合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷a试题.pdf
合肥工业大学试卷参考答案(A卷)
又因 N 必须为 2 的整数幂 所以一个记录中的最少点数为 N=210=1024。 二. 简答题（共 40 分，10 分/题） 1. 采用 FFT 算法，可用快速卷积实现线性卷积。现欲计算两个长度分别为 N1 和 N2 的有限 长序列 x(n)、 h(n)的线性卷积 x(n)*h(n)， 试写出该快速卷积算法的计算步骤 （注意说明点数） 。 M 1 将序列 x(n)、h(n) 补零至长度 N，其中：N≥N1+N2−1 且 N=2 （M 为整数） 答：○ ； 2 利用 FFT 算法分别计算序列 x(n)、h(n)的 N 点离散傅里叶变换 X(k)、H(k)； ○ 3 计算频谱 X(k)、H(k)的乘积，即 ○
Y (k ) = X (k ) H (k )
4 计算 Y(k)的 IFFT 变换，则求得序列 x(n)、h(n)的 N 点线性卷积 x(n)*h(n)，即 ○
x(n) ∗ h(n) = y (n) = IFFT [ X (k ) H (k )]
此快速卷积过程如图所示，图中，N≥N1+N2-1，且 N=2M（M 为整数） 。
−π
π
3. 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
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解：由循环卷积的定义，可知
6 x ( n) = [ x (( n)) ○ * x ((n )) ]R ( n) y (n) = x1 (n) ○ 2 1 6 2 6 6 * 3δ ((n − 3)) ]R ( n) = [ x1 ((n)) 6 ○ 6 6
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∑
n =0
N −1
x (n) =
2
1 N
∑ X (k )
k =0
N −1
2
证：由 DFT 的定义，可知
合肥工业大学大一上学期高数期末考试题
咼数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2.lim (1 + 3x)sinx =1. x -0_______________________________________.已知cosx是f(x)的一个原函数， 则2.xx兀2兀22兀 2 n — 1lim — (cos 2— + cos 2 ——+||| + cos 2兀)= 3. “世 n n n n ______________ .1 2 2x arcsin x 1 , dx 二2—1书1 一 X4. _ 运______________________ .二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)设口(x) = —x, P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时()5.1 x.(A)〉(x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x)是比〉(X)高阶的无穷小.6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有(A C) ■ (D ) f(x)不可导. x7.若F (x )二0( 2—x ) f( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且f (x)，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y 二F(x)的拐点。
1设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=((A ) 2解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)10. 设函数厂y (x)由方程e x y-sin(xy)二1确定，求y (x)以及y (°).1 - x 78. 2—+2(B ) 2(C ) x 1 (D ) x 2.9.三求—dx.11.x(1 x )y(1) =14.求微分方程xy 2^xlnx满足9的解.四、解答题(本大题10分)15. 已知上半平面内一曲线 y 二y(x)(x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M&o ’y 。
合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
合工大高等数学A(上)习题册.
(0,0a b >>
2
0(6lim(2x x x
x a b →+(0,0a b >>.
2.若,(00f =(f x ′在点0x =的某邻域内连续,且(00f ′≠,试求(0lim f x x x +→.
习题Taylor中值定理
43−1.写出2(ln f x x =x在处的四阶泰勒展开式.
21.1x dx x +∫.
22
2.25x dx x x −−+∫.
1
3.1sin dx x +∫.
41
4.cos dx x ∫.
习题广义积分
57−计算下列广义积分:21ln 1.x
dx x +∞∫.
02.x
xe dx +∞−∫.
213.(1dx
x x +∞+∫.
1
4..
习题定积分的应用
61−1.假设曲线21y x =−(01x ≤≤,x轴,y轴所围区域被曲线2
习题洛必达(L′Hospital法则
42−1.求下列极限:30sin (1lim x x x
x →−;
2ln (2lim ln x x x
x x →+∞
+;
2011
(3lim(tan x x x x →−;
0ln(tan
(4lim ln(tan x ax bx +→ ;
(0,0a b >>
11
(5lim (x x
n
n n n ++→∞−+−+1;
221
11(2lim(1(1(123n n →∞−−⋅⋅⋅−2;
合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。
2014-2015(1)期末考试试卷(A)(高等数学)
积。 四 证明题（7 分）
展成
的幕级数,并指出展式成立的区间。
的收敛域及和函数。
围成的平面图形的面积，并求它绕 轴旋转 周所成旋转体体
2）在 内有且仅有 点 ，使
。
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1
2设 3 曲线
为 4 函数
，则
。
处的切线是水平的，则
时
无穷小 。
的跳跃间断点为
。
交之
5
。
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
7
_。
8 若数列 收敛于 ，则
=
。
姓名：
班级：
考试课程：
、解答题（每小题 7 分，共 70 分） 1.
2. 3. 求曲线
的凹凸区间与拐点。
4.
5.
由
确定，求该曲线在点
处的切线及法线方程。
6. 7 求反常积分 8. 9. 将函数 10. 求幕级数
7
7
考试［ 考查口 / 闭卷［ 开卷口 \七\九十
试卷 对易度
对（交对）
分值
比例
11
11%
中等
分值
比例
47
47%
容易
分值
比例
42
42%
期望值
考试 班级
试题内容 75
覆盖面 14 级工科共 65 个小班
90%
考试 人数
1900
教研室主任签字
签字时间
院(系、部)主任签字
签字时间
备注
设计的答题纸请正反面打印，草稿纸 2 张/人
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
《高等数学(上)》A卷及答案
扬州大学2008级高等数学Ⅰ（1）统考试卷A 班级学号姓名得分一、选择题（每小题３分，共30分）1．设函数1(1)0()xx xf xa x⎧⎪->=⎨⎪≤⎩在点0x=处连续，则a=【】(A)1 (B)1- (C)e (D)1e-2．若当0x→时，tan x x-与nax是等价无穷小，则a=【】（A）3-（B）13-（C）3（D）133．若()2f x'=，则00()()limhf x h f x hh→+--=【】(A)0 (B)1(C)4 (D)4-4．函数43()4f x x x=-在闭区间[1,2]-上的最小值为【】（A）5（B）0（C）16-（D）27-5．设32()1f x x x x=--+，则在区间11[,]33-上【】（A）函数()f x单调减少且其图形是凹的（B）函数()f x单调减少且其图形是凸的（C）函数()f x单调增加且其图形是凹的（D）函数()f x单调增加且其图形是凸的6．若函数()f x()f x'=【】（A (B)（C（D7．设()f x 是以T 为周期的连续函数，k 为正整数，则(1)()d a k T a kTf x x +++⎰【 】（A ）仅与k 及T 有关 （B ）仅与k 及a 有关（C ）仅与a 及T 有关（D ）仅与T 有关8．设210()00x e x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩, 则(0)f '=【 】（A ）∞ (B)2 （C ）1 （D ）0 9．若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则常数a =【 】 (A)12e (B)2e (C)1e(D)e 10．微分方程76sin y y y x '''-+=的特解y *应具有形式【 】 (A)sin cos A x B x + (B)sin A x(C)cos A x (D)()sin ()cos Ax B x Cx D x +++二、填空题（每小题3分，共18分）11．设 0x y xy e e -+=，则d d x y x== ．12．131(1x x -+=⎰．13．曲线2y x =与y x = 围成的平面图形的面积为 ．14．曲线xx y 12+=的所有渐近线的方程为 . 15．若10[()()]d 1x f x f x e x '+=⎰，且(0)4f =，则(1)f = .16．若xy xe =是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解，则该微分方程为．三、计算题（每小题6分，共42分）17．求222tan d limsinxxt tx x→⎰．18．求e x ⎰.19．求1ln dx x x ⎰．20．求内接于半径为R的球的正圆锥体的最大体积．21．求由曲线y=y x=所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．求微分方程 cos xy y x '+= 满足初始条件1x y π==的特解．23．求微分方程265x y y y e ''' +-=的通解．四、证明题（每小题5分，共10分）24．设()f x 在[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个,0()1x f x <<， 且()1f x '<，试证在(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．25．证明：42(4)(4)0d 2d x x x x ex e x --=⎰⎰．2008级高等数学试题A 参考答案一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 9.A 10.A 二、11．1 12．2π 13.13 14．0,1x y ==± 15.5e 16.20y y y '''-+=三、17．解2022tan d limsin x x t tx x→⎰204tan d limx x t t x→=⎰ ………………………………………………2分2232002tan tan lim lim 42x x x x x x x →→== ………………………………4分 2201lim 22x x x →==. ……………………………………………6分 18．解ex⎰t22d t e t t ⎰ ……………………………………………………2分222d d t t t t e te e t ==-⎰⎰ ………………………………………4分2212t t te e C =-+ ………………………………………………5分12e C =-+. ………………………………………6分19．解 1ln d x x x ⎰=1201ln d()2x x ⎰ …………………………………………………1分 1120011ln d 22x x x x ⎡⎤=-⎣⎦⎰………………………………3分 1220011lim ln 24x x x x +→⎡⎤=--⎣⎦ ……………………………5分 14=-. ……………………………………………………6分20．解 设圆锥底半径为r ，高为h ，则2222()2r R h R Rh h =--=-． ．．．．．．．1分 于是，圆锥体积 2223111(2)(2)333V r h Rh h h Rh h πππ==-=-． ．．．．．．．．．．．3分 求导得，2()(43)3V h Rh h π'=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 令()0V h '=，得43h R =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 故 34max 33281h R V V R π===． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分21．解 （1）222d ]d ()d x V x x x x x ππ=-=-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分120()d x V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 6π=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分(2)322d 2)d 2()d y V x x x x x x ππ==-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分31222()d y V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分215π=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分22．解 原方程可改写为 1cos x y y x x '+=． 这是一阶线性方程，1()P x x =，cos ()x Q x x=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分原方程的通解为()d ()d ()d P x x P x xy e Q x e x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分11d d cos d xx xxx ee x C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰1(sin )x C x =+. ．．．．．．．．．．．5分 由1x y π==得，C π=． 故所求特解为 1(sin )y x xπ==+． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分23．解 特征方程为 260r r +-=，解之得12r =，23r =-， ．．．．．．．．．．．．．．．1分 故相应的齐次方程的通解为 2312x x Y C e C e -=+． ．．．．．．．．．．．．．．．2分自由项2()5x f x e =属于()xm P x e λ型（0m =，2λ=）． 由于2λ=是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为2x y Axe *=， ．．．．．．．．4分 求导得：2(2)x y A Ax e *'=+，2(44)x y A Ax e *''=+．将,,y y y ***'''代入原方程得，1A =．于是，2xy xe *=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因此，原方程的通解为 23212xx x y C eC e xe -=++． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分四、24．证 令()()F x f x x =-，[0,1]x ∈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 则由(0)(1)0F F <和零点定理知()F x 在(0,1)内至少有一个零点 ．．．．．．．．．．．．．3分 又由()0F x '<知()F x 在[0,1]上单调，()F x 在(0,1)内最多只有一个零点． 综上所述，()F x 在(0,1)内有且仅有一个零点，即(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．．．．．．．．．．．．．．．．5分25．证242(4)(2)(2)02d d x tx x t t ex e t =+-+--=⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分2(2)(2)02d t t e t +-=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 20(4)22(1)d t uu u e u =--=-⎰2(4)02du u u e -=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 2(4)02d x x e x -=⎰． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分。
合肥工业大学近两年高数上试卷
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
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且 f (0) f (1) 0 ，
证明：在 (0,1) 内至少存在一点 ，使 f ( ) 2015 f ( ) ．
4、下列广义积分发散的是（
dx
(A)
(B)
1 x(1 x)
）
11 dx
1 sin x
1
(C)
2
x
ln
2
dx x
(D)
5、曲线 y
1 e x2 1 e x2 （）
(A) 没有渐近线 (C) 仅有铅直渐近线
(A) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小
(B) 低阶无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小
四、（本题满分 10 分） 设 f x
2 x2
1
cos x ,
1,
x 0, x 0, 讨论 f x 在 x
1
x
cost 2dt,
x0
x 0,
0 处的连续性和可导性．
2、若 f ( x) 的导函数为 sin x , 则 f ( x) 的一个原函数是（ (A) 1 sin x (B) 1 sin x (C) 1 cos x
5、曲线 r e2 从
0至
的一段弧长 l __________ __ ．
2
三、计算下列各题（每小题 6 分，共 36 分）
1
1、
lim
n
n(
n2
1 n2 2
1
n2
)． n
3、求 y xsin x ( x 0) 的导数 y ( x) ．
3sin x x2 cos 1
2、 lim x0
(e
x
1)(1
x． cos x)
合 肥 工 业 大 学 试 卷 （ A）
共 1 页第 1 页
2014～2015 学年第 一 学期 课程代码 1400011B 课程名称 高等数学 A(1) 学分 5
专业班级（教学班）
考试日期
2015.1.14
命题教师
课程性质 : 必修 、选修 、限修 考试形式 : 开卷 、闭卷
集体
系（所或教研室）主任审批签名
4、已知
x y
ln 1 t 2 arctan t,
,
求
dy dx
d2 y , dx2
．
5、
arctan x2
x dx
．
６、设 f (x)
ln(1 x) x 0
2
1 1 x2
，求 f x( 1) dx ．
x0
0
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、当 x
1 时， x3 1 与 3( 1) 为（）
(B) 仅有水平渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
xe x2 dx
命题教师注意事项 :1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B ”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。
2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用
A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
2
1、极限 lim(1 3x )sin x
．
x0
2、设 y x arctan(x2 ) ，则 y
．
3、设 f (x) 的一个原函数为 e x2 ，则 xf (x)dx ________ ．
4、曲线 y ex 过原点的切线方程为 __________ __ ．
）
(D) 1 cos x
3、设 f ( x) 在 x 0 处连续，且 lim f ( x) 1 ，则在点 x 0 处（ ）． x 0 1 cos x
(A) f (0) 不存在
(B) f (0) 0 ，且 f (0) 为 f ( x) 的极小值
(C) f (0) 存在，且 f (0) 0
(D) f (0) 0 ，且 f (0) 为 f ( x) 的极大值
x
五、（本题满分 10 分） 设曲线 y e2 ，切线 y
所得旋转体体积 V .
e x 及 y 轴围成的平面图形为
2
D ，求 D 绕 y 轴旋转一周
六、（本题满分 8 分） 证明不等式： x 0 时，有 ln x 1 1. x
七、（本题满分 6 分） 设函数 f ( x) 在 [ 0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导， f ( x) 0 （ 0 x 1），