最新研究生数值分析考试试题
研究生《数值分析》试卷
研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。
2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。
4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。
5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。
6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。
六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。
研究生数值分析考试
工科研究生《数值分析》复习练习一．填空（共4分，每空44分）（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则()ni i l x ==∑（）,=∑=ni i i x l x 0)(（）.（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（）至少是二阶收敛的。
(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（）（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。
（5）设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则1||||A =（），||||A ∞=（）.（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）（8）插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有（）次代数精度，求积系数之和0nk k A ==∑（）,而Gauss 求积公式至少具有（）次代数精度。
（9）初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯形格式分别为（），（），（）。
(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（）（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。
（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b内部。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
东华大学研究生数值分析试题
东华大学研究生数值分析试题(笔试部分)班级 _______ 学号 ________ 姓名 ___________ 得分 _________ 一、 由f(x) =3x 在0，1,-1的值分别按不同要求计算3 3的数值解 (计算过程均保留2位小数，其中“ 1” “2”需估计结果有几位有效数字) 1、1、按f(x)在0，1，-1处的值由分段线性插值计算; 2、2、按f(x)在0,1处的值及f(0)9n3“.10由二阶Hermite 插值计算;3、3、按f (x)在0，1, -1处的值由直线拟合计算;1J3x xdx 茫 0.83 4、4、由［-1，1］上一次平方逼近多项式计算(取 」 )的二阶导数且满足P( 2)=°;22、由“ 1” 当 f(x)满足 f(1)二 P(1),f(2) =P(2),f '(1) = P '(1)时求的数 值解及对应余项1f (x)dx ： Af (0) Bf (1) Cf ' (1)bf (x) dx2、由(*)导出解a的数值积分公式并由此公式将［0，1］ n 等分导出解1f(x)dx的复化求积公式并求 Cond ：：(A)；2、由三角分解A=LU 解AX=B ，、1、求a 及不超过二次多项式P(x)使S(x)0_x_ 1仁x±2具有连续三、1、求A ，B ，C 使 度;(*)至少有2次代数精四、1、由选主元Gauss 消去法解AX=B ，其中z-3 0 0 ' \ ,A = 1 1-2,B = 1「-21』A 二其中 并写出对应“消去法”的3 | 2五、 1、讨论求X 3 -3x 2 •仁0在［2.5,3］上根的迭代格式X k 1「3X k - 1（**）的合 理性并由迭代收敛定理讨论（**）的收敛性；2、写出（** ）的“迭代一加速”格式并讨论加速效果。
^y = f （x, y ）六、 1、求a i,a2使解 ,&0）=丫0 （ *** ）的显式差分格式y n+ = yn +h （aK 七2心）K = f （X n , y n ） 2 =f （Xn+襄丫广昨）Z 二f X 哼几+爭K ）有二阶精度；2、写出“ 1”中格式与隐式差分格式y n^ynl［f （Xn，y n ）f （xn 1,yn1）］联合解（*** ）的“预报一较正”格式1"a "■b 0、1,L =,U =,B =3 4丿<0 1<cJ 丿“回代”过程。
数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
研究生数值分析习题
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。
（即Gauss 型求积公式）2. 已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3f x dx f f f ≈++⎰ ，则其代数精度为______。
3. 数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9f x dx f f f -≈-++⎰的代数精度为_________。
4. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。
5. 在Newton-Cotes 求积公式：()()()()nbn i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。
()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥6. 若用复化梯形公式计算10x e dx ⎰，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。
7. 对于Gauss 型求积公式31()()()bk k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）31()k k k A f x b a ==-∑；（C ）该求积公式的代数精度为5；（D ）2(35)()()0ba x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中31()()k k x x x ω==∏-。
8. 0{()}k k x ϕ∞=是区间[0,1]上权函数()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则140()_______x x dx ϕ=⎰。
9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰10. 数值积分公式形如1()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4()[0,1]f x C ∈，推导余项公式10()()()R x xf x dx S x =-⎰，并估计误差。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
武汉大学研究生课程数值分析期末考试
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名： 学号： 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差：∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差：∆������ ������ = 有效数字：������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限：|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式，当|������′(������)| = 0，则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶：迭代公式是个方程，准确解带进去是个方程，两方程相减，然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛)：������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性；若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换（H=I-2wwT） 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
硕士研究生数学分析真题试卷
硕士研究生数学分析真题试卷一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处（）A 连续B 可导C 有极限但不连续D 以上都不对2、设函数＄f(x)＄在＄a,b$ 上连续，在＄（a,b)＄内可导，且＄f(a) ＝ f(b)＄，则在＄（a,b)＄内（）A 至少存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$B 一定不存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$C 恰存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$D 不一定存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$3、下列级数收敛的是（）A ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛n}＄B ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{（－1)＾n}｛n}＄ C ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty}＼frac{1}｛n^2}＄ D ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛＼sqrt{n}｝＄4、函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调递增区间是（）A ＄（＼infty, 0)＄B ＄（0, 2)＄C ＄（2, ＋＼infty)＄D ＄（＼infty, 0) ＼cup （2, ＋＼infty)＄5、设函数＄f(x)＄具有二阶连续导数，且＄f(0) ＝ 0$，＄f'（0)＝ 1$，＄f'＇（0) ＝ 2$，则＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＄等于（）A 0B 1C 2D 不存在6、曲线＄y ＝＼ln x$ 上与直线＄x ＋ y ＝ 1$ 垂直的切线方程为（）A ＄y ＝ x 1$B ＄y ＝ x ＋ 1$C ＄y ＝ x ＋ 1$D ＄y ＝ x 1$二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛x}＄＝＿_______。
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2004年研究生数值分析考试试题
2004年非数学类各专业研究生《数值分析》考试试题
姓名 学院 专业 分数
1. 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶
段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?
2. 已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210
处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =.
1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式.
2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.
1) .
3. 设],[2
b a L ρ是],[b a 上的带权内积空间,)(x ρ是权函数. 又设
)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 是],[2
b a L ρ中一组线性无关的函数, 并记由它
们所有的线性组合所组成的函数集合为)}(,),(),({21x x x Span X n ϕϕϕ =.
对任意的函数],[)(2
b a L x f ρ∈, 求)(x f 在],[b a 中的最佳平方逼近.
4. 试给出],[b a 上复化梯形求积公式, 并描述其自适应算法.
5. 试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭
代及超松弛迭代格式。
6）试用有限差分方法求解2阶常微分方程边值问题：
,)),
(),(,()(b x a x y x y x f x y ≤≤'='' ,)()(,)()(1010ββαα
=+'=-'b y b y a y a y
.0,0000
,0>+≥βαβα。