0，得
(2-3)
py = mσy+ lτxy
15
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
2
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 板面无面力和约束
板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿 板厚连续分布
切应力互等定理
3
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 应力分量只剩
★ 应力只存在平面应力，所以称为平面应力问题 板很薄，外力和约束不沿厚度变化 ★ 应力分量均为x、y的函数，不随z变化
·问题的提出
已知P点应力分量，求过P点任意斜面上应力?
O
x
P
A
px
y
B
py p n
cos(n,x)=l, cos(n,y)=m px：p在x轴投影 py：p在y轴投影 AB = ds PB = lds PA = mds
Δ PAB =lds·mds/2
14
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·推导
O
9
·微元体
O
§ 2-2 平衡微分方程
x
σx
σx+
∂σx ∂x
dx
y * 微元体尺寸dx、dy、1 * 应力分量作用在微分面中心上 * 应力分量随坐标变化 * 体力作用在体心 * 变形后尺寸可用变形前尺寸代替
10
·推导
(1) ∴
§ 2-2 平衡微分方程
∴
∵
∴
切应力互等定理
11
§ 2-2 平衡微分方程
∴ σmax = σ1 l2 =1 σmin = σ2 l2 =0
两主应力就是最大与最小正应力
21
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小切应力
O
x
由(2-5)式，得
σ2
τn = l m (σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
16
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力
O
x
P
A’A
τn
σ
y
B
σn n’
B’
σ：主应力
A’B’：应力主面 n’：应力主向
全应力=正应力 px = lσ py= mσ 由(2-3)式，得
lσx + mτxy = lσ mσy + lτxy = mσ
m l
=
σ
- σx τxy
m l
=
τxy σ - σy