2012年高考真题——文科数学(山东卷)解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【解析】i ii i i i ii z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A.【答案】A(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U ）（为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 【答案】C (3)函数1()ln(1)f x x =++(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-【解析】要使函数有意义则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，选B. 【答案】B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D. 【答案】D(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=22，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C.【答案】C(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A.【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1--【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3s in (2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.【答案】B (10)函数cos 622xxx y -=-的图象大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数xxy --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-xx y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-xxx y ，排除B ，选D.【答案】D(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)xy a b ab-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 23x y=(B) 23x y=(C)28x y = (D)216x y =【解析】抛物线的焦点 )2,0(p ，双曲线的渐近线为x ab y ±=，不妨取x a b y =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯ba p a ，即cb a ap 4422=+=，所以4p ac =双曲线的离心率为2=ac ，所以24==p ac ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.【答案】D (12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是 (A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b=.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==.所以21()()(2)F x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =-.120x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.【答案】B第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=.【答案】61(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. 【答案】9(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.【解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.【答案】14（16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠P C A,,则22π-=∠PCA ,所以2co s )22si n (-=-=πPB ，2sin )22cos(=-=πCB ，所以2s i n 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2c o s 1)223s i n (12s i n 2)223c o s (2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=OP .【答案】)2cos 1,2sin 2(--三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24a c bB ac+-==，sin 4C ==，∴△ABC 的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.(19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABC D -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,C B C D E C B D=⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BC D =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：D M ∥平面BEC .【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由B C C D =知 ，C O BD⊥，又已知C E BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE . 所以BD O E ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,M N D N ， ∵M 是AE 的中点，∴M N ∥BE ， ∵△ABD 是等边三角形，∴D N AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .【答案】 (I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=. (II)由277m n a n =≤，得217m n -≤， 即217m m b -=.∵211217497m k m kb b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948mmm S -==--.(21) (本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b ab+=>>2，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||P Q ST 的最大值及取得最大值时m 的值.【答案】(21)(I)222324c a b e a a-==⇒=……①矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……② 由①②解得：2,1a b ==， ∴椭圆M 的标准方程是2214xy +=.(II)222244,58440,x y x m x m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.||PQ ==.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST ==其中3t m =+，由此知当134t=，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||P Q ST.②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||P Q ST .③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||P Q ST .综上可知，当53m =±和0时，||||P Q ST .(22) (本小题满分13分)已知函数ln ()(exx k f x k+=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.- 11 -【答案】(I)1ln ()e x x kx f x --'=， 由已知，1(1)0ekf -'==，∴1k =. (II)由(I)知，1ln 1()e x x x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x '=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. (III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e x x x xg x x x x --=<--.设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+. 综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。