大一高数上_PPT课件_第三章共108页

高等数学上册PPT课件

R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为既约真分数 ,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1) 内的无理数.
y
1 2
1 3 1 4 1 8 o
y R( x)
1 1 1 3 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
例3 符号函数 x x sgn x ,
1,
sgn
x
0
,
1 ,
当 x 0, 当 x 0, 当 x 0.
sgn x 起了 x 的符号的作用.
否则，f ( x) 称为非奇非偶函数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l , l ) (l 0) 内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l , l ) 内能表成奇函数与偶函数的和.
证令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
f (x2 )
o
o x
D
x
D
当 f ( x)在 D 上单调递增或单调递减时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

函数 f x 在 x x0处可导的充要条件是 f x 在 x x0 处左、右导数
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地，函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、割线与切线
练习
第三章一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x

《高等数学第三章》ppt课件

中值定理与导数的应用
12
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
中值定理与导数的应用
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
中值定理与导数的应用
16
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
解设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50

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有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节洛必达法则
一、0 型及型未定式解法: 洛必达法则 0
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
ln(1 x) x 。 1
又由0<<x，有
x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个

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4
参考书目
＜工科数学分析基础＞马知恩等编（高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞盛祥耀等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
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5
第一章函数与极限
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6
§1.1 函数
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31
3. 函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如
果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)
为偶函数。
偶函数的图形关于y轴对称。
y
偶函数举例： y=x2，
y=f(x) f(-x)=f(x)
y=cos x
都是偶函数
-x O
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x
x
32
如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
O
x
y= -M
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27
函数的有界性举例：
f(x) = sin x在(-, +)上是有界的：即| sin x | 1。
y
1
y=sin x
-2p
-p
O
p
2p x
-1
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28
无界函数举例：
y
函数f(x)=1/x在开区间
(0,1)内是无界的。函数f(x) =1/x在(0, 1)内
y y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
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x
34
四、反函数与复合函数

《高等数学(上册)》课件第三章

高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．
解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

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所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切