2014-2015高三期中考试数学理科
2014-2015学年四川省成都市新津中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p25．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=．13．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为．14．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2014-2015学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合M={y|y=（）x，x∈R}，N={1，0，﹣1}，则M∩N=（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{1，0}D．{1}【解答】解：，则M∩N={1}．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=﹣3，∴tanα==﹣，故选：D．4．（5分）若命题p1：y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数；若命题p2：y=log2014为奇函数，则下列命题为假命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨￢p2C．p1∨p2D．p1∧￢p2【解答】D解：函数y=log2014[（2﹣x）（2+x）]，定义域均为（﹣2，2），对f（x）=log2014[（2﹣x）（2+x）]，f（﹣x）=log2014[（2+x）（2﹣x）]=f（x），∴y=log2014[（2﹣x）（2+x）]为偶函数，即命题p1为真命题；对于函数，，∴为奇函数，命题p2为真命题；则有：命题p1∧（￢p2）中，p1为真命题，￢p2为假命题，“且”命题为假命题．故选：D．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选：B．7．（5分）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．【解答】解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选：D．8．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．10．（5分）已知直线（1﹣λ）x+（3λ+1）y﹣4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=上，若函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，）∪[1，+∞）D．（，1]【解答】解：依题意，直线为（x+y﹣4）﹣λ（x﹣3y）=0，联立，解得，故定点为（3，1），log a3=1，∴a=3，．令h（x）=f（x）﹣mx+2=0，故f（x）=mx﹣2．则f（x）的图象与g（x）=mx﹣2的图象有三个不同的交点．作图，得关键点A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），可知g（x）=mx﹣2应介于直线AB与直线AC之间．由k AB=1，，故．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（1﹣）4展开式中的系数是﹣16．【解答】解：的通项为，令r=1，可得的系数是﹣16，故答案为：﹣16．12．（5分）已知向量与的夹角为，且，若，则实数λ=1．【解答】解：∵，∴∵∴（2）=2∴2﹣2λ=0∴λ=1故答案为：113．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1．【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，由题意知===3，故答案为：3：114．（5分）函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是[，π] ．【解答】解：y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，当0≤x＜时，1﹣2cosx＜0，∴函数y=x﹣2sinx在[0，]上递减；当＜x≤π时，1﹣2cosx＞0，∴函数y=x﹣2sinx在[，π]上递增；故答案为：[，π]．15．（5分）若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x﹣a）；②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=﹣f（x）；③若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线对称；④若f（x）关于直线对称，且f（x+a）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a﹣b）的周期函数．其中正确命题的序号为①④⑤．【解答】解：f（x+a）=f（x﹣a）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=f（x﹣a）一定成立，故①正确；当f（x+a）=﹣f（x）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=﹣f（x）不一定成立，故f（x）是T=2a的周期函数的充分条件是f（x+a）=﹣f（x），故②错误；若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形不一定是轴对称图象，故③错误；若f（x）关于直线对称，则f（a+x）=f（x），又由f（x+a）=﹣f（x），可得f （x）=﹣f（﹣x），即f（x）是奇函数，故④正确；函数f（x）是以4（m﹣a）为周期的周期函数．由条件图象关于点（a，0）对称，故﹣f（x）=f（2a﹣x），又图象关于直线x=b对称，f（2b﹣x）=f（x），所以，﹣f（2b﹣x）=f（2b﹣x），即﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）．由﹣f（x）=f（2a﹣2b+x）得：﹣f（2a﹣2b+x）=f（4a﹣4b+x），∴﹣（﹣f（x））=f（4a﹣4b+x），因此，f[4（a﹣b）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（a﹣b）为周期的函数．故⑤正确故答案为：①④⑤三、解答题（共6小题，满分75分.其中16-19每题12分，20题12分，21题14分）16．（12分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+）．（1）证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1（n∈N+），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1=，且a n+1=（n∈N+），∴=+3，∴=3，又，∴{}是首项为2，公差为3的等差数列．∴=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，∴．（2）b n=a n a n+1==，∴T n===．∴T n＜．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=﹣，∴由正弦定理可得：=﹣，整理得：cosAsinB+2cosAsinC=﹣sinAcosB，即2cosAsinC=﹣sin（A+B），∴2cosAsinC=﹣sinC，∴cosA=﹣，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sinB=，sinC=，∴sinB•sinC=，②①代入②，sinB•si nC=≤=，当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值．18．（12分）某班的数学研究性学习小组有9名成员，在暑假中各自都进行了小课题研究活动，其中参加活动一次的为2人，参加活动两次的为3人，参加活动三次的为4人．（1）从中人选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从中任选2人，求这2人参加活动次数之和的随机变量ξ的分布列和期望．【解答】解：（1）从人中任选3人，一共有种不同选法，其中这3人的活动次数各不相同的选法有=24种，∴这3人参加活动次数各不相同的概率p==，（2）由题意知ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）=，P（ξ=6）==．∴ξ的分布列为：Eξ==．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵BG⊥GC，GB=GC=2，四面体P﹣BCG的体积为，∴，解得PG=4，设二面角P﹣BC﹣D的大小为θ，∵GB=GC=2，E为中点，∴GE⊥BC，同理PE⊥BC，∴∠PEG=θ，∵BG⊥GC，GB=GC=2，∴EG==，∴tanθ===2．∴二面角P﹣BC﹣D的正切值为2．…（3分）（2）∵GB=GC=2，AG=GD，BG⊥GC，E是BC的中点，∴△BGC为等腰直角三角形，GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，∵PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，∴DK⊥面BPG∵∠DGK=∠BGA=45°，DK⊥GK，∴DK=GK，∵AG=GD，∴DK2+GK2=DG2=（）2==，∴DK=CK=．∵PG=4，DG==，PG⊥DG，∴=，设直线DP与平面PBG所成角为α∵DK⊥面BPG∴∠DPK=α，∴，∴直线DP与平面PBG所成角的正弦值为．…（8分）（3）∵GB，GC，GP两两垂直，分别以GB，GC，GP为x，y，z轴建立坐标系假设F存在，设F（0，y，4﹣2y）（0＜y＜2），∵，∴，又直线DF与GC所成的角为60°∴，化简得：不满足0＜y＜2∴这样的点不存在．…（12分）20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．①…（6分）因为以AB为直径的圆过点C，所以．由，得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…（7分）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．将①代入上式，解得或m=3（舍）．…（8分）所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=则有=．…（10分）设，则．取得最大值．…（12分）所以当时，S△ABC21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜成立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（1）=1．又＞lnx，而x＞1 时，lnx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．。
2014--2015高三数学期中考试理科题
2014――2015学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 3.函数f(x)=log 21(x 2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 4.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 5.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)6.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.37.定积分(2x+e x )dx 的值为( )A.e+2B.e+1C.eD.e-18.已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1) 9.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=2cos 3x 的图象( )A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位10.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)二填空题：本大题共5小题,每小题5分.共25分.把答案填在题中的横线上.11.已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 12.已知4a =2,lg x=a,则x= .13.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 14.函数f(x)=log 2·lo(2x)的最小值为 .15.已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一三、解答题（75分） （16）（本小题满分12分）已知函数21()cos (),()1sin 2122f x xg x x π=+=+。
【数学】2014-2015年江西省吉安一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设M={x|x＜4}，N={x|x2＜4}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M⊆C R N D．N⊆C R M2．（5分）0（x﹣e x）dx=（）A．﹣1﹣B．﹣1 C．﹣+D．﹣3．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）5．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a14=16，a4=2，则S11的值为（）A．15 B．33 C．55 D．996．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线l1：x+y=0，l2：kx﹣y+1=0，若l1到l2的夹角为60°，则k 的值是（）A．或0 B．或0 C．D．8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．4910．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣11．（5分）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a n=（n∈N*），b n=（n∈N*）．考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a n}为等比数列；④数列{b n}为等差数列．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于第象限．14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．15．（5分）在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=[k（k+1）（k+2）﹣（k﹣1）k（k+1）]由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3）…n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）设命题P：关于x的不等式：|x﹣4|+|x﹣3|≥a的解集是R，命题Q：函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求a 的取值范围．19．（12分）S n是等差数列{a n}的前n项和，a5=11，S5=35．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a an（a是实常数，且a＞0），求{b n}的前n项和T n．20．（12分）定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．22．（12分）已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设M={x|x＜4}，N={x|x2＜4}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M⊆C R N D．N⊆C R M【解答】解：N={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，M={x|x＜4}，根据数轴易知N⊊M．故选：B．2．（5分）0（x﹣e x）dx=（）A．﹣1﹣B．﹣1 C．﹣+D．﹣【解答】解：0（x﹣e x）dx=（x2﹣e x）=（0﹣1）﹣（﹣）=﹣；故选：C．3．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）a＜（）b”，则根据指数函数的单调性的性质可知a＞b，当a，b由负值或等于0时，log2a＞log2b不成立．若log2a＞log2b，则a＞b＞0．此时“（）a＜（）b”成立．∴“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）【解答】解：设=（x，y），由两个向量的夹角公式得cos180°=﹣1==，∴x﹣2y=15 ①，∵=3②，由①②联立方程组并解得x=3，y=﹣6，即=（3，﹣6），故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a14=16，a4=2，则S11的值为（）A．15 B．33 C．55 D．99【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a14=16=2a8，可得a8=8，根据a8+a4=2a6，求出a6=5，故S11==11•a6=55，故选：C．6．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．7．（5分）已知直线l1：x+y=0，l2：kx﹣y+1=0，若l1到l2的夹角为60°，则k 的值是（）A．或0 B．或0 C．D．【解答】解：由已知方程可得直线l1和l2的斜率分别为，k，由夹角公式可得tan60°=，即=，解得k=或k=0故选：A．8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A．9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．49【解答】解：根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75在74的基础上再乘以7，所以末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选：B．10．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．11．（5分）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]【解答】解：求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，则a=设g（x）=，则g′（x）=令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，g（）=﹣∴g（x）的最大值为g（）=﹣，最小值为g（1）=﹣3∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3当f′（x）≥0时，a≥g（x）≥g（）=﹣∴a≤﹣3或a≥﹣故选：C．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a n=（n∈N*），b n=（n∈N*）．考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a n}为等比数列；④数列{b n}为等差数列．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：（1）对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（0×0）=2f（0），f（0）=0，f（1×1）=2f（1），f（1）=0，故①f（0）=f（1）正确；（2）∵f[（﹣1）×（﹣1）]=﹣2f（﹣1），f（1）=﹣2f（﹣1）=0，f（﹣1）=0∴f（﹣x）=（﹣1）×f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故②不正确；（3）根据f（ab）=af（b）+bf（a），得到：f（2）=2f（22）=2•22，f（23）=3×23，f（24）=f（22×22）=4×24，归纳得：f（2n）=n×2n，（n∈N*）．∴a n==2n，∴==2=常数（n∈N*）．③数列{a n}为等比数列正确；∵b n===n，（n∈N*）．b n+1﹣b n=n+1﹣n=1=常数，（n∈N*）．∴④数列{b n}为等差数列正确；所以①③④正确，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于第Ⅲ象限．【解答】解：===对应点坐标（），在第Ⅲ象限．故答案为：Ⅲ14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．15．（5分）在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=[k（k+1）（k+2）﹣（k﹣1）k（k+1）]由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3）…n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为n（n+1）（n+2）（n+3）．【解答】解：∵n（n+1）（n+2）=∴1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）…n（n+1）（n+2）=∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=[（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）﹣（n﹣1）×n ×（n+1）×（n+2）=故答案为：16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）==（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=，∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a==3，∵b2+c2=a2+bc，即4+c2=9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5=0，解得：c=1±，∵c＞0，∴c=+1，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）设命题P：关于x的不等式：|x﹣4|+|x﹣3|≥a的解集是R，命题Q：函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求a 的取值范围．【解答】解：P真⇒a≤1Q真⇒ax2﹣2ax+1＞0恒成立（1）当a=0时，1＞0恒成立，∴（2）⇔0＜a＜1∴0≤a＜1∴若P真而Q假，则a＜0或a=1，若Q真而P假，则0≤a＜1∴所求a的取值范围是a≤1．19．（12分）S n是等差数列{a n}的前n项和，a5=11，S5=35．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a an（a是实常数，且a＞0），求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：a1+4d=11（1分），a1+2d=7（3分）解得：a1=3，d=2（5分）∴a n=2n+1（6分）（Ⅱ）∵a n=2n+1∴∴，∵a≠0∴{b n}是等比数列（7分）b1=a3，q=a2（8分）∴（1）当a=1时，b1=1，q=1，T n=n（9分）（2）当a≠1时，（12分）综上：（13分）20．（12分）定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？【解答】解：（1）设x∈（﹣2，0），则﹣x∈（0，2）∵x∈（0，2）时，=∴由函数f（x）为奇函数可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴∵f（0）=0，∵周期为4且为奇函数，f（﹣2）=﹣f（2）=f（2）∴f（﹣2）=f（2）=0（2）设0＜x1＜x2＜2令则==∵0＜x1＜x2＜2∴g（x1）＜g（x2）∴函数g（x）在（0，2）单调递增，且g（x）＞0∴f（x）在（0，2）单调递减（3）由（2）可得当0＜x＜2时，单调递减故由奇函数的对称性可得，x∈（﹣2，0）时，当x=0时，f（0）=0∵关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解∴21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．【解答】解：根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，（2分）解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）所以两切线所夹劣弧长为．（5分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，（6分）和圆x2+y2=4联立，得到，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，（7分）因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，所以有，，（8分）代入直线方程得，．（9分）同理，设，联立方程有，代入消元得到（4+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣16=0，因为直线BP经过点B（2，0），N（x 2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，代入得到．（11分）若x1=1，则t2=12，此时显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有，（13分）所以k MQ=k NQ，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）．综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）22．（12分）已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由题得：．（Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2经检验：a=2符合题意．（2分）（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵，∴，∴当时，．又，∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．（5分）（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立．记，（1＜a＜2）则，当m=0时，，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，∴．若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g （a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故，这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，∴，即，所以，实数m的取值范围为．（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0第21页（共22页）④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx第22页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
赣州市2014—2015学年第二学期高三理科数学期中试题
俯视图（11题图）2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合{})23lg(x y x A -==，集合{}x y y B -==1，则=B A （ ） A ． )23,0[ B ． （﹣∞，1] C ．D ．2．已知向量21,e e 是两个不共线的向量，若212e e a -=与21e e b λ+=共线，则λ的值为 ( ) A. 1- B. 21-C. 1D. 213．直线:1l y kx =+与圆221x y +=相交于A ，B 两点，则“△OAB 的面积为43”是“3=k ” 的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若=<<-=>)02(,)2(ξξP p P 则 （ ） A ．p +21B ．p -1C ．p -21D ．p 21-5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为 （ ）A ．[]3,3-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．⎦⎤⎢⎣⎡-32,32 6．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=， 则ABC ∆的面积为 ( )A ．2B ．23C ． 22D ． 247．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的))(0,(,2121x x x x ≠-∞∈，都有0)()(1212<--x x x f x f .则（ ）A ．)5(log )2()3.0(23.02f f f << B ．)3.0()2()5(log 23.02f f f << C ．)2()3.0()5(log 3.022f f f << D ．)2()5(log )3.0(3.022f f f <<8．5)31(y x --的展开式中不含x 的项的系数和为 ( )A ．32B ．32-错误！未找到引用源。
【数学】2014-2015年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．254．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是．11．（5分）（x+sinx）dx=．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=；A=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n（n≥2）；﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）【解答】解：由题意得，集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x∈R|1＜x≤2}=（1，2]，故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选：D．3．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．25【解答】解：由等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，∴a3+a5=a1q2+a3q2=q2（a1+a3）=20，故选：C．4．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B．5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）＜1，b=log2＜0，c=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＞b，ab＞0，∴＞，∴＞，即＜；是充分条件，若＜，则﹣＜0，∴＜0，∴或，不是必要条件，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故选：D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴=﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．【解答】解：z==，∴．故答案为：．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是0．【解答】解：∵函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，∴函数y=2|x+a|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|x+a|=2|﹣x+a|，即|x+a|=|﹣x+a|=|x﹣a|恒成立，故a=0，故答案为：011．（5分）（x+sinx）dx=0．【解答】解：（x+sinx）dx=（﹣cosx）=﹣cosπ﹣[﹣cos （﹣π）]=0故答案为：0．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【解答】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=﹣2．【解答】解：在△ABC中，∵BD=2DC，∴=，又∵=﹣，∴=+=+=+（﹣），∴=﹣，∴=﹣=﹣+；又∵=m+n，∴m=﹣，n=，∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=2；A=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期为π，∴，即ω=2．∴f（x）=Asin（2x+φ），f′（x）=2Acos（2x+φ），∵曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线x0∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值为1，即A=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（）=sin﹣sin（+）=1﹣=．（Ⅱ）f（x）=sinx﹣sin（x+）=sinx﹣（sinxcos）=sinx﹣（sinx+cosx）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）由2k≤x﹣≤2k，（k∈Z）得：2kπ（k∈Z）所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1，a3，﹣a2成等差数列．∴2a3=a1﹣a2，设等比数列{a n}的公比q＞0，则，化为2q2+q﹣1=0，解得q=．∴=．（2）a n﹣n=﹣n．∴其前n项和S n=﹣=﹣．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…（5分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（7分）（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…（9分）因为BC=2，，…（11分）所以=．所以AB=4．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x2+1，f′（x）=，（x＞0），令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x2﹣1＞0，解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0），令f′（x）=0，由a＞0，解得x1=，x2=﹣（舍去），①当≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；②当＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，]上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=使得f（x）＞0．综上所述，a的最大值为1．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（n≥2）；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．【解答】（1）解：由S n=，得，解得a1=1；（2）证明：∵S n=，∴．两式作差得：，即（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）；（3）数列{a n}是等差数列．事实上，由S n=，∴．．由（2）可得，（n≥3）．∴．即（n﹣2）a n﹣2（n﹣2）a n﹣1+（n﹣2）a n﹣2=0．∵n≥3，∴a n﹣2a n﹣1+a n﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3）．∴数列{a n}是以1为首项，a2﹣1为公差的等差数列．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴，∴．∴L的方程为，即；（2）证明：要证除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方，只需证明∀，恒成立．∵5x2+16x+23＞0，∴只需证明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立即可．设，则g′（x）=15x2+22x+7=（x+1）（15x+7）．令g′（x）=0，解得x1=﹣1，．当时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．∴明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立；（3）①当时，由（2）知，，，．三式相加得：．∵x1+x2+x3=﹣3，∴，当且仅当x1=x2=x3=﹣1时取等号．②当x1，x2，x3中至少有一个大于等于时，不妨设，则，∵，，∴．综上所述，当x1=x2=x3=﹣1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）取到最大值．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014-2015年第二学期高三期中数学测试及答案
2014-2015学年第二学期高三期中测试卷科目：理科数学时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={}4,5,7,9，B={}3,4,7,8,9，全集B A U =，则集合()U C A B 中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D 6个．2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为 （ ）A ．4-B ．54-C ． 4D ．543．已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为 （ ） A ．53-B ．51- C ． 51 D ．534．5本不同的书全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 （ ） A ．480种 B ．240种 C ．120种 D ．96种5．一只蚂蚁从正方体 1111D C B A ABCD -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点1C 处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4） 6．若c b a ,,是ABC ∆的三个内角的对边，且B b A a C c sin 3sin 3sin +=,则圆M ：1222=+y x 被直线l ：0=+-c by ax所截得的弦长为 （ ） A ．64 B ．62 C ．6 D ． 57．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 （ ） A .23-B .23C .0D .3 8．在数列}{n a 中，21=a ，)11ln(1++=+na a n n ，则=n a （ ） A ．n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n n ln 2+ D ．n n ln 1++9．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是 （ ）A ． 3B ．2C ．1D ．010．若实数y x ,满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则23x y z +=的最小值是 （ ）A ．0B ．1 CD ． 911．设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭圆1C 的离心率83=e ，则双曲线2C 的离心率是 （ ） A .45 B .23 C . D .412．已知圆O 的半径为1,PB PA ,为该圆的两条切线, B A ,为切点,则⋅的最小值为 （ ） A ．223+- B ．23+- C . 224+- D . 24+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．n xx )212(-的二项展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （用数字做答）.14．若函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过定点A ,P 是直线0543=++y x 上的为任意一点，则PA 最小值为 . 15．若数列{}n a 满足d a a nn =-+111为常数）d N n ,(*∈，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1为调和数列，且2002021=+++x x x ，则=+165x x . 16．已知直线a x =)20(π<<a 与函数x x f sin )(=和函数x x g cos )(=的图像分别交于M ,N 两点，若51=MN ，则线段MN 中点的纵坐标为 . 三、解答题：（本题6道小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤）17．（本小题满分12分）如图地平面上一旗杆设定为OP ，为测得它的高度h ，在地平面上取一基线a AB AB =,，在A 处测得P 点的仰角030，在B 处测得P 点的仰角045，又测得θ=∠AOB ，求旗杆的高度h ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD， AB PD = ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．（1）求证：平面//PAB 平面EFG ；（2）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明；19．某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) .(1) 指出这组数据的众数和中位数；(2) 若幸福度不低于9.5分，则称该人 的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机 选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3) 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区任选3人， 记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点)3,2(A ，且点)0,2(F 为其右焦点 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在求出的l 方程；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数 ()b xax x f ++=，)0(≠x 其中R b a ∈,. （1）若曲线()x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数的解析式； （2）讨论函数()x f 的单调性；（3）若对于任意的]2,21[∈a ，不等式()10≤x f 在]1,41[上恒成立，求b 的取值范围．ABDEF PGCB选考题：（本小题满分10分 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22． 选修4－1:几何证明选讲如图， AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F . (1）证明: M F E A ,,,四点共圆； (2)若44==BF MF ，求线段BC 的长.23．选修4－4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)0,2(、)2,332(π， 圆C 的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数），（1）设为P 线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系．24．选修4—5:不等式选讲已知121<-x ，122<-x ． （1）求证：6221<+<x x ．（2）若1)(2+-=x x x f ，求证：21215)()(x x x f x f -<-．高三期中数学试题参考答案一：选择题：1 ．C 2． D 3 ．A 4 ．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C 11．B 12．A 二、填空题： 13. 20- 14.1 15. 20 16．107三、解答题：17．解：（Ⅰ）在PAO Rt ∆和PBO Rt ∆中030=∠PAO ,045=∠PBOh AO 3=,h BO = ………………… …5分在BAO ∆中，θ=∠BOA ，由余弦定理得θcos 32)3(222h h h h a ⋅-+= ……………………… 7分解得θcos 32422-=a hθcos 324-=a h … ………………………12分18.解： （1）因为 ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．所以AB DC EF ////，⊂AB 平面PAB ，所以 //EF 平面PAB 同理 //FG 平面PAB ，F EF FG =⊂EF FG ,平面EFG所以 平面//PAB 平面EFG ； ……………………………6分（2）取线段PB 的中点为Q ，则PC ⊥平面ADQ 成立。
2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学理科试题
2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合13{|()}xM y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）2．若120a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．2log ()1ab >-D ．2log ()2ab <-3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列{}nS n的前11项和为( )A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．554．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．1()f x =2()f xB ．1()f x >2()f xC ．1()f x <2()f xD ．与a 的值有关5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．98B ．78C ．98-D ．78-6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．57．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）A ．()1,3B ．()3,1C ．()2,3D ．()2,19．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）A ． 14B ．12C ．37 D ．3410．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）11．若AB 是过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）A ．22c a -B ．22c b -C ．22b a -D ．22a b -12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二、填空题(4×4′=16分)：13．在（51)x 展开式中，1x 的系数是： ；14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEABEB BECBED16．曲线2cos ρθ=关于直线4πθ=-对称的曲线方程为 ．三、解答题（满分74分）：17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望和方差．19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为23=x .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．（1）求数列{}n x 的通项；（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4n T <.高三数学（理科）参考答案一、选择题BDBCD ADACA CB二、填空题13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-三、解答题17.(1)()263)0,y x x ππ=++∈;(2)(y ∈.18.(1)(2) 214E ξ=; 6380D ξ=.19.(1)略; (2)3π ;.20.(1)2213x y -=;(2)(k ∈.21.(1)36n m =+;(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()21,1m +； (3)()43,0m ∈-.22.(1)121n x n =-;(2)1n =时，1n T T =<1n >2n ==<=()111111114223141(1)11n n n n T -⎤<+-+-++-=+-⎤⎦⎦。
山东省临沂市2014-2015学年高三上学期期中考试理科数学试题word版含答案
高三教学质量检测考试理科数学2014.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C AB =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤ 2、下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2(1)y x =- B ．2xy -= C ．ln y x = D ．y3、已知命题:22;p q ≤ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝4、设函数()()23,(2)f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +5、如图，AB 是O 的直径，点,C D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（ ）A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b + D ．12a b - 6、函数(01)xxa y a x=<<的图象的大致形状是（ ）7、已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan2α=（ ）A ．13-B ．12- C ．2 D ．3 8、给出下列四个结论：①函数()2log f x x =是偶函数；②若393,log a x a ==，则x =③若,1x x R e x ∀∈≥+，则0:,1x p x R e x ⌝∀∈≤+；④“3x >”是“21x ->”的充分不必要条件，其中正确的结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．3 9、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()30f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．23x π=B ．56x π=C ．3x π=D ．6x π= 10、设()22x x f x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，21()(3)0cos 1f m f m θ-+->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,1-C ．()[),21,-∞-+∞D ．(),2(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015高三期中考试数学理科
D
第 2 页共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
第 3 页共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
第 4 页共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
第 5 页共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
第 6 页 共 12 页 2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.
16.△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ,,，重心为G ，若33=+
+c b a ，则∠A= .
唐山市开滦一中2014—2015学年度第一学期期中考试
高三年级数学试卷（理） 二．填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分。
将答案直接填在题中横线上。
13．________________ ；14．________________ 15．________________； 16．________________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本题满分10分） 函数b x ax x f ++=1)(（a ，b 为常数），且方程x x f 23)(=有两个 实根为2,121=-=x x . （1）求)(x f y =的解析式；
（2）求满足不等式()3>x f的解集
第 7 页共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
第 8 页 共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
18. （本题满分12分）
已知函数y ＝x ＋t x 有如下性质：如果常数
t >0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，
在[t ，＋∞)上是增函数．已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1
，x ∈[0,1]，利用上述性质， 求函数f (x )的单调区间和值域；
19. （本题满分12分）
第 9 页 共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷 已知函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π
（1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别
为c b a ,,,已知21
)(=A f ，c a b ,,成等差数列，且
9=⋅，求a 的值.
第 10 页 共 12 页
2014-2015学年度第一学期唐山市开滦一中高三期中考试数学理科试卷
20. （本题满分12分）
设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R.
（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2
上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；
21. （本题满分12分）
已知△ABC 的面积S 满足
2323≤≤S ，且3=⋅,与BC 的夹角为θ．
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数θθθθθ22cos cos sin 32sin
3)(++=f 的最大值及
最小值
22. (本小题满分12分)设函数1
()ln x x be f x ae x x -=+，
曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.。