合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准(可编辑修改word版)

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2014_2015学年第一学期末数值分析考试试题A

中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

2014/2015 学年第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为；用ˆπˆe u= 作为πe u =的近似值具有位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是。

5. 取权函数()x ρ=[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的内积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。

合肥工业大学2014-2015第一学期(南区)课表

中特（5、9、19、32）西二102 茆诗珍中特（16、30、31、34）西二508 李才华
晚
9 10 11
注：1、上课前请登录学生注册中心主页查询课表；（网址为：/）； 2、上课周次：硕士英语（1—15周，每周两次课，每次连2节）；口语（1—15周，每周一次，每次连2节）；矩阵理论（1—10周，每周两次，每次连2节）；数理统计（1—8周，每周两次，每次连2节）中特（1—12周，每周一次，每次连3节） 3、本学期未开口语课的班级下学期开课； 4、一外为小语种的研究生报到后请与研究生培养办联系，联系电话：62901225，办公地点：南区2号行政楼211室。
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
口语012班主楼215 外教1
数值分析（29-35）西二508 褚标口语010班主楼215 外教1
矩阵理论（7-9）西二210 殷明数理统计（12-14）西二202 凌能祥中特（4、17、23、39）西二408 李勇口语011班主楼215 外教1
5 6
口语013班主楼215 外教1
星期六
矩阵理论（10-14）西二202 李平矩阵理论（15-18）主楼428 开晓山数理统计（22、34、38-40）西二201 焦贤发数值分析（1-3,39、40）西二408 江平数值分析（29-35）西二508 褚标英语005班主楼423 王海珍英语008班主楼216 黄昀英语036班主楼217 邹立新英语037班主楼406 李为山口语007班主楼317 外教1
星期五矩阵理论（29-33）西二202 李平矩阵理论（19-22）主楼428 开晓山数理统计（1-11）西二408 焦贤发数值分析（12-14）西二408 朱晓临数值分析（4-6）西二508 褚标英语017班主楼217 邹立新英语038班主楼423 王海珍英语039班主楼216 黄昀口语023班主楼317 外教1

考研2014共创数二3套卷完整版

Tel： 0551-62905018
即 x0 ( a, b) 使得 f ( x0 ) max{ f ( x )} ，此时必有 f ( x0 ) 0
1 1 k ，当 k 0 时方程显然有根 x 1 ； k 0 时 f ( ) 0 ， x k 1 1 1 lim f ( x) , lim f ( x) 当， f ( x ) 在 (0, ] 上单增，在 [ , ) 上单减，当 f ( ) ln k 1 0 x x 0 k k k 1 即 k 时原方程无实根，答案Ａ． e （5）【解】答案Ａ为正确． f ( x, y ) （6）【解】由 lim 2 1 得， lim f ( x, y ) 0 f (0, 0) ，知 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续 x 0 x y 2 x 0 y 0 y 0 (4) 【解】：令 f ( x) ln x kx, f ( x)
I sin x sin y max{x, y} d ，
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2014 数学模拟试卷
共创（合肥工业大学）考研辅导中心
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（18）（本小题满分 10 分）已知函数 y f ( x) 在 [0, ) 上单增，曲线 y f ( x) 过点 (0, ) ，且对
（20）（本小题满分 11 分）设 xn 满足条件 x1 2, xn 1 求它的值．（21）（本小题满分 11 分）
2 xn ( xn 3) (n 1, 2,) ，证明 lim xn 存在并 2 n 3xn 1
证明：当 x 0 时，有 ( x 1) ln x ( x 1) ．
是齐次方程组 Bx 0 的 3 个解向量，且方程组 Ax = 3 有解．（Ⅰ）求常数 a, b 的值；（Ⅱ）求 Bx 0 通解（ 23 ）（本小题满分 11 分）已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x Ax 经过正交变换 x Py 化为标准形

合工大硕士研究生最优化方法期末考试题

st.
g1( X ) g2(X )
= =
− x12 − x1
− −
x22 x2
+9≥ 0 +1≥ 0
【解】略
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
其中
G
=
3 −1
−1 1
正定,
b
=
−2 0
,
c
=
0
,
X (0) = (−2, 4)T , gk = ∇f ( X k ) = GX k + b , ∇2 f ( X k ) = G , g0 = ∇f ( X 0 ) = GX 0 + b = (−12, 6)T ≠ 0 ,
故取 p0 = −g0 = (12, −6)T ,从 X 0 出发,沿 p0 作一维搜索，即求
f ( X ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T ( X − Z ) , f (Y ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T (Y − Z ) ,
用α ,1−α 分别乘上述两式再相加得α f (X ) + (1 −α ) f (Y ) − f (Z ) ≥ 0 ,
即 f [α X + (1−α )Y ] ≤ α f ( X ) + (1−α ) f (Y ) ,故 f ( X ) 是 D 上为凸函数.
s.t.
−
x1
+
x2
x3
≥1 ≤3
x1, x2 ≥ 0
三．(10 分)试述 0.618 法计算迭代歩骤
七．(12 分)用外点法求解：

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

合工大2017级研究生《数值分析》试卷_A_解答

合肥工业大学研究生考试试卷课程名称数值分析考试日期学院全校2017级研究生姓名年级班级学号得分一、计算题 (每小题5分，满分共30分) 1. 已知近似值*120.10mn x a a a =×"有5位有效数字，试求其相对误差限。

P22练习6.(1)(2) 设*120.10mn x a a a =±×"，*1**110.5100.5101100.102m l m l l m x x a a x x−−−+−××≤≤=×× 4411100.5102a −−=×≤×，其中5l =. 2. 设3142A −=−⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求Cond()A ∞. 6A∞=,1112232A −−−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠,172A −∞=; 1Cond()76212A A A∞−==×=3. 设22(35)()x f x −+=，求函数()f x 的差商0123[2,2,2,2,]f π.0123[2,2,2,2,]9f π=4. 设4()f x x=.用Lagrange 余项公式求()f x 关于节点1,0,1,2−的3次Lagrange 插值多项式3()p x .p143,用Lagrange 余项公式，例如求4()f x x=关于节点21,0,1−−的3次Lagrange 插值多项式3()p x .法1:(4)333()()()()()(1)(1)(2)4!f r x f x p x x x x x x ξω=−==+−− 433()()()(1)(1)(2)p x f x r x x x x x x =−=−+−− 443232(22)22x x x x x x x x =−−−+=+−法2:41,0,1,16;0,1,2,3i i y x i ===;01()(1)(2)6l x x x x =−−−11()(1)(1)(2)2l x x x x =+−−,21()(1)(2)2l x x x x =−+−,31()(1)(1)6l x x x x =+−,343332400()()()22()()i i i i i i i p x x y l x x x x x x x x ωω=====+−′−∑∑,5. 设函数0.9 1.4706 1.0 2.3257 1.10.1653(),(),()f f f −===,用三点数值微分公式计算(1.0)f ′′的近似值。

2010-数值分析期末试卷A及评分细则

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零零九至二零一零学年第二学期期末考试《数值分析》课程考试题 A 卷（ 120 分钟）考试形式：开卷考试日期 2010年月日课程成绩构成：平时 20 分，期中 0 分，实验 0 分，期末 80 分一、填空题：（30分，每空3分）1. 真值x*=23.496，近似值x=23.494，x 的有效位数为 4 。

2. 等比数列11,1n n p p λλ-=>，设01p =，若0p 有误差，按照通项公式生成的数列误差随着n 的增大而_____减小3. 对于定义于[a,b]区间上可积函数()f x ，在[a,b]上取10个求积节点，则插值型数值积分公式9()()bi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的最高代数精度能达到 19 。

4. 解线性方程组x b =A 的SOR 迭代法的迭代矩阵为S ，松弛因子为ω，如果SOR 法收敛，其充要条件为 ()1ρ<S 。

5. 矩阵1023⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则()cond ∞A = ___5____。

6.01(),(),()n l x l x l x 是以0,1,...,n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则()0ni i il x ==∑ x 。

7. 对于初值问题()',,()y f x y a x b y a A⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩，设步长为h ，使用右矩形数值求积公式建立Euler 法公式为： ()111,k k k k y y h f x y +++=+ 。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……8. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______。

9. 设区间[a , b ]上的可积函数()f x , 使用抛物线对三点a ，2a b+，b 进行插值，则对应的数值积分公式______()()4()()62bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（simpson 公式）。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

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3973 97 397 * * 1x合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期学院 2014 级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题 (每空 2 分，满分 20 分) 1. 设 f ( x ) = 6 x2014- 5x2012+ 7 ，则差商 f [1, 2, , 2015] = 6.≤12a 1⨯10-l +1 =12 ⨯ 4⨯10-l +1 ≤ 0.01% = 10-4 ,6 分2. 设函数 f (0.9) = -1.2178, f (1) = -1, f (1.1) = -0.6018 , 用三点数值微分公式计算f '(1) 的近似值为 3.08, f ' (1) 的近似值为 18.04 .解得l ≥ 5 - lg8 ≈ 5 - 0.903 = 4.097 . 故取l = 5 ，即 x *至少应具有 5 位有效 T⎡-23 ⎤3. 设 x = (2, 5, - 7, 3) ， A =⎢ ⎥ ，则 2 ， Cond( A )1 = 36 .数字。

8 分⎣ 4-5⎦⎧-10 x - 4 x + x = -1, ⎪1234. 函数 f ( x ) 以 0, 1, 2 为节点的二次 Lagrange 插值多项式 p ( x ) =三、(本题满分 12 分) 已知线性方程组⎨2 x 1+ 10 x 2- 7 x 3= 2,(x -1)(x - 2) (x - 0)(x - 2) (x - 0)(x -1) .⎪⎩3x + 2 x + 10 x = 3.f (0) +f (1) +f (2)1 2 3(0 - 1)(0 - 2)(1 - 0)(1 - 2)(2 - 0)(2 - 1)5. 设 S 是函数 f 在区间[0, 2] 上的三次样条：(1) 写出求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式。

(2) 写出求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵 B J .⎧1 + 2 x - x 3,0 ≤ x ≤ 1,S ( x ) = ⎨(3) 计算范数 B J ∞ ，判断上述 Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到⎩2 + b ( x - 1) + c ( x - 1)2+ ( x - 1)3,1 ≤ x ≤ 2,精度= 10 ，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值 x 0 = (0, 0, 0)T .则 b = -1 ， c = -3 .6. 四阶 Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 O (h4) ，其整体截断误差是 O (h 5 ) .解 (1) 求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式为⎧x (k +1) = 1 (-4x (k ) + x (k ) - 1), ⎪ 1 10 2 3 ⎪x (k +1) = 1 -2x (k +1) + 7x (k ) + 2 , 4 分二、(本题满分 8 分) 要使的近似值 x 的相对误差的绝对值不超过 0.01% ，求 x 至⎨ 2 10 ( 1 3 ) ⎪⎪x (k +1) = 1 (-3x (k +1) - 2x (k +1) + 3).少应具有几位有效数字？解设 x *至少应具有 l 位有效数字. 因为 4 < < 5 , 所以的第一个⎩ 3 101 2 (2) 因为原方程组的系数矩阵非零数字是 4，即 x *的第一位有效数字a = 4 ， 2 分⎡-10 -4 1 ⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎡-10 0 0 ⎤ ⎡0 -4 1 ⎤ 根据题意及定理 1.2.1 知，A = ⎢ 2 10 -7⎥ = ⎢2 0 0⎥ + ⎢ 0 10 0 ⎥ + ⎢0 0 -7⎥ = L + D + U ，⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 2 10 ⎥⎦ ⎢⎣3 2 0⎥⎦ ⎣⎢ 0 0 10⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦- 4 287 397 - x x**装订线=10-4(1 - 9 10)0.3 1 31 31 2 31 2 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1⎢ ⎥0 1 21 2⎰J ⎪h所以求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为p (x ) = f [x ] + f [x , x ](x - x ) + f [x , x , x ](x - x )2+ f [x , x , x , x ](x - x )2 (x - x ) + f [x , x , x , x , x ](x - x )2 (x - x )2 ⎡ 0-2 5 1 10 ⎤ .8 分8 分B = -D -1(L + U ) = I - D -1A = ⎢ -1 5 0 7 10⎥ ⎢⎣-3 10 -1 5 0 ⎥⎦= 2 + x + 0 + 0.25x 2 (x - 1) + 0.25x 2 (x - 1)2= 2 + x - 0.25x 3 + 0.25x 4.10 分(3) 因为 B J ∞ = 9 10 < 1 ，所以解原方程组的 Jacobi 迭代格式收敛。

9 分用 Jacobi 迭代法迭代一次得： x (1) = (0.1, 0.2, 0.3)T ，五、(本题满分 12 分) (1) 确定 A , A , A ，使下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。

x (1) - x (0)= max { 0.1 - 0 , 0.2 - 0 , 0.3 - 0 } = 0.3 10 分⎰- hf ( x ) d x ≈ A 0 f (- h 2) + A f (0) + A f (h 2) . ∞(1 - q )912 分(2) 用两点古典 Gauss 公式计算 I = 1x 2 sin 3 x d x 的近似值。

0 k > ln x (1) - x(0)ln q = ln ln ≈ 97.8410解 (1) 设上述求积公式对 f (x ) = 1, x , x 2 准确成立，即故需要迭代 98 次。

⎧2h = A + A + A ,122 分四、(本题满分 10 分) 用下列表中的数据求次数不超过 4 次的插值多项式 p ( x ) ，使之满足⎨0 =A 0 (- h 2) + A 2 (h 2), ⎪2h 3 3 = A (h 2 4) + A (h 2 4). p ( x ) = f ( x ) ， i = 0,1, 2 ，和 p '( x ) = f '( x ), p '( x ) = f '( x ) .（要求写出差商⎩⎪0 2 ii11表）解上述方程组，得 A 0 = 4h 3,A 1 = - 2h 3, A 2 = 4h 3, 3 分于是上述求积公式化为 h f (x ) d x ≈4h⎡ f (- h 2) - 1 f (0) + A f (h 2)⎤ .(*)⎰- h3 ⎢⎣2 2 ⎥⎦解根据表中的数据建立差商表经验证，求积公式(*)对 f (x ) = x 3 准确成立，但当 f (x ) = x 4 时，(*)左边等于 x 0 = 0 f (x 0 ) = 22h 45 ，而其右边等于h 56 ；即求积公式(*)对 f (x ) = x 4 不准确成立；于是求 x = 0 f (x ) = 2 f [x , x ] = 1积公式(*)具有 3 次代数精度。

5 分0 0x = 1 f (x ) = 3 f [x , x ] = 1 f [x , x , x ] = 01 分 (2) a = 0, b = 1, t = - , t = , A = A = 1, f (x ) = x2 sin3 x ，110 10 0 11212x 1 = 1 f (x 1 ) = 3 f [x 1, x 1] = 2 f [x 0, x 1, x 1] = 0.5 f [x 0 , x 0 , x 1, x 1 ] = 0.253 分x = 2 f (x ) = 7 f [x , x ] = 4 f [x , x , x ] = 2f [x , x , x , x ] = 0.75 f [x , x , x , x , x ] = 0.25x = b - a t + a + b = 1- 0 ⨯⎛ - 1 ⎫ + 0 +1 = 1 - ,221 21 1 20 1 1 20 0 1 1 212 1 2 23 ⎪ 2 2 6 分 5 分⎝ ⎭ 则所求插值多项式为x = b - a t + a + b = 1- 0 ⨯⎛ 1 ⎫ + 0 +1 = 1 + ,22 2 2 23 ⎪ 2 2 ⎝ ⎭x i0 1 2 f ( x i )23 7f '( x ) i 12⎰4 4 4 15 55 c ⎣ ⎦ 0 1k k -1 k -2 444故用上述两点 Gauss 公式k = 2, 3, .9 分取初值 x = 0.5, x = 0.4 ，代入上式计算得： x = 0.761506, x = 0.810598 .计算12310 分七、(本题满分 10 分) 求拟合下列表中数据的 1 次最小二乘多项式 p ( x ) ，取权= 1 ，I = 1x 2 sin 3 x d x 的近似值：1ii = 0,1, 2, 3, 4 ，并计算总误差 Q . 解根据题意，得I ≈ b - a [ A f (x ) + A f (x )]8 分m = 4, n = 1, (x ) = 1,(x ) = x , ≡ 1 (i = 0,1, 2,3, 4)2 1 12 21i= 1- 0 ⎡ ⨯ f ⎛ 1 - 1 ⎫ +1⨯ f ⎛ 1 + 1 ⎫⎤ ≈ 0.111245.10 分x 0 = 1, y 0 = 1.3, x 1 = 2, y 1 = 2.5, x 2 = 3, y 2 = 3.9, x 3 = 4, y 3 = 5.1, x 4 = 5,y 4 = 6.4,2 ⎢1 2 23 ⎪ 2 2 3 ⎪⎥ ⎣ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎦(0 ,0 ) = ∑1⨯1 = 5, (0 ,1) = ∑1⨯ x i= 15, (0 , f ) = ∑1⨯ y i = 19.2, 432i =0i =0 i =0六、(本题满分 10 分). (1) 用改进的 Newton 迭代法求方程 x x = 2 ，求 x , x .（要求先验证重根的重数。

）- 3x + 3x - x = 0 的重根，取初值(1,0 ) = ∑ x i ⨯1 = 15, (1,1) = ∑ x i ⨯ x i = 55, (1, f ) = ∑ x i ⨯ y i = 70.4.1 2i =0i =0i =0(2) 用弦截法求上述方程的单根，取初值 x = 0.5, x = 0.4 ，求 x , x .0 1 2 3解 (1) 记 f ( x ) = x 4- 3x 3+ 3x 2- x ，因为5 分f (1) = 14 - 3 ⨯ 13 + 3 ⨯ 12 - 1 = 0 ， f '(1) = 4 ⨯ 13 - 9 ⨯ 12+ 6 ⨯ 1 - 1 = 0 ， f ' (1) = 12 ⨯ 12- 18 ⨯ 1 + 6 = 0 ， f ''(1) = 24 ⨯ 1 - 18 = 6 ≠ 0 ，得法方程组⎡ 5 15⎤ ⎡c 0 ⎤ = ⎡19.2⎤ .6 分所以 x * = 1 是方程 x 4 - 3x 3 + 3x 2- x = 0 的 3 重根。