函数极限的判定

0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )

A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1

1
为更强的形式。如当 x x0 时有：
定理3.9
设函数
f在
x0
的某空心邻域U
0
(
x0
)
内有定义， lim f (x) A xx0
对任何以 x0
为极限的递减数列 xn U0(x0) ，有
lim
n
f
(xn )

A
.
二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述
例1 证明 lim sin 1 不存在.
x0 x
证
取
xn



1 n
,
y sin 1 x
lim
n
xn

0,
且 xn 0;


取
xn



4n
1
1

,
lim
n
xn

0,
且 xn 0;
2
而 lim sin 1 lim sin n
§ 3.3 函数极限存在的条件
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 lim f (x) 为例
x x0
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列极 限的关系：
二 单调有界定理:
三 Cauchy准则:
一 Heine归结原则 —— 函数极限 与数列极限的关系：
1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
的某空心邻域 U o( x0 , )内有定义. 则
lim f (x) 存在
x x0
0, 0( ), x, x U o( x0, ) ,
f (x) f (x) .
证 ) ( 利用极限的定义 ) ) ( 利用Heine归并原则 )
( xn )是f
( x)当x

a
时的一个子列,
则有lim n
f
( xn )

A.
证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn

x0
且
xn

x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
四类单侧极限也有相应的定理。现以 x x0
这种类型为例叙述如下:
Th3.10
设
f
为定义在
U
0
(
x0
)
Hale Waihona Puke 上的单调有界函数，则右极限
lim
x x0
f (x) 存在.
注：Th３.10可更具体地叙述如下：
f
为定义在
；
U
0
(
x0
)
上的函数，若
f
在
U
0
(
x0
)上递增（减）有下（上）界，则
lim f (x) 存在，且 lim f (x) inf f (x)
注：按照Cauchy准则，可以写出 lim f (x)
不存在的充要条件：存在
x x0
0 ，对任意
( 0) ，存在
| f (x) f (x) |
使得 x, x U 0 ( x0 ; )
.
例：用Cauchy准则说明
lim sin
x0
1 x
不存在.
取
x

1
xx0
x x0
xU
0
(
x0
)
( lim f (x) sup f (x))
x x0
xU
0
(
x0
)
极限存在性
下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.
定理 设 f (x) 在
U
0
(
x
0
)
上定义，且
f (x) 单调上升，则
lim
xx0 0
f
(x)存在且等于
sup f (x) .
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), 为函数f ( x)
当x a时的子列.
定理
若 lim xa
f
(x)

A,数列f
2 函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
Heine定理，又称归并原则
一 Heine归结原则 —— 函数极限与数列极限的关系：
Th 3.8 设函数 f 在点 x0 的某空心邻域
U o( x0 ) 内有定义.则极限
lim
x x0
f (x) 存在,
对任何 xn U o( x0 ) 且
n
,
x
1
n
.
综上所述：Heine定理和Cauchy准则是2说
明极限不存在的很方便的工具。
小结
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列 极限的关系：
二 单调有界定理
三 Cauchy准则:
xx0 ，
不存在的方法，即“若可找到一个数列xn
或lnim“ x找n 到x两0 ，个使都得以x0ln为im极f限(x的n )数不列存在xn；,”xn ，
使
lim
n
f
(
xn
),
lim
n
f
( xn )
都存在但不相等，则
lim f (x) 不存在.
x x0
xn x0 ,
lim
n
f
(xn )
都存在且相等.
注１． f (xn)
是数列，lim n
f
(xn )
是数列的极限。所以
这个定理把函数 f (x)的极限归结为数列 f (xn)
的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，
可由数列极限的性质来推断函数极限性质。
注２．从Heine定理可以得到一个说明 lim f (x)
xx0 0
xU
0
(
x0
)
2) A
因集合无上界，对 M 0
, ，
x
U
0
(
x0
)
使得 f (x) M .取 x0 x 0 ，则当
0 x0 x
时, 有 f ( x) f ( x) M , 即
.
lim f (x) sup f (x)
U
0
(x0
),
使得
f (x) A , 取 x0 x 0 ，则当
, 0 x0 x 时，由。函数单调上升得
f (x) f (x) A . , 再由上确界定义
A f (x) A , 或 f (x) A
即 lim f (x) A sup f (x)
xU
0
(
x0
)
注 E 无上界, 规定 supE ,
E 无下界, 规定 inf E .
证 令A=
sup f (x)
xU
0
(
x0
)
,
当集合{
f
(x)
|
x
U
0
(x0
)}
有上界时, A ，当它无上界时， A
1) A
0
, 由上确界定义， x
x x0 0
xU
0
(
x0
)
类似地我们有: 在 f (x)
U
0
(
x
0
)
定义，且
f (x)
单调下降,则 . lim f (x) inf f (x)
x x0 0
xU
0
(
x0
)
关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表 述和证明。
三 Cauchy准则: Th 3.11 ( Cauchy准则 ) 设函数 f (x) 在点 x 0
n
x n n
而 lim sin 1 lim sin 4n 1 lim1 1,
n
xn n
2
n
二者不相等,
故 lim sin 1 不存在.
x0
x
注３．对于 x x0 , x x0, x , x
这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可 表示