浅谈多元函数的极限的存在性
多元函数的极限与连续
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
浅谈多元函数的极限的存在性
浅谈多元函数的极限的存在性
张志会
（武昌工学院湖北·武汉430065）
摘要本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，讨论多元函数的极限是否存在。
关键词多元函数极限
中图分类号：G421文献标识码：A
0引言
一元函数的微积分，所讨论的均是单变量函数，在现实生活中，这样的情形是少数。
在很多实际问题中，往往牵涉到多方面因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数的微分和积分问题。
在一元函数中，如果，当且仅当
，即当时，的极限存在，只需要左极限和右极限同时存在且相等即可。
对于多元函数来说，极限存在的要求更复杂。
要讨论极限
是否存在，只有当以任何方式趋于点时，对应的函数值趋近于确定的常数A，才能说有极限。
反之，如果沿着两条不同的路径趋于点，函数值趋于不同的常数，那么函数的极限不存在。
本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，要讨论多元函数的极限是否存在。
看出函数极限的值随的不同而改变的
例如当时，极限值为0
当时，极限值为
2
由
参考文献
[1]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[2]黄立宏.高等数学上册[M].上海:复旦大学出版社,2010.
数|学|研|究
—科教导刊（电子版）·2017年第32期/11月（中）—183。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的极限
多元函数的极限摘要:多元函数是是一元函数的推广，由于自变量个数的增加，函数的极限和连续与一元函数相比复杂了很多。
本文研究了多元函数的极限与连续，文章第一部分通过例题的形式总结了求解多元函数极限的几类方法。
而极限与连续是紧密联系的，在本文第二部分中，我们讨论了连续、对单变量连续、以及一致连续之间的关系。
关键词:多元函数;极限;连续一元函数只有一个自变量，它所能描述的只是客观现实中的很少一部分事物的变化，而更多的情形需要我们考虑多因素影响下事物的变化规律。
例如，矩形的面积依赖于两个量:长和宽;长方体的体积则依赖于三个量:长、宽和高;而空间每一点温度的变化不仅依赖于每一点的位置(x,y,z)，而且还随时间的变化而变化，这时它依赖于四个变量。
因此，为了研究这些比较复杂的问题，我们需要在一元函数的基础上增加自变量的个数。
这就是多元函数。
和一元函数一样，极限与连续是研究多元函数微积分的基础。
自变量由一个变成多个，一方面，多个要以一个为前提。
因此，我们学过的一元函数的极限、连续性与微积分，对多元函数的学习是必不可少的。
另一方面，由单个自变量到多个，也必然会有本质的变化。
变化之一是，一个自变量作为直线上的点是有大小顺序的，而多个自变量，例如两个自变量，作为平面上的点是没有大小顺序的。
本质变化之二是，对直线上固定的一点，其它点趋向于它只有左右两个方向，十分简单，而平面上则有无穷多个方向。
因此，掌握从一元到多元的差异，应该是在学习多元函数中需要特别注意的。
从一元到二元，是需要许多新思想的，但从二元到多于二元，新的思想就不多了，只是形式和计算上会复杂很多。
因此，其它多元函数可以仿照二元函数的性质来研究。
下面我们从二元函数说起，来研究多元函数的极限和连续。
1 多元函数的极限1.1重极限1.1.1定义及性质2,定义1.1:设f是定义在DR上的二元函数，为D的一个聚点，A是一P0。
,个确定的数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P(;δ)?DPU0时，都有f(P)-A<ε，则称f在D上当时以A为极限，记作f(P)=A.PP,lim,,0PP,0PD,,在对于PD不致产生误解时，也可以简单地写作limf(P)=A. PP,0当P, 分别用坐标(x,y),()表示时，也可以记作Pxy00,0=A. lim,fxy，，(,)()xyxy,0,0下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
多元函数连续、可导和可微性关系的相关探讨
多元函数连续、可导和可微性关系的相关探讨摘要：函数的连续性、可导性和可微分性及其内在联系在高等数学和数学分析课程中都具有十足轻重的作用.本文主要通过相关概念及几何意义研究多元函数极限、连续、偏导数和微分之间的关系，旨在帮助学习者理清概念，更好地掌握这部分的知识.关键词：多元函数；连续性；偏导数；微分引言函数微分学和积分学是高等数学和数学分析课程的非常核心的内容，在多元函数微分学学习过程中，很多同学对多元函数的极限存在、函数连续性、函数偏导数存在与函数的可微性之间的关系认识比较迷糊，从而导致后续课程的学习很吃力；同时，该部分知识也是数学相关专业考研的必考科目，其重要性不言而喻；针对这一问题，本文从多元函数（以二元函数为例）出发讨论函数这几个概念之间存在的联系与区别，在难以理解的地方通过给予实例说明，同时结合相关该男的几何意义对概念之间的关系做直观描述，最后与一元函数相关概念关系进行对比，以便加深学习者对该部分知识的深入理解.1 多元函数重极限与累次极限的关系从多元函数重极限与累次极限的定义可知，二者的存在性没有必然的蕴含关系，也就是说无法由其中一种极限判断另一种极限是否存在以及极限值的情况，但在一定的条件下，二者也是有联系的.首先，如果重极限与某个累次极限都存在的话，二者必相等，也可以说如果重极限与两个累次极限都存在的话，三者也必然相等，这也说明了如果两个累次极限都存在但不相等时，可以判断重极限一定是不存在的.2 多元函数极限存在与连续性的关系函数在某点极限存在与否不能判断函数在该点是否连续.这是因为判断函数在某点极限是否存在的前提是该点为函数定义点集的聚点，而连续性没有这一要求，这样的话即使函数在该点极限不存在也可能在该点连续，如孤立点，同时，函数在该点的极限值即使存在也未必是函数在该点的函数值，所以也未必连续.函数在某点是否连续也不能判断函数在该点是否极限存在.也就是说连续点可以是聚点也可以是孤立点，由定义可知孤立点是连续点但极限不存在，但如果连续点是聚点的话一定极限存在.总的来说，函数在该点极限是否存在不能判断在该点是否连续（聚点的话由极限值是否等于函数值决定），函数在该点是否连续也不能判断函数在该点极限的存在性(如孤立点).3 多元函数连续性与偏导数存在之间的关系多元函数连续与否无法判断偏导数是否存在，如函数在点（0,0）连续但偏导数不存在，但在点（0,0）连续且偏导数存在.函数在点（0,0）不连续但偏导数存在.同时多元函数偏导数存在与否也无法判断函数是否连续，如上述函数在点（0,0）偏导数存在且连续，而函数在点（0,0）偏导数存在但不连续.总的来说，函数在该点连续与否不能判断函数在该点偏导数是否存在，按一元函数理论，函数偏导数存在则在该方向是连续的，但多元函数的连续要求在任意方向都是连续的，这也解释了多元函数连续性与偏导数存在性的关系.需要注意的是,虽然偏导数存在无法判断函数是否连续，但如果函数偏导数存在且有界的话，就能判断函数是连续的.4 多元函数连续性与可微性的关系由可微性定义易知，函数在某点可微则在该点一定是连续的，但函数在某点连续无法判断函数在该点是否可微，如3中函数在点（0,0）连续，但在该点不可微；但函数在点（0,0）连续且可微.总的来说，函数在某点可微一定连续，反之不一定成立.5 多元函数偏导数存在与可微性之间的关系由函数可微性定义可知，如果函数在某点可微则偏导数一定存在,但偏导数存在无法判断函数的可微性，如3中函数在点（0,0）偏导数存在且可微，而函数在点（0,0）偏导数存在但不可微.从几何意义来讲，多元函数在某点可微，则曲面在该点存在不平行于z轴的切平面，但偏导数存在只能保证该点处沿某个别方向切线存在，不能保证切平面存在，这也解释了多元函数在一点可微与偏导数存在的关系.总的来说，函数在某点可微偏导数一定存在，反之不一定不成立.需要注意的是，虽然偏导数存在无法判断函数可微，但如果函数偏导数存且偏导数连续的话，就能判断函数是可微的.结束语对于一元函数而言，函数在某点可微分函数在该点可导函数在该点连续函数在该点极限存在，反过来都不一定成立.但对于多元函数而言，除了函数在某点可微分函数在该点偏导数存在、函数在某点可微分函数在该点连续外，其它关系都不一定成立.通过以上分析，明确了多元函数极限、连续、偏导数和可微几个重要概念的关系，也给出了多元函数与一元函数本质上的区别和联系，对于容易弄不清的关系通过反例给出了解释，但对函数连续性与一致连续性的关系没有提及，同时函数连续性、可微性的充分条件还有待进一步的研究.参考文献[1] 华东师范大学数学科学学院.数学分析下[M].北京：高等教育出版社，2022:89-106.[2] 金少华，徐勇等. 关于多元函数可微性教学的一个注记[J].高师理科学刊,2018(2):61-62.[3] 王霞，谢孔锋. 二元函数连续、偏导数、可微分与方向导数之间的关系及举例[J].贵阳学院学报（自然科学版）,2014,9(4):1-2,40.[4]齐小忠.浅谈二元函数中六大重要概念间的关系 [J].喀什师范学院报,2013,34(3):23-25.作者简介：宋玲珍，1980.01，女，河南滑县人，汉，硕士，讲师，研究方向：图像处理。
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浅谈多元函数的极限的存在性
作者：张志会
来源：《科教导刊·电子版》2017年第32期
摘要本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，讨论多元函数的极限是否存在。
关键词多元函数极限
中图分类号：G421 文献标识码：A
0引言
一元函数的微积分，所讨论的均是单变量函数，在现实生活中，这样的情形是少数。
在很多实际问题中，往往牵涉到多方面因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数的微分和积分问题。
在一元函数中，如果，当且仅当，即当时，的极限存在，只需要左极限和右极限同时存在且相等即可。
对于多元函数来说，极限存在的要求更复杂。
要讨论极限是否存在，只有当以任何方式趋于点时，对应的函数值趋近于确定的常数A，才能说有极限。
反之，如果沿着两条不同的路径趋于点，函数值趋于不同的常数，那么函数的极限不存在。
本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，要讨论多元函数的极限是否存在。
1证明极限不存在
解显然当点沿轴趋于点时，
又当点沿轴趋于点时，
虽然点以上述两种特殊方式（沿轴或沿轴）趋于原点时，函数的极限存在并且相等。
但并不存在，这是因为动点沿直线趋近于点时，有容易看出函数极限的值随的不同而改变的
例如当时，极限值为0
当时，极限值为
所以极限不存在。
2讨论极限是否存在，说明理由
解显然，当点沿轴趋于点时，
又当点沿轴趋于点时，
虽然点以上述两种特殊方式（沿轴或沿轴）趋于原点时，函数的极限存在并且相等。
但并不存在，这是因为动点沿直线趋近于点时，极限为0；动点沿直线时，极限为1，因为两个极限不相等，所以极限不存在。
参考文献
[1] 同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[2] 黄立宏.高等数学上册[M].上海：复旦大学出版社，2010.。